2022年高中數(shù)學(xué)必修數(shù)列復(fù)習(xí)知識點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)

高中數(shù)學(xué)必修5_第二章《數(shù)列》復(fù)習(xí)知識點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)(一)

一.數(shù)列的概念與簡樸表達(dá)法

知識能否憶起

1.數(shù)列的定義、分類與通項(xiàng)公式

⑴數(shù)列的定義：

①數(shù)列：按照一定順序排列的一列數(shù).

②數(shù)列H勺項(xiàng)：數(shù)列中的每一種數(shù).

(2)數(shù)列的分類:

分類原則類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

項(xiàng)數(shù)

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限

遞增數(shù)列*加〃

項(xiàng)與項(xiàng)間的其中

遞減數(shù)列

大小關(guān)系

常數(shù)列%=4

⑶數(shù)列的通項(xiàng)公式：

如果數(shù)列5〃｝口勺第〃項(xiàng)與序號〃之間的關(guān)系可以用一種式子來表達(dá),那么這個公式叫

做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2.數(shù)列的遞推公式

如果已知數(shù)列｛%｝H勺首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)a“與它於J前一項(xiàng)a,?(〃22)(或前幾項(xiàng))

間的關(guān)系可用一種公式來表達(dá)，那么這個公式叫數(shù)列的遞推公式.

1.對數(shù)列概念日勺理解

(1)數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一種數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有美，并且

還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無序性.因此，若構(gòu)成兩個數(shù)列

時數(shù)相似而排列順序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列.

(2)數(shù)列中的數(shù)可以反復(fù)浮現(xiàn)，而集合中的元素不能反復(fù)浮現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)

別.

2.數(shù)列的函數(shù)特性

數(shù)列是一種定義域?yàn)檎麛?shù)集N,(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃加勺特殊函數(shù)，數(shù)列8勺

通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)的函數(shù)解析式，即加?)=冊(〃6N,).

3.考點(diǎn)

(一)由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式

［例I］(?天津南開中學(xué)月考)下列公式可作為數(shù)列｛QJ：12121,2,…的通項(xiàng)公式日勺是

)

(一1)〃+1

A.an=1B.an=

C.a=2—|sin2Z|D.(—1)n-1+3

a=----------

n2

?加可得Q__

［自主解答］由。〃=2一設(shè)吃|尸1,。2=2,

&=1,a=2.….

［答案1C

由題悟法

1.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一種通項(xiàng)公式，要注意觀測每一項(xiàng)的特點(diǎn)，觀測出項(xiàng)與n

之間H勺關(guān)系、規(guī)律，可使用添項(xiàng)、通分、分割等措施，轉(zhuǎn)化為某些常用數(shù)列的通項(xiàng)公式來

求.對于正負(fù)符號變化，可用(一1)?；?-1)“+1來調(diào)節(jié).

2.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的)一種通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到

一般”的思想

以題試法

寫出下面數(shù)列的一種通項(xiàng)公式.

(1)3,579,…；

1371531

(2)亍08＞必法…；

(3)3,33,333,3333,…；

(4)-13￡3￡3

'T~y4*-5*6f…

解：(1)各項(xiàng)減去I后為正偶數(shù)，因此％=2〃+I.

，…，因此a2n-1

(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1,而分母構(gòu)成數(shù)列”22.23.24=一廠.

n2”

(3)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為小y,學(xué),警，…，分母都是3,而分子分別是10-1,102-

1,103-1,10d-1,….

因此。=1?-1).

”于。

⑷奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式的符號為(-1)〃；各項(xiàng)絕對值的分母構(gòu)成數(shù)列

1,2,3,4,…;而各項(xiàng)絕對值的分子構(gòu)成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3,即奇數(shù)項(xiàng)為

2-1，偶數(shù)項(xiàng)為2+1,

因此〃=,,2+(—1)〃，也可寫為

”(-1)-

[r,〃為正奇數(shù)，

a='

”年,〃為正偶數(shù).

