2022高3統(tǒng)考數(shù)學(xué)文北師大版1輪教師文檔：第6章 含答案

第六章

DILIUZHANG

不等式、推理與證明

第一節(jié)不等式的性質(zhì)及一元二次不等式

回顧教材-夯實(shí)基礎(chǔ)課本溫故追根求說

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第103頁

I基礎(chǔ)梳理]

1.不等式的基本性質(zhì)

⑴對(duì)稱性：a>bob<a.

(2)傳遞性：a>b,b>c=>a>c.

(3)可加性：c>b+c.

(4)可乘性：a>b,c>gac>bc：

a>b,c<0^>ac<bc.

(5)加法法則：a>b,c>doa+c>b+d.

(6)乘法法則：a>b>0,c>d>gac>bd.

(7)乘方法則：。乂>0=在打(〃￡N,鹿21).

(8)開方法則：樂>領(lǐng)(〃￡N,〃22).

2.不等式的倒數(shù)性質(zhì)

⑴a>b,ab>0=：<*

(2)a<0<b=5<*.

ab

(3)a>b>0,

3.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)

(1)?—b>O^a>b.

Q)a—b=0=a三b.

(3)a~b<0<^a<b.

有兩個(gè)相等實(shí)根即=

一元二次方程以2+bx有兩個(gè)相異實(shí)根汨，沒有實(shí)數(shù)

b

+c=0(?0)的根X2(X]<X2)及二一五根

ajr+bx+c>0(?>0)的

[x|x<Xl或l}R

解集

cue+bx+c<0(a>0)的

(■r|Xl<￥<X2l00

解集

“知識(shí)拓展提升思維能力

1.兩個(gè)重要不等式

若a>b>0,m>0,則

bb>b-m

⑴片(b—fn>0).

aa-m

aa-rinaa—tn

⑵戶訐蕭b^b—m(Z?—???>0).

2.一元二次不等式的解法技巧

求不等式加+云+。>0(〃>0)的解集，先求出對(duì)應(yīng)方程以2+飯+C=0(〃>0)的

根，再根據(jù)口訣：大于取兩邊，小于取中間求解集.

3.分式不等式的轉(zhuǎn)化

g(彳)>。？彳>g(x)>0；

fG)、J/(X).g(%)20

g(x)lgG)WO

f(x)(X)，g(%)WO

gG)[g(x)WO

［四基自測］

1.(易錯(cuò)點(diǎn)：不等式性質(zhì))下列四個(gè)結(jié)論，正確的是()

?a>b，c<d=a—c>b—d；?a>b>0,c<d<O=^ac>bd；③〃>b>0=y[a>y[b；

A.①@B.②③

C.@@D.①③

答案：D

2.(基礎(chǔ)點(diǎn)：解不等式)不等式M9—x)<0的解集為()

A.(0,9)

B.(9,+8)

C.(一8,())

D.(-8,0)U(9,+8)

答案：D

3.(基礎(chǔ)點(diǎn)：三個(gè)二次間的關(guān)系)若函數(shù)￥=y"標(biāo)一(1—6)x+6的定義域?yàn)镽,

則m的取值范圍是_______.

答案：6，+8)

x+1x<0

4.(基礎(chǔ)點(diǎn):解函數(shù)不等式)設(shè)於尸，，則於)濘的解集為________.

1^7X>0n

答案：{0}U［l,+8)

考點(diǎn)分類-深度剖析名，幣導(dǎo)借以例示法

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第104頁

考點(diǎn)一比較大小及不等式性質(zhì)

挖掘1作差法(作商法)比較大小/自主練透

［例1］(1)已知〃>0,且4工1,m=acr+\,n=aa^\貝lj()

A.tn^nB.m>n

C.m<nD.

［解析］由題易知加>0,n>0,兩式作商，得：=〃(/+1)—(〃+1)=小"一"，當(dāng)。>1

時(shí)，a(a—\)>0f所以小。一|)>〃°=1,即加>〃;當(dāng)0<。<1時(shí)，a(a—1)<0,所以

aa(a~i)>cfi=1,即機(jī)>〃.綜上，對(duì)任意的a>0,1,都有機(jī)>九

［答案］B

(2)已知〃>0,比>0,月.則()

A.ab~\-\>a~\-bB.a3-}-b3>a2b-{-ab2

C.2a3b>3a2bD.cflbh<abba

［解析］選項(xiàng)A(作差法)，ab+1—(a-\-b)=ab—a~\-(\—b)=a(b-1)+(1—/?)=(?

—1)(。-1),

顯然當(dāng)a,b中有一個(gè)等于1時(shí)，(a—1)(/?—1)=0,即ab-\~1=a~\~b\故選項(xiàng)A

不正確.

