高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)課時跟蹤檢測（十九）函數(shù)y=Asin（ωxφ）的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用（普通高中）

課時跟蹤檢測（十九）函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用(一)普通高中適用作業(yè)A級——基礎(chǔ)小題練熟練快1．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的簡圖是()解析：選A令x＝0，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，排除B、D.由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0，排除C，故選A.2．為了得到函數(shù)y＝3sin2x＋1的圖象，只需將y＝3sinx的圖象上的所有點(diǎn)()A．橫坐標(biāo)伸長2倍，再向上平移1個單位長度B．橫坐標(biāo)縮短eq\f(1,2)倍，再向上平移1個單位長度C．橫坐標(biāo)伸長2倍，再向下平移1個單位長度D．橫坐標(biāo)縮短eq\f(1,2)倍，再向下平移1個單位長度解析：選B將y＝3sinx的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短eq\f(1,2)倍得到y(tǒng)＝3sin2x的圖象，再將y＝3sin2x的圖象再向上平移1個單位長度即得y＝3sin2x＋1的圖象，故選B.3．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝2所得線段長為eq\f(π,2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))的值是()A．－eq\r(3) B.eq\f(\r(3),3)C．1 D.eq\r(3)解析：選D由題意可知該函數(shù)的周期為eq\f(π,2)，∴eq\f(π,ω)＝eq\f(π,2)，ω＝2，f(x)＝tan2x.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).4.若函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分圖象如圖，則ω等于()A．5 B．4C．3 D．2解析：選B由圖象可知eq\f(T,2)＝x0＋eq\f(π,4)－x0＝eq\f(π,4)，即T＝eq\f(π,2)＝eq\f(2π,ω)，故ω＝4.5．若函數(shù)f(x)＝2sinωx(ω＞0)在(0,2π)上恰有兩個極大值和一個極小值，則ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(7,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(4,5)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(5,4)))解析：選A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,2π)上恰有兩個極大值和一個極小值，所以由正弦函數(shù)的圖象可得eq\f(5,4)T＜2π≤eq\f(7,4)T，即eq\f(5,4)·eq\f(2π,ω)＜2π≤eq\f(7,4)·eq\f(2π,ω)，解得eq\f(5,4)＜ω≤eq\f(7,4).6．將函數(shù)f(x)＝cos2x的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位長度后得到函數(shù)g(x)，則g(x)具有的性質(zhì)是()A．最大值為1，圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱B．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)C．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)，\f(π,8)))上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)D．周期為π，圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，0))對稱解析：選B將函數(shù)f(x)＝cos2x的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位長度后得到函數(shù)g(x)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))＝sin2x的圖象，當(dāng)x＝eq\f(π,2)時，g(x)＝0，故A錯，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故函數(shù)g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)，故B正確，C錯，當(dāng)x＝eq\f(3π,8)時，g(x)＝eq\f(\r(2),2)，故D錯，選B.7．若函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期為eq\f(π,2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝________.解析：由f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期為eq\f(π,2)，得ω＝4.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(π,3)－\f(π,3)))＝0.答案：08．已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋φ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，則該函數(shù)的振幅為____________，周期T為____________，頻率為____________，初相φ為____________．解析：振幅A＝2，T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6，f＝eq\f(1,6).因?yàn)閳D象過點(diǎn)(0,1)，所以2sinφ＝1，所以sinφ＝eq\f(1,2)，又|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6).答案：26eq\f(1,6)eq\f(π,6)9．(2017·河南洛陽統(tǒng)考)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，已知圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，－1))，則f(x)＝____________.解析：由已知得eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)，∴T＝eq\f(2π,3)，又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝3.∵f(0)＝1，∴sinφ＝eq\f(1,2)，又∵0＜φ＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))(經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意)．答案：2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))10．某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)來表示，已知6月份的平均氣溫最高，為28℃，12月份的平均氣溫最低，為18℃，則10月份的平均氣溫值為________℃.解析：依題意知，a＝eq\f(28＋18,2)＝23，A＝eq\f(28－18,2)＝5，所以y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))，當(dāng)x＝10時，y＝23＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝20.5.答案：20.5B級——中檔題目練通抓牢1．(2018·云南11校跨區(qū)調(diào)研)函數(shù)f(x)＝sinωx(ω＞0)的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位長度，所得圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，則ω的最小值是()A.eq\f(3,2) B．2C．1 D.eq\f(1,2)解析：選C依題意得，函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))))(ω＞0)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，于是有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,3)))＝sinωeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,3)))＝sinωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝kπ，k∈Z，即ω＝k∈Z，因此正數(shù)ω的最小值是1，選C.2．(2018·安徽兩校階段性測試)將函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移eq\f(π,6)個單位長度，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸為()A．x＝eq\f(π,2) B．x＝eq\f(π,8)C．x＝eq\f(π,9) D．x＝π解析：選A將函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的圖象；再將此函數(shù)的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度后，得到函數(shù)y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))的圖象．該函數(shù)圖象的對稱軸為eq\f(x,2)－eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．結(jié)合選項(xiàng)，只有A符合，故選A.3.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，又x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2) D．1解析：選B由題圖可知，eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(π,2)，則T＝π，ω＝2，又eq\f(－\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq\f(π,12)，所以f(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，1))，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)＋φ))＝1，得eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜eq\f(π,2)，可得φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).由f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，可得x1＋x2＝－eq\f(π,6)＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,6)，所以f(x1＋x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋\f(π,3)))＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).4.若函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，直線x＝eq\f(π,6)是它的一條對稱軸，則函數(shù)f(x)的解析式為________．解析：由題意可知，eq\f(T,4)＝eq\f(5π,12)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,4)，所以T＝eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.又因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝1，所以eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).答案：f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))5．已知函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的圖象完全相同，若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則f(x)的值域是________．解析：f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＝3coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(2π,3)))，易知ω＝2，則f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴－eq\f(3,2)≤f(x)≤3.答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))6.已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))(其中0＜ω＜1)，若點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心．(1)求ω的值，并求出函數(shù)f(x)的增區(qū)間；(2)先列表，再作出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－π，π]上的圖象．解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心，所以－eq\f(ωπ,3)＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，所以ω＝－3k＋eq\f(1,2)(k∈Z)，因?yàn)?＜ω＜1，所以當(dāng)k＝0時，可得ω＝eq\f(1,2).所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).令2kπ－eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得2kπ－eq\f(2π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．(2)由(1)知，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，x∈[－π，π]．列表如下：x＋eq\f(π,6)－eq\f(5π,6)－eq\f(π,2)0eq\f(π,2)πeq\f(7π,6)x－π－eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)eq\f(π,3)eq\f(5π,6)πy－1－2020－1作出函數(shù)部分圖象如圖所示：7．(2017·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))，其中0<ω<3.已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0.(1)求ω；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))上的最小值．解：(1)因?yàn)閒(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))，所以f(x)＝eq\f(\r(3),2)sinωx－eq\f(1,2)cosωx－cosωx＝eq\f(\r(3),2)sinωx－eq\f(3,2)cosωx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinωx－\f(\r(3),2)cosωx))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3))).因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0，所以eq\f(ωπ,6)－eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z.又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，所以g(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)－\f(π,3)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12))).因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以x－eq\f(π,12)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，當(dāng)x－eq\f(π,12)＝－eq\f(π,3)，即x＝－eq\f(π,4)時，g(x)取得最小值－eq\f(3,2).C級——重難題目自主選做1．(2018·湘中名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，ω＞0，x∈R，且f(α)＝－eq\f(1,2)，f(β)＝eq\f(1,2).若|α－β|的最小值為eq\f(3π,4)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc