湖南省婁底市雙峰一中2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次月考試題含解析

PAGE22-湖南省婁底市雙峰一中2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期其次次月考試題（含解析）一、單選題1.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)a的值為A. B.2或 C.或1 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示公式可得，解可得a的值，即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，向量，，若，則有，解可得或1；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示方法，熟記平行的坐標(biāo)表示公式得到關(guān)于a的方程是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2.設(shè)，，，若，則與的夾角余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)，，表示的坐標(biāo)，再由建立方程求得k，得到的坐標(biāo)，然后利用夾角公式求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，所以與的夾角余弦值為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對量的數(shù)量積運(yùn)算及應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.3.將函數(shù)的圖像沿軸向右平移個單位長度，所得函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用協(xié)助角公式將函數(shù)化為，然后利用三角函數(shù)的平移變換原則即可求解.【詳解】，將函數(shù)的圖像沿軸向右平移個單位長度，可得，此函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則，解得，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的平移變換原則、協(xié)助角公式、誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.4.從區(qū)間隨機(jī)抽取個數(shù),，…，，，，…，，構(gòu)成n個數(shù)對，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為A. B. C. D.【答案】C【解析】此題為幾何概型．?dāng)?shù)對落在邊長為1的正方形內(nèi)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)落在四分之一圓內(nèi)，概型為，所以．故選C．5.某學(xué)校隨機(jī)抽查了本校20個學(xué)生，調(diào)查他們平均每天進(jìn)行體育熬煉的時(shí)間（單位：min），依據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖，以5為組距將數(shù)據(jù)分為8組，分別是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出頻率分布直方圖如圖所示，則原始的莖葉圖可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】從題設(shè)中供應(yīng)的頻率分布直方圖可算得在區(qū)間內(nèi)各有個，答案A被解除；在區(qū)間內(nèi)有個；在區(qū)間內(nèi)有個；在區(qū)間內(nèi)有個；在區(qū)間內(nèi)各有個，答案C被解除；在區(qū)間內(nèi)有個，答案D被解除；依據(jù)這些數(shù)據(jù)信息可推知，應(yīng)選答案B．點(diǎn)睛：解答本題的方法是依據(jù)題設(shè)中所供應(yīng)的頻率分布直方圖供應(yīng)的信息，先算出在不同區(qū)間內(nèi)的個體的頻數(shù)，再分別結(jié)合所給的莖葉圖，對每個答案逐一進(jìn)行分析推斷，從而解除不合題設(shè)的答案，選出正確答案，使得問題獲解．6.從裝有兩個白球和兩個黃球（球除顏色外其他均相同）的口袋中任取2個球，以下給出了四組事務(wù)①至少有1個白球與至少有1個黃球；②至少有1個黃球與都黃球；③恰有1個白球與恰有1個黃球；④至少有1個黃球與都是白球．其中互斥而不對立的事務(wù)共有（）A.0組 B.1組 C.2組 D.3組【答案】A【解析】【分析】依據(jù)互斥事務(wù)和對立事務(wù)的概念逐一推斷即可.【詳解】對于①，至少有1個白球與至少有1個黃球可以同時(shí)發(fā)生，兩個事務(wù)不互斥對于②，至少有1個黃球與都是黃球可以同時(shí)發(fā)生，兩個事務(wù)不互斥對于③，恰有1個白球與恰有1個黃球都表示的是取出的兩個球中，一個白球，一個黃球，故不是互斥事務(wù)對于④，兩事務(wù)不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個發(fā)生，因此兩事務(wù)是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是對互斥事務(wù)和對立事務(wù)的理解，較簡潔.7.若，，均為實(shí)數(shù)，則下面三個結(jié)論均是正確的：①；②；③若，，則；對向量，，，用類比的思想可得到以下四個結(jié)論：①；②；③若，，則；其中結(jié)論正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.0個【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平面對量的數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)，推斷選項(xiàng)中的命題是否正確，即可求解.【詳解】對于①中，依據(jù)平面對量的數(shù)量積的定義，可得所以是正確的；對于②中，，依據(jù)平面對量的數(shù)量積不滿意結(jié)合律，所以是錯誤的；對于③中，，，則；，依據(jù)平面對量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿意消去律，所以不正確.綜上可得，只有①是正確的.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面對量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記平面對量的運(yùn)算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查分析、判定實(shí)力.8.《周髀算經(jīng)》中提出了“方屬地，圓屬天”，也就是人們常說的“天圓地方”．我國古代銅錢的鑄造也蘊(yùn)含了這種“外圓內(nèi)方”“天地合一”的哲學(xué)思想．現(xiàn)將銅錢抽象成如圖所示的圖形，其中圓的半徑為r，正方形的邊長為a（0＜a＜r），若在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，得到點(diǎn)取自陰影部分的概率是p，則圓周率π的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算圓形錢幣的面積和正方形的面積，利用幾何概型的概率公式求出p，則π可求．【詳解】圓形錢幣的半徑為rcm，面積為S圓＝π?r2；正方形邊長為acm，面積為S正方形＝a2．在圓形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是p1，所以π．