選項(xiàng)B(作差法)，+/?3—(c^b4-ab2)=(?3—c^b)+(b3—ah2)=c?(a—/?)+Z?2(Z?-d)

=(a2-b2)(a-b)=(a—^(a+b).

332

因?yàn)?t>0,b>0f。手b,所以Q+Z?>0,(〃-b)2>0,故(〃一份2(〃+匕)>0,即a-^b>ab

1

+abf故選項(xiàng)B正確.

［答案］B

［破題技法］作差法適用于四則運(yùn)算形式的整式型代數(shù)式的比較大小問題，是解

決比較大小問題的基本方法；作商法適用于某指數(shù)形式的代教式以及整式的比較

大小問題.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)作差(商)，即根據(jù)兩數(shù)或兩式的結(jié)構(gòu)特征確定作差或作商.

⑵變形，即把差式或商式進(jìn)行等價(jià)變形，化簡，以便于判斷差或商的大小.

(3)定值，即判斷差與0的大小，或商與1的大小.

(4)定號(hào)，即根據(jù)差與0的大小關(guān)系，或商與1的大小關(guān)系確定兩數(shù)或兩式的大

小關(guān)系.

挖掘2利用不等式性質(zhì)比較大小/自主練透

［1502］⑴已知x>y>z,x+y+z=0,則下列不等式成立的是()

A.xy>yzB.xz>yz

C.xy>xzD.xfy\>zfy\

［解析］因?yàn)閤>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,所以x>0,又)>z,所以

xy>xzf故選C.

［答案］C

h

(2)(2020?福建廈門一模)已知a>b>0,x=a+加y=b+ae°,z=b+aet貝U()

A.x<z<yB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

［解析］法一：由題意，令。=2,Z?=l,則x=2+e,y=l+2e2,z=l+2e,顯

然有l(wèi)+2e2>l+2e>2+e,即xVzVy.

aabb

法二：時(shí)，e>e\：.ae>ae>bef

；.b+ae">b+a』>b+b』,；?y>z,Vz—x=(Z?-a)+(a-Z?)ez,=(a-b)(^—1)>

0,/.z>x,.??x〈zVy.故選A.

［答案］A

［破題技法］不等式的性質(zhì)法就是根據(jù)已知不等關(guān)系，確定已知不等關(guān)系向所比

較代數(shù)式轉(zhuǎn)化的過程，然后利用不等式的性質(zhì)判斷代數(shù)式大小的一種方法,適用

于基本初等函數(shù)代數(shù)式的比較大小問題.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：

⑴明已知，明確已知的不等關(guān)系.

(2)定變形，確定由已知不等關(guān)系變?yōu)橐容^大小的代數(shù)式的過程.

(3)尋性質(zhì)，確定變化過程所使用的不等式的性質(zhì).

(4)得結(jié)果，正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷兩者的大小關(guān)系.

挖掘3構(gòu)造函數(shù)法比較大小/互動(dòng)探究

［1503］(1)(2019?高考全國卷H)若則()

A.ln(67-Z?)>0B.3yb

C.〃一分>oD.\a\>\b\

［解析］法一：不妨設(shè)。=-1,b=-2r則。>6,可驗(yàn)證A,B,D錯(cuò)誤，只有

C正確.

法二：由?！怠?，得。一人>0.但。一人>1不一定成立，則ln(a—8)>0不一定成立,

故A不一定成立.

(1b

因?yàn)?，=3、在R上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，3>3f故B不成立.

因?yàn)閥=/在R上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，/>護(hù)，即爐一夕〉。，故c成立.

因?yàn)楫?dāng)〃=3,匕=一6時(shí)，a>b,但⑷〈⑸，所以D不一定成立.故選C.

［答案］C

(2)(2018?高考全國卷HI)設(shè)。=logo.20.3,b=\og20.3,則()

A.a+b<ab<0B.ab<a~\-b<0

C.a+bVOVabD.ab<O<a~\~b

［解析］?,Z=k)go.2O.3>k)go.21=O,/?=log20.3<log21=0,：,ab<0.

a+b11

V-^-=~+^=logo.30.2+logo”=logo.sO.4,

???1=logo.30.3>logo30.4>logc.31=0,

a~\~b

A0<—7-<l,：.ab<a+b<0.

ab

故選B.

［答案］B

［破題技法］將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得

出大小關(guān)家.

考點(diǎn)二一元二次不等式的解法

挖掘1解簡單的一元二次不等式/自主練透

［例1］不等式一d—3x+4>0的解集為.(用區(qū)間表示)

［解析］—f—3x+4>0=(x+4)(x—1)<0.

如圖，作出函數(shù)y=(x+4)(%—1)的圖像，

，當(dāng)一4a<1時(shí)，><0.

