2024秋新教材高中數(shù)學(xué)階段驗(yàn)收評(píng)價(jià)三統(tǒng)計(jì)與概率新人教A版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE1階段驗(yàn)收評(píng)價(jià)（三）統(tǒng)計(jì)與概率一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1．某學(xué)校共有36個(gè)班級(jí)，每班50人，現(xiàn)要求每班派3名代表參與會(huì)議，在這個(gè)問(wèn)題中，樣本容量是 ()A．30 B．50C．108 D．150解析：選C由樣本的定義知，樣本容量n＝36×3＝108.2．小波一星期的總開(kāi)支分布如圖①所示，一星期的食品開(kāi)支如圖②所示，則小波一星期的雞蛋開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為 ()A．1% B．2%C．3% D．5%解析：選C由題圖②知，小波一星期的食品開(kāi)支為300元，其中雞蛋開(kāi)支為30元，占食品開(kāi)支的10%，而食品開(kāi)支占總開(kāi)支的30%，所以小波一星期的雞蛋開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為3%.3．某校高三級(jí)部分為甲、乙兩個(gè)級(jí)部，現(xiàn)用分層抽樣的方法從高三級(jí)部中抽取30名老師去參與教研會(huì)．已知乙級(jí)部中每名老師被抽到的可能性都為eq\f(1,3)，則高三級(jí)部的全體老師的人數(shù)為 ()A．10 B．30C．60 D．90解析：選D因?yàn)橐壹?jí)部中每名老師被抽到的可能性都為eq\f(1,3)，所以高三年級(jí)中每名老師被抽到的可能性都為eq\f(1,3)，由30÷eq\f(1,3)＝90(人)，可得全體老師人數(shù)．4．從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么，互斥而不對(duì)立的事務(wù)是()A．至少有一個(gè)紅球；都是紅球B．至少有一個(gè)紅球；都是白球C．至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)白球D．恰有一個(gè)紅球；恰有兩個(gè)紅球解析：選D依據(jù)互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的定義可得．5．已知一組數(shù)據(jù)8,9,10，x，y的平均數(shù)為9，方差為2，則x2＋y2＝()A．162 B．164C．168 D．170解析：選D由題意可知eq\f(1,5)(8＋9＋10＋x＋y)＝9，eq\f(1,5)[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(x－9)2＋(y－9)2]＝2，解得x2＋y2＝170.6.如圖是一容量為100的樣本的質(zhì)量的頻率分布直方圖，則由圖可估計(jì)樣本質(zhì)量的中位數(shù)為 ()A．11 B．11.5C．12 D．12.5解析：選C由頻率分布直方圖得組距為5，故樣本質(zhì)量在[5,10)，[10,15)內(nèi)的頻率分別為0.3和0.5，從而中位數(shù)為10＋eq\f(0.2,0.5)×5＝12，故選C.7．種植兩株不同的花卉，若它們的成活率分別為p和q，則恰有一株成活的概率為()A．p＋q－2pq B．p＋q－pqC．p＋q D．pq解析：選A恰有一株成活的概率為p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2pq.8．(2024·新高考山東卷)某中學(xué)的學(xué)生主動(dòng)參與體育熬煉，其中有96%的學(xué)生喜愛(ài)足球或游泳，60%的學(xué)生喜愛(ài)足球，82%的學(xué)生喜愛(ài)游泳，則該中學(xué)既喜愛(ài)足球又喜愛(ài)游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是 ()A．62% B．56%C．46% D．42%解析：選C不妨設(shè)該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為100，既喜愛(ài)足球又喜愛(ài)游泳的學(xué)生人數(shù)為x，則100×96%＝100×60%－x＋100×82%，解得x＝46，所以既喜愛(ài)足球又喜愛(ài)游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是46%.故選C.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)9．下列說(shuō)法正確的是 ()A．一組數(shù)據(jù)不行能有兩個(gè)眾數(shù)B．一組數(shù)據(jù)的方差必需是正數(shù)C．將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一常數(shù)后，方差不變D．在頻率分布直方圖中，每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)小組的頻率解析：選CDA錯(cuò)，眾數(shù)可以有多個(gè)；B錯(cuò)，方差可以為0.10．不透亮的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次隨意取出2張卡片，則與事務(wù)“2張卡片都為紅色”互斥而非對(duì)立的事務(wù)是 ()A．2張卡片都不是紅色B．2張卡片恰有一張紅色C．2張卡片至少有一張紅色D．2張卡片都為綠色解析：選ABD從6張卡片中一次取出2張卡片的全部狀況有“2張都為紅色”“2張都為綠色”“2張都為藍(lán)色”“1張紅色1張綠色”“1張紅色1張藍(lán)色”“1張綠色1張藍(lán)色”，在選項(xiàng)給出的四個(gè)事務(wù)中，與“2張卡片都為紅色”互斥而非對(duì)立的事務(wù)有“2張卡片都不是紅色”“2張卡片恰有一張紅色”“2張卡片都為綠色”，而“2張卡片至少有一張紅色”包含事務(wù)“2張卡片都為紅色”，二者并非互斥事務(wù)．故選A、B、D.11．在一個(gè)古典概型中，若兩個(gè)不同的隨機(jī)事務(wù)A，B發(fā)生的概率相等，則稱A和B是“等概率事務(wù)”，如：隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子一次，事務(wù)“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”和“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”是“等概率事務(wù)”．關(guān)于“等概率事務(wù)”，以下推斷正確的是()A．在同一個(gè)古典概型中，全部的樣本點(diǎn)之間都是“等概率事務(wù)”B．若一個(gè)古典概型的事務(wù)總數(shù)大于2，則在這個(gè)古典概型中除樣本點(diǎn)外沒(méi)有其他“等概率事務(wù)”C．因?yàn)槿勘囟ㄊ聞?wù)的概率都是1，所以隨意兩個(gè)必定事務(wù)都是“等概率事務(wù)”D．同時(shí)拋擲三枚硬幣一次，則事務(wù)“僅有一個(gè)正面”和“僅有兩個(gè)正面”是“等概率事務(wù)”解析：選AD對(duì)于A，由古典概型的定義知，全部樣本點(diǎn)的概率都相等，故全部的樣本點(diǎn)之間都是“等概率事務(wù)”，故A正確；對(duì)于B，如在1,3,5,7,9五個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，所得和為8和10這兩個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題可知“等概率事務(wù)”是針對(duì)同一個(gè)古典概型的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，同時(shí)拋擲三枚硬幣一次共有8種不同的結(jié)果，其中“僅有一個(gè)正面”包含3種結(jié)果，其概率為eq\f(3,8)，“僅有兩個(gè)正面”包含3種結(jié)果，其概率為eq\f(3,8)，故這兩個(gè)事務(wù)是“等概率事務(wù)”，故D正確．故選A、D.12．下列對(duì)各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是 ()A．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為eq\f(4,27)B．三人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨(dú)立的，則此密碼被破譯的概率為eq\f(2,5)C．從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的肯定值為2的概率是eq\f(1,3)D．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事務(wù)A發(fā)生的概率是eq\f(2,9)解析：選AC對(duì)于A，該生在第3個(gè)路口首次遇到紅燈的狀況為前2個(gè)路口不是紅燈，第3個(gè)路口是紅燈，所以概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27)，故A正確；對(duì)于B，用A，B，C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼，則P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，“三個(gè)人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為eq\f(4,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5)，所以此密碼被破譯的概率為1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，該試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，記A為“取出的2個(gè)數(shù)之差的肯定值為2”，則A＝{(1,3)，(2,4)}，故所求概率為eq\f(1,3)，故C正確；對(duì)于D，易得P(A∩eq\x\to(B))＝P(B∩eq\x\to(A))，即P(A)P(eq\x\to(B))＝P(B)P(eq\x\to(A))，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，所以P(A)＝P(B)，又P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，所以P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)，所以P(A)＝eq\f(2,3)，故D錯(cuò)誤．故選A、C.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．某學(xué)校三個(gè)愛(ài)好小組的學(xué)生人數(shù)分布如下表(每名同學(xué)只參與一個(gè)小組)(單位：人)：籃球組書(shū)畫(huà)組樂(lè)器組高一4530a高二151020學(xué)校要對(duì)這三個(gè)小組的活動(dòng)效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣，從參與這三個(gè)愛(ài)好小組的學(xué)生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為_(kāi)_______．解析：由題意知，eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,120＋a)，解得a＝30.答案：3014．一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個(gè)數(shù)字的和等于第三個(gè)數(shù)字時(shí)稱為“有緣數(shù)”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率為_(kāi)_______．解析：由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321，共6個(gè)；同理，由1,2,4組成的三位自然數(shù)為6個(gè)，由1,3,4組成的三位自然數(shù)為6個(gè)，由2,3,4組成的三位自然數(shù)為6個(gè)，共有24個(gè)．由1,2,3或1,3,4組成的三位自然數(shù)為“有緣數(shù)”，共12個(gè)，所以三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)15．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)高鐵發(fā)展快速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)全部車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為_(kāi)_______．解析：∵eq\x\to(x)＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98，∴經(jīng)停該站高鐵列車(chē)全部車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.98.答案：0.9816．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出一個(gè)球，摸出紅球或白球的概率為0.58，摸出紅球或黑球的概率為0.62，那么摸出白球的概率為_(kāi)_____；摸出紅球的概率為_(kāi)_______．解析：由題意知A＝“摸出紅球或白球”與B＝“摸出黑球”是對(duì)立事務(wù)，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出紅球或黑球”與D＝“摸出白球”也是對(duì)立事務(wù)，∵P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.設(shè)事務(wù)E＝“摸出紅球”，則P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.答案：0.380.2四、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)某公司為了了解一年內(nèi)的用水狀況，抽取了10天的用水量如下表所示：天數(shù)1112212用水量/噸22384041445095(1)在這10天中，該公司用水量的平均數(shù)是多少？(2)在這10天中，該公司每天用水量的中位數(shù)是多少？(3)你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)用平均數(shù)和中位數(shù)中的哪一個(gè)數(shù)來(lái)描述該公司每天的用水量更合適？解：(1)eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(噸)．(2)中位數(shù)為eq\f(41＋44,2)＝42.5(噸)．