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率求法及應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在某次軍訓(xùn)射擊測試中，各射擊10次．四人測試成果對應(yīng)的條形圖如下：以下關(guān)于四名同學(xué)射擊成果的數(shù)字特征推斷不正確的是（）A.平均數(shù)相同 B.中位數(shù)相同 C.眾數(shù)不完全相同 D.丁的方差最大【答案】D【解析】【分析】視察四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)圖的特征，四位同學(xué)的直方圖都關(guān)于5環(huán)對稱，因此它們的平均數(shù)都是5，中位數(shù)相同，眾數(shù)明顯不完全相同，依據(jù)方差的定義分別計(jì)算四名同學(xué)的方差即可得出結(jié)論.【詳解】解：由圖的對稱性可知，平均數(shù)都為；由圖易知，四組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不完全相同，中位數(shù)相同；記甲、乙、丙、丁圖所對應(yīng)的方差分別為，則，，，，所以丙的方差最大．故選：D．【點(diǎn)睛】本小題考查統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)字特征的概念等基礎(chǔ)學(xué)問；考查運(yùn)算求解實(shí)力；考查數(shù)形結(jié)合思想、統(tǒng)計(jì)與概率思想；考查直觀想象、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性．10.已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到【答案】B【解析】【分析】先將化簡為，再逐個選項(xiàng)推斷即可．【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，則的最小正周期，結(jié)論錯誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上是減函數(shù)，結(jié)論正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，則的圖象不關(guān)于直線對稱，結(jié)論錯誤；D選項(xiàng)，設(shè)，則，結(jié)論錯誤．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.11.已知A是函數(shù)的最大值，若存在實(shí)數(shù)使得對隨意實(shí)數(shù)x，總有成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過兩角和與差的正弦公式化簡函數(shù)為，再由存在實(shí)數(shù)使得對隨意實(shí)數(shù)x，總有成立，得到再求解.【詳解】依據(jù)題意，A=3又因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)使得對隨意實(shí)數(shù)x，總有成立所以所以故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差三角函數(shù)及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.12.如圖，在半徑為1的扇形AOB中（O為原點(diǎn)），．點(diǎn)P（x，y）是上隨意一點(diǎn)，則xy+x+y的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα利用三角函數(shù)有關(guān)公式化簡，即可求解最大值．【詳解】由題意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα，設(shè)t=sinα+cosα，則t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=，則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=t=sinα+cosα=sin（α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴.∴當(dāng)t=時(shí)，xy+x+y取得最大值為：．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用，由t=sinα+cosα，則t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=，將xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=+t=（t-1）2，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，屬于中檔題；二、填空題13.已知，則________.【答案】【解析】【分析】設(shè),再換元得,再利用和差角公式求解即可.【詳解】設(shè),則,所以,又故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查換元法,將已知角設(shè)成,再反解求出所求三角函數(shù)的角,再利用和差角公式化簡計(jì)算.14.從某單位45名職工中隨機(jī)抽取6名職工參與一項(xiàng)社區(qū)服務(wù)活動，用隨機(jī)數(shù)法確定這6名職工.選取方法是先將45名職工編號，分別為01，02，03，…，45，然后從下面的隨機(jī)數(shù)表第一行的第5列的數(shù)字7起先由左到右依次選取兩個數(shù)字，從而確定6個個體的編號，則選出的第6個職工的編號為______________.【答案】35【解析】【分析】由隨機(jī)數(shù)表法的讀數(shù)方法，求解即可.【詳解】采納隨機(jī)數(shù)表法在讀數(shù)中出現(xiàn)的相同數(shù)據(jù)只取一次，不在編號01，02，03，…，45范圍的數(shù)據(jù)要剔除，則選出的6個職工的編號分別為：，即選出的第6個職工的編號為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)數(shù)表法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖是以一個正方形的四個頂點(diǎn)和中心為圓心，以邊長的一半為半徑在正方形內(nèi)作圓弧得到的.現(xiàn)等可能地在該正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)正方形的邊長為，計(jì)算陰影部分的面積，與正方形面積作比，即為幾何概型的概率.【詳解】設(shè)正方形的邊長為，則空白部分的面積為，因此所求概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型，屬于基礎(chǔ)題.16.關(guān)于函數(shù)有下列四個結(jié)論：①是偶函數(shù)②在區(qū)間單調(diào)遞減③在區(qū)間上的值域?yàn)棰墚?dāng)時(shí)，恒成立其中正確結(jié)論的編號是____________（填入全部正確結(jié)論的序號）．【答案】①③④【解析】【分析】，所以是偶函數(shù)；，所以在區(qū)間不是單調(diào)函數(shù)；依據(jù)是偶函數(shù)求出的值域即的值域；分類探討時(shí)，再探討時(shí)，求的范圍.【詳解】①，，所以偶函數(shù)；②，即，所以在區(qū)間不是單調(diào)遞減；③是偶函數(shù)，在區(qū)間上的值域即的值域，此時(shí)，，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?