2022新高考數(shù)學(xué)：熱點09 解析幾何（解析版）

熱點09解析幾何

命題趨勢

從新高考的考查情況來看，解析幾何是高考必考內(nèi)容，考查重點：①直線與圓的位置關(guān)

系、弦長問題、切線問題、圓與圓的位置關(guān)系；②橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、

幾何性質(zhì)，其中離心率與漸近線、通徑等是考試的熱點：③求曲線的凱跡方程，多在解答題

第（1）問中出現(xiàn)；④直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系，常與向量、圓、三角形等

知識綜合考查，多以解答題的形式出現(xiàn),難度中等偏上。主要考查考生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，

提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸思想等核心素養(yǎng)。

滿分技巧

1、解析幾何中的弦長問題：

（1）當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解：

（2）當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為％的直線/與圓錐曲線C相交于4aM）,3（巧,力）兩

個不同的點，則弦長

區(qū)1/（巧一以+5fy=J1+必IW-引=IM-%I（女工0）

（3）當(dāng)弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.

2、解析幾何中的定值、定點問題：

定點、定值問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識交匯，形成了過

定點、定值等問題的證明.解決此類問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參變量表示所求問題，根據(jù)等式的恒

成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

3、解析幾何中的最值（范圍）問題：

1）處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何

法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用

代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利

用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.

2）解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面

（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量

關(guān)系.

（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

（4）利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

（5）利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的

取值范圍.

4、解析幾何中的軌跡方程問題：

1）直接法求軌跡方程的應(yīng)用條件和步驟：若曲線上的動點滿足的條件是一些幾何量的等量

關(guān)系，則可用直接法，其一般步驟是：設(shè)點一列式一化簡一檢驗.

2）定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵點：求軌跡方程時，若動點與定點、定直線間的等

量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出

其方程.

注意：利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，

如果不是完整的曲線，則應(yīng)對其中的變量x或），進(jìn)行限制.

3）相關(guān)點法（代入法）求軌跡方程的四步驟：

第一步H設(shè)出所求動點坐標(biāo)P（%,y）

0

第二步H國爰吩泵）專值而'，癡/X）白勺莢i

0......................................

第三步修至立P,Q而至幕后而親親，舁蓑示山￡

‘第四步H+花稔至需

、y*.

熱點解讀

熱點1.求離心率（范圍）

離心率在圓錐曲線問題中有著重要應(yīng)用，它的變化會直接導(dǎo)致曲線類型和形狀的變化,

同時它又是圓錐曲線統(tǒng)一定義中的三要素之一.有關(guān)求解圓錐曲線離心率的試題在歷年高

考試卷中均有出現(xiàn).

關(guān)于圓錐曲線離心率（范圍）問題處理的主體思想是：建立關(guān)于一個"C的方程（或

不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式應(yīng)該是齊次式.一般建

立方程有兩種辦法：利用圓錐曲線的定義解決；a利用題中的幾何關(guān)系來解決問題。

另外，不能忽略了圓錐曲線離心率的自身限制條件（橢圓、雙曲線離心率的取信范圍不

一致），否則很容易產(chǎn)生增根或者才大所求離心率的取值范圍.

熱點2.求軌跡方程

應(yīng)用圓錐曲線的定義或由已知條件求曲線方程或軌跡方程是本節(jié)的命題熱點，題型以解

答題為主，難度中等偏上，考查知識點較多，能力要求較高.

熱點3.直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題

直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題（特別是一些經(jīng)典問題，如：定值與定點、最值與取值

范圍、探索性問題）一直是高考熱點問題.常常與向量、圓等知識交匯在一起命題，多以解

答題形式出現(xiàn)，難度較大.

A卷（建議用時90分鐘）

一、單選題

1.（2021?福建?三模）如圖，拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射，通過聚光獲取熱量進(jìn)行炊

事烹飪食物的?種裝置.由于太陽光基本上屬于平行光線，所以當(dāng)太陽灶（旋轉(zhuǎn)拋物面）的主光

軸指向太陽的時候，平行的太陽光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過反光材料的反射，這些反

射光線都從它的焦點處通過，在這里形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點就在它的主光

軸上.現(xiàn)有一拋物線型太陽灶，灶口直徑A5為2八〃，灶深8為0.5m,則焦點到灶底（拋物

線的頂點）的距離為（）

D.0.75m

【答案】B

【分析】如圖建系，設(shè)出拋物線的方程，由題意得A的坐標(biāo)，將4點的坐標(biāo)代入求出p值,

進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：由題意建立如圖所示的平面自用坐標(biāo)系，。與C重合:

設(shè)拋物線的方程為y=2px（p>0）,由題意可得將A點坐標(biāo)代入拋物線的方程

可得：3=2px；,

解得P=3,所以拋物線的方程為：y2-6x,焦點的坐標(biāo)為（勺0）,即（；0）,

所以焦點到灶底（拋物線的頂點）的距離為?=L5機(jī).故選：B.

