2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.3.1余弦定理素養(yǎng)檢測含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測十一余弦定理(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.在△ABC中,若b=1,c=QUOTE,C=QUOTE,則a= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得3=a2+1-2a×1×cosQUOTE,即a2+a-2=0.解之得a=1或a=-2(舍去),所以a=1.2.在△ABC中,角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,C=60°,a=4b,c=QUOTE,則b= ()A.1 B.2 C.3 D.QUOTE【解析】選A.由余弦定理知(QUOTE)2=a2+b2-2abcos60°,因為a=4b,所以13=16b2+b2-2×4b×b×QUOTE,解得b=1(b=-QUOTE舍去).3.已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若23cos2A+cos2AA.10 B.9 C.8 D.5【解析】選D.由23cos2A+cos2A=0得23cos2A+2cos2A-1=0,解得cosA=±QUOTE.因為A是銳角,所以cosA=QUOTE.又因為a2=b2+c2-2bccosA,所以49=b2+36-2×b×6×QUOTE.解得b=5或b=-QUOTE.又因為b>0,所以b=5.4.在△ABC中,AB=3,BC=QUOTE,AC=4,則AC邊上的高為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.3QUOTE【解析】選B.由BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,可得13=9+16-2×3×4×cosA,得cosA=QUOTE.因為A為△ABC的內(nèi)角,所以A=QUOTE,所以AC邊上的高為AB·sinA=3×QUOTE=QUOTE.5.已知△ABC的三邊滿意a2+b2=c2-QUOTEab,則△ABC的最大內(nèi)角為 ()A.60° B.90° C.120° D.150°【解析】選D.由已知得,c2=a2+b2+QUOTEab,所以c>a,c>b,故C為最大內(nèi)角.由余弦定理,得cosC=QUOTE=-QUOTE,又C∈(0,π),所以C=QUOTE,即C=150°.6.(多選題)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=QUOTE,則 ()A.c=1 B.c=2C.sinA=QUOTE D.sinA=QUOTE【解析】選BD.依據(jù)余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×QUOTE=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得cosA=QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)7.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,則AC邊上的中線長為________.

【解析】方法一:在△ABC中,由余弦定理,得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,設(shè)中線長為x,由余弦定理,知x2=92+42-2×9×4×QUOTE=49,所以x=7.所以AC邊上的中線長為7.方法二:設(shè)AC中點為M,連接BM(圖略).則=QUOTE(+),所以=QUOTE(++2·)=QUOTE(92+72+2||||cos∠ABC)由余弦定理,得2||||cos∠ABC=||2+||2-||2=92+72-82,所以||2=QUOTE(92+72+92+72-82)=49.所以BM=7,即AC邊上的中線長為7.答案:78.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,則sinA=______.

【解析】在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理,得cosA=QUOTE=QUOTE,則sinA=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【補償訓練】已知在△ABC中,a=2,b=4,c=3,則cosB=________.

