全國高中數(shù)學(xué)題庫-橢圓2

橢圓題庫

1E、E是橢圓f+2y2=4的左、右焦點(diǎn)，/是橢圓的右準(zhǔn)線，點(diǎn)Pe/,過點(diǎn)E的直線

交橢圓于A、B兩點(diǎn)、.

(1)當(dāng)AELAE時(shí)，求A4EF的面積；

(2)當(dāng)網(wǎng)=3時(shí),求尸|+忸尸|的大小;

(3)求NEPF的最大值.

m+n=41

解：(1)《22=>5必"=—機(jī)〃=2

[m2+n2=8MEF2

[\AE\+\AF\=4-.............

(2)因1=4S+Af+8網(wǎng)=8,

\BE\+\BF\=4111111

則|A川+忸刊=5.

(1)設(shè)PQ曰t)(t>0)tanZEPF=tan^EPM-NFPM)

,300、“372x72,2萬2a也

=(--------)+(1+----5-----)=-——=---------T4一

ttV廠+6t+6t3

當(dāng)，=?時(shí)，tan/EPF=三=NEPF=30°

3

2已知橢圓二+二=1(。〉匕>0)的左、右焦點(diǎn)分別是R(-C,0)、F2(C,0),Q是橢

a-b-

圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足1甚。1=2。.點(diǎn)P是線段EQ與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段RQ上，并且滿

足%=0,177^^0.

(1)求點(diǎn)T的軌跡C的方程；

(2)試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M,

使AFiMF?的面積S=/>2.若存在，求NFMFz

的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(1)解：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y).

當(dāng)I而1=0時(shí)，點(diǎn)(。，0)和點(diǎn)(-a,0)在軌跡上.

當(dāng)IA71Ho且?而MO時(shí)，由沅i=o,得A7_L而.

又I而日至1,所以T為線段FzQ的中點(diǎn).

--1---

在△QFE中，\0T\=-\FXQ1=a,所以有1+

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是/+》2=。2.

(2)解：C上存在點(diǎn)M(x0,y0)使S=/的充要條件是

N+y2_(3)

王)十X)一〃，7

<

1?

--2cly0\=b'.④

、乙

/7212

由③得1必)14〃，由④得1打1?—,所以，當(dāng)Q之也時(shí)，存在點(diǎn)M,使S=h2;

CC

當(dāng)以時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.

C

卜2----,

當(dāng)a2幺時(shí)，MF1=(-c-x0,-y0),MF2=(c-x0,-y0),

c

2*4

由詬.而豆=x；-C+y；=q2_c2=》2,

MFrMF\=\MF}\-\MF[ICOSZ^M^,

SMF2IsinZF,MF2=/,得tanZF,MF2=2.

尤2

3已知橢圓G的方程為——+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為3的左、右頂點(diǎn)，而

4

C2的左、右頂點(diǎn)分別是G的左、右焦點(diǎn).

(I)求雙曲線C2的方程；

(n)若直線/：y=丘+正與橢圓a及雙曲線C?都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且1與Cz

的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足3?稱<6(其中0為原點(diǎn))，求k的取值范圍.

22

解：(I)設(shè)雙曲線a的方程為上_匕=1，則/=4—1=3,再由/+/=,2得/=1.

a2b2

—

故a的方程為——y2=1.

3

2

(II)將y=kx+后代入二+/=1得(]+4/+8血丘+4=0.

4

由直線1與橢圓G恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得

△\=(8揚(yáng)2k2_]6(1+4攵2)=16(4k2-1)>0,

即k2>-.①

4

r--_

將y=近+揚(yáng)弋入、=]得(1_3小)/_6伍?9=0.

由直線1與雙曲線Cz恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B得

1—3父/0,

<

A2=(―6岱)2+36(1—3k2)=36(1—女2)〉0

即Y/I且火2<1.

3

陽(/，%)，8(4,yB),則4+X"=,xA-xB=—

1-3K1-3K

由04OB<6得》內(nèi)8+yAyB<6,而

xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+丘)(%+揚(yáng)

2

=(k+i)xAxB+6k(x人+xfi)+2

,,2八-9nr6s/2k

=(k-+1)-------+72k-------+2

l-3k2I-3k2

3k2+7

~3k2

22

于是蘭T,k3+7<6,即1sk-13>0.解此不等式得

3k2-13k2-I

k2>—^k2<-.③

153

由①、②、③得

1.21-P.132?