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓片和雙曲線區(qū)在冗軸上具有相同的焦點E，

尸2,設(shè)雙曲線￡與橢圓片的上半部分交于4,8兩點，線段A鳥與雙曲線當(dāng)交于點C.若

|A用=2|叫|=3|C用，則橢圓￡的離心率是（）

【答案】C

【分析】設(shè)14鳥1=2|8鳥|=3|51=6,可得|8甲-|86|=%=3,3為則雙曲線￡的實半軸），

51=5,又AU+AC2=KC2,AF.LAF^則|月用|=存而'=3石，即可求橢圓罵的離心率.

【詳解】解：如圖,設(shè)在分1=2|區(qū)一如39瑪|=6,則|明|=|愿|=3,IAC|=4,

?.M瑪|=|防|=6,門跖|一|%|=2。=3,3為則雙曲線芯2的實半軸），

根據(jù)雙曲線定義可得1。耳-15卜2〃=3,|仃卜5,在中，滿足4斤+4。2=阜72,

/.AFt±AF2,

3.（2021?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點人

發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左隹點我國首先研制成功的

“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的

一部分，如圖②，其方程為—7-,^7=1>Oyb>0)?月，戶2為其左、右焦點，若從右焦點尸2

3

發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后，滿足㈤D=90。-則該雙

曲線的離心率為（）

【答案】C

【分析】連接已知條件為4A8=90。，tan乙4防=；,設(shè)|4娟=根，由雙曲線

定義表示出|4鳥|,用己知正切值求出忸用，再由雙曲線定義得|歷|,這樣可由勾股定理求

出小（用。表示），然后在△人￡鳥中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率.

【詳解】易知￡，4。共線，08C共線，如圖，設(shè)|A用二相，|A周"，則〃L〃=勿，

33/4CL3

由tanZABC=-巳得,tanZABE，又Nf；4B=ZF.AD=90。，所以tanNA8月=-=-

44-|A6|4t

4

\AB\=-mt

所以忸用=|4邳—|4周=?〃_〃，所以忸用=2a+忸周=2a+gm-〃=4a+；m,

由|4用2+b卸丁忸不得病++I?因為6>0,故解得則

n=3a-2a=a,

在綠耳人中，疝+〃2=（2C）。即9a2+/=4/,所以?=￡=膽.故選：C.

a2

4.（2021?天津市實驗中學(xué)濱海學(xué)校高三期中）“直線4：依+（1-。方=3與

4：（"1*+（2。+3）），=2互相垂直”是，匕=_3”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由兩直線互相垂直，知卬&-1）+（1-。）（2。+3）=0,由此能求出實數(shù)。的值，再利用

充分必要條件的定義判斷得解.

【詳解】解：，?直線4：奴+（1-。）丁=3與4：（a-l）x+（2a+3）y=2互相垂直,

:.a(a-\)+(\-a)(2a+3)=0,解得。=1或〃=一3.因為。=1或a=-3時，a=-3不?定成立,

因為a=—3時，a=l或°=—3一定成立."直線/|：(uc+(\—a)y=3與4：(a—l)x+(2a+3)y=2互

相垂直”是Z=-3”的必要不充分條件.故選：A

5.（2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)直線版+4），-5=0與圓。|：/+）/=9交于人，8兩點,

若圓的圓心在線段A8上，且圓C?與圓C1相切，切點在圓C1的劣弧44上，則圓的半

徑的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件可得圓G與圓C1內(nèi)切，再借助兩圓內(nèi)切圓心距等于兩圓半徑差的絕

對值列式，然后分析計算作答.

