第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

1.鄰域一、平面點集在P0的鄰域中將P0去掉，得到P0的去心鄰域：2.內(nèi)點、外點、邊界點、聚點設(shè)有點集

E

及一點

P:

若存在點P

的某鄰域U(P)

E,

若存在點P的某鄰域U(P)∩E=

,

若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含

E則稱P為E

的內(nèi)點；則稱P為E

的外點

;則稱P為E的邊界點

.的外點,顯然，E

的內(nèi)點必屬于

E,

E

的外點必不屬于

E,E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E

。

若點

P

的任一去心鄰域

中總有E中的點，則稱P為E的聚點

。聚點可能屬于E，也可能不屬于

E

。聚點是內(nèi)點或者邊界點。

若點

P

E，且P不是聚點，則稱P為E的孤立點

。孤立點

屬于

ED3.開區(qū)域及閉區(qū)域

若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；

若點集E

E,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通集

;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域

;。。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作

E;例如，是開區(qū)域；是閉區(qū)域；開區(qū)域閉區(qū)域整個平面點集是開集，是最大的開區(qū)域

,也是最大的閉區(qū)域；但不是區(qū)域。o對區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點P

D與某定點A的距離

AP

K,則稱

D

為有界域

,

否則稱為無界域。二、多元函數(shù)的概念例1求的定義域．解所求定義域為二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.二元函數(shù)的幾何意義圖形如右圖.例如,上半球面定義

設(shè)函數(shù)y

f(x)在點x0

的某個鄰域(點x0

本身可以除外)內(nèi)有定義，如果當x

x0(但x

x0)時，函數(shù)f(x)趨于一個常數(shù)A，則稱當x

x0時，f(x)以A為極限，記作復(fù)習(xí)：x

x0

時，函數(shù)極限的定義三、多元函數(shù)的極限定義

設(shè)二元函數(shù)z

f(x，y)在點P0(x0,y0)的鄰域(點P0

本身可以除外)內(nèi)有定義，如果當P

P0(但P

P0)時，函數(shù)f(x，y)趨于一個常數(shù)A，

則稱當P

P0時，f(x，y)以A為極限，記作三、多元函數(shù)的極限或記作：說明：(1)定義中的方式是任意的；確定極限不存在的方法：解:

設(shè)P(x

,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在

.例2討論函數(shù)說明：(1)定義中的方式是任意的；(2)二元函數(shù)的極限也叫二重極限(3)二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似。解:例3求極限當時，恒有所以例4.求解:則故導(dǎo)數(shù)的另一求法—洛必達法則復(fù)習(xí)：

四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性

定義

設(shè)二元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上連續(xù)。如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點。則稱二元函數(shù)連續(xù);例如,函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點.在圓周定理:二元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)解:例5求極限因為在點連續(xù)，所以解:例6求極限因為在點而函數(shù)連續(xù)，所以閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，在D上可以取得它的最大值和最小值。在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值。（1）最大值和最小值定理（3）介值定理在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界。（2）有界性定理作業(yè)

P63習(xí)題9-12，4，5(1)(3)(5)，6(1)(3)(5)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法例1設(shè)函數(shù)求(1)偏導(dǎo)數(shù)(2)偏導(dǎo)數(shù)在指定點的值解(1)(將y看作常數(shù)，對x求導(dǎo)，得)(將x看作常數(shù)，對y求導(dǎo)，得)(2)將點(1,1)代入(1)中所得結(jié)果，有例2設(shè)函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)(1)(2)解(1)(2)1、求函數(shù)

解的偏導(dǎo)數(shù)練習(xí)1、求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)2、求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)2、求函數(shù)解的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：y

f(x)在點x0處的切線斜率等于f

(x0)

復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面

y=y0所截得的曲線在點M0處的切線對x軸正向的斜率。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面

x=x0所截得的曲線在點M0處的切線對y軸正向的斜率。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義關(guān)于多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，補充以下幾點說明：(1)偏導(dǎo)數(shù)是一個整體記號，不可拆分；(2)求分界點、不連續(xù)點的偏導(dǎo)數(shù)要利用定義求；(3)二元函數(shù)在某一點即使函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。例如二元函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)存在卻不連續(xù)(3)二元函數(shù)在某一點即使函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。二、高階偏導(dǎo)數(shù)的各二階偏導(dǎo)數(shù)。解例3求例3中的并不是個別現(xiàn)象，一般地有下列定理：定理

若在定義域D內(nèi)連續(xù)，則在D內(nèi)有作業(yè)

P69習(xí)題9-21(3)(7)(8)4，6(2)第三節(jié)全微分一元函數(shù)的微分計算公式復(fù)習(xí)：由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分的定義二元函數(shù)的全增量的概念二元函數(shù)的全微分(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微當函數(shù)可微時:得函數(shù)在該點連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即二、可微的條件一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在微分存在．多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在全微分存在．？例如，但在(0,0)處不可微則當時，一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在微分存在．多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在全微分存在．？說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在