I答案］(-4,1)

［破題技法］一元二次不等式的解集可依據(jù)一元二次方程的根及一元二次函數(shù)

圖像求得，

當(dāng)蘇+法+。=0有兩根XI、X2時(shí)，

加+bx+c>o(〃>o)的解集是“兩根之外”型，

加+云+°<03>0)的解集是“兩根之內(nèi)”型.

X變式訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)變能力

1.將本例的不等式改為“一/-3x+4W0”,其解集為.

解析：由一f—3%+4W0得f+3x—420,

即(x+4)(x-l)20,???x21或xW—4.

答案：(-8,-4］U［1,+8)

2.將本例的不等式變?yōu)椤?x+4>0"，其解集為.

解析：令y=f—3x+4,3)2—4X4<0,y>0恒成立.AxeR.

答案：R

挖掘2解含參數(shù)的不等式/互動(dòng)探究

［例2］解不等式f一4奴一5於>0(〃工0).

［解析］由4or—5*>0,

知(x—5a)(x+a)>0.

由于oWO,故分。>0與〃<0討論.

當(dāng)a<0時(shí)，x<5a或x>—a;

當(dāng)a>0時(shí)，元<一〃或x>5a.

綜上，。<0時(shí)，解集為{小<54或x>一〃};

a>0時(shí)，解集為{x|x>5a或x<-a}.

［破題技法］對(duì)含參數(shù)的一元二次不等式，也要按此原理討論

方法解讀適合題型

化為"O^+ZZX+CAO"(a>0)的形式，求方程不含參數(shù)的

“二次關(guān)系

加+bx+c=0的根，結(jié)合圖像，寫出解集“大一元二次不

數(shù)形結(jié)合”

于取兩邊，小于取中間”等式

①二次項(xiàng)中的系數(shù)含參數(shù)，討論等于0,小于

0,大于0；含參數(shù)的不

討論參數(shù)法

②方程根個(gè)數(shù)不定，討論/與0的關(guān)系；等式

③根的大小不定時(shí)，討論兩根大小

，變式訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)變能力

此題變?yōu)椋呵蠼獠坏仁郊右患?jí)+珊》。.

(CLX-1)2

解析：顯然“W0,?,?不等式變?yōu)椤?——20,

工當(dāng)。>0時(shí)，xeR,

當(dāng)a<0時(shí)，x=~

挖掘3已知不等式的解集求參數(shù)/互動(dòng)探究

［例3］(1)(2020?河南濮陽模擬)已知不等式o?+bx+OO的解集是3aVxV

^}(?>0),則不等式cf+隊(duì)+〃V0的解集是()

1111,

A.(『-)B.(-8,臚(7+8)

C.{x|a<x<^}D.(—8,a)U(￡,+8)

［解析］不等式加+云+。>0的解集是{x|aVxV.}(a>0),則a,4是一元二次

bc

方程ar2+Z?x+r=0的實(shí)數(shù),根，且4V0,：.oA~B=-1不等式cx^A-bx

cb

化為

+QV0-af+ra+l>0,

???0^^—3+￡)4+1>0,化為(ax—1)儂-1)>0,又OVaVQ,???不

等式cf+bx+oVO的解集為卜卜或故選B.

［答案］B

(2)(2020.廣東梅州模擬)關(guān)于j的不等式I—(〃z+2)x+2mV0的解集中恰有3個(gè)

正整數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(5,6］B.(5,6)

C.(2,3］D.(2,3)

［解析］關(guān)于x的不等式x2—(，%+2)x+2/wV0可化為(x—m)Q—2)V0,,?,該不等

式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，，不等式的解集為{x|2VxVm},且5V%W6,即

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(5,6］.故選A.

［答案］A

一同源異考重在觸類旁通

已知不等式加+法+c>0的解集為總，3),則不等式cf+法+。<0的解集為

解析：由題意得x=T，3是方程加+bx+c=0的兩根,

73

??b=一呼,。=呼(〃<0),.?.cf+bx+oVO,即為3f—7x+2>0得x>2或xV

1

3,

答案：(一8,1)U(2,+8)

考點(diǎn)三不等式恒成立問題

挖掘1在R上恒成立問題/自主練透

［例1］不等式。2+8。23乃（〃十。）對(duì)于任意的〃，恒成立，則實(shí)數(shù)2的取值

范圍為.

［解析］因?yàn)?+初2%（〃+/?）對(duì)于任意的a"￡R恒成立，所以〃?+8/一次々

+8）20恒成立，即/一勸a+（8—乃/20恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得A

=/加+4（2—8）從=戶（萬+42—32）忘0,所以?+8）a-4）W0,解得一8W2W4.

