2024-2025學年新教材高中數學第四章對數運算和對數函數4.4-4.5指數函數冪函數對數函數增長的比較信息技術支持的函數研究練測評含解析北師大版必修第一冊

PAGE指數函數、冪函數、對數函數增長的比較信息技術支持的函數探討必備學問基礎練進階訓練第一層學問點一指數函數、冪函數、對數函數增長的差異1.當x越來越大時，下列函數中，增長速度最快的應當是()A．y＝10000xB．y＝log2xC．y＝x1000D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x2．四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x改變的數據如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關于x呈指數函數改變的變量是________.學問點二指數函數、冪函數、對數函數增長的比較3.下面對函數f(x)＝logx，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝x在區(qū)間(0，＋∞)上的衰減狀況的敘述正確的是()A．f(x)的衰減速度漸漸變慢，g(x)的衰減速度漸漸變快，h(x)的衰減速度漸漸變慢B．f(x)的衰減速度漸漸變快，g(x)的衰減速度漸漸變慢，h(x)的衰減速度漸漸變快C．f(x)的衰減速度漸漸變慢，g(x)的衰減速度漸漸變慢，h(x)的衰減速度漸漸變慢D．f(x)的衰減速度漸漸變快，g(x)的衰減速度漸漸變快，h(x)的衰減速度漸漸變快4．當2<x<4時，2x，x2，log2x的大小關系是()A．2x>x2>log2xB．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x5．函數f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設兩函數的圖象關于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數．(2)結合函數圖象，推斷f(6)，g(6)的大?。畬W問點三指數函數、冪函數、對數函數的實際應用6.某學校為了實現60萬元的生源利潤目標，打算制定一個激勵招生人員的嘉獎方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行嘉獎，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現有三個嘉獎模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？關鍵實力綜合練進階訓練其次層1．四人賽跑，假設其跑過的路程和時間的函數關系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3x，f4(x)＝2x，假如他們始終跑下去，最終跑在最前面的人對應的函數關系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log3xD．f4(x)＝2x2．以下四種說法中，正確的是()A．冪函數增長的速度比一次函數增長的速度快B．對隨意的x>0，xa>logaxC．對隨意的x>0，ax>logaxD．肯定存在x0，當x>x0，a>1，n>0時，總有ax>xn>logax3．已知－1<α<0，則()A．0.2α>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α>2αB．2α>0.2α>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))αC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α>0.2α>2αD．2α>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α>0.2α4．有一組試驗數據如下表所示：x12345y413284976下列所給函數模型較適合的是()A．y＝logax(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)5．據報道，某淡水湖的湖水在50年內削減了10%，若按此規(guī)律，設2024年的湖水量為m，從2024年起，經過x年后湖水量y與x的函數關系為()A．y＝0.9B．y＝(1－0.1)mC．y＝0.9mD．y＝(1－0.150x)m6．(探究題)某校甲、乙食堂某年1月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知該年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則該年5月份()A．甲食堂的營業(yè)額較高B．乙食堂的營業(yè)額較高C．甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D．不能確定甲、乙哪個食堂的營業(yè)額較高7．函數y＝x2與函數y＝xlnx在區(qū)間(1，＋∞)上增長較快的一個是________．8．某種病菌經30分鐘繁殖為原來的2倍，且知這種病菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt(k為常數，t為時間，單位：小時)，y表示病菌個數，則k＝________，經過5小時，1個病菌能繁殖為________個．9．(易錯題)某工廠8年來某種產品的總產量C與時間t(年)的函數關系如圖所示．以下四種說法：①前三年產量增長的速度越來越快；②前三年產量增長的速度越來越慢；③第三年后這種產品停止生產；④第三年后產量保持不變．其中說法正確的的序號是________．10．函數f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖．(1)指出曲線C1，C2分別對應哪一個函數；(2)比較兩函數的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較)．學科素養(yǎng)升級練進階訓練第三層1．(多選題)甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點動身向同一個方向運動，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關于時間x(x≥0)的函數關系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，則以下結論正確的是()A．當x>1時，甲走在最前面B．當0<x<1時，丁走在最前面，當x>1時，丁走在最終面C．丙不行能走在最前面，也不行能走在最終面D．假如它們始終運動下去，最終走在最前面的是甲2．若已知16<x<20，利用圖象可判出x和log2x的大小關系為________．3．(情境命題—生活情境)2024年，新型冠狀病毒的傳播給我國人民生產生活帶來很大的影響．