(3)平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值(2個(gè)95)影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)牢靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位數(shù)描述每天的用水量更合適．18．(12分)小王某天乘火車(chē)從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9，假設(shè)這三列火車(chē)之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響．求：(1)這三列火車(chē)恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；(2)這三列火車(chē)至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率．解：用A，B，C分別表示這三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的事務(wù)，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.2，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.3，P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝0.1.(1)由題意得A，B，C之間相互獨(dú)立，所以恰好有兩列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率為P1＝P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)＋P(A)P(B)P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火車(chē)至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為P2＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.19．(12分)兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，在10天中，兩臺(tái)機(jī)床每天的次品數(shù)如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪臺(tái)機(jī)床次品數(shù)的平均數(shù)較??？(2)哪臺(tái)機(jī)床的生產(chǎn)狀況比較穩(wěn)定？解：(1)eq\x\to(x)甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×eq\f(1,10)＝1.5，eq\x\to(x)乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×eq\f(1,10)＝1.2.∵eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，∴乙機(jī)床次品數(shù)的平均數(shù)較小．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理seq\o\al(2,乙)＝0.76，∵seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，∴乙機(jī)床的生產(chǎn)狀況比較穩(wěn)定．20．(12分)甲、乙兩人玩一種嬉戲，每次由甲、乙各出1到5根手指頭，若和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏．(1)若以A表示和為6的事務(wù)，求P(A)．(2)現(xiàn)連玩三次，若以B表示甲至少贏一次的事務(wù)，C表示乙至少贏兩次的事務(wù)，試問(wèn)B與C是否為互斥事務(wù)？為什么？(3)這種嬉戲規(guī)則公允嗎？試說(shuō)明理由．解：(1)樣本空間與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*，1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一對(duì)應(yīng)．因?yàn)镾中點(diǎn)的總數(shù)為5×5＝25(個(gè))，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為n＝25.事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)共5個(gè)，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，所以P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B與C不是互斥事務(wù)，因?yàn)槭聞?wù)B與C可以同時(shí)發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事務(wù)即符合題意．(3)這種嬉戲規(guī)則不公允．結(jié)合(1)知和為偶數(shù)的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為13個(gè)，即甲贏的概率為eq\f(13,25)，乙贏的概率為eq\f(12,25)，所以這種嬉戲規(guī)則不公允．21.(12分)某班100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成果的頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區(qū)間是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求圖中a的值；(2)依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成果的平均分；(3)若這100名學(xué)生語(yǔ)文成果某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)x與數(shù)學(xué)成果相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)y之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成果在[50,90)之外的人數(shù).分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解：(1)由頻率分布直方圖知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由頻率分布直方圖知這100名學(xué)生語(yǔ)文成果的平均分為55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由頻率分布直方圖知語(yǔ)文成果在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由題中給出的比例關(guān)系知數(shù)學(xué)成果在上述各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為5,40×eq\f(1,2)＝20,30×eq\f(4,3)＝40,20×eq\f(5,4)＝25.故數(shù)學(xué)成果在[50,90)之外的人數(shù)為100－(5＋20＋40＋25)＝10.22．(12分)改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的運(yùn)用狀況，從全校全部的100