［答案］［-8,4］

［破題技法］不等式恒成立常見題型：

（4=0,

4>0,

（l）o?+bx+c20a￡R）恒成立,即:1C?或〈6=0,

/W0

、c20.

（a=0,

-Y0,

（2）Q『+bx+cW0（x￡R）怛成立，即彳或《力=0,

NWO,

〔cWO.

L同源異考重在觸類旁通

（2020.湖南湘潭聯(lián)考）若不等式4f+以+4>0的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是（）

A.（-16,0）B.（-16,0］

C.（一8,0）D.（-8,8）

解析：???不等式4f+or+4>0的解集為R,

???/=〃2—4X4X4V0,解得一8V〃V8,J實(shí)數(shù)。的取值范圍是（一8,8）.故選

D.

答案：D

挖掘2在給定x的區(qū)間上恒成立問題/互動(dòng)探究

［1502］⑴（2020?鄭州調(diào)研）若不等式/+以+120對(duì)一切x￡（0,義都成立，則。

的最小值是________.

［解析］法一：由于Q0,則由已知可得一1一（在x《（0,￡上恒成立，而當(dāng)

聞0,時(shí)，（―x—%x=V

故々的最小值為一方.

法二：設(shè)KOnf+or+l,則其對(duì)稱軸為x=-/

①若一/當(dāng)即時(shí)，危）在（0,3上單調(diào)遞減，此時(shí)應(yīng)有娟20,從而一

-1.

②若一表0,即〃>0時(shí)，y（x）在（o,；上單調(diào)遞增，此時(shí)應(yīng)有40）=1>0恒成立，

故。>0.

③若ow—即一lv〃W0時(shí)，則應(yīng)有彳-3=?一5+1=1—qNO恒成立,

故一lva《0.

綜上，〃的最小值為一|.

［答案］-1

(2)已知於ju/nr2-/nr—1,若對(duì)于工￡［1,3］,y(x)V一加+5恒成立，則實(shí)數(shù)〃?

的取值范圍是.

［解析］由，加一mx—1V—川+5

得相。2—x+l)V6.

Vx2—x+1>0,

???mV、_：+］在［1,3］上恒成立.

,66

?y=f-r+l=

T)2+；

???/二0一百/+3在“，引上是增函教，

.,?4='_彳+］在［1,3］上是減函數(shù)?

因此函數(shù)的最小值ymin=￥

m的取值范圍是(—8,爭.

［答案］(一8,目

［破題技法］1.不等式成立常見題型

(l)f+mx+〃W0(x￡［a,句)恒成立，

(f(^)W0,

即「

1/⑹W0.

c(/(〃)20,

(2)—f如恒成立，即$,,八、八

f⑹NO.

2.二次不等式在給定x的區(qū)間上恒成立有兩種解法：

(1)分離參數(shù)法：即如果不等式中的參數(shù)比較“孤單”，分離后其系數(shù)與0能比

較大小，便可將參數(shù)分離出來，利用下面的結(jié)論求解.。2段)恒成立等價(jià)于

aey(X)max；恒成立等價(jià)于aW?r)min.

(2)討論法：將問題整理為二次不等式問題，討論軸與區(qū)間的關(guān)系，求參數(shù)范圍.

挖掘3給定參數(shù)范圍恒成立求未知數(shù)范圍/互動(dòng)探究

［例3］(1)對(duì)于任意?！辏邸?,1］,+(a—4)x+4—2a的值恒大于0,那么

x的取值范圍是.

［解析］令g(a)=f+(。-4)x+4—2a=(x—ZM+x2—4x+4,由題意知g(—1)>0

且g⑴>0,解得x<l或x>3.

［答案］(―8,［)u(3,+°°)

⑵不等式a^-2x-a+1<0對(duì)滿足同W1的一切實(shí)數(shù)a都成立，則實(shí)數(shù)x的取值

范圍是________

［解析］由得一iWaWl,不等式變形為（x2—1）。一（2x—1）VO,不等式可

y-i-(2X-D<o,

以看成關(guān)于。的一次函數(shù)，所以只需，

(X2-1)-(2x-l)<0,

f-ZvVO,

解得小一IVxVZ

—x2—2x+2V0,

［答案］（V§—L2）

［破題技法］給出參數(shù)范圍解不等式，采用反解“主元法”，將參數(shù)視作“主

元”，即將參數(shù)看作“自變量”的構(gòu)造函數(shù)，建立不等式.