【詳解】圓C：/+y2=9的圓心為原點ao,o）,半徑斗=3,依題意，圓G的圓心。2在圓G

內(nèi)，設(shè)半徑為弓，如圖，因圓G與圓Ci內(nèi)切，則1。。2|=耳-〃，即4=『IOGI，而點G在

線段48上,

，顯然IOC以O(shè)PL當(dāng)且僅當(dāng)點&與點

時取“=”,

于是得（幻1=2,所以圓G的半徑的最大值是2.故選：B

6.（2021?遼寧?模擬預(yù)測）己知點A（-5,0）、5（5,0）,動點尸（見〃）滿足：直線抬的斜率與

直線總的斜率之積為-石，則4標(biāo)+/的取值范圍為（）

A.[16,100]B.[25,100]C.[16,100）D.（25,100）

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件可得出小、〃所滿足的等式，求出川的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的基

本性質(zhì)可求得41+1的取值范圍.

_n〃_

【詳解】由題意可知,——?整理得'-+土=1（"?工±5）,

PB加+5m-5m2-25252516V7

則n2=16」6m（加=±5）.故4/n:+n2=16+時）*±5）,

25v725v7

因為一5＜相＜5,所以04病＜25,所以16Kl6+合-＜100,即4〉+/地自知）.故選:

C.

7.（2021?河南?鄭州市高三期中）已知拋物線C:/=4x,過C內(nèi)一點A（l,l）作直線/交拋物

線。于5,C兩點，過點B,C的拋物線的兩條切線交于點P,則點P的軌跡方程為（）

A.2x-y=0B.2x-y+2=0C.x-y+2=0D.2x-y-2=0

【答案】B

【分析】根據(jù)將拋物線的切線方程聯(lián)立，再根據(jù)4B,。三點共線.化簡整理即可.

【詳解】設(shè)點8（%,y）,C（x,,y2）,當(dāng)B不為原點時?，設(shè)過點B的切線方程為y-x%）,

2

y=4xz

聯(lián)立得左一2(公耳一肛+2)x+(y；+kxf-2fcv1y1)=0,

y-yi=k(x-x})

22222

A=[-2（^x,-ky{+2）]-4^（y；+kx--2Ax,y,）=0,整理得：^-^+1=0,

即±物±1=工代入可得2工方=凹（%+凡），即力，1=2（X+XJ=2X+K,

2X[2?A]2

當(dāng)B為原點時，依然成立，同理點C處的切線方程為抄2=2（工+占）=21+貨，聯(lián)立解得

P解，學(xué)）

y一必二乂-]

設(shè)點P（x,y）,則”2=4》，y+，2=2y,又A,B,。三點共線，則片_21一￡_]，

Z-44~

整理得-4=,必一（乂十%），即2x-y+2=0,故選：B.

8.（2021?天津市第四十七中學(xué)高三期中）過原點的直線交雙曲線E:=-*=人＞0）于

ab

于AC兩點，A在第一象限，工人分別為E的左、右焦點，連接A5交雙曲線E右支于點3,

若|。4|=|0段,2|。司=3忸閭，則雙曲線E的離心率為（）

A2V14口2屈「3瓜n屈

A?.......D?------lx?D?------

5455

【答案】D

【分析】用雙曲線定義，結(jié)合三角形64鳥為直角三角形，求得A0AB，再結(jié)合勾股定理

即可求得離心率.

【詳解】根據(jù)題意，取4入中點為M,連接0W,區(qū)片，作圖如下:

在5中，因為O,M分別為片鳥4鳥的中點，故可得OM〃五①；

在AO45中，因為OA=。6，”為中點，故可得OM_LA用；綜上可得：F,A1AF2.

不妨設(shè)|明|=2m,則|A用=3s，|4周二3加一為，忸用=2根+2〃，

故在中，由勾股定理可得：（3根了十（3m—2a十2切）2=（2切+2"）2,解得：m=^a-

則在肋△耳46中，由勾股定理可得：（36）2+（3加—2。）2=（2。）2,整理得：4=—*解得:

a~25

e=叵選：D.

5

【點睛】本題考查雙曲線的離心率，解決關(guān)犍是充分挖掘題中包含的幾何關(guān)系，以及雙曲線

定義的使用：本題中，利用雙曲線定義以及幾何關(guān)系求得A￡，A6的長度是突破點，再利用

勾股定理，求得離心率；考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，理解能力，屬于中檔題.

