山東省青島市膠州市實驗中學2024-2025學年高一數學下學期期中模擬檢測試題三含解析

PAGE18-山東省青島市膠州市試驗中學2024-2025學年高一數學下學期期中模擬檢測試題（三）（含解析）（時間：120分鐘滿分150分）一、單選題（每小題5分，共40分）1.設是純虛數，是虛數單位，若是實數，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，依據復數除法將復數表示為一般形式，由題意得出該復數的虛部為零，可求出實數的值，由此可得出復數的值.【詳解】為純虛數，設（且），則，又實數，，即，因此，.故選：A.【點睛】本題考查利用復數類型求復數，同時也考查了復數的除法運算，考查計算實力，屬于基礎題.2.在△中，為邊上的中線，為的中點，則A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.詳解：依據向量的運算法則，可得，所以，故選A.點睛：該題考查的是有關平面對量基本定理的有關問題，涉及到的學問點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，須要仔細對待每一步運算.3.已知非零向量，滿意，且，則的形態(tài)是A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰（非等邊）三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】【分析】先依據，推斷出的角平分線與垂直，進而推斷三角形為等腰三角形進而依據向量的數量積公式求得，推斷出三角形的形態(tài)．【詳解】解：，，分別為單位向量，的角平分線與垂直，，，，，三角形為等邊三角形．故選：D．【點睛】本題主要考查了平面對量的數量積的運算，三角形形態(tài)的推斷．考查了學生綜合分析實力，屬于中檔題．4.已知某地區(qū)中小學生人數和近視狀況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成緣由，用分層抽樣的方法抽取的學生進行調查，則樣本容量和抽取的中學生近視人數分別為（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題意知，樣本容量為，其中中學生人數為，中學生的近視人數為，故選B.【考點定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計圖，屬于中等題.5.現有2名女老師和1名男老師參與說題競賽,共有2道備選題目,若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題,其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉基本領件，利用古典概型概率公式求解即可【詳解】記兩道題分別為A，B，全部抽取務狀況為，，，，，，，，(其中第1個，第2個分別表示兩個女老師抽取的題目，第3個表示男老師抽取的題目)，共有8種，其中滿意恰有一男一女抽到同一道題目的狀況為，，，，共4種.故所求事務概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了古典型概率的計算，列舉法是確定基本領件的常用方法，屬于基礎題.6.已知所在平面內的一點滿意，則（）A.1∶2∶3 B.1∶2∶1 C.2∶1∶1 D.1∶1∶2【答案】B【解析】【分析】延長至，可得出點是的重心，再依據重心的性質可得出結論?！驹斀狻垦娱L至，使得，于是有，即點是的重心，依據重心的性質，有.由是的中點，得.故選：B【點睛】本題考查了三角形重心和向量的關系，主要是用向量表達重心的數量關系。另外本題是奔馳定理干脆推導得出。7.已知外接圓半徑為6的三邊為，面積為,且,則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可得，再依據面積公式和余弦定理可得，利用同角的三角函數的基本關系式可得，最終利用基本不等式可得的最大值，從而可得面積的最大值.【詳解】因為外接圓的半徑為，所以可化為：，即，由余弦定理可得，因，故，即，而，故，由可以得到，故，當且僅當時等號成立，所以，故選C.【點睛】本題考查解三角形中的正弦定理、余弦定理、面積公式以及基本不等式，屬于中檔題.8.在中，，，，則在方向上的投影是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將轉化為，將兩邊平方，證得，在直角三角形中，求得夾角的余弦值，以及，代入公式求得題目所求在方向上的投影.【詳解】，兩邊平方并化簡得，即，故三角形為直角三角形，所以，.所以在方向上的投影.故選D.【點睛】本小題主要考查平面對量的數量積，考查向量投影的計算，屬于基礎題.二、多選題（每小題5分，共20分）9.已知復數(a,,i為虛數單位),且,下列命題正確的是()A.z不行能為純虛數 B.若z的共軛復數為,且,則z是實數C.若,則z是實數 D.可以等于【答案】BC【解析】【分析】依據純虛數、共軛復數、復數的模、復數為實數等學問，選出正確選項.【詳解】當時,,此時為純虛數,A錯誤;若z的共軛復數為,且,則,因此,B正確;由是實數,且知,z是實數,C正確;由得,又,因此,,無解,即不行以等于,D錯誤.故選：BC【點睛】本小題主要考查復數的有關學問，屬于基礎題.10.（多選題）關于平面對量，下列命題中錯誤的是（）A.若，則存在使得. B.若為非零向量且，則的夾角為直角.C.若，則 D.【答案】CD【解析】【分析】利用共線向量定理和向量數量積的定義與運算律逐項推斷后可得正確的選項.【詳解】由共線向量定理可知選項A正確；因為為非零向量，故當時，它們的夾角為，所以，選項B正確；因為，所以，所以選項C錯誤；對于非零向量，當與不共線，且時，，所以，選項D錯誤.