第二節(jié)二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題

^^回顧教材-夯實(shí)基礎(chǔ)課本溫故追根來源

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第107頁

［基礎(chǔ)梳理］

1.二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

不等式表示區(qū)域

Ar+B)，+C>0直線小:+8y+C=0某一側(cè)不包括邊界直線

Ax+By+C20的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域包括邊界直線

不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分

2.線性規(guī)劃中的有關(guān)概念

名稱意義

約束條件由變量X,V組成的不等式（組）

線性約束條件由X,），的一次不等式組成的不等式（韁

目標(biāo)函數(shù)關(guān)于X,y的函數(shù)解析式,如z=x+2y

線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式

可行解滿足線性約束條件的解（x,y）

可行域所有可行觸組成的集合

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小

線性規(guī)劃問題

值問題

E知識(shí)拓展提升思維能力

確定二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的方法

確定二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域時(shí)，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定

域”的方法.

（1）直線定界，不等式含等號(hào)，直線在區(qū)域內(nèi)，不含等號(hào)，直線不在區(qū)域內(nèi).

（2）特殊點(diǎn)定域，在直線上方（下方）取一點(diǎn)，代人不等式成立，則區(qū)域就為上方（下

方），否則就是下方（上方）.特別地，當(dāng)CW0時(shí)，常把原點(diǎn)作為測試點(diǎn)；當(dāng)C=0

時(shí)，常選點(diǎn)（1,0）或者（0,1）作為測試點(diǎn).

（3）對(duì)于Ar+3），+O0的區(qū)域：

Ar

當(dāng)3>0時(shí)，化為y>一萬萬直線上方；

Ar

當(dāng)BVO時(shí)，化為）Y一萬r—下，直線下方.

［四基自測］

答案：C

華+5），28,

2.（基礎(chǔ)點(diǎn)：線性目標(biāo)函數(shù)最值）若變量x,y滿足約束條件J1則z=

3x+2y的最小值為（）

31,

A.丁B.6

23

C.yD.4

答案：C

3.（基礎(chǔ)點(diǎn)：線性目標(biāo)函數(shù)最值）（2018?高考全國卷I）若x,y滿足約束條件

x-2y-2^0,

<x—y+120,則z=3x+2y的最大值為.

答案：6

卜20,

4.（基礎(chǔ)點(diǎn)：平面區(qū)域面積）不等式組Jx+3y24,所表示的平面區(qū)域的面積等于

13/+戶4

宏享.-

u來.3

^■_考點(diǎn)分類-深度剖析名帥導(dǎo)悟以例示法

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第107頁

考點(diǎn)一平面區(qū)域及面積問題

挖掘求區(qū)域面積或參數(shù)/自主練透

3+廠6?0,

［例］（1）（2020?濟(jì)南模擬）不等式組｛x+y-320,表示的平面區(qū)域的面積為

（）

A.4B.1

C.5D.無窮大

(2x+y-6,0,

［解析］不等式組*+廠320,表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，AABC

〔戶2

的面積即為所求.求出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(1,2),(2,2),(3,0),則△A3C

的面積為S=1x(2-l)X2=l.

I答案］B

x+y—3W0,

⑵若函數(shù)y=2”圖像上存在點(diǎn)(x,y)滿足約束條件《人一2y—3W0,則實(shí)數(shù)機(jī)的最

大值為()

A.gB.1

3

D.2

x+y—3W0,

［解析］在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù))，=2、的圖像及一所表示的平

X—2y—3W0

面區(qū)域，如圖陰影部分所示.

由圖可知，當(dāng)時(shí)，

函數(shù)y=2'的圖像上存在點(diǎn)(x,y)滿足約束條件，

故nt的最大值為1.

［答案］B

產(chǎn)，

⑶已知不等式組3y24,所表示的平面區(qū)域的面積被直線),=丘+之分為

［3x+yW4

2：1兩部分，則k的值是.

由于直線過定點(diǎn)（0,3.因此只有直線過A8的三等分點(diǎn)時(shí)，直線y=Ax

4

+§能把平面區(qū)域分為2：1兩部分.

因?yàn)?（1,1）,B（0,4）,所以4B靠近A的三等分點(diǎn)為修，2）,靠近B的三等分

點(diǎn)為&3）,當(dāng)y=依+,過點(diǎn)停，2）時(shí)，2=1,當(dāng)），=氣+狂點(diǎn)由3）時(shí)，2=5.

［答案］1或5

［破題技法］求平面區(qū)域的面積

（1）首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條

件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從訛作出平面區(qū)域.

（2）對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形（如平行

四邊形或梯形），可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)

三角形分別求解再求和即可.

⑶利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方

法去求解.

考點(diǎn)二線性規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)最值問題

挖掘1不含參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)最值/自主練透

2x+3y—620,

［例1］⑴（2019?高考全國卷II）若變量居y滿足約束條件”+廠3W0,則z

、），一2<0,

=3x—y的最大值是.