；④?dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，綜上：當(dāng)時(shí)，恒成立.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】此題考查探討三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，以及依據(jù)已知條件求值域，涉及分類探討的思想.三、解答題17.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根三角函數(shù)的定義，即可求解，得到答案；（2）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡得到原式，代入求解.【詳解】（1）由題意角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，可得，依據(jù)三角函數(shù)的定義，可得.（2）由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的化簡求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)兩個向量，，滿意，.(1)若，求、的夾角；(2)若、夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)且.【解析】【分析】(1)依據(jù)可求出，再利用向量夾角公式，即可求出、的夾角；(2)向量與的夾角為鈍角，等價(jià)轉(zhuǎn)化為且向量與不反向共線，求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，即，又，，所以，所以，又，所以向量、的夾角是.(2)因?yàn)橄蛄颗c的夾角為鈍角，所以，且向量與不反向共線，即，又、夾角為，所以，所以，解得，又向量與不反向共線，所以，解得，所以的取值范圍是且.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積，向量的夾角公式及共線定理，屬于基礎(chǔ)題.19.某大型商場的空調(diào)在1月到5月的銷售量與月份相關(guān)，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：月份12345銷量（百臺）0.60.81.21.61.8（1）經(jīng)分析發(fā)覺1月到5月的銷售量可用線性回來模型擬合該商場空調(diào)的月銷量（百件）與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回來方程，并預(yù)料6月份該商場空調(diào)的銷售量；（2）若該商場的營銷部對空調(diào)進(jìn)行新一輪促銷，對7月到12月有購買空調(diào)意愿的顧客進(jìn)行問卷調(diào)查.假設(shè)該地?cái)M購買空調(diào)的消費(fèi)群體非常浩大，經(jīng)過營銷部調(diào)研機(jī)構(gòu)對其中的500名顧客進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：有購買意愿對應(yīng)的月份789101112頻數(shù)60801201308030現(xiàn)采納分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機(jī)抽取6名，再從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求抽出的3人中恰好有2人是購買意愿的月份是12月的概率.參考公式與數(shù)據(jù)：線性回來方程，其中，.【答案】（1）；2.16（百臺）；（2）【解析】【分析】（1）由題意計(jì)算平均數(shù)與回來系數(shù)，寫出線性回來方程，再利用回來方程計(jì)算對應(yīng)的函數(shù)值；（2）利用分層抽樣法求得抽取的對應(yīng)人數(shù)，用列舉法求得基本領(lǐng)件數(shù)，再計(jì)算所求的概率值．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，于是關(guān)于的回來直線方程為.當(dāng)時(shí)，（百臺）.（2）現(xiàn)采納分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機(jī)抽取6名，則購買意愿為7月份的抽4人記為，，，，購買意愿為12月份的抽2人記為，，從這6人中隨機(jī)抽取3人的全部狀況為、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20種，恰好有2人是購買意愿的月份是12月的有、、、，共4種，故所求概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回來方程與列舉法求古典概型的概率問題，是中檔題．20.某學(xué)校為擔(dān)當(dāng)班主任的老師辦理手機(jī)語音月卡套餐，為了解通話時(shí)長，采納隨機(jī)抽樣的方法，得到該校100位班主任每人的月平均通話時(shí)長（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示，將頻率視為概率.（1）求圖中的值；（2）估計(jì)該校擔(dān)當(dāng)班主任的老師月平均通話時(shí)長的中位數(shù)；（3）在，這兩組中采納分層抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人恰在同一組的概率.【答案】(1)(2)390分鐘.(3)【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖中全部矩形的面積和為1，列出方程，即可求解；（2）設(shè)該校擔(dān)當(dāng)班主任的老師月平均通話時(shí)長的中位數(shù)為，依據(jù)頻率分布直方圖的中位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.（3）依據(jù)分層抽樣，可得在內(nèi)抽取人，分別記為，在內(nèi)抽取2人，記為，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）依題意，依據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：，解得.（2）設(shè)該校擔(dān)當(dāng)班主任的老師月平均通話時(shí)長的中位數(shù)為.因?yàn)榍?組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，所以，由，得.所以該校擔(dān)當(dāng)班主任的老師月平均通話時(shí)長的中位數(shù)為390分鐘.（3）由題意，可得在內(nèi)抽取人，分別記為，在內(nèi)抽取2人，記為，則6人中抽取2人的取法有：，，，，，，，，，，，，，，，共15種等可能的取法.其中抽取的2人恰在同一組的有，，，，，，，共7種取法，所以從這6人中隨機(jī)抽取的2人恰在同一組的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中熟記頻率分布直方圖的相關(guān)性質(zhì)，合理利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.21.已知函數(shù)，（其中，，）的圖象與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個最高點(diǎn)為．（1）求的解析式；（2）先把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，然后再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函