不能保證：全微分存在函數(shù)f(x,y)處處可微，但它的偏導(dǎo)數(shù)卻不一定是連續(xù)函數(shù)。

f(x,y)的表達式如下：

當xy≠0時，(x^2)*sin(1/x)+(y^2)*sin(1/y)

當x≠0，y=0時，(x^2)*sin(1/x)

當x=0，y≠0時，(y^2)*sin(1/y)

當x=y=0時，0

可以驗證，這個函數(shù)在原點處可微，但兩個偏導(dǎo)函數(shù)在原點處都不連續(xù)。

多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)，求解：例1設(shè)得練習(xí)：1、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分(1)(2)1、(1)解：1、(2)解：解作業(yè)

P76習(xí)題9-31(3)(4)，2第四節(jié)多元函數(shù)復(fù)合求導(dǎo)法則一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)習(xí)一、鏈式法則（全導(dǎo)數(shù)公式）若定理中說明:

例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,則定理結(jié)論不一定成立.推廣:1)中間變量多于兩個的情形.設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,例如,特別地當它們都具有可微條件時,有注意:這里表示復(fù)合函數(shù)f(x,

(x,y))固定y

對x

求導(dǎo)表示f(x,v)固定v

對x

求導(dǎo)與不同,解例2.解:解解令記同理有于是作業(yè)

P82習(xí)題9-41.3.58（1）10.11.第五節(jié)隱函數(shù)的

求導(dǎo)公式一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程C<0時,能確定隱函數(shù)C>0時,不能確定隱函數(shù)2)方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性,可微性及求導(dǎo)方法問題.本節(jié)討論:一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)數(shù)，則若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還可求隱函數(shù)的解令則解令則導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)存在定理2若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),滿足①在點滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確解令則導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對x

求導(dǎo)作業(yè)

P89習(xí)題9-51、2、4、5、8第六節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法復(fù)習(xí)：一元函數(shù)極值的定義復(fù)習(xí)：一元函數(shù)極值存在的必要條件和極值判斷定理定理(極值存在的必要條件)

如果點x0是函數(shù)f(x)的極值點，且f

(x)存在，則f

(x)

0多元函數(shù)的極值

觀察二元函數(shù)的圖形一、二元函數(shù)極值的定義(1)(2)例1例２多元函數(shù)取得極值的必要條件多元函數(shù)極值的判定定理例3

求函數(shù)的極值解解方程組即得唯一解駐點為又因為

所以極大值為：為極大值點，由于

解求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.多元函數(shù)的最值例4設(shè)x、y分別為商品甲、乙的需求量，它們的需求方程分別為其中p、q分別為兩種商品的銷售價；問：當價格p、q取何值時，可使利潤最大。解：收入函數(shù)為總成本函數(shù)為利潤函數(shù)為例4設(shè)x、y分別為商品甲、乙的需求量，它們的需求方程分別為其中p、q分別為兩種商品的銷售價；問：當價格p、q取何值時，可使利潤最大。解：總成本函數(shù)為利潤函數(shù)解方程組即得唯一解所以唯一駐點為例4設(shè)x、y分別為商品甲、乙的需求量，它們的需求方程分別為其中p、q分別為兩種商品的銷售價；問：當價格p、q取何值時，可使利潤最大。解：總成本函數(shù)為計算二階偏導(dǎo)數(shù)唯一駐點為由于它是唯一駐點，且實際問題存在最大利潤，故它也是最大值點，又因為在駐點處因此是極大值點，即當價格，時可獲最大利潤。例4設(shè)x、y分別為商品甲、乙的需求量，它們的需求方程分別為其中p、q分別為兩種商品的銷售價；問：當價格p、q取何值時，可使利潤最大?？偝杀竞瘮?shù)為解如圖,解方程組無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件。實例：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買張磁盤，盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數(shù)為。設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達到最佳效果．問題的實質(zhì)：求在條件下的極值點。二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對自變量有附加條件的極值。解則練習(xí)

某化妝品公司可以通過報紙和電視臺做銷售化妝品的廣告。根據(jù)統(tǒng)計資料：銷售收入R(百萬元)與報紙廣告支出x(百萬元)、電視廣告支出y(百萬元)之間的函數(shù)關(guān)系約為(1)如果不限制廣告支出，求最優(yōu)廣告策略；(2)如果廣告總支出限制在180（萬元），求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略。練習(xí)

某化妝品公司可以通過報紙和電視臺做銷售化妝品的廣告。根據(jù)統(tǒng)計資料：銷售收入R(百萬元)與報紙廣告支出x(百萬元)、電