I解析］作出已知約束條件對(duì)應(yīng)的可行域（圖中陰影部分），由圖易知，當(dāng)直線y

=3x—z過點(diǎn)C時(shí)，一z最小，即z最大.

即C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),故Zmax=3X3-0=9.

［答案］9

%+2廠520,

（2）（2018?高考全國卷H）若羽y滿足約束條件?<x—2y+320,則z=x+y的最大

j—5W0,

值為.

［解析］由不等式組畫出可行域，如圖（陰影部分），x+y取得最大值=斜率為一

1的直線x+y=z（z看作常數(shù)）的橫截距最大，

由圖可得直線x+y=z過點(diǎn)C時(shí)z取得最大值.

1=5

由'卜2；，+3=。得點(diǎn)8,4），

??Zmax=5+4=9.

［答案］9

j2x+y+320,

y滿足約束條件2y+420,則z=x+^y

（3）（2018?高考全國卷HI）若變量x,

L-2^0,

的最大值是.

［解析］畫出可行域如圖所示陰影部分，由z=x+）y得y=-3x+3z,作出直線

y=-3xf并平移該直線，當(dāng)直線y=-3x+3z過點(diǎn)AQ,3）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)2=冗+

上取得最大值為

［答案］3

［破題技法］求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的

頂點(diǎn)或邊界處取得，所以直接解出可行域的頂點(diǎn)，將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)

的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值.

挖掘2含參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)問題/互動(dòng)探究

產(chǎn)十代0,

［例2］(1)變量x,y滿足約束條件Jx—2y+220,若z=2r—y的最大值為2,

yWO.

則實(shí)數(shù)機(jī)等于()

A.-2B.-1

C.1D.2

［解析］如圖所示，當(dāng)mWO時(shí)，比如在①的位置，此時(shí)為開放區(qū)域無最大值，

當(dāng)加＞2時(shí)，比如在②的位置，此時(shí)在原點(diǎn)取得最大值，不滿足題意，當(dāng)0＜加＜2

x—2y+2=0,

時(shí)，在點(diǎn)A取得最大值，所以彳=

ynx-y=0

(22m

4匕二T，茄刁，代入得m=L

［答案］C

(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足2y+220,若z=x一緲只在點(diǎn)(4,3)處取得最大值,

12x+yN2,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

卜一)W1,

［解析］法一：由不等式組?入-2)，+220,作出可行域如圖，

5-/

4-//^%-2y=-2

解得。(4,3).

當(dāng)。=0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)化為z=x,由圖可知，可行解(4,3)使z=x—ay取得最大

值，符合題意；

當(dāng)。>0時(shí)，由z=x—ay,得丁=7一此直線斜率大于0,當(dāng)在y軸上的截距

最小時(shí)，z最大，

要使可行解(4,3)為目標(biāo)函數(shù)z=x—ay取得最大值的唯一最優(yōu)解，則!>1,即0

<67<1,符合題意；

當(dāng)4Vo時(shí)，由Z=x—ay,得'=5一親此直線斜率為負(fù)值，當(dāng)在y軸上的截距

最大時(shí)，z最大，

要使可行解(4,3)為目標(biāo)函數(shù)z=x—ay取得最大值的唯一最優(yōu)解，則5V0,即。

<0.

綜上,買數(shù)。的取值范圍是(一8,1).

法二:作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，其中A(l,0),

，

W5),C(4,3),當(dāng)直線z=x—ay過點(diǎn)4時(shí)得zi=1;當(dāng)直線z=x—oy過點(diǎn)

26

§時(shí)，Z=--a

25-5當(dāng)直線z=x~ay過點(diǎn)C(4,3)時(shí)，Z3=4—3〃,由題可知

4一341,

26

4-345-科

［答案］(―8，1)

［破題技法］由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù).求解線性規(guī)劃中含參數(shù)問題的基本方法

有兩種：一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代

入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先

分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)

解的位置，從而求出參數(shù).

挖掘3非線性目標(biāo)函數(shù)的最值/互動(dòng)探究

「工一2y+4W0,

Iv+1

［例3］(1)(2020?河南鄭州一模)已知變量筋)，滿足"22,貝ij仁七的

L+y-6^0,

取值范圍是()

A.k＞］或右一5B.-5WRV］

C.—5WZ；D.2y或右一5

卜一2)，+4W0,

［解析］由約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示，其中

［x+y—620

4(2,4),左=v七+三1的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)P(3,—1)連線的斜

［解析］畫出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z=f+2x+V=

a+1)’十了一1,其幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(人，?)到定點(diǎn)(一1,0)的距離的平

方再減去1,觀察圖形可得，平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)(一1,0)的距離的最小值為

13

故Z=f+2%+尸的最小值為Zmin=W—1=—1，選D.