—<k<一或一<k<1.

4315

故k的取值范圍為UUU(J.,1)

4.已知某橢圓的焦點(diǎn)是正(-4,0)、Fi(4,0),過點(diǎn)&并垂直于x軸的直線與橢圓的

一個(gè)交點(diǎn)為反且I月m+IF,B\=10.橢圓上不同的兩點(diǎn)”(不，必)、C(x2,刀)滿足

條件：I&/I、I區(qū)川、IEC\成等差數(shù)列.

(1)求該橢圓的方程；

(2)求弦/C中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)設(shè)弦/C的垂直平分線的方程為y=kx+m,求。的取值范圍.

（1）解：由橢圓定義及條件知

2a=|F\B|+|FiB\=10,得a=5.又c=4,所以b=yja2-c，=3.

22

故橢圓方程為二十二=1.

259

a

（2）解：由點(diǎn)5（4,%）在橢圓上，得|￡川=\yB\=

方法一：因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為刀=2上5，離心率為？4.

45

4754

根據(jù)橢圓定義，有IE/I=±（/-汨），I=-（―-￡）.

5454

由II、|百川、|F2C\成等差數(shù)列，得

4254259

—（——修）+一（——再）=2x—.由此得出與+萬=8.

54545

設(shè)弦4。的中點(diǎn)為尸（的耳），則癡=土土包=§=4.

22

(3)解法一：由4(汨,萬），C（Xi,.）在橢圓上，得

9"+254=9x25,

9照2+25n2=9x25.⑤

由④一⑤得9(X\-Xi)+25(4-I)=o,

即+25(21121)()=0(屈#影).

22xl-x2

將上上旦=x0=4,乃+乃=加3j-y2=_1(%0)代入上式，得

22Xj-x2k

9x4+257)(--)=0(K0).

由上式得k=—為（當(dāng)寵=0時(shí)也成立）.

36

由點(diǎn)尸（4,刀）在弦/C的垂直平分線上，得刀=4￡+%

所“以、，227=Jb-4，1，=/b--25Jo=--16Jb.

QQ

由尸（4,為）在線段初（B與夕關(guān)于x軸對(duì)稱）的內(nèi)部，得一］<為</

“16,/16

所以———<227<——?

55

5設(shè)心yCR,i、/為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，若向量分"+（尸2）

j,b=xi+（y-2）j,且|a|+|b|=8.

（1）求點(diǎn)M（x,y）的軌跡。的方程.

(2)過點(diǎn)(0,3)作直線/與曲線。交于/、B兩點(diǎn)、,設(shè)麗=3+而，是否存在這

樣的直線/,使得四邊形OAPB是矩形?若存在，求出直線/的方程；若不存在，試說明理

由.

(1)解：*/a=xi+(j+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8,

.?.點(diǎn)〃(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)火(0,-2),FT(0,2)的距離之和為8.

22

軌跡C為以區(qū)、區(qū)為焦點(diǎn)的橢圓，方程為二-=1.

1216

(2)過y軸上的點(diǎn)(0,3),

若直線/是了軸，則4J兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).

OP?OA+OB^,

；.P與。重合，與四邊形如外是矩形矛盾.

二直線/的斜率存在.設(shè)，方程為片上計(jì)3,A(X\,y\),B(Xiy乃)，

r片屆'3,

由4ry2消y得(4+3k?)x2+18kx—21=0.此時(shí)，4=(18k2)-4(4+3/c2)

—+--=1,

〔1216

(-21)>0恒成立,且為+￡=-―儂7,不照=--.

4+3/4+3小

???OP=OA+OB,???四邊形"回是平行四邊形.若存在直線1,使得四邊形OAPB定短

形，則OALOB,即次?OB=0.

VOA=(x19%),。5=(照,乃),

OA?。3=小冬+再乃=0,

即(1+/)禹照+3寵(汨+*)+9=0,

即(1+/)?(-21-)+31-(-18k)+9=0,即妙=2，得4±咨.

4+3k24+3k2164

???存在直線/:片土正產(chǎn)3,使得四邊形曲班是矩形.

