2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)章末檢測(cè)含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE11集合與常用邏輯用語(yǔ)A卷—學(xué)考測(cè)評(píng)卷本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，則M∪N＝()A．{x|x>－3} B．{x|－3<x≤5}C．{x|3<x≤5} D．{x|x≤5}解析：選A在數(shù)軸上表示集合M，N，如圖所示，則M∪N＝{x|x>－3}．2．若集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝|x＋1|，x∈A}，則B＝()A．{1，2，3} B．{0，1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}解析：選C由y＝|x＋1|，x∈A，知當(dāng)x＝－3，1時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝－2，0時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3.故得集合B＝{0，1，2，3}，故選C.3．已知集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，集合B＝{2，4}，則(?UA)∪B＝()A．{2，4，5} B．{1，3，4}C．{1，2，4} D．{2，3，4，5}解析：選A由題意知?UA＝{2，5}，所以(?UA)∪B＝{2，4，5}．故選A.4．命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()A．隨意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B．隨意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C．存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D．存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)解析：選B量詞“存在”否定后為“隨意”，結(jié)論“它的平方是有理數(shù)”否定后為“它的平方不是有理數(shù)”．故選B.5．滿意M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B集合M必需含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．6．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2 B．2C．4 D．2或4解析：選A若a＝2，則|a|＝2，不符合集合元素的互異性，則a≠2；若|a|＝2，則a＝2或－2，可知a＝2舍去，而當(dāng)a＝－2時(shí)，a－2＝－4，符合題意；若a－2＝2，則a＝4，|a|＝4，不符合集合元素的互異性，則a－2≠2.綜上，可知a＝－2.故選A.7．定義集合運(yùn)算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{1，2}，B＝{0，2}，則集合A*B中的全部元素之和為()A．0 B．2C．3 D．6解析：選D依題意，A*B＝{0，2，4}，其全部元素之和為6，故選D.8．如圖，U為全集，M、P、S是U的三個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(?US) D．(M∩P)∪(?US)解析：選C圖中的陰影部分是：M∩P的子集，不屬于集合S，屬于集合S的補(bǔ)集，即是?US的子集．則陰影部分所表示的集合是(M∩P)∩(?US)，故選C.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．下列命題正確的有()A．0是最小的自然數(shù)；B．每個(gè)正方形都有4條對(duì)稱軸；C．?x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0D．?x∈N，使x2≤x解析：選ABD對(duì)于A：依據(jù)自然數(shù)集的定義知，最小的自然數(shù)是0；命題A正確；對(duì)于B：由正方形的圖形特點(diǎn)知，每個(gè)正方形都有兩條對(duì)角線和過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線四條對(duì)稱軸，命題B正確；對(duì)于C：這是全稱量詞命題，當(dāng)x＝－1時(shí)，－2×1＋1＜0，命題C錯(cuò)誤；對(duì)于D：這是存在量詞命題，當(dāng)x＝1或x＝0時(shí)，可得x2≤x成立；命題D正確，故選A、B、D.10．集合M＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之間的關(guān)系表述正確的有()A．S?P B．S?MC．M?S D．P?S解析：選ABM表示奇數(shù)的集合，而6m＋1為奇數(shù)，故S?M，故B正確．取9∈M，但9?S，故C錯(cuò)誤．因?yàn)?m＋1＝3×2m＋1，故6m＋1∈P，故S?P，A正確．取10∈P，但10?S，故D錯(cuò)誤．故選A、B.11．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，則集合{1，2}可以表示為()A．M∩N B．(?UM)∩NC．(?UN)∩M D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(?U（M∩N）))∩N解析：選BDA．M∩N＝{5}；B.(?UM)∩N＝{1，2}；C.(?UN)∩M＝{3，4}；D.(?U(M∩N))∩N＝{1，2}．故選B、D.12．我們知道，假如集合A?S，那么S的子集A的補(bǔ)集為?SA＝{x|x∈S，且x?A}．類似地，對(duì)于集合A，B，我們把集合{x|x∈A，且x?B}叫作集合A與B的差集，記作A－B.據(jù)此，下列說(shuō)法中正確的是()A．若A?B，則A－B＝?B．若B?A，則A－B＝AC．若A∩B＝?，則A－B＝AD．若A∩B＝C，則A－B＝A－C解析：選ACD由差集的定義可知，對(duì)于選項(xiàng)A，若A?B，則A中的元素均在B中，則A－B＝?，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若B?A，則B中的元素均在A中，則A－B＝?AB≠A，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若A∩B＝?，則A、B無(wú)公共元素，則A－B＝A，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若A∩B＝C，則A－B＝?AC＝A－C，故選項(xiàng)D正確；故選A、C、D.