教學案例：問題數學化-生活數學的切入點

問題數學化一生活數學的切入點

很多人認為數學數學尤其是高中數學很枯燥，和實際生活沒有聯(lián)系，看到一個實際問題

不知道如何將問題數學化，更不要說解決問題了。本文以一節(jié)展示課《直線與圓的位置關系

復習》為例，來尋找生活的問題的切入點。

直線與圓的位置關系是平面解析幾何的基礎知識，也是高考的熱點問題之一。它既復習

了前面的直線與圓的方程，又為今后復習直線與圓錐曲線的位置關系奠定了基礎，有著廣泛

的應用。

1.數學源于生活

導入語：大家知道數學來源于生活，又服務于生活。下面有一道生活問題，你能用學過

的哪方面的知識求解？

【問題引入】

在一個特定的時間內，以。為中心的5米范圍內（不包括邊界）被設為危險區(qū)域，某人

在。點的南偏西6（其中sin6=』）的方向上，且距。點13米的A地，若他向東北方向直

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行，會進入危險區(qū)域嗎？

學生思考2分鐘后，老師問：你能用數學化的語言刻化一下，如何判定此人是否會進入

危險區(qū)域？

有些學生沉默，有些想回答。

生1：以。為中心的5米范圍是圓V+y2=25,可以求出點A坐標4-5,-12）,根據向東

北方向直行可得出直線方程為》-丁-7=0,此人是否會進入危險區(qū)域是指直線x-y-7=0上

是否存在點P在圓/+>2=25內？

生2舉手說：這個問題其實是考慮直線y-7=0與圓d+V=25的位置關系？

師：生1能不能解釋一下怎么判斷直線上是否有點在圓內？

生1：OP<5有解，應該是。尸min<5，最小值就是點。到直線x-y-7=0的距離。

生1用了函數的知識轉化為最值問題，說明前面函數復習的還是不錯的。

師：生2能否說一下怎么判斷直線x-y-7=0與圓/+產=25的位置關系？

生2：判斷圓心O到直線x-y-7=0的距離，與半徑的關系。

老師總結：兩位同學的思路都可以解釋為比較距離d和/?的大小。再將生活問題數學化

時，我們需要將每句話、每個條件翻譯成數學語言，進而轉換為數學符號語言，然后再利用

數學知識解決數學問題，最后回到實際生活問題。

引入課題：直線與圓的位置關系復習。

2.數學問題需要數學方法

提問學生3；回顧直線與圓的位置關系的定義與判定方法。

生3準確回答出定義和兩種判定方法(幾何法和代數法)。

(學生邊回答，老師邊板書。)

師：你能選擇恰當的方法解決下面問題嗎？

問題一己知圓C：(x-l)2+(y+l)2=l,直線/過點P(-2,-2),求直線/與圓C有公共點

時斜率人的取值范圍？

學生書寫時，老師巡視，發(fā)現(xiàn)有問題的個別提醒(如有公共點的含義)。學生基本都選

擇了幾何法，只見一個女同學用的代數方法，中間計算好像出了點小問題，我及時提醒了她

并鼓勵她繼續(xù)算下去。幾分鐘后，將她的答案和另一位同學答案分別進行投影對比，整理如

下:

解法一：設/:y+2=k(x+2)即解法二：設Z:y+2=A(x+2)

kx-y+2攵-2=0y+2=k(x+2)

由<I得

圓心。到直線/的距離為(A1)2+()，+1)2

(E+l)x2+(4左2—2k—2)x+(2k-I)2=0

則A=(4k2—2k—2)2-4(r+1)(2%-I)2

=-32k2+24420

即4--3^<0

BP4A:2-3A:<0

的取值范圍為OWZW士.