9.（2021?湖北武漢?高三期中）已知雙曲線=1（4>0/>0）的左、右焦點分別為尸i，尸2,

a2b2

過耳且斜率為-3?的直線與雙曲線在第二象限的交點為4,若（月耳+幣）?可=0,則此

雙曲線的漸近線為（）

A.>'=-B.y=±\flxC.yD.y=±y/3x

2

【答案】D

【分析】通過（曬+幣）?不=0得到AF；=邛6=2c,結(jié)合題干中的斜率條件表達(dá)出A點

坐標(biāo)，再代入雙曲線方程求解b與。的關(guān)系，求解漸近線方程.

【詳解】因為（m+幣）?用=0.所以（麗+用），％?，故三角形AA即是等腰三角形，

即4旬=耳6=2%又因為軟尸=一35，過點A作ABJ_x軸于點B,則lanNAEB=[5=3>/7,

F|O

設(shè)耳B=x,AB=3岳,由勾股定理得：X2+（3V7X）2=（2C）2,解得：x=^c,故

A㈡。，"力,把A點代入雙曲線方程.

44

得：25/—54a2b2—63/=0,解得:（256+21/）（6-3片）=0,

顯然從-3/=0，所以6所以雙曲線的漸近線為y=±Gx故選：D

A

二、多選題

10.（2021?河北邯鄲?高三期末）已知4,8是拋物線C：y2=2px（p>0）上兩點，焦點為尸,

拋物線上存在一點M（3j）到準(zhǔn)線的距離為4,則下列說法正確的是（）

A.〃=2B.若OA上OB,則直線

恒過定點（4,0）

3uimiuu

C.若廠外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓半徑為］D.若A/=3F8,則直線

AB的斜率為退

【答案】ABC

【分析】根據(jù)拋物線定義可判斷A：由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理法可判斷B：

利用直線與圓的位置關(guān)系可判斷C；由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理法及條件可

判斷D.

【詳解】根據(jù)拋物線定義可知3+號=4,得p=2,故A正確；

設(shè)A（X，y）,8（七,必），因為直線4B斜率必不為0,設(shè)直線A8:x=b，+b,

代入y2=4x,得9一4電」46=0，，y+y2=43yty2=-4b,

kkJ%二乂必=16-16

AH

??°°~xyx2~2,2~yiy2~-4b~，即b=4,所以直線48恒過定點（4,0）,故B

16“不

正確；

△49尸外接圓圓心橫坐標(biāo)為;，外接圓半徑為：故C1E確；

因為界=3翔，所以A8過焦點，且|AF|=3|陽，可設(shè)直線45:%=9+1,則

代入y2=4x,得y2—4）一4=0,???”+%=4/,力力=-4,%=-3%,

解得,=±立，即直線AB的斜率為±3，故D錯誤.故選：ABC.

3

11.（2021?江蘇?南京市中華中學(xué)高三期中）已知曲線C：+」-=1,則（）

4一〃？2+tn

A.6=2時，則C的焦點是耳倒,拉），鳥（0,-夜）B.當(dāng)相=6時，則C的漸近線方程為

y=±2x

C.當(dāng)C表示雙曲線時，則加的取值范圍為小v-2D.存在小，使C表示圓

【答案】ABD

【分析】AB選項，代入切的值，分別得出是什么類型的曲線，進(jìn)而作出判斷；C選項，要

想使曲線C表示雙曲線要滿足（4-〃。（2+時＜0：D選項，求出曲線C表示圓時〃?的值.

【詳解】當(dāng)加=2時，曲線C：[+?=1，是焦點在y軸上的橢圓，且。2=4-2=2,所以

交點坐標(biāo)為6（0,夜），鳥（。,一夜），A正確；當(dāng)m=6時，曲線C：=1,是焦點在在

82

y軸上的雙曲線，則C的漸近線為y=±2x,B正確；當(dāng)C表示雙曲線時，要滿足：

（4-/w）（2+w）＜0,解得：機(jī)＞4或用＜一2,C錯誤；當(dāng)4一〃?=2+m，即帆=1時，V+y?=3,

表示圓，D正確故選：ABD

1v2

12.（2021?河北?衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期末）已知橢圓C:=+2=l（a＞b＞0）的右焦

a-b~

點為尸，點P在橢圓。上，點。在圓E：（x+3）2+（y-4尸=4上，且圓E上的所有點均在橢

圓C外，若IPQI-IP尸I的最小值為2逐-6,且橢圓C的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則