(二)由%與￡日勺關(guān)系求通項(xiàng)%

已知數(shù)列｛?｝的前"項(xiàng)和5/求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過程分為三步：

⑴先運(yùn)用％=￡求出4；

(2)用〃一1替代工中的〃得到一種新日勺關(guān)系，運(yùn)用々〃=￡一果""22)便可求出當(dāng)

時〃”的體現(xiàn)式；

⑶對〃=1時的成果進(jìn)行檢查，看與否符合"22時戒口勺體現(xiàn)式，如果符合，則可以把

數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)當(dāng)分〃=1與〃22兩段來寫.

[例2]已知數(shù)列｛”的前〃項(xiàng)和S”，根據(jù)卜列條件分別求它們的通項(xiàng)峭

⑴3=2〃2+3〃；(2)S“=3〃+1.

[自主解答]⑴由題可知，當(dāng)〃=1時，.=3=2X12+3X1=5，

當(dāng)〃日寸，a=$?$4=(2腔+3〃)?[2("-1)2+3(〃?1)]=4〃+1.

當(dāng)"=1時，4X1+1=5=〃故〃=4〃+1.

1n

(2)當(dāng)〃=1時，q=S[=3?1=4,

當(dāng)G2時，

a-S-S=(3?+1)-(3?-1+1)=2X3?-1.

nnn?I、

當(dāng)"1時,2X3j=2W=

x卜，n=1,

故Q=<

n〔2X3…，n22.

以題試法

(?聊城模擬)已知數(shù)列｛Q｝的前n項(xiàng)和為S,且S=/一則2_=()

nn

nn+las

56

A.TB.T

o5

C.《D.30

n〃-1

解析：選D當(dāng)“22時,a=S-SI-I1,貝!1Q=」_=，

n+1〃n(n+l)55X630

(三)數(shù)列的性質(zhì)

［例3］已知數(shù)列｛aJ的通項(xiàng)公式為%=〃2—21n+20.

(l)n為什么值時，力有最小值？并求出最小值；

(2)〃為什么值時，該數(shù)列的前〃項(xiàng)和最小？

［自主解答］⑴由于Q=“2-25+20=。-2、-361,可知對禰軸方程為〃=21=

nI-)—~

10.5.又因nGN*，故〃=10或〃=11時，。有最小值，其最小值為112-21X11+20=-90.

n

(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和最小，則有aW0,由m-21n+20<0,解得l<n<20，故數(shù)列

n

巴｝從第21項(xiàng)開始為正數(shù)，因此該數(shù)列的前19或20項(xiàng)和最小.

由題悟法

1.數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法

根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的相應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)運(yùn)用求解函數(shù)最值的措施求

解，但要注意自變量的取值.

2.前〃項(xiàng)和最值日勺求法

(1)先求出數(shù)列的前〃項(xiàng)和Sn，根據(jù)SJ勺體現(xiàn)式求解最值；

(2)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，若。m》0,且7+1<°，則與最大；若%W0,且%+/°，則

Sm最小，這樣便可直接運(yùn)用各項(xiàng)的符號擬定最值.

以題試法

3.(?江西七校聯(lián)考)數(shù)列｛Q｝的通項(xiàng)。"，則數(shù)列｛a｝中口勺最大值是()

nn"2+90n

A.3的B.19

4D.邸

解析：選Ca=—二，由基本不等式得，由于nGNs易知當(dāng)n=9

或101

時，a〃=而最大.

二.等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

知識能否憶起

一、等差數(shù)列的有關(guān)概念

1.定義：如果一種數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的I前一項(xiàng)的差都等于同一種常數(shù)，那

么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符號表達(dá)為％>一Q“=dS￡N*,d為常數(shù)).

a~\~b

2.等差中項(xiàng)：數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是4=《―，其中人叫做。，人的

等差中項(xiàng).

二、等差數(shù)列的有關(guān)公式

I.通項(xiàng)公式：%=%+(〃-1

n(n—1)(a+a)n

2-前，項(xiàng)和公式：S.=吟+F—d=%"?

三、等差數(shù)列的性質(zhì)

1.若m,〃，p,q￡N*,且m+〃=p+q,｛g｝為等差數(shù)列，則a+0=^+0^.

2.在等差數(shù)列｛aj中，AQ*Q，3P，芯仍為等差數(shù)列，公差為kd.

3.若｛%｝為等差數(shù)列，則S”，S.-S,SQ”一S2n，…仍為等差數(shù)列，公差為〃2d.

