數(shù)字信號處理（第3版）課件 第08章 離散時間濾波器的設(shè)計

第8章離散時間濾波器的設(shè)計8.1技術(shù)指標(biāo)8.2由連續(xù)時間濾波器設(shè)計IIR濾波器

8.2.1脈沖響應(yīng)不變法

8.2.2雙線性變換法8.3窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器

8.3.1設(shè)計思想

8.3.1布萊克曼窗族

8.3.2凱澤窗族8.4FIR濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計因果穩(wěn)定可實現(xiàn)的濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)包括以下幾個步驟：(1)根據(jù)需要制定濾波器的技術(shù)指標(biāo)即頻率響應(yīng)，包括幅度和相位兩方面的要求；(2)用因果穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)逼近這些技術(shù)指標(biāo)。對于FIR濾波器就是找到一個頻率響應(yīng)滿足指標(biāo)要求的因果有限長的單位脈沖響應(yīng)h[n]；而對IIR濾波器則是找到一個頻率響應(yīng)滿足指標(biāo)要求的因果穩(wěn)定的有理系統(tǒng)函數(shù)H(z)；(3)為實現(xiàn)該濾波器選擇一有限精度的軟件算法或硬件結(jié)構(gòu)；(4)驗證在選定的實現(xiàn)算法和精度情況下頻響特性是否符合指標(biāo)要求，如果產(chǎn)生了偏差則對h[n]或H(z)進(jìn)行修正；(5)實現(xiàn)該濾波器。8.1技術(shù)指標(biāo)等效的模擬系統(tǒng)通帶容差阻帶容差通帶截止頻率阻帶截止頻率3dB/半功率截止頻率低通濾波器的幅度響應(yīng)容限圖（對理想幅度響應(yīng)的逼近程度）若給出的是等效模擬系統(tǒng)的幅度響應(yīng),即橫坐標(biāo)是,給出的截止頻率是,則需轉(zhuǎn)換得到數(shù)字的截止頻率:帶通濾波器的容限圖ωsl下阻帶截止頻率ωpl下通帶截止頻率ωpu上通帶截止頻率ωsu上阻帶截止頻率π1-δpδs有時要求通帶幅度不能超過1對數(shù)增益:3dB截止頻率對應(yīng)的對數(shù)增益:在工程實際中，相對指標(biāo)最受歡迎。8.2由連續(xù)時間濾波器設(shè)計IIR濾波器首先設(shè)計一個連續(xù)時間濾波器（稱為原型連續(xù)時間濾波器），得到系統(tǒng)函數(shù)Hc(s)

；再將系統(tǒng)函數(shù)Hc(s)轉(zhuǎn)換成離散時間濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

。Hc(s)到H(z)的轉(zhuǎn)換過程實際上是s平面到z平面的映射過程，該映射需要滿足兩個要求：一是要求所得到的離散時間濾波器的頻率響應(yīng)保持連續(xù)時間濾波器頻率響應(yīng)的基本特征，即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓，且離散時間濾波器與連續(xù)時間濾波器的頻率響應(yīng)的類型保持不變；二是要求將一個因果穩(wěn)定的連續(xù)時間濾波器轉(zhuǎn)換成一個因果穩(wěn)定的離散時間濾波器，即將在s左半平面的極點全部轉(zhuǎn)換成在z平面單位圓內(nèi)的極點。虛軸映射到單位圓左半平面的極點映射到單位圓內(nèi)S平面映射到Z平面8.2.0連續(xù)時間濾波器設(shè)計簡介3種常用的連續(xù)時間濾波器的幅度響應(yīng)：（1）

巴特沃斯：通帶和阻帶均單調(diào)下降； 切比雪夫I型：通帶內(nèi)等波紋，阻帶單調(diào)下降； 切比雪夫II型：阻帶內(nèi)等波紋，通帶單調(diào)下降； 橢圓：通帶、阻帶內(nèi)具有等波紋特性。（2）在相同階數(shù)時，性能比較：

幅度的理想程度：巴特沃斯<切比雪夫<橢圓（最好）

相位的線性程度：巴特沃斯>切比雪夫>橢圓（最差）（3）設(shè)計復(fù)雜度比較：

巴特沃斯<切比雪夫<橢圓（最難）四種濾波器的比較N=4N=10N=21巴特沃斯幅度響應(yīng)特點：單調(diào)下降巴特沃斯濾模擬低通波器的設(shè)計公式（只需了解）