下列說法正確的是（）

A.橢圓C的焦距為2B.橢圓C的短軸長為百

C.IPQI+IP尸I的最小值為26D.過點尸的圓E的切線斜率為三圮Z

3

【答案】AD

【分析】根據(jù)橢圓C的長軸長恰與圓E的直徑長相等求得。；將|PQ-1尸產(chǎn)I的最值轉(zhuǎn)化為

求橢圓上一點尸到定點從以及左焦點耳的最小值問題，數(shù)形結(jié)合求得。，即可判斷AB選項:

再結(jié)合橢圓定義，以及圓的切線方程的求解，即可判斷BD.

【詳解】根據(jù)題意，作出如下所示的圖形，

:橢圓C的長軸長與圓E的直徑長相等，.，.2a=4,。=2,

設(shè)橢圓的左焦點為6（-c,0）,由橢圓的定義可知，IPZI+IP用=2.=4,

1PQ\-\PF|=|PQIT4-IP耳|）由。￡|-4|助|-2-4=26一6,

EF.|=145=7（-3+C）2+（4-0）2,解得c=l或5,因為c<。，故c=l...橢圓C的焦距為2,

即A正確；

由8=亞下="^=5得橢圓。的短軸長為26，即3錯誤；

\PQ\+\PFWQF\I斯|-|E。1=/1+3）2+（0-4）2-2=40-2,即C錯誤；

設(shè)過點尸的圓E的切線方程為y=&（x-l）,則［（一：［）-41=2,解得左二士生即。正確.

綜上所述：正確的選項是：AD.故選：AD.

13.（2021?江蘇徐州?高三期中）已知圓加：/+、2+4%-1=0,點P3力是圓M上的動點，

則（）

A.圓河關(guān)于直線4+3y+2=0對稱B.直線x+y=。與圓M相交所得弦長為石

C.上；的最大值為:D./+從的最小值為后一2

a-32

【答案】AC

【分析】驗證圓心是否過直線判斷A,求出相交弦長判斷B,把/=一"變以力=?。-3）代

入圓方程，利用判別式不小于0判斷C,利用原點到圓心的距離求得f+y2最小值判斷D.

【詳解】圓M標(biāo)準(zhǔn)方程是。+2）2+丁=5,Af（-2,0）,半徑為r二不，

易得M點在直線x+3y+2=0上，A正確；

點M到直線x+y=0的距離為d=g=0,弦長為l=2ylr2-d2=2/逐f-（&丫=2后，

B錯；

由，=占得6=3-3）代入圓的方程整理得（1+/）"_（6/一4）〃+9產(chǎn)-1=0,

a-3

A=（6/2-4）2-4（1+12）（9/2-1）=-80/2+20>0,所以/的最大值是義，C正確；

10Ml=2,1mhi=6-2,所以/+從的最小值是（|a￡n）2=9-46，D錯誤.故選:AC.

【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵，圓的弦

長一般用幾何法求解，即求出圓心到直線的距離后用勾股定理計算.求分式型，平方型式子

的最值，可以利用幾何意義求解，如分式型可以用直線斜率，平方型利用兩點間距離求解.

三、填空題

14.（2020?山東費縣?高三期末）拋物線C:）*=2x的焦點坐標(biāo)是；經(jīng)過點「（4,1）的直

線/與拋物線。相交于A,8兩點，且點尸恰為A5的中點，尸為拋物線的焦點，則

\AF\+\BF\=.

【答案】9.

【分析】由拋物線的解析式可知2〃=2,即可得出焦點坐標(biāo)為尸過A、B、尸作準(zhǔn)

線的垂線且分別交準(zhǔn)線于點〃、N、K,根據(jù)拋物線的定義可知|AM|+|BM=|AF|+|M|,

由梯形的中位線的性質(zhì)得出g(|AM|+忸N|)=|PK|=4+；=?進(jìn)而可求出|A耳+忸尸|的結(jié)果.