［答案］D

卜一y+220,

⑶實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組，2x—y—5W0,則z=Lx+2)，一4|的最大值為

Lr+y—420,

［解析］作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z=|x+2y-

2x-y-5=0

4|=卜某一第*小，其幾何意義為陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到直線工+2丁一4=0的距離

的乖倍.

由『'得8點(diǎn)坐標(biāo)為(7,9),顯然點(diǎn)3到直線彳+2>一4=0的距離最

7%-y—5=0,

大，此時(shí)Zmax=21.

［答案］21

［破題技法］求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

y-b

利用幾何意義來求.(1)斜率型:z=

x—a

(2)兩點(diǎn)間的距離型：z=(x~a)2+Cy—b)2.

(3)點(diǎn)到直線的距離型：z=|Ax+8y+C|.

考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用及創(chuàng)新應(yīng)用

挖掘1線性規(guī)劃的建模/互動(dòng)探究

［例1］(1)某旅行社租用A,8兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，A,B兩種

車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行

社要求租車號(hào)數(shù)不超過21輛，且8型車不多于A型車7輛.則租金最少為()

A.31200元B.36000元

C.36800元D.38400元

［解析］設(shè)租用A型車x輛，B型車y輛，目標(biāo)函數(shù)為z=l600工+2400)，，則約

"36x4-60)^900,

x+yW21,

束條件為《「

<xty《N,

也=21

y-%=7

36x+60y=900

4(5,12K

/I

^0］

作出可行域，如圖中陰影部分所示，可知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)(5,12)時(shí)，有最小值Zmin

=36800(元).

［答案］c

(2)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B

原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、8原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的

利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，

要求每天消耗A,B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生

產(chǎn)的甲、馬兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()

A.1800元B.2400元

C.2800元D.3100元

［解析］設(shè)該公司生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y桶，獲利為z元，則.y滿足

作出可行域，如圖中四邊影OABC的邊界及其內(nèi)部整點(diǎn).

2x+y=12,

作直線加3/+4)，=0,平移直線/o經(jīng)可行域內(nèi)點(diǎn)8時(shí),z取最大值，由,八_

［x+2j=12,

得8(4,4),滿足題意,所以Zmax=4X300+4X400=2800(元).

［答案］c

［破題技法］1.在實(shí)際應(yīng)用問題中，通過建立約束條件求出線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)

解，體會(huì)線性規(guī)劃的建模與實(shí)際意義.

2.一般步驟為：

(1)審題：仔細(xì)閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，借

助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系.

(2)設(shè)元：設(shè)問題中起關(guān)鍵作用的(或關(guān)聯(lián)較多的)量為未知量尤y,并列出相應(yīng)的

不等式組和目標(biāo)函數(shù).

(3)作圖：準(zhǔn)確作出可行域，平移找點(diǎn)(最優(yōu)解).

(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值).

(5)檢驗(yàn)：根據(jù)結(jié)果，檢驗(yàn)反饋.

挖掘2線性規(guī)劃的創(chuàng)新應(yīng)用/自主練透

r3x-2y-3^0,

［例2］(1)(從“整點(diǎn)”視角)己知上一3丁+620,則不等式組所表示的區(qū)域內(nèi)

2+廠220,

整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

［解析］法一：畫出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖所示，在平面區(qū)域中畫網(wǎng)

格線，由圖可見，平面區(qū)域內(nèi)有6個(gè)整數(shù)點(diǎn).

法二：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，計(jì)算出交點(diǎn)A(3,3),8(0,2),

C(l,0),則0?,xez.

「、33

px-2y-3^0,了二2”—2，

得卜號(hào)+2,

由《3y+620,

[2x+)，—220,

<y^2~2x.

當(dāng)x=0時(shí)，y=2,此時(shí)整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)為1:

7

當(dāng)x=l時(shí)，由OWyWg,y￡Z,得y取值為0,1,2,此時(shí)整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)為3;

38

當(dāng)x=2時(shí)，由得y取值為2,此時(shí)整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;

當(dāng)x=3時(shí)，y=3,整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

綜上所述，平面區(qū)域內(nèi)有6個(gè)整數(shù)點(diǎn).

［答案］6

x+y26,

(2)(從“命題條件”視角)(2019.高考全國卷HI)記不等式組.、八表示的平

面區(qū)域?yàn)椤?命題p：3(x,y)E。，2r+y29；命題q：V(x,y)￡。，2x+yW12.

下面給出了四個(gè)命題

①pVq②除p\q?p/\^>q④㈱p八㈱q

這四個(gè)命題中，所有真命題的編號(hào)是()

A.①@B.①②

C.(2X3)D.③④

［解析］法一：畫出可行域如圖中陰影部分所示.