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知集合A＝{1，2，a2－2a}，若3∈A，則實(shí)數(shù)a＝________．解析：∵3∈A，A＝{1，2，a2－2a}，∴a2－2a＝3，解得a＝－1或3.答案：－1或314．若命題p：?a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，則綈p________．答案：?a，b∈R，方程ax2＋b＝0無(wú)解或至少有兩解15．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分條件，則a的取值范圍是________．解析：若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分條件，則{x|x≤a}{x|x<－1}，∴a<－1.答案：{a|a<－1}16．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求M∩N＝________；(2)當(dāng)M∩N＝M時(shí)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______．解析：(1)由題意得M＝{2}，當(dāng)m＝2時(shí)，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，則M∩N＝{2}．(2)因?yàn)镸∩N＝M，所以M?N，因?yàn)镸＝{2}，所以2∈N.所以2是關(guān)于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.答案：(1){2}(2)2四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)寫(xiě)出下列命題的否定，并推斷其真假：(1)p：?x∈R，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)根；(2)q：?x∈R，使得x2＋x＋1≤0.解：(1)綈p：?x∈R，方程x2＋x－m＝0無(wú)實(shí)數(shù)根；由于當(dāng)m＝－1時(shí)，方程x2＋x－m＝0的根的判別式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，故其是真命題．(2)綈q：?x∈R，使得x2＋x＋1＞0；由于x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，故其是真命題．18．(本小題滿分12分)設(shè)集合A＝{x|a－1＜x＜2a，a∈R}，B＝{x|－2＜x＜4}．(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求集合?RA；(2)當(dāng)A?B時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{x|－1＜x＜0}，?RA＝{x|x≤－1或x≥0}．(2)若A?B，則有：①A＝?，即2a≤a－1，即a≤－1，符合題意；②A≠?，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a>a－1，,a－1≥－2，,2a≤4，))解得，－1＜a≤2，綜合①②得，a≤2.19．(本小題滿分12分)已知A＝{x|－3≤x－2≤1}，B＝{x|a－1≤x≤a＋2}(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求A∩B；(2)若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)a＝1時(shí)，B＝{x|0≤x≤3}，且A＝{x|－1≤x≤3}，∴A∩B＝[0，3]．(2)∵A∪B＝A，∴B?A，由題意明顯B≠?，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1≥－1，,a＋2≤3，))解得0≤a≤1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，1]．20．(本小題滿分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|2≤x≤4}．(1)求A∩(?UB)；(2)若集合C＝{x|a≤x≤4a，a＞0}，且滿意C∪A＝A，C∩B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)?UB＝{x|x＜2或x＞4}，∴A∩(?UB)＝{x|－1≤x＜2或4＜x≤5}．(2)由C∪A＝A得C?A，解得－1≤a≤eq\f(5,4)，由C∩B＝B得B?C，解得1≤a≤2.從而實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1≤a≤\f(5,4))))).21．(本小題滿分12分)在①{x|a－1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a＋2}；③{x|eq\r(a)<x<eq\r(a)＋3}，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的a存在，求a的值；若a不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．已知集合A＝________，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：由題意知，A不為空集，B＝{x|1≤x≤3}．當(dāng)選條件①時(shí)，因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以A?B，解得2≤a≤3.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，3]．當(dāng)選條件②時(shí)，因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以A?B，解得a＝1.此時(shí)A＝B，不符合條件．故不存在a的值滿意題意．當(dāng)選條件③時(shí)，因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以A?B，該不等式組無(wú)解，故不存在a的值滿意題意．22．(本小題滿分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|a－1<x<2a＋1}，B＝{x|0<x<1}．(1)若a＝eq\f(1,2)，求A∩B；(2)若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)若a＝eq\f(1,2)，則A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<2))))，又B＝{x|0<x<1}，∴A∩B＝{x|0<x<1}．