【詳解】解：由拋物線C：y2=2x,可知2〃=2,則｝：，所以拋物線。：丁=24的焦點

坐標(biāo)為尸住，。)

如圖，過點A作AM垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于M，過點片作6N垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于N,

過點P作PK垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于K，

由拋物線的定義可得|AM|+忸N|=|AF|+忸F|,再根據(jù)尸(4,1)為線段48的中點，而四邊形

AMN8為梯形，

由梯形的中位線可知g(|AM|+忸N|)=|PK|=4+g=￡,

則|刎+網(wǎng)=9,所以1M+網(wǎng)=9.故答案為：(川；9.

15.(2021?江蘇徐州?高三期中)已知拋物線C：V=8x的焦點為RP為C上一點，若A(-2,0),

則僧的最大值為________.

\PF\

【答案】V2

【分析】根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)化可得爵=一匚=，求出/尸4/最大值即可.

|PF|cosZ.PAF

【詳解】由題可得4-2,0）為準(zhǔn)線工=-2與X軸交點，

過產(chǎn)作所與準(zhǔn)線垂直，垂足為以由拋物線定義可得|尸8|=|比|,則

|PA|PA|11

\PF\"-sinZPAB~cosZPAF"

PA\

則當(dāng)cosNRA尸最小時，即NPA尸最大時，禍取得最大值，由圖知當(dāng)直線AP與拋物線相

切，NPAF最大，

設(shè)直線AP方程為x=機(jī)），—2,代入拋物線得y2-*^ny+\6=0,

則由△=（-8m）2-4xl6=0,解得相=土1,由于拋物線的對稱性，取加=1即可得，

此時N尸4尸=45。，所以隹的最大值為五.故答案為：72.

Pr

16.（2021?浙江省三門中學(xué)高三期中）設(shè)橢圓5+/1（〃>“0）的左、右焦點分別為J勺

P是橢圓上一點，|PK|=4|P瑪|,《〈義。｝Z/-Pf；=|,則橢圓離心率的取值范圍為

【答案】性用

【分析】設(shè)|陰|=乙則歸用=力，由橢圓定義可得（2十3=方即（2+1）2/=46,由勾股

2萬+13

定理可得（萬+1）『=4°2兩式相除可得e=兀一而再令加=2+1€-,3由函數(shù)的性質(zhì)

（4+1）

可得『的范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍.

【詳解】設(shè)6（f0）,瑪（c,0）,由橢圓的定義可得|P用+|P周二為，

設(shè)|P&=f,則仍用=?,所以。+1），=2〃，即（7+1）2/=4/.①

因為/￡尸瑪二弓，所以（%+1*=4/,②兩式相除可得怖

e,令

L（A+1I

〃?=%+1e5,31可得4=〃?—I,

22

A+l_("2-1)2+]_ni-2m+21c1,21

所以〃==2--2---F1=2-+—

(%+1)2nrmin2

3117所以當(dāng)工=:即6=2，義=1時e2取得最小值;，此時e最

因為2“〃區(qū)3'所以屋

m22

小

當(dāng)或匏嚕3,25時/取得最大值.此時e最大為五,

所以橢圓離心率的取值范圍為也正，故答案為:

23

17.（2021?湖北武漢?高三期中）已知橢圓的方程為5+E，K為橢圓的

a

左右焦點，?為橢圓上在第一象限的一點，/為耳鳥的內(nèi)心，直線P/與k軸交于點Q,

橢圓的離心率為：，若麗=2匝,則％的值為.

【答案】4

【分析】連接陰、/6，/是耳耳的內(nèi)心，得到尸Q為NKPK的角平分線，即Q到直線PZ

PIPF.+PF、

、松的距離相等,利用二角形的面積比,得到友=就』

圓的離心率的定義，即可求解.

【詳解】解.：如圖所示，連接陰、/月，/是鳥的內(nèi)心，所以陰、/K分別是NPZ居和

NPK6的角平分線，由于經(jīng)過點P與居的內(nèi)切圓圓心/的直線交工軸于點。,

則尸Q為/”尸K的角平分線，則0到直線力管?居的距離相等,

P1叫PI二歸周

所以同理可得而

S△%°一|尸閭一|。閭KQ|'IQ|人。|

由比例關(guān)系性質(zhì)可知胃儒普=爺科上

c1Qi

又橢圓的離心率0=二=5.所以P/=3/Q,所以PQ=4/Q,故4=4,故答案為：4.

pi

【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，

求得〃，c得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率*2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于?c的

二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于-的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特

殊位置，求出離心率.