目標(biāo)函數(shù)z=2x+y是一條平行移動(dòng)的直線，且z的幾何意義是直線z=2x+y的

縱截距.顯然，直線過點(diǎn)A(2,4)時(shí)，Zmin=2X2+4=8,即z=2x+y，8.

.??2x+y￡［8,+°°).由此得命題p:3(x,y)￡￡),2x+y29正確；

命題心V(x,y)￡O,2x+yW12不正確.???①③真，②④假.故選A.

x+y26,

法二：取x=4,y=5,滿足不等式組J、且滿足2x+y29,不滿足2x

［2x—y^0t

+yW12,故〃真，g假.

，①?真，②④假.故選A.

［答案］A

"3x-2y-3W0,1

⑶(從“概率”視角)已知“一3丁+620,表示的區(qū)域?yàn)?,不等式(L￡|+(y

Z+y-220

—1)2W(表示的區(qū)域?yàn)榘讼?。區(qū)域均勻隨機(jī)撒280顆豆子，則落在區(qū)域T中的

豆子數(shù)約為.(九七3.1)

［解析］畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，計(jì)算出交點(diǎn)4(3,3),8(0,2),

C(1,0).區(qū)域。的面積為SL45C=2，區(qū)域〃的面積為:，所以向。區(qū)域內(nèi)隨機(jī)

7：

8

撒豆子，落入?yún)^(qū)域，的概率為三=今,故落入?yún)^(qū)域，的豆子數(shù)為今X280=10TIg31.

，ZoZo

［答案］31

(4)(從“轉(zhuǎn)化為二元變量”視角)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為卬，公差為％前〃項(xiàng)

和為S〃.若4mW〃3+3,ai^2ai+6,52>2,則數(shù)列｛為｝的前4項(xiàng)和的最大值

為.

［解析］該題可用線性規(guī)劃來求解，

［4〃［Wa3+3,2d—3W0,

由已知,otW2ai+6,得｛m—3d+620,S4=4m+6d.

〔S222,120+4-220,

如圖所示，S4在點(diǎn)A(3,3)處取得最大值，

即當(dāng)ai=d=3時(shí)，(S4)max=4X3+6X3=30.

［答案］30

［破題技法］對(duì)于線性規(guī)劃無論從哪個(gè)視角創(chuàng)新，都是涉及二元一次不等式(組)

問題，用“形”表示區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，直觀想象來解決問題.

第三節(jié)基本不等式及其應(yīng)用

^■回顧教材?夯實(shí)基礎(chǔ)課本溫故追根求說

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第110頁

I基礎(chǔ)梳理］

1.重要不等式

層+序22仍3,R)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立).

2.基本不等式：板W號(hào)

(1)基本不等式成立的條件是〃>0,b>0.

(2)等號(hào)成立的條件是：當(dāng)日.僅當(dāng)w上時(shí)取等號(hào).

(3)其中怨稱為正數(shù)小b的算術(shù)平均數(shù),質(zhì)稱為正數(shù)小b的幾何平均數(shù).

3.利用基本不等式求最值問題

已知八>0,)>0,則:

(1)如果積W是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)、x+y有最小值是2g(簡記:積

定和最小).

2

(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xv有最大值是學(xué)簡記:和定積

最大)

■知識(shí)拓展提升思維能力

1.基本不等式的兩種常用變形形式

(、2

(a,beR,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)取等號(hào)).

Q）a+b22迎（a>0,b>Ot當(dāng)且僅當(dāng)。=8時(shí)取等號(hào)）.

2.幾個(gè)重要的結(jié)論

a2+b2

(1)—

(2,+如2(">0).

(。>0,b>0).

［四基自測］

1.（基礎(chǔ)點(diǎn)：求積的最值）設(shè)Q0,）>0,且x+y=18,則孫的最大值為（）

A.80B.77

C.81D.82

答案：C

2.（易錯(cuò)點(diǎn)：不等式的應(yīng)用條件）若xVO,則）

A.有最小值，且最小值為2

B.有最大值，且最大值為2

C.有最小值，且最小值為一2

D.有最大值，且最大值為一2

答案：D

3.（基礎(chǔ)點(diǎn)：構(gòu)造不等式的定值）已知Q1,則x+士的最小值為.

答案:5

4.（易錯(cuò)點(diǎn)：T的代換）若!+913>0,/?>0）,則的最小值為

答案：4

^■_考點(diǎn)分類-深度剖析名師導(dǎo)悟以例示法

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第110頁

考點(diǎn)一利用基本不等式求最值

挖掘1直接應(yīng)用基本不等式求最值/自主練透

［1501］⑴當(dāng)QO時(shí)，函數(shù)/（力=石7fr（）

A.最小值1B.最大值1

C.最小值2D.最大值2

22