山東省聊城市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含解析

聊城二中高二開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算和商的運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后根據(jù)虛部的概念求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以的虛部?故選：B2.向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【詳解】在上的投影向量為.故選：D.3.若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用球截面小圓性質(zhì)及球的面積公式計(jì)算即得.【詳解】由平面截球所得截面圓的面積為，得此截面小圓半徑，而球心到此小圓距離，因此球的半徑，有，所以球的表面積.故選：C4.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩平面的位置關(guān)系可判斷A；根據(jù)線面平行的性質(zhì)結(jié)合線線的位置判斷B；根據(jù)線面的垂直的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】在A中，若，，則，可能相交或平行，故A錯(cuò)誤：在B中，若，，則m與n相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤：在C中，若，，則由線面垂直性質(zhì)定理得，故C正確；在D中，若，，則由線面垂直的性質(zhì)定理得，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.以下數(shù)據(jù)為某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的10人的成績(jī)：（單位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．這10人成績(jī)的第百分位數(shù)是85，則（）A.65 B.70 C.75 D.80【答案】B【解析】【分析】由樣本數(shù)據(jù)第百分位的定義求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)?0人成績(jī)的第百分位數(shù)是，而，即第位與第位的平均值，所以是這10人成績(jī)的第百分為數(shù).故選：B.6.自1972年慕尼黑奧運(yùn)會(huì)將射箭運(yùn)動(dòng)重新列入奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目以來，這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)逐漸受到越來越多年輕人的喜愛．已知甲、乙兩位射箭運(yùn)動(dòng)員射中10環(huán)的概率均為，且甲、乙兩人射箭的結(jié)果互不影響，若兩人各射箭一次，則甲、乙兩人中至少有一人射中10環(huán)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式及對(duì)立事件的概率公式即可求解.【詳解】記“甲射中10環(huán)”為事件，“乙射中10環(huán)”為事件，，甲、乙兩人中至少有一人射中10環(huán)的概率為：.故選：D．7.在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，若，，則用基底表示向量為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合向量線性運(yùn)算，用基底表示即可.【詳解】連接，如圖，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.故選：B8.已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量（不重合），則下列說法中，正確的是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線方向向量與平面法向量的位置關(guān)系得兩平面的位置關(guān)系，由此即可得解.【詳解】由題意或.故選：B.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.下列結(jié)論正確的有（）A.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，恰有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是互斥事件B.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰為隨機(jī)事件C.若一組數(shù)據(jù)1，，2，4的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為D.某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為400的樣本進(jìn)行調(diào)查．若該校一、二、三、四年級(jí)本科生人數(shù)之比為，則應(yīng)從四年級(jí)中抽取80名學(xué)生【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于A，分別寫出兩個(gè)事件，根據(jù)互斥事件的概念判斷；對(duì)于B，根據(jù)物理知識(shí)之間判斷選項(xiàng)；對(duì)于C，根據(jù)眾數(shù)和平均數(shù)公式計(jì)算結(jié)果；對(duì)于D，根據(jù)分層抽樣的計(jì)算公式，計(jì)算結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，恰有一個(gè)黑球包含的事件是“一黑一紅”，至少有一個(gè)紅球包含的事件是“一紅一黑”和“兩個(gè)紅球”，兩個(gè)事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰為不可能事件，故B不正確，對(duì)于C，眾數(shù)是2，所以，平均數(shù)，故C正確，對(duì)于D，由條件可知名學(xué)生，故D正確.故選：CD.10.下列命題正確的是（）A.若，則與，共面B.若，則共面C.若，則共面D.若，則共面【答案】ABD【解析】【分析】利用共面向量定理:即若一條向量用另外兩條向量線性表示，則這三條向量一定共面，用此法可判斷三條向量共面，再利用有公共點(diǎn)的三條向量共面，進(jìn)而可判斷四點(diǎn)共面，針對(duì)，可以利用線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行判斷.【詳解】選項(xiàng)A，根據(jù)共面向量基本定理可知，與，共面；所以選項(xiàng)A是正確的；選項(xiàng)B，根據(jù)共面向量基本定理可知，共面，由于它們有公共點(diǎn)，所以共面；選項(xiàng)C，舉反例說明，若，，是一個(gè)正方體同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量，則它們的和向量是以為起點(diǎn)的對(duì)角線向量，而是該對(duì)角線向量的相反向量，此時(shí)顯然四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面上，所以C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)D，由可得，則，即，則，此時(shí)與選項(xiàng)B一樣，可以判斷共面，即D選項(xiàng)是正確的；故選：ABD．11.在中，角所對(duì)的邊分別為下列結(jié)論正確的是（）A.若，則為銳角三角形B.若，則C.若，三角形面積，則D.若，則為等腰三角形【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)余弦定理，判定為銳角即可求解；對(duì)于B，根據(jù)大角對(duì)大邊，及正弦定理求解；對(duì)于C，利用三角形的面積計(jì)算公式、余弦定理即可求解；對(duì)于D，根據(jù)正弦定理的邊角化，再利用倍角公式及角的范圍即可求解.