幅度平方函數(shù)：計算階數(shù)和3分貝截止頻率：OR計算極點:寫出系統(tǒng)函數(shù)：向上取整全極點型

設(shè)計巴特沃斯模擬低通濾波器:[N,Wc]=buttord(2000*pi,4000*pi,1,15,'s')[Bs,As]=butter(N,Wc,'s')

[H,W]=freqs(Bs,As);plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H))))%橫坐標(biāo)單位Hzgridonsys=tf(Bs,As,1) %傳遞函數(shù)H(s)[h,t]=impulse(sys)%單位脈沖響應(yīng)h(t)舉例N=4Wc=8193.2Bs=0

0

004.50626962075051e+015As=121409.8996968242229191902.5140371437219891054.274.50626962075051e+015

Transferfunction:

4.506e015--------------------------------------------------------------------------------z^4+2.141e004z^3+2.292e008z^2+1.437e012z+4.506e015h=1.0e+019*00000.0005-9.6479t=012345輸出|Hc(jΩ)|Hz[N,Wc]=buttord(2000*pi,4000*pi,1,15,'s')[z,p,k]=butter(N,Wc,'s')輸出:z=Emptymatrix:0-by-1p=(1.0e+003)* -7.5695+3.1354i -7.5695-3.1354i -3.1354+7.5695i -3.1354-7.5695ik=4.5063e+015解法2

設(shè)計chebyI型模擬低通濾波器:[N,Wc]=cheb1ord(2000*pi,4000*pi,1,15,'s')[Bs,As]=cheby1(N,1,Wc,'s')

[H,W]=freqs(Bs,As);plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H))))axis([0,4000,-30,0])gridon舉例

設(shè)計chebyII型模擬低通濾波器:[N,Wc]=cheb2ord(2000*pi,4000*pi,1,15,'s')[Bs,As]=cheby2(N,15,Wc,'s')

[H,W]=freqs(Bs,As);plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H))))axis([0,4000,-30,0])gridon舉例

設(shè)計模擬高通濾波器:[N,Wc]=buttord(4000*pi,2000*pi,1,15,'s')[Bs,As]=butter(N,Wc,

'high',

's')

[H,W]=freqs(Bs,As);plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H))))axis([0,4000,-16,0])gridon帶通帶阻濾波器的通帶和阻帶截止頻率分別是2維,帶阻用參數(shù)’stop’舉例8.2.1脈沖響應(yīng)不變法

1.設(shè)計思想使離散時間濾波器的單位脈沖響應(yīng)為原型連續(xù)時間濾波器的單位脈沖響應(yīng)的取樣

:就可以根據(jù)原型連續(xù)時間濾波器的系統(tǒng)函數(shù)確定離散時間濾波器的系統(tǒng)函數(shù):先將連續(xù)時間濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分解成部分分式：2.系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換方法

再寫出離散時間濾波器的系統(tǒng)函數(shù):推導(dǎo)3.因果穩(wěn)定性極點的映射關(guān)系:4．頻率響應(yīng)的映射特點如果連續(xù)時間濾波器是帶限的，即則混迭小的情況下，近似認(rèn)為頻響是線性關(guān)系。離散時間濾波器與原型連續(xù)時間濾波器的頻率響應(yīng)的自變量之間的映射關(guān)系是：

splanezplane虛軸映射到單位圓是多對一，頻率軸每繞一圈頻響累加一次，所以頻響有混迭。(1)離散時間濾波器的指標(biāo)原型連續(xù)時間濾波器的指標(biāo)

(2)設(shè)計(3)注意：如果給出的等效模擬指標(biāo)，則必須首先按照比例T線性轉(zhuǎn)換成數(shù)字指標(biāo)。5.設(shè)計步驟

原型模擬濾波器的指標(biāo)由數(shù)字濾波器的指標(biāo)根據(jù)頻響線性關(guān)系推出（比例是Td）Td與圖5.4-1中的T沒有任何關(guān)系，不要混淆。若從離散時間指標(biāo)開始設(shè)計，則Td的取值大小不影響混迭程度，也不影響離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。所以可以任意