4

2

6設(shè)6、尸2分別是橢圓亍+V=1的左、右焦點(diǎn).

(I)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PK?「用的最大值和最小值；

(II)設(shè)過定點(diǎn)”(0,2)的直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,且NA08為銳角(其中。

為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線/的斜率々的取值范圍.

解：(I):易知a=2,b=l,c=M

所以￡卜6,0）,乙（6,0）,設(shè)P（x,y）,則

222

PF]PF2=（_6_》,_〉），（百_》,_\）=x+y-3=x+1-^■—3=；（3x?—8）

因?yàn)閤e[—2,2],故當(dāng)x=0,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，西-P瑪有最小值-2

當(dāng)工=±2,即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，尸耳,尸&有最大值1

（II）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線/:y="一2,4（不[,必），5（冗2，y2），

y=kx-2

二+.1'消去y,整理得：卜+J

聯(lián)立?x2+4kx+3=0

,4

4k3

???玉+々=------r,再?％=-----r

k2+-k2+-

44

由A=（44）2—4（4+；]x3=4/_3>0得：k<匚或k>_J

2-2

又0°<ZA08<90°ocosZAOB〉007?。豆〉0

OA-OB=玉龍2+%內(nèi)>0

3k2-8k2-k2+l

又=（處+2）（5+2）=k2xx+20（X[+々）+4-----+------+44=------

}2111

k~+9-k+?-H7+一

444

-^~r+~k+<1>0>即攵,<4■■■-2<k<2

21i21

kt-+-k-+-

44

故由①、②得一2<女<一、二或上<Z<2

22

Y

7如圖，直線y=*x+b與橢圓——|_>2=1交于人、B兩點(diǎn)，記AAOB的面積為S.

4

（I）求在左=0,0<b<l的條件下，S的最大值；

（II）當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí)，求直線AB的方程.

⑴解:設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（（玉,5）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（工2，匕），

由?+丁=1,解得％2=±2J1-/

所以S=,blx-x,1=2bjl—JW^+l—4=1

2

當(dāng)且僅當(dāng)匕=2-時(shí),.S取到最大值L

2

y=kx+h

(□)解：由＜X221得

—+V=1

I4-

2

(4/+1)X+Skbx+4/-4=0

A=16(4A:2-^2+l)①

IAB|=Jl+Elx,-x21=&+、2加死―：+D=2②

124k2+1

I1IOf

又因?yàn)?到AB的距離d=—==3一=1所以匕2=公+1③

V17FIABI

③代入②并整理，得4左4_4女2+1=0

I3

解得，k2=-,b2=-,代入①式檢驗(yàn)，△>()

22

故直線AB的方程是

V2V6..V2V6..V2V6..V246

y=——x+——或y=——x----或y=----x+——或y=----x-----

22222222

22

8已知橢圓G.——+=l(a>b>0)的左.右焦點(diǎn)為Fi、F”離心率為e.直線，/:y

crb

=e*+a與*軸.y軸分別交于點(diǎn)4、B、"是直線/與橢圓。的一個(gè)公共點(diǎn)，戶是點(diǎn)先關(guān)于

直線/的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)俞=入薪.

(I)證明：入=1-

3

(H)若4=—,△姐區(qū)的周長為6;寫出橢圓。的方程；(理科無此問)

4

(in)確定入的值，使得△陽月是等腰三角形.

(I)證法一：因?yàn)?夕分別是直線/:丁二夕+〃與1軸、y軸的交點(diǎn)，所以4、B

y=ex+a,x=-c,______

的坐標(biāo)分別是(一@,0),(0,a)由x2y2逑薩這里c=Vo2+b2.

eF+不=1，y=

la-b~l

b23

所以點(diǎn)〃的坐標(biāo)是（-c,—）.由而=2ABW(-c+)=A(-,a).

aa

ada

---c-/t一

即＜解得幾=1—.

、a

31

(n)當(dāng)2=—時(shí)，c=—,所以a—2c.由△始月的周長為6,得2a+2c=6.

42

22

所以a=2,c=I,/?2—a1—c~-3.橢圓方程為土+匕=1.

43

(ID)因?yàn)镻F\L1,所以/冏6=90°+N皿月為鈍角，要使△陽月為等腰三角形,

必有I陽1=1凡RI,即glPKl=c.