18.（2022?全國福三專題練習(xí)）P是雙曲線￡-￡=1右支在第一象限內(nèi)一點，耳，尸2分別

45

為其左、右焦點，4為右頂點，如圖圓C是4PZ用的內(nèi)切圓，設(shè)圓與尸片，尸人分別切于

點O,E,當(dāng)圓。的面積為4兀時，直線尸用的斜率為.

【分析】由雙曲線的定義以及切線的性質(zhì)可得圓心橫坐標(biāo)為飛=。，又根據(jù)圓的面積可求出

半徑r=2,可知圓心C（2,2）,可求出tanNMA,因為。尸2是4的角平分線，借助于

角相等可求直線PF2的斜率.

【詳解】由題意可知|叫二|尸￡|,|耳北=|耳%|=4=|瑪目,

所以|「制一|尸段=（|叫+|以|）-（|尸￡|+|%|）=|期|-忸閭=|明|一|伍|=2,

設(shè)A（%0）,則（y+。）一（。一%）=2?09=〃,即A（a,0）=（2,0）,

設(shè)圓C的半徑為r（r〉0）,因為圓C的面積為4%，則"2=4兀=r=2,

因為。，耳6,所以C（,2,2、）,于是tan/C居A=局以=存2=2,因為是NP6”的角平

分線，

所以tan4PFE=tan（2ZCF,A）==±_=_i

21I271-（an2ZC/^A-33

444

所以tanNPRx=tan（萬一NPEf；）=TanNPE/=Q,即直線PF?的斜率為二.故答案為：-.

四、解答題

19.（2021?四川南充?一模））已知橢圓C：*+*=1（。＞。＞0）的離心率為日，橢圓。的

下頂點和上頂點分別為%B2f且［4閡=2,過點P（0,2）且斜率為攵的直線/與橢圓。交

于M,N兩點.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)欠=1時，求AOMN的面積；（3）求證：直線4M與直

線B?N的交點T恒在一條定直線二.

j-24

【答案】(1)—+/=1,(2)(3)見(3)詳解.

45

【分析】（1）由|4坊|=2可得6=1,結(jié)合離心率可求基本最，進(jìn)而得橢圓的方程.

（2）寫出直線/的方程為與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長公式可求出|MV|，再由點到直

線的距離公式求出原點到直線/的距離d,從而可求出三角形的面積.

（3）設(shè)丁（物〃），由然在同一條直線上，且打,7:"在同一條直線上，建立旅、〃之間的

等量關(guān)系可得證.

（1）因為忸閔二2,所以3=2,即力=1,e=-=—,c=—a,c2=a2-b2,

a22

所以C=GM=2,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:工+）/=1

4

（2）直線/的方程為y=x+2,設(shè)（孫力），

'y=x+2

方程聯(lián)立,/2,整理得5./+16x+12=0,則%+a=--~fxix2=?

一+y=\5-5

所以|MN|=J1+攵2+占）2-4%也=7l+l2xJ_4x￡=，

原點到I的距離d=尸,=72，則AOMN的面積S=-d\MN\=\&—=

Vl+l7211255

（3）設(shè)直線/的方程為：y=kx+2,M（x，、]）,%（%,%），

y=kx+2

16k12

則,整理得（442+i）V+i6區(qū)+12=0,則為+%2=，演工2

4P+I4k2+1

△=（16攵）--48（4尸+1）＞0,則&2＞彳,

設(shè)丁（孫〃），因為練丁，“在同一條直線上，則四=上="二=火+之

.Xj入]

n-1y,-1kx^+1,1

因為鳥,7;汽在同一條直線上，則一=匕一=-—=攵+一,

〃2X231

所以把1+3?竺1=奴+=以+_^1112=0,所以〃=:，則交點T恒在一條

mmXjX＞"2

4^+1

直線y=J上.

【點睛】本題第三問的關(guān)鍵是設(shè)交點/（蟲〃），利用三點共線建立動點T縱橫坐標(biāo)的等量關(guān)系.

20.（2021?上海金山一模）已知?（0,1）為橢圓C[+[=1內(nèi)一定點，。為直線/：y=3上

一動點，直線PQ與橢圓。交于兩點（點B位于P、。兩點之間），O為坐標(biāo)原點.

（1）當(dāng)直線尸。的傾斜角為（時，求直線0。的斜率；（2）當(dāng)AAOB的面積為；時，求點

Q的橫坐標(biāo)；

（3）設(shè)麗=4而，麗=〃詼，試問丸-〃是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，

請說明理由.