4.等差數(shù)列的增減性：加)時為遞增數(shù)列，且當(dāng)由<0時前〃項(xiàng)和S“有最小值.d<()時

為遞減數(shù)列，且當(dāng)Q1>0時前〃項(xiàng)和S。有最大值.

5.等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)是由,公差為d.若其前n項(xiàng)之和可以寫成S=An2-｝-Bnf則4

dd

=7B=a-y當(dāng)dWO時它表達(dá)二次函數(shù)，數(shù)列｛(｝的前〃項(xiàng)和'=412+即是｛%｝成等

差數(shù)列的充要條件.

1.與前〃項(xiàng)和有關(guān)的三類問題

⑴知三求二：己知”以〃，〃》s中的任意三個，即可求得其他兩個，這體現(xiàn)了方

程思想.

(2)5=，旌+0-A/=Am+2A.

”2I12)

⑶運(yùn)用二次函數(shù)的圖象擬定$〃的最值時，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)不一定是最大值，最低點(diǎn)的

縱坐標(biāo)不一定是最小值.

2.設(shè)元與解題的技巧

已知三個或四個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元，若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且

和為定值時，可設(shè)為…，a—2d,a—d,a,a+d,a+2d.…；

若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為…，〃-34a-d,u+d,〃+3d,…，其

他各項(xiàng)再根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對稱設(shè)元.

考點(diǎn)

等差數(shù)列的判斷與證明

［例1］在數(shù)列⑷中,%=-3,廣2.+2〃+3(心2,且"WN>

⑴求〃2，%的值；

(2)設(shè)b=%+3(〃C),證明：｛〃｝是等差數(shù)列.

M2〃〃

［自主角，答］｛)?.%=-3,q=2夕［+2”+3(〃>2,且"WN，),=2^+22+3=1,

a=2〃+23+3=13.

JZ

⑵證明：對于任意“WN>

1

-b%+I+3，「3=1K?-2〃)-3］=［(2?+I+3)-3］=1,

”+1“2，,+12”2〃+1“+1"2”+1

..__°+3_3+3

?數(shù)列"，｝是首項(xiàng)為J_=_____=0,公差為1的等差數(shù)列.

“~22-

2由題悟法

1.證明｛〃｝為等差數(shù)列的措施：

⑴用定義證明：勺一。_1=4/為常數(shù)，〃22)臺0)為等差數(shù)列；

⑵用等差中項(xiàng)訐明：［=%+￡為等差數(shù)列：

⑶通項(xiàng)法：6為"的一次函數(shù)臺卜｝為等差數(shù)列；

(4)前"項(xiàng)和法：S=4/2+B”或S=〃(〃i+"

〃〃2

2.用定義證明等差數(shù)列時，常采用的兩個式子〃1一a=4和〃一〃［=4但它們的

nnn-\

意義不同，后者必須加上“〃22”，否則〃=1時，,6無定義.

備以題試法

1.已知數(shù)列何｝曰勺前"項(xiàng)和￡是"曰勺二次函數(shù)，且多=-2,為=2,^3=6.(1)

求一”

⑵證明：數(shù)列｛“｝是等差數(shù)列.

解：⑴設(shè)S.,=/加+B〃+Q/WO)，

-2=A+B+C,

貝fQ=4A+2B+C.

6=9N+3B+C,

解得4=2,8=-4,。=0.故S=2加-4”.

n

⑵證明：.?當(dāng)〃=1時，q=二-2.

當(dāng)"22時,a—s-S-2tti~4〃-［2(〃?1)2?4(/；-1)］=4//-6.

nn?1

：a-4〃-6(“WN.).〃0-4=4,

數(shù)列&｝是等差數(shù)列.

等差數(shù)列H勺基本運(yùn)算

］典題導(dǎo)入

［例2］(?重慶高考)已知｛“為等差數(shù)列，且4+%=8,〃2+〃4=12.

⑴求｛5｝的通項(xiàng)公式；

(2)記｛%｝的前"項(xiàng)和為一，若%,唳，4+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)友時值.

［自主解答］⑴設(shè)數(shù)列｛九｝的公差為由題意知

+21=8,=2,

|1解得八

12al+41=12,〔公2.