(2)當(dāng)A＝?時(shí)，a－1≥2a＋1，∴a≤－2，此時(shí)滿意A∩B＝?；當(dāng)A≠?時(shí)，由A∩B＝?，B＝{x|0<x<1}，易得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋1>a－1，,a－1≥1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋1>a－1，,2a＋1≤0，))∴a≥2或－2<a≤－eq\f(1,2).綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(1,2)或a≥2)))).B卷—高考滾動(dòng)測(cè)評(píng)卷本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．命題“?x∈R，2021x2－2x＋1≤0”的否定是()A．?x∈R，2021x2－2x＋1>0B．?x∈R，2021x2－2x＋1≤0C．?x∈R，2021x2－2x＋1≥0D．?x∈R，2021x2－2x＋1>0解析：選D先改量詞為?，再對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，故其否定為?x∈R，2021x2－2x＋1>0，故選D.2．設(shè)集合A＝{1，2，3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}，則A∪B＝()A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}解析：選C因?yàn)锳＝{1，2，3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故選C.3．“x<0或x>4”是“x>4”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要解析：選B由“x<0或x>4”?/“x>4”，但“x>4”?“x<0或x>4”，故“x<0或x>4”是“x>4”的必要不充分條件．故選B.4．已知全集U＝R，設(shè)集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|x≥2}，則A∩(?UB)＝()A．{x|1≤x≤2} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x<2}解析：選D∵B＝{x|x≥2}，∴?UB＝{x|x<2}．又A＝{x|x≥1}，∴A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}．5．(2024·河北辛集中學(xué)高一月考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0<x<6，x∈N}，則滿意A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為()A．4 B．8C．7 D．16解析：選B結(jié)合題意可得A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}．令集合M＝{3，4，5}，可知集合C中肯定有元素1，2，可能有集合M中的元素，結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式可得，集合C的個(gè)數(shù)為23＝8.6．2024年文匯中學(xué)學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班62名學(xué)生中有一半的學(xué)生沒(méi)有參與競(jìng)賽，參與競(jìng)賽的學(xué)生中，參與田賽的有16人，參與徑賽的有23人，則田賽和徑賽都參與的學(xué)生人數(shù)為()A．7 B．8C．10 D．12解析：選B由題可得參與競(jìng)賽的學(xué)生共有31人，因?yàn)閏ard(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，所以田賽和徑賽都參與的學(xué)生人數(shù)為16＋23－31＝8.故選B.7．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(?RB)＝R，則a滿意()A．{a|a≥2} B．{a|a>2}C．{a|a<2} D．{a|a≤2}解析：選A?RB＝{x|x≥2}，則由A∪(?RB)＝R，得a≥2，故選A.8．定義集合運(yùn)算A?B＝{x|x＝a×b，a∈A，b∈B}，設(shè)A＝{0，1}，B＝{3，4，5}，則集合A?B的真子集個(gè)數(shù)為()A．16 B．15C．14 D．8解析：選BA＝{0，1}，B＝{3，4，5}，A?B＝{x|x＝a×b，a∈A，b∈B}＝{0，3，4，5}，其真子集個(gè)數(shù)為24－1＝15.故選B.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．下列命題正確的是()A．存在x<0，x2－2x－3＝0B．對(duì)于一切實(shí)數(shù)x<0，都有|x|>xC．?x∈R，eq\r(x2)＝xD．已知an＝2n，bm＝3m，對(duì)于隨意n，m∈N*，an≠bm解析：選AB因?yàn)閤2－2x－3＝0的根為x＝－1或3，所以存在x0＝－1<0，使xeq\o\al(2,0)－2x0－3＝0，故A為真命題；B明顯為真命題；因?yàn)閑q\r(x2)＝|x|，故C為假命題；當(dāng)n＝3，m＝2時(shí)，a3＝b2，故D為假命題．10．命題“?1≤x≤3，x2－a≤0”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是()A．a(chǎn)≥9 B．a(chǎn)≥11C．a(chǎn)≥10 D．a(chǎn)≤10解析：選BC當(dāng)該命題是真命題時(shí)，只需當(dāng)1≤x≤3時(shí)，a≥(x2)max.因?yàn)?≤x≤3時(shí)，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.因?yàn)閍≥9?/a≥10，a≥10?a≥9，又a≥9?/a≥11，a≥11?a≥9，故選B、C.11．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．?n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命題B．?n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命題C．?n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命題D．?n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是假命題解析：選ABD當(dāng)n＝1時(shí)，2n2＋5n＋2不能被2整除，當(dāng)n＝2時(shí)，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B、D錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確．