設(shè)點(diǎn)火到/的距離為"，由glPKI=d=Ie(-c)+0+。I\a-ec\

,二c,

Vl+e2l+e2

212

得==e,所以e?=—，于是4=1—e2=—

P233

2

即當(dāng)4=—時(shí)，△陽區(qū)為等腰三角形.

3

x2y1

9如圖，橢圓Q:——+=1（。＞/?＞0）的右焦點(diǎn)為F（c,0），過點(diǎn)尸的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F

,a~

轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于A、8兩點(diǎn)，P為線段A8的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)尸的軌跡”的方程；

（2）若在Q的方程中，令/=1+cos6+sin0,b2=sin6（0v，＜］）?確定，的值，使

原點(diǎn)距橢圓。的右準(zhǔn)線/最遠(yuǎn).此時(shí)設(shè)/與X軸交點(diǎn)為O,當(dāng)直線機(jī)繞點(diǎn)尸轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置

時(shí),三角形A8O的面積最大?

解：如圖

22

⑴設(shè)橢圓。：5+4=1上的點(diǎn)&X1%）、3（々當(dāng)），又設(shè)2點(diǎn)坐標(biāo)為「（蒼》），則

a"h"

xf+a2y^^a2b2............①

'x[+a2y^^a2b2............②

1°當(dāng)A8不垂直x軸時(shí)，x,x2,

由①一②得

21

b(xt-x2)2x+a(yl-y2)2y=0,

,X一%二『X二y

Xj-x2ayx-c

:,b2x2+〃2y2-b2cx=O,........(*)

2。當(dāng)48垂直于大軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)尸，滿足方程(*).

故所求點(diǎn)尸的軌跡”的方程為：h2x2+a2y2-h2cx=O.

⑵因?yàn)?，橢圓。右準(zhǔn)線/方程是》=幺，原點(diǎn)距橢圓。的右準(zhǔn)線/的距離為上,

由于=/-》2,Q2=i+cosO+sin。,/=sin(9(0<^<—).

2

m,,a2l+sinO+cos。>.￡"、

則一=——1-=2sin(-+—).

cJl+cos。24

jrrr

當(dāng)e=萬時(shí),上式達(dá)到最大值,所以當(dāng)。=彳時(shí),原點(diǎn)距橢圓。的右準(zhǔn)線/最遠(yuǎn).

此時(shí)a2=2,62=],C=I,O(2,O),|OF|=I.

22

設(shè)橢圓。：5+亍=1上的點(diǎn)4(石))、B(x2y2),

△A8O的面積+

22

設(shè)直線機(jī)的方程為x=6+l,代入三+乙之中，得(2+%2)>2+26—1=0.

2k1

由韋達(dá)定理得,+--五式.=一.'

,_.8傳+1)

4s“=(必-%廠=(弘+%)-4%%=7\一

一+2)

Qf

令f=r+121,得4s24—=2,當(dāng)f=l,k=0取等號(hào).

At

因此，當(dāng)直線用繞點(diǎn)/轉(zhuǎn)動(dòng)到垂直x軸位置時(shí)，三角形的面積最大.

9.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線產(chǎn)產(chǎn)1與橢圓相交于點(diǎn)尸和點(diǎn)Q,

且0P上0Q,1%1=巫，求橢圓方程.

2

2QQ2

橢圓方程為二+士了=1或士，-=1.

2222

x2x2

10設(shè)A9分別為橢圓j+r=l(a,b>0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距,

a'b2'''

且》=4為它的右準(zhǔn)線。

(I)求橢圓的方程；

(II)設(shè)尸為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn)，若直線/尸、的分別與橢圓相交

于異于/、B的點(diǎn)、M、N,證明點(diǎn)方在以也V為直徑的圓內(nèi)。

a=2c

解(I)依題意得，“2a=2

解得從而b-yfi

—=4c-1

故橢圓方程為二+二=1

43

(II)解法1：由(I)得4—2,0),6(2,0),設(shè)%)

3

"點(diǎn)在橢圓上，.二蘇二—(4—x；)①又M點(diǎn)異于頂點(diǎn)4、B、：.—2<X。<2

由久/、”三點(diǎn)共線可得P(4,國-)從而而'=(4—2,穌),麗=(2,3」)

x0+2x0+2

---—"6y3297

J.8P=2x0—4+^^=-----(片―4+3yj)②

x0+2x0+2

將①式代入②式化簡(jiǎn)得麻MP=|(2-x0)

?.?2—%>0,.?.麗麗>0.于是NMBP為銳角，從而NM3N為鈍角，

故點(diǎn)5在以削為直徑的圓內(nèi).