因此[=《+(〃-1)“=2+2(〃-1)=2〃.

n[a+a)加2+2〃)

(2)由(1)可得S=1”=_______="(〃+1).

“-22-

由于〃，〃，S成等比數(shù)列，因此公=〃S.

1k-t+2k1A+2

從而(2生=2%+2)(/+3)，即怠?54?6=0,

解得左=6或應(yīng)=-1(舍去),因此笈二6.

2由題悟法

n[a+〃)四一1)

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式％=%+(〃-1)d及前〃項(xiàng)和公式.=)〃=〃*+2

d,共波及五個量〃，4,M〃，S,知其中三個就能求此外兩個，體現(xiàn)了方程的思想.

1R內(nèi)

2.數(shù)列aJ通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而彳和4是等差數(shù)

列日勺兩個基本量，用它們表達(dá)己知和未知是常用措施.

3以題試法

2.⑴在等差數(shù)列中，已知勺=10,35=5,則4=.

(2)設(shè)等差數(shù)列｛。｝的前〃項(xiàng)和為S,若$4一$3=1,則公差為.

nn"9~

解析：⑴,.熊:10,

(a+5d=10,

+10//=5.

L=-5,

解方程組得：?

Q=3.

貝！J￡=8《+28d=8X(-5)+28X3=44.

01

4X33X24〃+6/

⑵依題意得s=4a+d=4a+6d,S=3〃+"=3〃+34,于是有1-

41—2—13i—2—1—42—

3a+3d

f—二1,由此解得d=6,即公差為6.

答案：(1)44(2)6

等差數(shù)列的性質(zhì)

小典題導(dǎo)入

［例3］(1)等差數(shù)列｛%｝中，若%+%+&=等，&+%+。9=27,則前9項(xiàng)和SQ等于

()

A.66B.99

C.144D.297

(2)(?天泮模擬)設(shè)等差數(shù)列｛。｝的前〃項(xiàng)和S,若S=8,S=20,則。+Q+Q+Q

nn4811121314

=()

A.18B.17

C.16D.15

l自主解答］(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)及af^Q/Q尸39,可得3。4=39,因此。4=13.同

理,由Q3+cr6+a=21,可得a=9.

因此S9(。+Q)9(Q+a)99.

1946

9一22

⑵設(shè)｛aj的公差為d,則a叫才a$a=S.=/2,(a+?+?+%)?￡=1”，解

得＜/=1,。+a+a+a=S+40d=18.

4H1213144

［答案］(1)B(2)A

必由題悟法

1.等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等基本知識的推廣

與變形，純熟掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、以便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題.

2.應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的核心是尋找項(xiàng)的序號之間的關(guān)系.

工以題試法

3.(1)(?江西高考)設(shè)數(shù)列｛4｝,｛%｝都是等差數(shù)列,若4+4=7,%+鳥=21，則%+

4=----

⑵(?海淀期末)若數(shù)列｛〃J滿足：a=19,a=a-3(n￡N*),則數(shù)列用的前〃項(xiàng)和

n1n+\nn

數(shù)值最大時，〃的值為()

A.6B.7

C.8D.9

解析：(1)設(shè)兩等差數(shù)列構(gòu)成的和數(shù)列為｛cj,由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且cF7,

C3=21,貝！]c5=2c3-C1=2X21-7=35.

(2)??Z“j—a.=-3,?,?數(shù)列｛〃“｝是以19為首項(xiàng)，一3為公差時等差數(shù)列，????！?19+

(〃一1)X(—3)=22—3fa&NO,[22—3Z20,

()()”設(shè)前2項(xiàng)和最大，則有，”即1

[4+1<0,[22_3(4+l)W0,

1922

解得kW&W《.??Z￡N+,???殳=7.故滿足條件的〃的值為7.

答案：⑴35(2)B

三.等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

[知識能否憶起]

1.等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：

如果一種數(shù)列從第2_預(yù)起，每一項(xiàng)與它日勺前一項(xiàng)的比等于同一種常數(shù)(不為零),那么

這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公此一般用字母g表達(dá)，定義的體

1

現(xiàn)式為二一=q(〃￡N，，q為非零常數(shù)).