故選：CD.【點睛】本題考查對向量數量積的運算律的辨析，留意數量積運算有交換律，但沒有消去律和結合律，本題屬于基礎題.11.點O在所在的平面內,則以下說法正確的有()A.若,則點O為的重心B.若,則點O為的垂心C.若,則點O為的外心D.若,則點O為的內心【答案】AC【解析】【分析】逐項進行分析即可.【詳解】解：選項A，設D為的中點，由于，所以為邊上中線的三等分點(靠近點D)，所以O為的重心；選項B，向量分別表示在邊和上的單位向量，設為和，則它們的差是向量，則當，即時，點O在的平分線上，同理由，知點O在的平分線上，故O為的內心；選項C，是以為鄰邊的平行四邊形的一條對角線，而是該平行四邊形的另一條對角線，表示這個平行四邊形是菱形，即，同理有，于是O為的外心；選項D，由得，∴，即，∴．同理可證，∴，，，即點O是的垂心；故選：AC．【點睛】本題主要考查平面對量在三角形中的應用，考查向量的數量積，考查三角形的“五心”，屬于中檔題．12.甲、乙兩班實行電腦漢字錄入競賽，參賽學生每分鐘錄入漢字的個數經統(tǒng)計計算后填入下表，某同學依據表中數據分析得出的結論正確的是（）班級參與人數中位數方差平均數甲55149191135乙55151110135A.甲、乙兩班學生成果的平均數相同B.甲班的成果波動比乙班的成果波動大C.乙班優(yōu)秀的人數多于甲班優(yōu)秀的人數（每分鐘輸入漢字數≥150個為優(yōu)秀）D.甲班成果的眾數小于乙班成果的眾數【答案】ABC【解析】【分析】依據圖表干脆計算平均數、方差和眾數與甲、乙兩班學生每分鐘輸入漢字數≥150個的人數分析即可.【詳解】甲、乙兩班學生成果的平均數都是35，故兩班成果的平均數相同，A正確；，甲班成果不如乙班穩(wěn)定，即甲班的成果波動較大，B正確.甲、乙兩班人數相同，但甲班的中位數為149，乙班的中位數為151，從而易知乙班不少于150個的人數要多于甲班，C正確；由題表看不出兩班學生成果的眾數，D錯誤.故選：ABC【點睛】本題主要考查了依據平均數、方差和眾數分析實際意義的問題,屬于基礎題型.三、填空題（每小題5分，共20小題）13.已知復數z的模為1，則的最大值是________，最小值是________.【答案】(1).4(2).0【解析】【分析】首先設，結合z的模為1，即可求得的軌跡，結合圖像即可求解.【詳解】設，則，則，故所對應的點在以(0,1)為圓心，1為半徑的圓上，故到原點的最大距離為2，最小距離為0，所以的最大值是4，最小值是0.故答案為：4,0【點睛】本題考查復數的幾何意義，恰當轉化是關鍵，屬于中檔題.14.若向量＝(k，3)，＝(1，4)，＝(2，1)，已知2－3與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由夾角為鈍角，則數量積為負數，再解除(2－3)∥對應的參數值，即可求得結果.【詳解】∵2－3與的夾角為鈍角，∴(2－3)<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.又若(2－3)∥，則2k－3＝－12，即k＝－.當k＝－時，2－3＝(－12，－6)＝－6，此時2－3與反向，不合題意.綜上，k的取值范圍為∪.故答案為：.【點睛】本題考查依據向量夾角范圍求參數范圍，屬基礎題.15.某醫(yī)院急救中心隨機抽取20位病人等待急診的時間記錄如下表：等待時間/分頻數用上述分組資料計算出病人平均等待時間的估計值______，病人等待時間方差的估計值______.【答案】(1).9.5(2).28.5【解析】【分析】干脆套用平均數公式與方差公式，即可得到本題答案.【詳解】（1）；（2）故答案為：（1）9.5；（2）28.5【點睛】本題主要考查平均數公式與方差公式的應用，屬基礎題.16.如圖，在中，，D為邊上的點，E為上的點，且，，，則_______；若，則______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】可得出，在三角形中，由余弦定理可求出的值，在中，利用正弦定理求出的值，再由三角形的外角定理得出，從而得知為鈍角，然后利用兩角差的余弦公式得出的值.【詳解】由題意可得，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得（負值舍去）；，在中，由正弦定理得，即，所以.因為點在邊上，所以，而，所以只能為鈍角，所以，.故答案為：；.【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，同時也涉及了利用三角形的外角定理來求三角函數值，考查計算實力，屬于中等題.四、解答題（17題10分，其它題目每題12分，共70分）17.已知復數，，其中為實數，為虛數單位.（1）若復數在復平面內對應的點在第三象限，求的取值范圍；（2）若是實數（是的共扼復數），求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據復數對應點所在的象限得出關于實數的不等式組，解出即可；（2）依據是實數，得出該復數的虛部為零，可求出實數的值，再利用復數的模長公式可計算出的值.【詳解】（1）復數在復平面內對應的點在第三象限，則，解得，即.故實數的取值范圍是；（2），，.是實數，，解得，，.【點睛】本題考查利用復數的幾何意義、復數的概念求參數，同時也考查了復數模長的計算，考查計算實力，屬于中等題.18.設是兩個不共線的向量，已知.（1）求證：，，三點共線；（2）若，且，求實數的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，，三點共線，只需證明與共線，依據向量減法的三角形法則求出，利用向量共線定理可證.