經過監(jiān)測，某地區(qū)第1周、第2周、第3周患這種傳染病的人數分別為52,54,58.為了預料以后各周的患病人數，甲選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙選擇了模型y＝p·qx＋r，其中y為患病人數，x為周數，a，b，c，p，q，r都是常數．結果第4周、第5周、第6周的患病人數分別為66,82,115，你認為誰選擇的模型較好？§4指數函數、冪函數、對數函數增長的比較§5信息技術支持的函數探討必備學問基礎練1．解析：由于指數型函數的增長是爆炸式增長，則當x越來越大時，函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x增長速度最快．故選D.答案：D2．解析：以爆炸式增長的變量是呈指數函數改變的，從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2起先改變，變量y1，y2，y3，y4都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，可知變量y2關于x呈指數函數改變．答案：y23．解析：由函數f(x)＝logx，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝x－eq\f(1,2)在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象(圖略)知函數f(x)，g(x)，h(x)的衰減速度均漸漸變慢，故選C.答案：C4．解析：在同一平面直角坐標系中畫出函數y＝log2x，y＝x2，y＝2x的圖象(圖略)，由圖象，可知在區(qū)間(2,4)上從上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的圖象．所以當2<x<4時，x2>2x>log2x.答案：B5．解析：(1)C1對應的函數為g(x)＝x3，C2對應的函數為f(x)＝2x.(2)因為f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2.由圖可知g(6)>f(6)．6．解析：作出函數y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如下圖所示)．視察圖象可知，在區(qū)間[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行嘉獎才符合學校的要求．關鍵實力綜合練1．解析：在同一平面直角坐標系中畫出函數f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)的圖象(圖略)，可知當x>4時，f4(x)>f1(x)>f2(x)>f3(x)，故選D.答案：D2．解析：對于A，冪函數的增長速度受指數影響，指數與一次項系數不確定，增長速度不能比較，而B，C中xa，logax，ax的大小都受a的影響，選D.答案：D3．解析：∵eq\f(1,2)>0.2，－1<α<0，∴2α<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α<0.2α.故選A.答案：A4．解析：通過所給數據可知y隨x增大，其增長速度越來越快，而A、D中的函數增長速度越來越慢，B中的函數增長速度保持不變，故選C.答案：C5．解析：設每年湖水量為上一年的q%，則(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9eq\f(1,50).∴x年后的湖水量為y＝0.9eq\f(x,50)m.答案：C6．解析：設甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m，甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a>0)，乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x.由題意，可得m＋8a＝m×(1＋x)8，則5月份甲食堂的營業(yè)額y1＝m＋4a，乙食堂的營業(yè)額y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(mm＋8a).因為yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故該年5月份甲食堂的營業(yè)額較高．答案：A7．解析：當x變大時，x比lnx增長要快，∴x2要比xlnx增長得要快．答案：y＝x28．解析：設病菌原來有1個，則半小時后為2個，得2＝e，解得k＝2ln2，y(5)＝e(2ln2)·5＝e10ln2＝210＝1024(個)．答案：2ln210249．解析：由t∈[0,3]的圖象聯想到冪函數y＝xα(0<α<1)．反映了C隨時間的改變而漸漸增長但速度越來越慢．由t∈[3,8]的圖象可知，總產量C沒有改變，即第三年后停止生產，所以②③正確．答案：②③10．解析：(1)C1對應的函數為g(x)＝0.3x－1，C2對應的函數為f(x)＝lgx.(2)當x∈(0，x1)時，g(x)>f(x)；當x∈(x1，x2)時，g(x)<f(x)；當x∈(x2，＋∞)時，g(x)>f(x)．學科素養(yǎng)升級練1．解析：路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關于時間x(x≥0)的函數關系式分別為：f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．它們相應的函數模型分別是指數型函數、冪函數、一次函數和對數型函數模型．當x＝2時，f1(2)＝3，f2(2)＝8，∴選項A不正確；依據四種函數的改變特點，對數型函數的改變是先快后慢，當x＝1時甲、乙、丙、丁四個物體重合，從而可知當0<x<1時，丁走在最前面，當x>1時，丁走在最終面，∴選項B正確；結合對數型和指數型函數的圖象改變狀況，可知丙不行能走在最前面，也不行能走在最終面，∴選項C正確；指數函數改變是先慢后快，當運動的時間足夠長，最前面的物體肯定是依據指數型函數運動的物體，即肯定是甲物體．∴選項D正確．故選B、C、D.答案：BCD2．解析：作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的圖象，如圖所示：由圖象可知，在(0,4)內，x>log2x；x＝4或x＝16時，x＝log2x；在(4,16)內x<log2x；在(16,20)內x>log2x.答案：x>log2x3．解析：依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·12＋b·1＋c＝52，,a·22＋b·2＋c＝54，,a·32＋b·3＋c＝58，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝52，,4a＋2b＋c＝54，,9a＋3b＋c＝58，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al