高二數(shù)學(xué)：第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)+練習(xí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)的概念及意義1．函數(shù)從到的平均變化率:．2．導(dǎo)數(shù)的物理意義：瞬時(shí)變化率．一般地,函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即．3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線的切線的斜率．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即k．4．導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x變化時(shí)，便是x的一個(gè)函數(shù),我們稱它為的導(dǎo)函數(shù)．的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作，即．例1曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線斜率為3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（)．A．(－2，－8) B．(1，1),（－1，－1）C．（2，8） D．(－eq\f(1，2)，－eq\f(1，8））答案:B例2曲線y＝x3－2x＋1在點(diǎn)(1,0）處的切線方程為(）．A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2答案:A二、導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則1．常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:①; ②； ③；④；⑤； ⑥； ⑦; ⑧．2．導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則:(1）;（2）；（3）．3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：和,則y可以表示成為x的函數(shù)，即為一個(gè)復(fù)合函數(shù)．例1函數(shù)y＝x?lnx的導(dǎo)數(shù)是（）．A．y′＝x B．y′＝eq\f(1，x)C．y′＝lnx＋1 D．y′＝lnx＋x答案：C解析：y′＝x′?lnx＋x?（lnx)′＝lnx＋x?eq\f(1,x）＝lnx＋1．例2已知f（x）＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1）＝4，則a的值是()．A．eq\f(19，3） B．eq\f（16，3)C．eq\f(13,3） D．eq\f(10,3）答案:D解析:f′（x）＝3ax2＋6x,∵f′（－1)＝3a－6,∴3a－6＝4，∴a＝eq\f（10，3)．例3已知函數(shù)f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a為實(shí)數(shù)，f′（x）為f(x）的導(dǎo)函數(shù)．若f′(1）＝3，則a的值為________．答案：3解析：f′(x)＝a（lnx＋1)，f′（1)＝a＝3．例4函數(shù)f（x）＝x3－x2－x＋1的圖象上有兩點(diǎn)A（0,1）和B(1,0），在區(qū)間(0，1）內(nèi)求實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x）的圖象在x＝a處的切線平行于直線AB．解:直線AB的斜率kAB＝－1,f′（x）＝3x2－2x－1，令f′（a）＝－1（0＜a＜1），即3a2－2a－1＝－1，解得a＝eq\f（2，3)．例5已知函數(shù)f（x）＝x3＋x－16．（1）求曲線y＝f(x）在點(diǎn)(2，－6）處的切線的方程;（2）直線l為曲線y＝f（x）的切線,且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo);（3)如果曲線y＝f(x）的某一切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．解：（1）∵f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在點(diǎn)（2，－6）處的切線的斜率為k＝f′（2）＝13．∴切線的方程為13x－y－32＝0．（2)解法一：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0),則直線l的斜率為f′（x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直線l的方程為y＝(3xeq\o\al（2，0)＋1）（x－x0）＋xeq\o\al（3,0）＋x0－16，又∵直線l過原點(diǎn)（0，0）,∴0＝(3xeq\o\al(2，0)＋1）（－x0)＋xeq\o\al（3，0）＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3，0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13．∴直線l的方程為y＝13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26）．解法二：設(shè)直線l的方程為y＝kx,切點(diǎn)為（x0，y0)，則k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(x\o\al（3，0）＋x0－16，x0），又∵k＝f′(x0)＝3xeq\o\al（2,0）＋1,∴eq\f（x\o\al(3,0)＋x0－16，x0)＝3xeq\o\al（2，0）＋1,解之得，x0＝－2，∴y0＝－26,k＝13．∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，－26)．（3）∵切線與直線y＝－eq\f（x,4)＋3垂直，∴切線的斜率k＝4．設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0）＝3xeq\o\al(2,0）＋1＝4，∴x0＝±1，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，y0＝－14））,或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1,y0＝－18）)．∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－14)或（－1，－18），切線方程為y＝4x－18或y＝4x－14，即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0．三、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最值1．根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間步驟：（1)確定函數(shù)的定義域;（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（3）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，若,則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．2．求函數(shù)的極值的方法是：解方程．當(dāng)時(shí)：(1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè),那么是極大值；（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè)，那么是極小值．3．求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟是：（1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．例1函數(shù)f（x)＝x＋lnx在(0，6）上是()．A．單調(diào)增函數(shù)B．單調(diào)減函數(shù)C．在(0，eq\f（1，e））上是減函數(shù)，在（eq\f（1,e），6)上是增函數(shù)D．在（0，eq\f（1，e)）上是增函數(shù)，在(eq\f（1,e），6)上是減函數(shù)答案：A解析：∵f′(x）＝1＋eq\f（1,x）＞0，∴函數(shù)在（0,6）上單調(diào)遞增．例2設(shè)f′(x)是函數(shù)f（x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x）的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能的是（)．答案:C解析:由f′(x）的圖象知，x∈（－∞，0）時(shí),f′(x)＞0，f(x）為增函數(shù)，x∈（0,2）時(shí)，f′(x）＜0,f(x)為減函數(shù)，x∈(2,＋∞）時(shí),f′（x）＞0，f（x)為增函數(shù)，只有C符合題意,故選C．例3函數(shù)y＝x3－3x2－9x（－2＜x＜2）有(）．A．極大值5，極小值－27 B．極大值5，極小值－11C．極大值5，無極小值 D．極小值－27，無極大值答案：C解析：y′＝3x2－6x－9＝3(x－3）(x＋1)，∵－2＜x＜2，∴令y′＞0得－2＜x＜－1，令y′＜0得－1＜x＜2,∴函數(shù)在（－2，－1）上遞增，在（－1,2）上遞減，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取極大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f（x）無極小值．例4函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在［－2，1]上的最大值、最小值分別是（)．A．12、－8 B．1、－8C．12、－15 D．5、－16答案：A解析：y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2（舍去）．x＝－2時(shí)y＝1，x＝－1時(shí)y＝12，x＝1時(shí)y＝－8．∴ymax＝12，ymin＝－8．故選A．例5已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1(a≠0）．若函數(shù)f（x）在x＝－1處取得極值,直線y＝m與y＝f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求m的取值范圍．分析（1）能否由已知條件求出a值,確定f（x）?（2)直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)的含義是什么?如何用數(shù)形結(jié)合求出m的范圍？解：∵f（x)在x＝－1處取得極值,∴f′（－1)＝3×（－1）2－3a＝0，∴a＝1．∴f(x）＝x3－3x－1，∴f′(x）＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1．當(dāng)x＜－1時(shí)，f′（x)＞0；當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x)＞0．∴由f（x)的單調(diào)性可知，f(x）在x＝－1處取得極大值f（－1)＝1，在x＝1處取得極小值f（1）＝－3．∵直線y＝m與函數(shù)y＝f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(－3,1）．例6已知函數(shù)f（x）＝lnx＋a(1－x）．（1)討論f(x）的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x）有最大值,且最大值大于2a－2時(shí)，求a的取值范圍．解：（1）f（x)的定義域?yàn)椋?，＋∞），f′(x)＝eq\f(1,x）－a，若a≤0,則f′（x）＞0，f(x）在（0，＋∞）單調(diào)遞增；若a＞0，則當(dāng)x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f(1，a))）時(shí)f′（x)＞0,當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，a)，＋∞))時(shí)f′（x）＜0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(1,a））)單調(diào)遞增，在eq\b\lc\（\rc