河南省周口市周口學校2024-2025學年高二上學期9月月考數學試題

2024-2025學年度高二9月聯考數學試題1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回?？荚嚂r間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.給出下列命題：①零向量的方向是任意的；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量，滿足，則；④空間中任意兩個單位向量必相等.其中正確命題的個數為（）A.4 B.3 C.2 D.12.如圖，在直三棱柱中，為棱的中點.設，，，則（）A. B. C. D.3.對于任意空間向量，，，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.C.若，則，的夾角是鈍角 D.4.設，向量，，且，，則（）A. B. C.5 D.65.我們把平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，過點的直線的一個法向量為，則直線的點法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標系中，經過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（）A. B.C. D.6.已知圓錐PO的母線長為2，表面積為，為底面圓心，AB為底面圓直徑，為底面圓周上一點，，為PB中點，則的面積為（）A. B. C. D.7.如圖，在棱長為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，的中點，為平面PMN上的動點，且直線與直線的夾角為，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.8.在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為矩形，.若BC邊上有且只有一個點，使得，此時二面角的余弦值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.已知平面與平面平行，若是平面的一個法向量，則平面的法向量可能為（）A. B. C. D.10.在空間直角坐標系中，有以下兩條公認事實：（）（1）過點，且以為方向向量的空間直線的方程為；（2）過點，且為法向量的平面的方程為.現已知平面，，，則（）A. B. C. D.11.如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題中正確的是（）A.兩條異面直線和所成的角為B.直線與平面ABCD所成的角等于C.點到平面的距離為D.四面體的體積是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，四棱柱為正方體.①直線的一個方向向量為；②直線的一個方向向量為；③平面的一個法向量為；④平面的一個法向量為.則上述結論正確的是________.（填序號）13.已知空間向量，，，若，，共面，則mn的最小值為________.14.設空間向量，，是一組單位正交基底，若空間向量滿足對任意的x，y，的最小值是2，則的最小值是________。四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）如圖，在直四棱柱中，，，，，，分別為棱，，的中點.（1）求的值；（2）證明：C，E，F，G四點共面.16.（15分）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的菱形，，.（1）求線段的長；（2）求證：.17.（15分）已知空間中三點，，.（1）若向量與平行，且，求的坐標；（2）求向量在向量上的投影向量；（3）求以CB，CA為鄰邊的平行四邊形的面積.18.（17分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD內過作，交AD于，連PO.（1）求證：平面ABCD；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段PA上存在一點，使直線BM與平面PAD所成的角的正弦值為，求PM的長.19.（17分）將菱形ABCD繞直線AD旋轉到AEFD的位置，使得二面角的大小為，連接BE，CF，得到幾何體.已知，，，分別為AF，BD上的動點且.（1）證明：平面CDF；（2）求BE的長；（3）當MN的長度最小時，求直線MN到平面CDF的距離.

2024-2025學年度高二9月聯考數學參考答案及評分意見1.D【解析】零向量的方向是任意的，并不是沒有方向，故①正確；當兩個空間向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等.但兩個向量相等，起點和終點不一定相同，故②錯誤；根據相等向量的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量與的方向不一定相同，故③錯誤；對于命題④，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故④錯誤.故選D.2.A【解析】由題意可得.故選A.3.B【解析】對于A，若，，則，不一定垂直，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，若，夾角為，則成立，故C錯誤，對于D，表示與共線的向量，而表示與共線的向量，所以與不一定相等，故D錯誤，故選B.4.D【解析】因為，則，解得，則，因為，則，解得，即，所以，，因此，.故選D.5.B【解析】根據題意進行類比，在空間任取一點，則，平面的法向量為，，.故選B.6.A【解析】設底面圓的半徑為，則，解得或（舍去），則，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，，，故，，所以，，故，所以，所以.故選A.7.C【解析】以為坐標原點，，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，故，，，設平面PMN的法向量為，則令得，，故.因為，故平面PMN，Q為平面PMN上的動點，直線與直線的夾角為，平面PMN，設垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點的軌跡，其中，由對稱性可知，，故半徑，故點的軌跡長度為.故選C.8.C【解析】平面，平面，，又，，，平面，平面PAQ，又平面，；設，，，，，，，即，關于的方程有且僅有一個范圍內的解，曲線的對稱乾為，，解得：，.以為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，軸平面，平面PAD的一個法向量是；設平面PDQ的法向量是，則令，解得：，，，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.故選C.9.AD【解析】設平面的法向量為，則由題意可得，對于A選項，，滿足題意；對于B選項，設，無解，所以不符合題意；對于C選項，設，無解，所以不符合題意；對于D選項，，滿足題意.故選AD.10.AC【解析】平面，則平面法向量為，對則，即，所以過點，方向向量為，所以，所以，所以，故A正確，D錯誤；對，即，所以過點，方向向量為，點代入平面方程成立，所以與平面有公共點，故B錯誤；對，所以過點，方向向量為，因為，所以，所以或，但點代入平面方程不成立，故，所以，所以C正確.故選AC.11.BCD【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，.對A：，，故，故，即異面直線和所成的角為，故A錯誤；對B：，由軸平面ABCD，故平面ABCD的一個法向量為，則，故直線與平面ABCD所成的角為，故B正確；對C：，，，設平面的法向量為，則有令，則，故點到平面的距離，故C正確；對D：易得四面體為正四面體，則，故D正確.故選BCD.12.①②③【解析】設正方體的棱長為1.因為，且，所以①正確；因為，，所以②正確；因為平面，，所以③正確；因為正方體中平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，而與相交，不平行，則與平面不垂直，故不是平面的法向量，所以④錯誤.故答案為①②③.13.【解析】因為，，共面，，不共線，所以設，即，即，解得所以，，因為，所以mn的最小值為.故答案為.14.1【解析】以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，設，則，當，時，的最小值是，。取，則，。又，是任意值，的最小值是5.取，則，.又是任意值，的最小值是1.故答案為1.15.（1）解：在直四棱柱中，，易得，，，兩兩垂直.故以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.，，，，.，..（2）證明：由（1）得：.令，即解得.故C，E，F，G四點共面.16.（1）解：設，，，則，.，則，.，，故線段的長為.（2）證明：，，故.17.解：（1）由已知可得，因為向量與平行，設，其中，則，解得.所以，或.（2）由，可得，所以.又由，可得向量的單位向量為，故向量在向量上的投影向量.（3）由題可得：，，所以，所以，所以，以CB，CA為鄰邊的平行四邊形的面積為.18.解：（1），，四邊形BODC為矩形，.在中，，，，則，，.又平面平面，平面PAD，平面平面，平面ABCD.（2）以為原點，OA為軸，OB為軸，OP為軸，建立空間直角坐標系如下圖所示，，，可得，則，，，，.設平面APB的法向量為，，，由取.設平面CPB的法向量為，，由取.設二面角的平面角為，則，，二面角的正弦值為.（3）設，則，又平面PAD的一個法向量為，直線BM與平面PAD所成的角的正弦值為，解得，顯然時，在線段PA上，.19.（1）證明：在AD上取點，使得，連接HM，HN，如圖1.圖1因為，所以.因為平面，平面CDF，所以平面CDF.因為，所以，又，所以.因為平面，平面CDF，所以平面CDF.因為且HM，HN都在平面HMN內，所以平面平面CDF.因為平面HMN，所以平面CDF.（2）解：取AD的中點，連接OE，OB，ED，如圖2.圖2由題意可得，是邊長為4的正三角形，則，，且，所以為二面角的平面角，即，則為正三角形，所以.（3）解：取OB的中點，連接EG，則，且.由（2）得，，，，平面OBE，所以平