【答案】⑴|（2）。（4,3）或Q（-4,3）⑶1

【分析】（I）先得到直線P。的方程為：y=x+i,由=得到0的坐標(biāo)求解；（2）

1尸3

￡匚]

設(shè)直線PQ的方程為），=丘+1,由，43一，結(jié)合韋達(dá)定理求得卜一土|，再由

y=kx+\

x2y2.

（3）設(shè)直線PQ的方程為工=m&-1），由43一，得到

x=/n（y-l）

22

（4+37w）（y-l）+8（y-l）-8=0,,有y-l+y2T=一7：2，（，T）（%T》、:2,

''4+5tn4+5tn

再根據(jù)而=4而，AB=pBQ,得到="：+：―.=7+1^求解?

y2T3-y2Sf3f

（1）解：因為直線PQ的傾斜角力?，且尸（0,1）,所以直線PQ的方程為：y=x+i,

由"二;+1，得0（2,3）,所以宜線00的斜率是％=}

（2）易知直線PQ的斜率存在，女直線尸。的方程為y=^+l,

由43-，得（3+4公b2+8奴_8=0,設(shè)Aa，x）,8（w，%），則

y=kx+\

8k8

玉+“-由'…-通’

所以w―引=Ja+/）2-你.馬=當(dāng)三簽一，所以

L°"=3OPHX，71=^^^=T，

解得公=；,口|H=±g,所以直線PQ的方程為y=gx+l或y=-gx+l,

由，=5,得。（4,3）；由,得。（T3）；

y=3[y=3

（3）易知直線尸Q的斜率存在，設(shè)直線尸。的方程為x=m（y-l）,

22

xy_

由忖+彳=，得（4+3加2）（y_i）2+8（y—1）—8=0,設(shè)人內(nèi)方）,貝々,％），則

x=77i（y-l）

QQ

y-\+y-1=-^-9-(^-9=-?所以y_i+%_i=(y_1).(％—i)，

]24+3m24+3m2

因為「海，昆甌所以"舒公導(dǎo)=丐宇一+汽,

所以"號+4"2[(1—凹)+(1_')]+2(1一凹)(1一')

(y2-l)(3-y2)

22

21.（2021?江蘇連云港?高三期中）已知離心率為:的橢圓。:二+1=1（〃>6>0）與直線

x+2y-4=0有且只有一個公共點.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點P（0,-2）的動直

線/與橢圓。相交于A,8兩點，當(dāng)坐標(biāo)原點O位于以A8為直徑的圓外時，求直線/斜率

的取值范圍.

【答案】⑴⑵卜苧局也,明

【分析】（1）由e=t=3將橢圓方程化簡為3（4-2），）2+4/一12。2=0,進(jìn)而結(jié)合判別式法

求得答案：

（2）設(shè)A（x，yJ,8（孫％），直線/方程為丁="-2,根據(jù)

OAOB>0^>中2+y必=中2+（例-2）（5-2）>0，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.

c1

(1)根據(jù)題意，e=—=—,而a2=//+c2,則q=2c,h=y/3c>

a2

所以橢圓方程為￡+￡=1,3x2+4y2=12c2,

4c~3c

222

[匕2),_；=0=>3(4-2j)+4y-12c=0

[3X2+4/=12C2l-

=>\6y248yl4812c2-0,A=/182-6d(d8-12c2)=O=>c=l,

所以a=2,b=>/3,橢圓C方程為：---1=I.

43

（2）設(shè)直線/方程為），=丘-2,A（%,y）,8（孫力）,

y=kx-2

=3x2+4(—2_m+4)=12,即(3+4公卜—166+4=0,

-3X2+4/=12

，因為O在以AB為直徑的

圓外，所以0408>0=>X[X2+yy2=x/2+(AX1-2)(Ax2-2)>0,則

（1+r）玉七一24（芭+/）+4>0,于是（1+1）74rl—+即

D十^TKD十4K

山，2>/372V3

\2k~<16A=-----<k<----.

33

綜上：/斜率左的取值范圍為-:卜

22.（2021?河北石家莊?模擬預(yù)測）已知橢圓C：5+/=l（a>b>0）的離心率為自，且點

P,日在C上.

\7

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)6，居