取值，為了簡單起見，常令Td

=1。6.關(guān)于Td優(yōu)點：頻率的線性映射;缺點：頻率響應(yīng)有混迭，應(yīng)用只限于帶限濾波器的設(shè)計，應(yīng)用于高通或帶阻濾波器設(shè)計時會產(chǎn)生嚴(yán)重的頻響混疊。7.特點設(shè)計BW型帶通濾波器Td=1;[N,Wc]=buttord([0.45*pi/Td0.55*pi/Td],[0.4*pi/Td0.6*pi/Td],3,10,'s')[Bs,As]=butter(N,Wc,'s')[H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/pi,20*(log10(abs(H))),'r*') holdon[B,A]=impinvar(Bs,As,1/Td)[H,w]=freqz(B,A);plot(w/pi,20*(log10(abs(H)))) ylabel('20log|H_c(j\Omega)|or20log|H(e^{j\omega})|[dB]')xlabel('\Omega[*\pirad/s]or\omega[*\pirad]')legend('20log|H_c(j\Omega)|','20log|H(e^{j\omega})|');gridon舉例輸出N=2B=

-2.08166817117217e-0170.02533411601147-0.08998765608813040.03222949003179630A=1-0.03156494374085811.52771644354896-0.01862971723731970.618192002381903 [N,Wc]=buttord(0.6*pi,0.5*pi,1,12,'s') [Bs,As]=butter(N,Wc,'high','s') [Bz,Az]=impinvar(Bs,As,1) [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/pi,20*(log10(abs(H))),'r') figure [H,w]=freqz(Bz,Az);

plot(w/pi,20*(log10(abs(H))))

舉例思考本例的問題出在哪里。8.2.2雙線性變換法1.設(shè)計思想s平面的整個虛軸非線性地一對一地映射到z平面的單位圓上。2.系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換方法如果<0,則|z|<1，即s左半平面的所有點都映射到z平面的單位圓內(nèi)，包括極點，所以如果原型連續(xù)時間濾波器因果穩(wěn)定則離散時間濾波器也一定因果穩(wěn)定。3.因果穩(wěn)定性

|z|=1.即虛軸映射到單位圓上(一對一映射).將帶入上式得到如果則4.頻率響應(yīng)的映射特點頻率響應(yīng)間的關(guān)系需要采用預(yù)畸變確定原型連續(xù)時間濾波器的技術(shù)指標(biāo):1)離散時間濾波器指標(biāo)原型連續(xù)時間濾波器指標(biāo)2)3)5.設(shè)計步驟

注意：如果給出的等效模擬指標(biāo)，則必須首先用比例T線性轉(zhuǎn)換成數(shù)字指標(biāo)。6.關(guān)于Td

與圖5.4-1中的T完全無關(guān)，不要混淆取值不影響最終數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，所以可取任意值。一般取1。優(yōu)點：避免了脈沖響應(yīng)不變法中的頻率響應(yīng)混疊問題；

缺點:引入了非線性頻率失真，無法實現(xiàn)線性的幅度或相位映射。只適用于濾波器具有近似分段恒定幅度響應(yīng)的情況（畸變可以通過預(yù)畸變加以補(bǔ)償）。7.特點例如：原型模擬微分器（H(s)=s，幅度響應(yīng)線性）不能通過雙線性變換法得到數(shù)字微分器（定義成應(yīng)用在對連續(xù)時間信號的離散時間處理中，能使等效的連續(xù)時間系統(tǒng)是微分器，所以頻響是）舉例wp=0.2613*pi; ws=0.4018*pi; ap=0.75; as=20;Td=1; Ws=2/Td*tan(ws/2);Wp=2/Td*tan(wp/2)[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,ap,as,

's')[Bs,As]=butter(N,Wc,'s')

[Bz,Az]=bilinear(Bs,As,1/Td) [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/pi,20*(log10(abs(H))),'Rx')holdon[H,w]=freqz(Bz,Az); plot(w/pi,20*(log10(abs(H)))) ylabel('20log|H_c(j\Omega)|or20log|H(e^{j\omega})|[dB]')xlabel('\Omega[*\pirad/s]or\omega[*\pirad]')legend('20log|H_c(j\Omega)|','20log|H(e^{j\omega})|');grid輸出解法2wp=0.2613*pi; ws=0.4018*pi; ap=0.75; as=20;[N,wc]=buttord(wp/pi,ws/pi,ap,as) %自動預(yù)畸變[Bz,Az]=butter(N,wc) [H,w]=freqz(Bz,Az); plot(w/pi,20*(log10(abs(H))))