(2)等比中項(xiàng):

如果a、G、。成等比數(shù)列，那么G_PU做4與。的等比中項(xiàng).即：G是4與6的等比中

項(xiàng)Oa,G,b成等比數(shù)歹U=G2=a%、

2.等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項(xiàng)公式：i.

(〃/，q=1，

(2)前〃項(xiàng)和公式：S=<a(l—儼)a-aq

n|-^----~戶1.

I1—q1-q

3.等比數(shù)列他“｝時常用性質(zhì)

⑴在等比數(shù)列｛。｝中,若m+n=p+q=2r(m,〃，p,q,rGN*)?則aa=aa=a2.

nm〃pqr

特別地，Qa~aa=aa=….

?n2n-13n-2

(2)在公比為q時等比數(shù)列｛a｝中，數(shù)列a,a」a,a仍是等比數(shù)列，公

rmm+片m+次m-fiK

比為空：

數(shù)列S.5.-s,…仍是等比數(shù)列(此時qX-1);

a=agn-m.

nm

1.等比數(shù)列的特性

⑴從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常

數(shù).⑷用an=qa，qNO并不能立即斷言｛a｝為等比數(shù)列，還罵驗(yàn)證aW0.

2.等比數(shù)列的前八項(xiàng)和S“

⑴等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和號是用錯位相減法求得的)，注意這種思想措施在數(shù)列求和中的

運(yùn)用.

⑵在運(yùn)用等比數(shù)列的前，財(cái)和公式時，必須注意對〃=1與分類討論，避免因忽

視q=1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤

考點(diǎn)

等比數(shù)列的鑒定與證明

1典題導(dǎo)入

［例1］已加數(shù)列｛q｝的前〃現(xiàn)和為不HaIS=n.

⑴設(shè)囁=1,求證：?是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列6｝的通項(xiàng)公式.

n

［自主解答］⑴證明：.q+§=〃，(?

?'。+S=n+1.(2)

n+1n+1

②"①得。-Q+°=1,

n+1nn+1

??2a=a+1.-.2(a,-1)=a-1,

n+1n,'n+17n

.%-1=1

一牙

,「首項(xiàng)C=,q-1，又q+q=1,

■-a=Lc1

1217

又C=Q-1,故｛C｝是以二為首項(xiàng)J為公比的等比數(shù)列.

nnn22

⑵由⑴可知cJ

「.Q=c+1=1-

?〉一髓多變

在本例條件下，若數(shù)列｛'｝滿足q=q,b=an-a^>2),證明也｝是等比數(shù)列.

證明：?.由⑵知a=1

n0

.?.當(dāng)時,b=a,a

nnJ

又b=aJ也符合上式，=(1y.

112n\Z)

b1

.?".1,.??數(shù)列也｝是等比數(shù)列.

2n

2由題悟法

等比數(shù)列日勺鑒定措施

(1)定義法：若&!_=q(q為非零常數(shù)，或(=。(。為非零常數(shù)且〃22,ne

%%

N-)，則&｝是等比數(shù)列.

n

(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列｛a｝中，aW0且Q2=aa(〃WN),則數(shù)列｛a｝是等比數(shù)

nnn+1n”+2n

列.

(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成a=cqn(ctq均是不為。的常數(shù)，n€N*),則

｛aj是等比數(shù)列.

品以題試法

1.(?沈陽模擬)已知函數(shù)/x)=10gX,且所有項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列｛〃｝滿足log。-

°+1

log/〃=2,則數(shù)列｛%｝()

A.一定是等比數(shù)列

B.一定是等差數(shù)列

C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列

an+1%+1

解析：選A由log〃—loga=2,得log-----=2=logzz2,故----=啟又且

a

n，atta”

因此數(shù)列｛〃〃｝為等比數(shù)列.

等比數(shù)列口勺基本運(yùn)算

工典題導(dǎo)入

[例2]｛a｝為等比數(shù)列，求下列各值：

n

(l)a—a=24,aa=64,求a；

6I35n

⑵已知a?a=36,a+a=15,求公比q.

2837

解：(1)設(shè)數(shù)列｛a｝的公比為q,

n

由題意/L—qq—=24,①

Iaa=aq32=64.②

351

由②得aq3=±8,

I

將aq3=-8代入①中，得q?=-2(舍去).

1

將aq3=8代入①中，得中=4,q=±2.