22

10設(shè)￡、居分別是橢圓］+譽(yù)=1的左、右焦點(diǎn).

(I)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求麗?西的最大值和最小值；

(II)是否存在過點(diǎn)A(5,0)的直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D,使得|F￡|=|FJ)|?

若存在，求直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：(I)易知。=石為=2,。=1,，工=(—1,0),吊(1,0)

設(shè)P(x,y),則麗?麗=(-l-x,-y>(l-x,-y)=x2+y2-i

41o

x02+4——x02-l=-x2+3

55

,/xG[-V5,V51,

.?.當(dāng)x=0,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，麗?麗有最小值3;

當(dāng)工=±百，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，麗?所有最大值4

(n)假設(shè)存在滿足條件的直線/易知點(diǎn)A(5,0)在橢圓的外部，當(dāng)直線/的斜率不

存在時(shí)，直線/與橢圓無交點(diǎn)，所在直線/斜率存在，設(shè)為k

直線/的方程為y=k(x-5)

(22

二+匕=1

由方程組《54一，得(5公+4)》2一50女2工+125左2—20=0

y=k(x-5)

依題意A=20(16—8O/)>o,得一

當(dāng)一[■<&<乎時(shí),設(shè)交點(diǎn)C(M，y)、D(x2,y2),CD的中點(diǎn)為R(xo，yo),

50k2x,+x25k2

貝IM+x,=--——,x=———2-=--——

125k2+4°025k2+4

,,u、“25k2-20k

??y()-k(X。15)=K(~5)~~.

°05/+45/+4

又IF2c|=舊口|0尸2夫，/0人%居/?=T

.k.k.k—5.+4)_20k2.

修?25k2_4-20k2-

/.20k2=20k2-4,而20k2=201-4不成立，所以不存在直線/,使得IF2c|=|FzD|

綜上所述，不存在直線八使得|F￡|=|F?D|

11已知圓例：(x+石產(chǎn)+產(chǎn)=36,定點(diǎn)N(五,0),點(diǎn)尸為圓〃上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，

點(diǎn)G在MP上，且滿足標(biāo)=2而，詼?而=0.

(I)求點(diǎn)G的軌跡C的方程；

(II)過點(diǎn)(2,0)作直線/,與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)麗=3+5瓦

是否存在這樣的直線/,使四邊形OASB的對(duì)角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在,

求出直線/的方程；若不存在，試說明理由.

解：(1)_._,b=>Q為PN的中點(diǎn)且GQJLPN

GQPN=0

=>GQ為PN的中垂線n|PG|=|GN|

|GN|+|GM|=|MP|=6,故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長半軸長。=3,半

22

焦距c=石，..?短半軸長b=2,.?.點(diǎn)G的軌跡方程是二+竺=1

94

(2)因?yàn)?。S=OA+OB,所以四邊形OASB為平行四邊形

若存在/使得I歷1=1而I,則四邊形OASB為矩形.?.萬^麗=0

[x=2x=2

若/的斜率不存在，直線/的方程為戶2,由J22得,

L+匕=1y=±攣

I94

,.16..

.?.04。3=—〉0,與04。8=0矛盾，故/的斜率存在.

9

設(shè)/的方程為y=k(x-2),A(xt,y,),B(x2,y2)

y=k(x-2)

2

曲r22n(%2+4)x2—36/x+36(A：-1)=0

—+^=1

I94

36k236()12-1)

x+x-----------=-----------------------①

]29k2+4129k2+4

月為=伙(王一2)]伙(%一2)]

20k2

=k'[xx-2(X]+x)+4]

}229k°+4

,3

把①、②代入X1%2+%乃=0得&=±—

?,?存在直線/:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對(duì)角線相等.

12已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線尸L，的焦點(diǎn),

4

離心率等于述.

