高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)第04講數(shù)列的通項(xiàng)公式(練習(xí))(原卷版+解析)

第04講數(shù)列的通項(xiàng)公式（模擬精練+真題演練）1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20252．（2023·北京朝陽(yáng)·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，則（

）A．9 B．16 C．31 D．333．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列1，，，，3，，…，，…，則7是這個(gè)數(shù)列的（

）A．第21項(xiàng) B．第23項(xiàng) C．第25項(xiàng) D．第27項(xiàng)4．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，（

）A． B． C． D．5．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（

）A． B．C． D．6．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，若滿足，則（

）A． B． C． D．7．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．16 C． D．328．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，則的前項(xiàng)和的最大值為（

）A．64 B．53 C．42 D．259．（多選題）（2023·廣東韶關(guān)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列正確的是（

）A． B． C． D．10．（多選題）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”（下圖所示的是一個(gè)4層的三角跺）.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的球的總數(shù)為，則（

）A． B．C． D．11．（多選題）（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列12．（多選題）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和．下面幾個(gè)條件中，能推出是等差數(shù)列的為（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，13．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則“”是“”的條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一種）14．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．15．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.16．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則．17．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值.18．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列中，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.19．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）如果數(shù)列對(duì)任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.(1)請(qǐng)寫出一個(gè)速增數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明你寫出的數(shù)列符合要求；(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)的最大值.21．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．(1)分別求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，求出數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)若，，證明：；(2)在（1）的條件下，若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證1．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．2．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和．（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．3．（2023?全國(guó)）已知為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和．4．（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．5．（2022?天津）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：；6．（2021?乙卷）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前項(xiàng)和．證明：．7．（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．8．（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和．9．（2021?乙卷）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式．10．（2021?浙江）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．11．（2020?海南）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求．

第04講數(shù)列的通項(xiàng)公式（模擬精練+真題演練）1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【解析】由題意，，，兩式相減，得，．，．當(dāng)時(shí)，，，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．．故選：B2．（2023·北京朝陽(yáng)·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，則（

）A．9 B．16 C．31 D．33【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，則.故選:B.3．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列1，，，，3，，…，，…，則7是這個(gè)數(shù)列的（

）A．第21項(xiàng) B．第23項(xiàng) C．第25項(xiàng) D．第27項(xiàng)【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列的第項(xiàng)為，而，所以7是題中數(shù)列的第25項(xiàng)．故選：C4．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，所以，因?yàn)椋允且?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以．故選：D5．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由相鄰層球的個(gè)數(shù)差，可知，，所以當(dāng)時(shí)，，將代入得，符合所以，對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選：D.6．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，，得，當(dāng)時(shí)，，，，，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，.故選：C7．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．16 C． D．32【答案】D【解析】，數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為2的等比數(shù)列，，解得或（舍），，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，.故選：.8．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，則的前項(xiàng)和的最大值為（

）A．64 B．53 C．42 D．25【答案】B【解析】由,得,令,所以,則,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以,即,即,由,將以上個(gè)等式兩邊相加得,所以,經(jīng)檢驗(yàn)滿足上式，故當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減,因?yàn)?所以的前項(xiàng)和的最大值為，故選：B9．（多選題）（2023·廣東韶關(guān)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，6是偶數(shù)，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，，，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（多選題）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”（下圖所示的是一個(gè)4層的三角跺）.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的球的總數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由題意得，，以上n個(gè)式子累加可得，又滿足上式，所以，故A錯(cuò)誤；則，得，故B正確；有，故C正確；由，得，故D正確.故選：BCD.11．（多選題）（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列【答案】CD【解析】，則，即，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，即，，.對(duì)選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，故數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；故選：CD.12．（多選題）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和．下面幾個(gè)條件中，能推出是等差數(shù)列的為（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，且，兩式相減可得，即．所以是恒為0的數(shù)列，即是公差為0的等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，且，兩式相減可得，即，所以，即是常數(shù)列，是公差為0的等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，如果，令可得，當(dāng)時(shí)，且，兩式相減可得，如果，則，這并不能推出是等差數(shù)列，例如：考慮如下定義的數(shù)列：1，1，2，2，3，3，，則其通項(xiàng)公式可寫成，．則，．即數(shù)列1，1，2，2，3，3，滿足對(duì)任意正整數(shù)成立，但它并不是等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，且，兩式相減可得，所以，即，故，即是公差為的等差數(shù)列，故D正確；故選：ABD．13．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則“”是“”的條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一種）【答案】充分不必要【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足上式，所以，所以，，所以成立，由可得，，，所以此時(shí)滿足，但不一定，所以“”是“”的充分不必要條件，故答案為：充分不必要14．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【解析】，兩邊同除得：，所以，即，化簡(jiǎn)得，∵，∴．故答案為：.15．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【解析】由題意…①，，…②，②①得：，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，不適合上式.

；故答案為：.16．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則．【答案】【解析】數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，即，當(dāng)時(shí)，，即有，當(dāng)時(shí)，，即，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：17．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值.【解析】（1）因?yàn)?，且，，所以，解得，所以，?dāng)時(shí)，所以，即，當(dāng)時(shí)也成立，所以；（2）由（1）可得，所以.18．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列中，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.【解析】（1）因?yàn)?，即，所以?dāng)時(shí)，，將以上各式相加，得，則，當(dāng)時(shí)也符合上式，故.（2）由題意.所以19．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，又因?yàn)椋瑵M足上式，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.（2）因?yàn)椋?20．（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測(cè)）如果數(shù)列對(duì)任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.(1)請(qǐng)寫出一個(gè)速增數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明你寫出的數(shù)列符合要求；(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)的最大值.【解析】（1）取，則，，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是“遞增數(shù)列”.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為“速增數(shù)列”，所以，且，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)的最大值為63.21．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．(1)分別求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，則，（2）由（1）知，，，所以，所以，，所以，所以，化簡(jiǎn)得.22．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)若，，證明：；(2)在（1）的條件下，若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證【解析】（1）因?yàn)?，，所以，，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，所以成立.（2）由（1）知，，所以，則，所以，所以成立.1．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，為的前項(xiàng)和，，，則，即，解得，故；（2）證明：由（1）可知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，故原式得證．2．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和．（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．【解析】（1），，根據(jù)題意可得，，，又，解得，，，；（2）為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，且，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，可設(shè)，則，且；或設(shè)，則，且，①當(dāng)，，時(shí)，則，，，又，解得；②當(dāng)，，時(shí)，則，，，又，此時(shí)無(wú)解，綜合可得．3．（2023?全國(guó)）已知為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和．【解析】（1）為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，．，，則，兩式作商得，即，得，，則，．（2），當(dāng)時(shí)，，即是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)，則．4．（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．【解析】（1）已知，是公差為的等差數(shù)列，所以，整理得，①，故當(dāng)時(shí)，，②，①②得：，故，化簡(jiǎn)得：，，，，；所以，故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．所以．證明：（2）由于，所以，所以．5．（2022?天津）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：；【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，，，解得，，．（2）證明：，要證明，即證明，即證明，即證明，由數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的關(guān)系得：，．6．（2021?乙卷）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前項(xiàng)和．證明：．【解析】（1），，成等差數(shù)列，，是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，，．（2）證明：由（1）知，，，，①，②①②得，，，，．7．（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)