1

當(dāng)q=2時，a=1,，a=aqn-i=2n-i.

1n1

當(dāng)q=-2時，a=—1,=aqn-i=—(-2)nT.

1nI

...a=2n-i或a=—(—2)n-i.

nn

(2)Va?a=36=a?a,而a+a=15,

283737

???B=3，或!『12，

(a,=12?=3.

"二%=4sgl.

a4

廠苴

.??4=±*或4=±9.

2由題悟法

1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量%,n,

q,a,S,一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解.

2.左使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，應(yīng)根據(jù)公比q的狀況進(jìn)行分類討論，切不可忽

視q的取值而盲目用求和公式.

品以題試法

2.(?山西適應(yīng)性訓(xùn)練)已知數(shù)列｛Qj是公差不為零的等差數(shù)列，。亍2,且Q、QaQ族

等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝H勺通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛3%｝的前〃項(xiàng)和.

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4的公差為d(dHO).

由于％。「。域等比數(shù)列，

24o

因此(2+3d)2=(2+辦(2+Id),

解得d=2.

因此a=2n(nGN*).

n

(2)由⑴知3Q=3方，設(shè)數(shù)列｛3。附前〃項(xiàng)和為S,

nnn

則S+3+…+3=9(1-%)9-1).

=3242n=(9n

1-92

等比數(shù)列的性質(zhì)

典題導(dǎo)入

[例3](1)(?威海模擬)在由正數(shù)構(gòu)成W點(diǎn)比數(shù)列｛。｝中，若QQQ=3%則sin(loga+

n3453I

10g30+…+1。8凸)的I值為()

13

A-2B￡

C.1D?普

(2)設(shè)等比數(shù)列｛%W、J前”項(xiàng)和為若兀：$3=1：2,則$9：%等于()

A.1：2B.2：3

C.3：4D.1：3

［自主解答］(1)由于044=3B=〃3,因止匕〃二:

34544^3,

lOg36TI+lOg3tf2+…+lOg3tf7

=log(。4…4)=logG

312734

=7log冗一77r

3方-丁

,,3

6Xsin(loga+loga+…+log”)二式

372

⑵由等比數(shù)列的性質(zhì)：力，$6一%，%76仍成等比數(shù)列，于是(L-S?2=$式$9-

$6)，

將均.f6二一1■代入得y59f=z3r

［答案］(1)B(2)C

2由題悟法

等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”，它們的通項(xiàng)公式和性質(zhì)有許多相似

之處，其中檔差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的J“積”“累”相類比.關(guān)注

它們之間的異同有助于我們從整體上把握，同步也有助于類比思想的推廣.對于等差數(shù)列

項(xiàng)的和或等比數(shù)列項(xiàng)的積的運(yùn)算，若能關(guān)注通項(xiàng)公式a元X")的下標(biāo)〃的大小關(guān)系，可簡化

題目的運(yùn)算.

事以題試法

3.(1)(?新課標(biāo)全國卷)已知｛%｝為等比數(shù)列，q+勺=2,%”=-8，貝I4+,=()

A.7B.5

C.-5D.—7

⑵(?成都模擬)已知｛〃｝是等比數(shù)列，〃=2,二,貝J++...+.0=()

n254n//-rt

A.16(1—4-n)B.16(1—2-n)

3232

c.y(i-4-n)D.于1—2-〃)

解析：⑴選D法一:

a+a=<7.(73+?06=2,

由題意得《47,

t(75a6=a|q4Xa1q5=^q9=■8,

故Q]+Q[O=4(1+q>-7.

fa4+a7=2,U4=-2,|a4=4,

法二：由<解得《或《

[a5a6=%%=-8,[%=41%=-2.

卜3二-2,|(?3=?；/

則或*2故a+Q=a(l+t?9)=-7.

.a-iIiioi

iIflj=-8,

(2)選CVa=2,a=l,=4,q=Laa=Q)2n-5.

254I22

《1—1

故QQ+QQ+…+Qa=r=乎1—4-n).

1223nn+115

1_-

-4

練習(xí)題

1.(教材習(xí)題改編)數(shù)列12345

，y.J,的一種通項(xiàng)公式是

n2n+1〃2n~1

nn

C.Q=D.a=

n2n~3n2〃+3

答案：B

2.設(shè)數(shù)列｛Qjl為前〃項(xiàng)和Sn=〃2,則aj向值為()

A.15B.16

C.49D.64

解析：選AQ8=S-S于64—49=15.