.?M的取值范圍為0W攵4士.4

師：請問，你覺得哪種方法比較好？為什么？

生齊聲答道：幾何法(解法一)好，因為計算量小，方法二不好化簡。

師：都認為代數法不好嗎？它沒有優(yōu)點嗎？

其他學生不知什么意思，那位女同學說：幾何法只能解決直線與圓相交的問題，不能解

決其他曲線與直線相交問題。這時其他同學已經陷入回憶中了。

師總結：每個人都有優(yōu)缺點，解題方法也一樣。這里幾何法比幾何法運算量少，簡便；

代數法比幾何法通用，主要用于直線與圓錐曲線的位置關系問題，具有運用的廣泛性。當然

解決直線和圓的有關問題時，一般還是利用幾何性質比較方便。

學生繼續(xù)做下面的變式。

變式1：過點「(-2,-2)作圓。：&-1)2+(丁+1)2=1的切線/,則切線/的方程為.

變式2：已知x,y滿足條件(x-1)?+(y+=1,則的取值范圍為____________________.

x+2

學生很快就做好了兩道題，老師歸納總結：兩道題最終都可化歸為問題一，變式1是問

題一的臨界情況，變式2可化為y+2=Z(x+2)(xo2),同問題一。這也充分體現(xiàn)了化歸的數

學思想方法。

問題二求證：直線/:2,nx-y-83=0與圓C:(x-3y+。+6)2=25有兩個不同的交

點.

學生書寫，教師巡視。發(fā)現(xiàn)學生化簡、計算能力有所欠缺。有的同學畫了草圖，發(fā)現(xiàn)直

線過一定點，且定點在圓內；有的同學在比較。與r關系時碰到了困難，及時提醒做差比較

法。過程整理如下：

解法二：設圓心C(3,-6)到/的距離為/

解法一：直為化為I-2m+3|

a=/?

(2x-8)m+(-y-3)=0V4/T?2+1

/過定點P(4,-3)”4m2-nm+9

25-d2—25-------；------

點尸(4,一3)在圓。內4機-+1

2

則直線/與圓C有兩個不同的交點v4m+1>0

96m2+12m+16>0(A<0)

25-d2〉0即“<5

直線/與圓C有兩個不同的交點

方法總結：如果直線過定點，只要先確定點和圓的位置關系，就能確定直線與圓的位置

關系，就不必用d與「關系判定了。

變式：已知直線/:23一丁一8加一3=0與圓C:(x-3)2+(y+6)2=25,求直線/被圓截得

的線段最短時直線I的方程以及最短弦長.

學生有的不思考拿到題就寫，寫到后面才知道要么計算困難，要么寫不下。畫圖觀察不

難發(fā)現(xiàn)直線過定點P(4,-3),當直線/轉到與PC垂直時，d最大，即弦長最短。沒有這些分

析，只能先將弦長表示出來轉化為分式函數求最值問題，對我們三星學校學生而言，難度可

想而知。本題體現(xiàn)了數形結合的數學思想方法，充分利用了半徑、弦心距、半弦長構成的直

角三角形來簡化運算。

3.數學方法關鍵在數學化

課上到這里，學生已有所收獲，通過課堂練習檢驗效果。

1.過點P(4,4)作圓C：f+y2—4x=0的切線，求切線/的方程.

2.圓C:/+y2-4x=0在點尸（1,百）處的切線方程是.

3.（14年高考第9題）在平面直角坐標系my中，直線x+2y-3=0被圓

（x—2）2+⑶+i）2=4截得的弦長為.

4.（15年高考第10題）在平面直角坐標系xoy中，以點（1,0）為圓心且與直線

相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程

為.

有些學生犯了這樣那樣的錯誤，有些同學先是把圖畫出了，避免一些問題發(fā)生，如：第1

題斜率不存在時，第2題點在圓上直接利用垂直求出斜率，第4題直接根據圖得出最大半徑。

老師借機表揚這些同學懂得現(xiàn)學現(xiàn)用，掌握了數形結合方法。

以往課堂小結都是臨下課，問學生今天學到了什么？學生把概念、定理等內容回答一下,

并沒有實質性的作用。這次我采用具體問題的形式總結，學生回答。

1.直線與圓的位置關系、判定方法有哪些？各有什么特點？

2.點與圓的位置關系與過此點的直線與該圓的位置關系有什么聯(lián)系？

3.求過一點的圓的切線方程的步驟及注意事項是什么？

有了這些具體問題，學生總結自然也就詳細了。

教學反思

1.以問題驅動問題教學

“問題驅動教學法”是一種建立在建構主