【解析】cosB=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.在△ABC中,已知sinC=QUOTE,a=2QUOTE,b=2,求邊c.【解析】因為sinC=QUOTE,且0<C<π,所以C為QUOTE或QUOTE.當C=QUOTE時,cosC=QUOTE,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4,即c=2.當C=QUOTE時,cosC=-QUOTE,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=28,即c=2QUOTE.所以邊c的長為2或2QUOTE.10.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4sin2QUOTE+4sinAsinB=2+QUOTE.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,△ABC的面積為6,求邊長c的值.【解析】(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sinAsinB=2+QUOTE,化簡得-2cosAcosB+2sinAsinB=QUOTE,故cos(A+B)=-QUOTE,所以cosC=-cos(A+B)=QUOTE,又C∈(0,π),從而C=QUOTE.(2)如圖S△ABC=QUOTEa·ha=QUOTEabsinC,由S△ABC=6,b=4,C=QUOTE,得a=3QUOTE.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=10,得c=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為cos∠BAC=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,又因為0<∠BAC<π,所以∠BAC=QUOTE.2.在△ABC中,a2+b2-c2+QUOTEab=0,則C等于 ()A.30° B.45° C.120° D.135°【解析】選D.由a2+b2-c2+QUOTEab=0知,a2+b2-c2=-QUOTEab,由余弦定理得cosC=QUOTE=-QUOTE,因為0°<C<180°,所以C=135°.【補償訓練】在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,且a2=c2+b2+bc,則角A的大小為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc.由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,又因為0<A<π,所以A=QUOTE.3.(多選題)已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=5,b=7,c=8,S為△ABC的面積,則()A.B=60° B.sinA=QUOTEC.sinC=QUOTE D.S=10QUOTE【解題指南】利用余弦定理的變形公式計算三角形內(nèi)角的余弦值,再計算角和面積.【解析】選ABD.最小的角為A,最大的角為C,則cosA=QUOTE=QUOTE,cosB=QUOTE=QUOTE,cosC=QUOTE=QUOTE,則sinA=QUOTE=QUOTE,S=QUOTEch=QUOTEcbsinA=10QUOTE.又0°<B<180°,所以B=60°.4.已知銳角三角形的邊長分別為1,3,a,則a的取值范圍是 ()A.(8,10) B.(2QUOTE,QUOTE)C.(2QUOTE,10) D.(QUOTE,8)【解析】選B.只需讓邊長為3和a的邊所對的角均為銳角即可.故QUOTE解得2QUOTE<a<QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)5.設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知A=QUOTE,a=QUOTE,c=QUOTE,則b=________.

【解析】由余弦定理得a2=6=b2+5-2QUOTE·b·cos60°,即b2-QUOTEb-1=0,解得b=QUOTE或b=QUOTE(舍去).答案:QUOTE6.在△ABC中,D為邊BC的中點,AB=2,AC=4,AD=QUOTE,則∠BAC為________.

【解析】如圖,設(shè)BD=CD=x.在△ABD和△ACD中,由余弦定理及誘導(dǎo)公式,得QUOTE,即14+2x2=20,解得x=QUOTE,即BC=2QUOTE.則cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,又0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.答案:60°7.如圖所示,在△ABC中,已知點D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=QUOTE,AB=3QUOTE,AD=3,則BD的長為________.

【解析】因為sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=QUOTE,所以在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD,所以BD2=18+9-2×3QUOTE×3×QUOTE=3,所以BD=QUOTE.答案:QUOTE8.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若ac=b2-a2,A=QUOTE,則B=________.

【解析】由余弦定理,得a2=b2+c2-QUOTEbc,所以b2-a2=QUOTEbc-c2,與ac=b2-a2聯(lián)立,得ac+c2-QUOTEbc=0,即c=QUOTEb-a,代入ac=b2-a2,得a(QUOTEb-a)=b2-a2,解得b=QUOTEa,所以c=QUOTEb-a=2a,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因為B∈(0,π),所以B=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a-c)2=b2-QUOTEac.(1)求cosB的值;(2)若b=QUOTE,且a+c=2b,求ac的值.【解析】(1)由(a-c)2=b2-QUOTEac,可得a2+c2-b2=QUOTEac.所以QUOTE=QUOTE,即cosB=QUOTE.(2)因為b=QUOTE,cosB=QUOTE,由余弦定理,得b2=13=a2+c2-QUOTEac=(a+c)2-QUOTEac,又a+c=2b=2QUOTE,所以13=52-QUOTEac,解得ac=12.10.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA-QUOTEsinA)cosB=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范圍.【解析】(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-QUOTEsinA·cosB=0,即有sinAsinB-QUOTEsinAcosB=0.①因為sinA≠0,所以sinB-QUOTEcosB=0.又cosB≠0,所以tanB=QUOTE.又0<B<π,所以B=QUOTE.(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB.因為a+c=1,cosB=QUOTE,有b2=3QUOTE+QUOTE.②又0<a<1,于是有QUOTE≤b2<1,即有QUOTE≤b<1.11.已知△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c=QUOTE,b=QUOTE,4a-3QUOTEcosA=0.(1)求a的值;(2)若B=λA,求λ的值.【解析】(1)因為4a-3QUOTEcosA=0,故4a=3QUOTEcosA,由余弦定理4a=3QUOTE×