3.己知數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為Q='—，則這個數(shù)列是()

nnn+l

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動數(shù)列

解析：選Aa-a=〃+J〃=5+1)2-〃S+2)=I

n+I?n+2n+1(n+l)(n+2)(n+l)(z?+2)

4.(數(shù)材習(xí)題改編)已知數(shù)列｛a｝時通項(xiàng)公式是a=(2-3〃-?為偶數(shù))，則0

nn[2n一5(〃為奇數(shù))，4

解析：a4a3=2X33-(2X3-5)=54.

答案：54

3

5.已知數(shù)列｛Q｝由福用八十iJn__

"通項(xiàng)公式為an=P%，且％-2,

3

a4=2?則％=.

7-3.

解析:由已知得「?一2'P=；,

+H,解%.

4P

42

則QJ2,故。9

n4n+n8=4，

9

答案：4

1.(?福建高考)等差數(shù)列(aJ口，。1+05=1。，*=7，則數(shù)列｛aj均公差為()

A.1B.2

C.3D.4

(2a,+4d=10,

解析：選B法一：設(shè)等差數(shù)列｛Q｝的公差為d,由題意得、'

n\n+1/7=7

4二1，

解得《故d=2.

[d=2.

法二；,.在等差數(shù)列(aJ中，ax+a=2a3=10,/a=5.

又Q=7,???公差d=7-5=2.

4

2.（數(shù)材習(xí)題改編）在等差數(shù)列｛Q｝中，Q+Q=_

n213)

A.2B，2

「亞D1

.2--2

解析：選D：a+a=371,：.2a二3兀

26242,

「?sii/2a-公=si/加-力=-cosg=-1

I4習(xí)E93T

3.（?遼寧離考）在等差數(shù)列｛叫中，己知。十。=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S=（

4811

A.58B.88

C.143D.176

解析：選BS=1叫+-/」1(%+%=服

it22

4.在數(shù)列（aj中，若％=1，an_^=an-\-2（n^\）,則該數(shù)列的通項(xiàng)a〃=

解析：由%+尸％+2知｛%｝為等差數(shù)列其公差為2.

故北二1+5?1）X2=2〃?1.

答案：2n—1

5.（?北京高考）已知｛Q｝1

.為等差數(shù)列，5為其前〃項(xiàng)和，若Q=c，F(xiàn)=9,則Q=2

解析：設(shè)｛%｝的公差為d,

由52=。期,a+a=ayBP2a+d=a+2d,

又Q=1,因此d=l,故Q=Q+(/=1,

i222i

S=〃Q+1(〃-l)d=l+/E■^)X

n1212122

=也+1

MM/

44

11

答案：1心2+不

1.(?江西扃■考)｛〃｝為等差數(shù)列，公差d=-2,S為其前〃項(xiàng)和.若S=S,貝lj〃=

n1011I

()

A.18B.20

C.22D.24

解析：選B由5=5,得〃=5-3=0,〃=4+(1-11)/=0+(-10)乂(?2)

1011111110III

=20.

2.(?廣州調(diào)研)等差數(shù)列｛〃J的前〃項(xiàng)和為Sj已知=8,J=6,則.兀0一\時值是

)

A.24B.48

C.60D.72

一,(%5=%1+4d=8,

解析：選B設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由題意可得]解得

[S=3a+3d=6.

則S—5=〃+〃+〃=3a4-24//=48.

W=2,10789101

3.(?東北三校聯(lián)考)等差數(shù)列｛%｝中,+〃=4,則log(2〃-1a?"??2〃)=()

5621210

A.10B.20

C.40D.2+log25

10(〃+〃)

解析:選B依題意得，,+與+43+…+%=~『^=50+%)=20,因此有

log式2〃J=〃+〃+〃■!-------Fa=20.

4.(?海淀期末)已知數(shù)列｛〃｝滿足：o=l,a>0,02—旌=1(〃EN*),那么使成

nInn-￥\nn

立的N的I最大值為()

A.4B.5

C.24D.25

解析：選