直接得到數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)，不加’s’，pi去掉，采用的是雙線性變換法。[N,Wc]=buttord(0.6,0.5,1,12);[b,a]=butter(N,Wc,'high');

[H,w]=freqz(b,a); plot(w/pi,20*(log10(abs(H)))) grid舉例8.2節(jié)小結(jié)

零極點、頻率和頻率響應(yīng)的映射關(guān)系

脈沖不變法：

雙線性變換法：所有點優(yōu)缺點、應(yīng)用限制沖擊響應(yīng)不變法：頻率軸線性多對一映射,頻響有混迭,不適用于高通帶阻.

雙線性變換法：頻率軸有畸變一對一映射,頻響無混迭,不適用于微分器等.6.編程設(shè)計（步驟）巴特沃斯、或切比雪夫I和II,或橢圓8.3窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器8.3.1設(shè)計思想（1）先對具有廣義線性相位的理想頻率響應(yīng)作傅里葉反變換，得到無限長相對M/2對稱的單位脈沖響應(yīng)

（2）然后對hd[n]加長度為M的相對M/2對稱的窗進(jìn)行截短，得到有限長的相對M/2對稱的序列h[n]就是一個逼近理想頻率響應(yīng)的因果FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)，其頻率響應(yīng)是：加窗的方式（包括窗形狀和窗長）決定了濾波器的頻率響應(yīng)對理想頻率響應(yīng)的逼近程度。

振幅0000nnn00M/2MM111X*窗函數(shù)的主瓣寬（與窗長成反比）越大，則濾波器的過渡帶寬越寬；窗函數(shù)的旁瓣面積與主瓣面積之比越大，即旁瓣峰值與主瓣峰值之比（稱最大旁瓣相對幅度：對某種窗形狀，該值與窗長無關(guān)）越大，則濾波器的通帶和阻帶誤差越大，即阻帶衰減越小。因此，使濾波器性能好的窗函數(shù)應(yīng)滿足：主瓣寬盡量窄，且旁瓣相對幅度盡量小，即接近一個脈沖函數(shù)，以使濾波器的頻率響應(yīng)盡可能接近理想頻率響應(yīng)。8.3.2布萊克曼窗族布萊克曼窗族(三角形窗除外，M=20)布萊克曼窗族的傅里葉變換(M=20)8.3.3凱澤窗族M=20

可取任意正實數(shù)修正的零階貝塞爾函數(shù)凱澤窗族的傅里葉變換(M=20)凱澤窗族的傅里葉變換(?=5)

濾波器的阻帶衰減和過度帶寬與窗函數(shù)的形狀及長度的關(guān)系：過度帶寬同樣的阻帶衰減，采用凱澤窗比布窗過度帶寬略小。阻帶衰減

1.求理想單位脈沖響應(yīng)8.3.4窗函數(shù)法設(shè)計步驟將4個指標(biāo)轉(zhuǎn)換成：理想截止頻率，阻帶衰減和過渡帶寬。2.根據(jù)通帶阻帶誤差確定窗形狀:（1）Blackman窗采用查表8.3-1;（2）kaiser窗采用公式計算:3.根據(jù)過渡帶寬估計窗長(對高通和帶阻濾波器M取偶數(shù)）4.加窗

(1)Blackman窗采用查表8.3-1；(2)Kaiser窗采用公式計算:5.MATLAB驗證頻響

調(diào)整，直到滿足指標(biāo)(2)(4)(1)(3)選海明舉例h=fir1(42,0.62,'high',hamming(43))

H=fft(h,512); %或者freqz(h,1)plot([0:511]/256,20*log10(abs(H))) gridon（5）MATLAB驗證h=fir1(28,0.62,'high',hamming(29))

H=fft(h,512); %或者freqz(h,1)plot([0:511]/256,20*log10(abs(H))) gridon（6）減小Mh=fir1(28,0.65,'high',hamming(29))

H=fft(h,512); %或者freqz(h,1)plot([0:511]/256,20*log10(abs(H))) gridon（6）增大截止頻率解:例題h=fir1(181,0.64,kaiser(182,2.65)); H=fft(h,512);subplot(1,2,1);

plot([0:51