5

(1)求橢圓C的方程;

（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線/交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交了軸于M點(diǎn)，若忌=入

iAF,MBfzBF,求證入1+入2為定值.

解：（I）設(shè)橢圓C的方程為「+二=1（。＞匕〉0）,則由題意知5=1.

ab

x、

，橢圓C的方程為---Fy"=1.

5

（II）方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（X],yJ,6（X2，y2），M（°，yo）-

易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）.

7

MA=4A/,（七,yt-y0）=/,（2-x1，一月）.

22.）'o

X]...................8分

1+41+4

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得[（m_）2+（』_）2=i.

51+41+4

去分母整理得升+104+5-5君=0.

同理，由贏=久而可得：用+104+5-54=0.

.-.4,%是方程/+10X+5-5y：=0的兩個(gè)根，

4+4=~io.

13、已知橢圓W的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為Y5,兩條準(zhǔn)線間的距離為

3

6.橢圓W的左焦點(diǎn)為尸，過左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)M任作一條斜率不為零的直線/與橢圓W

交于不同的兩點(diǎn)A、8,點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C.

(I)求橢圓W的方程；

(n)求證：CF=XFB(2eR);

(ID)求AM8C面積S的最大值.

22

解：(I)設(shè)橢圓W的方程為--+—Y=1，由題意可知

ab~

Y~V

所以橢圓W的方程為--1---=1.

62

2

(11)解法1：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為x=——=-3,所以點(diǎn)“坐標(biāo)為(-3,0).于是可設(shè)直線

c

/的方程為y=k(x+3).

'y=k(x+3),

<丫22得(1+3攵2)/+18女2%+27女2-6=0.

一+工=1

I62

由直線/與橢圓W交于A、8兩點(diǎn)，可知

2

△=(18&2)2-4(1+3廿)(27%2_6)〉0,解得女2<].

設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(須,%)，(x2,%)，

-18Px,x=21k~~6,弘=攵(石+3),>2=%(々+3).

則王+x2

2l+3k21+3A~

因?yàn)槭?一2,0),。(七,一弘)，

所以FC=(x]+2,—%)，F(xiàn)B=(x2+2,y2).

又因?yàn)?為+2)%-(2+2)(-%)

=(X)+2)k(x2+3)+(x2+2)k(x1+3)

=k[2x]x2+5(王+X2)4-12]

54^—12-90k2

k[---------------9-------------------------.+12]

1+3/1+34

女(54女2-12—90k2+12+36^2)

=---------------7-----------=。,

1+3/

所以而=4萬.

2

解法2：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為x=——=一3,所以點(diǎn)M坐標(biāo)為(一3,0).

c

于是可設(shè)直線/的方程為y=Mx+3),點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(X|,y),(x2,y2),

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(演,一耳)，X=女(占+3),y2=k(x2+3).

由橢圓的第二定義可得

+

\FB\_-^2_Iy21

IFCTx,+3~7y^\'

所以B,F,。三點(diǎn)共線，即醞=彳麗.

(ID)由題意知

S=^\MF\\yx\+^\MF\\y2\

=；IM/7I?I必+為?

=glk(F+々)+6左I

3Ml3,3&

=------=----------——————,

1+3公工+3映「262

\k\

當(dāng)且僅當(dāng)左2=_L時(shí)"=”成立，

3

所以AMBC面積S的最大值為手.

14已知定圓A:(x+l/+>2=16,圓心為4,動(dòng)圓〃過點(diǎn)5(1,0)且和圓/相切，動(dòng)圓的圓

心〃的軌跡記為C.

(I)求曲線C的方程；

(II)若點(diǎn)?(與,打)為曲線。上一點(diǎn)，求證：直線/:34》+4凡〉—12=0與曲線C

有且只有一個(gè)交點(diǎn).

解：(I)圓A的圓心為A(—1,0),半徑八=4,

設(shè)動(dòng)圓M的圓心M(x,y),半徑為公依題意有,弓TM8L

由|AB|=2,可知點(diǎn)B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A,

故|MA|=h—即|MA|+|MB|=4,

所以，點(diǎn)M的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓，

22

設(shè)橢圓方程為二"+4=1,由2a=4,2c=2,可得a?=4,/=3.

ab~

x~y2

故曲線C的方程為——+乙=1.