12．設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)元素．若對(duì)隨意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈P(除數(shù)b≠0)，則稱P是一個(gè)數(shù)域，例如有理數(shù)集Q是一個(gè)數(shù)域，則下列說(shuō)法正確的是()A．?dāng)?shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)B．整數(shù)集是數(shù)域C．若有理數(shù)集Q?M，則數(shù)集M必為數(shù)域D．?dāng)?shù)域必為無(wú)限集解析：選AD數(shù)集P有兩個(gè)元素m，n，則肯定有m－m＝0，eq\f(m,m)＝1(設(shè)m≠0)，A正確；因?yàn)?∈Z，2∈Z，eq\f(1,2)?Z，所以整數(shù)集不是數(shù)域，B不正確；令數(shù)集M＝Q∪{eq\r(2)}，則1∈M，eq\r(2)∈M，但1＋eq\r(2)?M，所以C不正確；數(shù)域中有1，肯定有1＋1＝2，1＋2＝3，遞推下去，可知數(shù)域必為無(wú)限集，D正確．第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．若命題“?x∈R，使得－1≤a≤3”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：因命題“?x∈R，使得－1≤a≤3”是假命題，則?x∈R，a>3或a<－1是真命題，故a>3或a<－1.答案：a>3或a<－114．集合M＝{1，2，a，a2－3a－1}，N＝{－1，3}，若3∈M且N?M，則a的取值為_(kāi)_______．解析：①若a＝3，則a2－3a－1＝－1，即M＝{1，2，3，－1}，明顯N?M，不合題意．②若a2－3a－1＝3，即a＝4或a＝－1.當(dāng)a＝－1時(shí)，N?M，舍去．當(dāng)a＝4時(shí)，M＝{1，2，4，3}，滿意要求．答案：415．從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選一個(gè)合適的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；(2)“x<5”是“x<3”的_______．解析：(1)設(shè)A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要條件．(2)因?yàn)橛伞皒<5”不能推出“x<3”；由“x<3”能推出“x<5”；所以“x<5”是“x<3”的必要不充分條件．答案：(1)充要條件(2)必要不充分條件16．某班共有學(xué)生40名，在乒乓球、籃球、排球三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中每人至少會(huì)其中的一項(xiàng)，有些人會(huì)其中的兩項(xiàng)，沒(méi)有人三項(xiàng)均會(huì)．若該班18人不會(huì)打乒乓球，24人不會(huì)打籃球，16人不會(huì)打排球，則該班會(huì)其中兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的學(xué)生人數(shù)是________．解析：設(shè)只會(huì)乒乓球、籃球、排球分別為x1，x2，x3.會(huì)乒乓球和籃球，籃球和排球，乒乓球和排球分別為y1，y2，y3，由題意可知x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＝40，x2＋x3＋y2＝18，x1＋x3＋y3＝24，x1＋x2＋y1＝16，求y1＋y2＋y3.把第一個(gè)式子的2倍減去后三個(gè)式子得y1＋y2＋y3＝80－(18＋24＋16)＝22.答案：22四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)將下列命題用量詞等符號(hào)表示，并推斷命題的真假：(1)全部實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)；(2)任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)實(shí)數(shù)．解：(1)命題為：?x∈R，x2>0.易得當(dāng)x＝0時(shí)x2＝0，故原命題為假命題．(2)命題為：?x∈R，eq\f(x,1)＝x，易得為真命題．18．(本小題滿分12分)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，(1)若A中只有一個(gè)元素，試求a的值，并求出這個(gè)元素；(2)若A是空集，求a的取值范圍；(3)若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍．解：(1)若A中只有一個(gè)元素，則方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)a＝0時(shí)，方程為一元一次方程，滿意條件，此時(shí)x＝－eq\f(1,2)，當(dāng)a≠0，此時(shí)Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此時(shí)x＝－1.(2)若A是空集，則方程ax2＋2x＋1＝0無(wú)解，此時(shí)Δ＝4－4a＜0，解得a＞1.(3)若A中至多只有一個(gè)元素，則A為空集，或有且只有一個(gè)元素，由(1)(2)得滿意條件的a的取值范圍是a＝0或a≥1.19．(本小題滿分12分)求證：關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是m≥2.證明：充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)根，設(shè)x2＋mx＋1＝0的兩根為x1，x2，由x1x2＝1>0，∴x1、x2同號(hào)，又x1＋x2＝－m≤－2，∴x1，x2同為負(fù)根；必要性：∵x2＋mx＋1＝0的兩個(gè)實(shí)根x1，x2均為負(fù)，且x1x2＝1，∴m－2＝－(x1＋x2)－2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－2＝－eq\f(xeq\o\al(2,1)＋2x1＋1,x1)＝－eq\f(（x1＋1）2,x1)≥0，∴m≥2.命題得證．20．(本小題滿分12分)設(shè)集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}．(1)當(dāng)a＝1時(shí)