（2）由，則，再將條件代入，由是兩個不共線的向量，從而可求解.【詳解】解析（1）由已知得..又與有公共點，，，三點共線.（2）由（1）可知，又，∴可設，，即，解得.【點睛】本題考查向量共線定理、減法的三角形法則，考查學生分析解決問題的實力．屬于基礎題.19.對某校高三年級學生參與社區(qū)服務次數進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參與社區(qū)服務的次數，依據此數據作出了頻數與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖.分組

頻數

頻率

[10,15)

10

0.25

[15,20)

24

n

[20,25)

m

p

[25,30]

2

0.05

合計

M

1

(1)求出表中M，p及圖中a的值；(2)若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參與社區(qū)服務的次數在區(qū)間[10,15)內的人數；(3)估計這次學生參與社區(qū)服務人數的眾數、中位數以及平均數．【答案】見解析【解析】(1)由分組[10,15)內的頻數是10，頻率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因為頻數之和為40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因為a是對應分組[15,20)的頻率與組距的商，所以a＝＝0.12.(2)因為該校高三學生有240人，在[10,15)內的頻率是0.25，所以估計該校高三學生參與社區(qū)服務的次數在此區(qū)間內的人數為60.(3)估計這次學生參與社區(qū)服務人數的眾數是＝17.5.因為n＝＝0.6，所以樣本中位數是15＋≈17.1，估計這次學生參與社區(qū)服務人數的中位數是17.1.樣本平均人數是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，估計這次學生參與社區(qū)服務人數的平均數是17.25.考點：中位數、眾數、平均數.20.已知分別為內角對邊，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知點在邊上，，，求．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】【分析】（Ⅰ）由余弦定理化簡已知可得，可求得，結合范圍，可求的值．（Ⅱ）由已知可求得，由余弦定理求得的值，可求的值，在中，由余弦定理可得的值．【詳解】解：（Ⅰ）∵，∴整理可得：，∴，∵，∴，（Ⅱ）∵，，，可得：，∴由余弦定理，可得，可得：，∴解得：（負值舍去），∴，∴中，由余弦定理可得：．【點睛】本題主要考查了余弦定理及方程思想，還考查了計算實力及轉化實力，屬于中檔題．21.中學生研學旅行是通過集體旅行、集中食宿方式開展的探討性學習和旅行體驗相結合的校外教化活動，是學校教化和校外教化連接的創(chuàng)新形式，是綜合實踐育人的有效途徑.每年暑期都會有大量中學生參與研學旅行活動.為了解某地區(qū)中學生暑期研學旅行支出狀況，在該地區(qū)各個中學隨機抽取了部分中學生進行問卷調查，從中統(tǒng)計得到中學生暑期研學旅行支出（單位：百元）頻率分布直方圖如圖所示.（1）利用分層抽樣在，，三組中抽取5人，應從這三組中各抽取幾人？（2）從（1）抽取的5人中隨機選出2人，對其消費狀況進行進一步分析，求這2人不在同一組的概率；（3）假設同組中的每個數據都用該區(qū)間的左端點值代替，估計該地區(qū)中學生暑期研學旅行支出的平均值.【答案】（1）從這三組