43

(II)當(dāng)兒=0時(shí)，由?■+段=1，可得X。=±2,

當(dāng)X。=2,"=0時(shí)，直線/的方程為X。=2,

直線/與曲線。有且只有一個(gè)交點(diǎn)(2,0).

當(dāng)/=-2,汽=。時(shí)，直線/的方程為/=-2,

直線/與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)(-2,0).

當(dāng)w0時(shí)，直線/的方程為y=12—3”

4yo

12-3xox

y=~r—，

聯(lián)立方程組：

2

消去力得(4y；+3x^)x-24xox+48-16^=0.①

由點(diǎn)P(x(),九)為曲線C上一點(diǎn)，

得?+[=1.可得4y；+3x；=12.

2

于是方程①可以化簡(jiǎn)為x-2XQX+x；=0.解得x=x0,

將X=/代入方程^=123x°x可得y=方，

4yo

故直線/與曲線C有且有一個(gè)交點(diǎn)尸(4,y0)，

綜上，直線/與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為「(與，九).

15在平面直角坐標(biāo)系x曲中，已知點(diǎn)/（-I,0）、5（1,0）,動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：的周

長為2+272.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.

（I）求〃的方程；

（II）經(jīng)過點(diǎn)（0,地）且斜率為1?的直線/與曲線"有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,

求4的取值范圍；

（in）已知點(diǎn)〃（/，0）,〃（0,1）,在（H）的條件下，是否存在常數(shù)￡使得向

量麗+麗與麗共線？如果存在，求出發(fā)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

解：（I）設(shè)C（局y）,

\AC\+\BC\+\AB\=2+2>/2,\AB\=2,

|AC|+|BC|=2^2>2,

由定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以“、方為焦點(diǎn)，長軸長為2班的橢圓除去與x

軸的兩個(gè)交點(diǎn).

a=>/2,c=l-**?b2=a2—c2=1.

2

???%—+y=i（ywO）.

2

（n）設(shè)直線/的方程為y=H+VL代入橢圓方程，得E+（"+后）2=].

2

整理，得（；+公求2+2亞x+i=o.①…

因?yàn)橹本€/與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)產(chǎn)和。等價(jià)于

△=8公一4（3+左2）=4女2一2>0，解得攵<一等或七〉等.

「?滿足條件的左的取值范圍為k晨-8,---）U（-^-,+°o）

（m）設(shè)尸（汨,￥）,。（島j2）,則OP+OQ=（汨+E,乃+%）,

由①得%+%=-冬絲?②

1-l+2k2

又X+丫2=k（Xi+*2）+2近③

因?yàn)镸（及，0）,N（O,1）,所以麗=（-a,1）.

所以O(shè)P+OQ^lMN共線等價(jià)于占+%=-逝（兇+X）?

將②③代入上式，解得k=YL

2

所以不存在常數(shù)A使得向量加與營而共線.

16、已知定點(diǎn)C(—1,0)及橢圓》2+3y2=5,過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于4B兩點(diǎn)、.

(I)若線段A8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-L,求直線A3的方程；

2

(n)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使雨?麻為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

(I)解：依題意，直線48的斜率存在，設(shè)直線48的方程為y=Z(x+l),

將y=k(x+1)代入x?+3y2=5,

消去y整理得(3k2+i)x2+6k2x+3k2-5=0.

△=36/一4(3%2+1)(3/-5)>0,(1)

2

設(shè)A(X1,3),B(X2,y2),則<6k

%,+x,=-----：—.(2)

I123k2+\

由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-！，得五土&=--=一1,

223公+12

解得女=±2，適合⑴.

所以直線48的方程為x-V3y+l=0,或x+&y+l=0.

(II)解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0),使而?麗為常數(shù).

①當(dāng)直線A8與x軸不垂直時(shí)，

2

.,T、，6k23k-5八、

由(I)知M+M=---——，=------.(3)

'-3k2+1123A2+1

所以MA-MB-(x}-m)(x2一6)+y%=(占一機(jī)乂々一小)+攵2(芭+l)(x2+1)

—(42++(E—m)(玉+x,)+.

zr24-----)9K-r1)—-------

將⑶代入，整理得赤廊二n7"