【詳解】對(duì)于A，由余弦定理得所以為銳角，但是角的大小不清楚，所以不能判定為銳角三角形，故A不正確；對(duì)于B，在中，，則，由正弦定理得，，即，故B正確；對(duì)于C，由，，得，解得，由余弦定理得，所以，故C正確；對(duì)于D，由及正弦定理，得，即，因?yàn)?，所以或，解得或，所以為等腰三角形或?yàn)橹苯侨切危蔇不正確.故選：BC.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量與的夾角為，且，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求解即可【詳解】由可得，即，，代入可得，化簡(jiǎn)得故答案為：【點(diǎn)睛】平面向量的垂直：若向量，則13.已知水平放置的△ABC是按“斜二測(cè)畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，則原△ABC的面積為_____．【答案】【解析】【分析】利用“斜二測(cè)畫法”判斷平面圖形的形狀，然后求解面積即可．【詳解】水平放置的△ABC是按“斜二測(cè)畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B'O'＝C'O'＝2，，可知原△ABC是等腰直角三角形，底邊長(zhǎng)為4，高為23，則原△ABC的面積為：．故答案為43．【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫法，平面圖形的面積的求法，考查計(jì)算能力．14.某次聯(lián)歡會(huì)上設(shè)有一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，抽獎(jiǎng)箱中共有四種不同顏色且形狀大小完全相同的小球16個(gè)，分別代表一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、無獎(jiǎng)四種獎(jiǎng)項(xiàng).其中紅球代表一等獎(jiǎng)且只有1個(gè)，黃球代表三等獎(jiǎng)，從中任取一個(gè)小球，若中二等獎(jiǎng)或三等獎(jiǎng)的概率為，小華同學(xué)獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，則求他不能中獎(jiǎng)的概率是____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得個(gè)球中代表無獎(jiǎng)的球的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求得結(jié)果.【詳解】從個(gè)球中任取一個(gè)小球，中二等獎(jiǎng)或三等獎(jiǎng)的概率為，故可得代表二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的球共有個(gè)，又代表一等獎(jiǎng)的球有個(gè)，故代表無獎(jiǎng)的球有個(gè)，故小華同學(xué)獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，不能中獎(jiǎng)的概率.故答案為：.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.已知復(fù)數(shù)（，是虛數(shù)單位）．（1）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的除法公式計(jì)算并整理，再由純虛數(shù)中實(shí)部為零，虛部不為零構(gòu)建方程組，求得答案；（2）由共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的加減法計(jì)算公式整理，再由復(fù)數(shù)的幾何意義構(gòu)建不等式組，求得答案.【詳解】（1），因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得．（2）因?yàn)槭堑墓曹棌?fù)數(shù)，所以，所以．因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以，解得．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)中利用純虛數(shù)的定義求參數(shù)取值范圍，還考查了由復(fù)數(shù)的幾何意義求參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.16.已知，.（1）求與的夾角；（2）求；（3）若，，求的面積.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把展開，利用向量的夾角公式可得答案；（2）可先將平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積計(jì)算可得答案；（3）由與的夾角得到，利用三角形面積公式計(jì)算可得答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，又，所以；【小?詳解】因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)榕c的夾角，所以，又，，所以.17.如圖，三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若求證：平面平面.【答案】證明見解析【解析】【分析】如下【詳解】（Ⅰ）證法一：連接設(shè),連接，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)，可得，所以四邊形是平行四邊形，則為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以,又平面，平面，所以平面.證法二：在三棱臺(tái)中，由為的中點(diǎn)，可得所以為平行四邊形，可得在ΔABC中，分別為的中點(diǎn)，所以又，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（Ⅱ）證明：連接.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以由得，又為的中點(diǎn)，所以因此四邊形是平行四邊形，所以又，所以.又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面考點(diǎn)：1.平行關(guān)系；2.垂直關(guān)系.18.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，D為邊上的一點(diǎn)，，且______，求的面積．請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題．①是的平分線；②D為線段的中點(diǎn)．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答記分．）【答案】（1）（2）選擇①②，答案均為【解析】【分析】（1）由正弦定理和得到，求出；（2）選①，根據(jù)面積公式得到，結(jié)合余弦定理得到，求出面積；選②，根據(jù)數(shù)量積公式得到，結(jié)合余弦定理得到，求出，得到面積.【小問1詳解】由正弦定理知，，∵，代入上式得，∵，∴，，∵B∈0,π，∴【小問2詳解】若選①：由平分得，，∴，即．在中，由余弦定理得，又，∴，聯(lián)立得，解得，（舍去），∴．若選②：因?yàn)?，所以，即，得，在中，由余弦定理得，即，?lián)立，可得，∴．19.黨的十九大報(bào)告指出，要以創(chuàng)新理念提升農(nóng)業(yè)發(fā)展新動(dòng)力，引領(lǐng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展走向更高形態(tài).為進(jìn)一步推進(jìn)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整，某村舉辦水果觀光采摘節(jié)，并推出配套鄉(xiāng)村游項(xiàng)目現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了4月份200名游客購買水果的情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）若將購買金額不低于80元游客稱為“水果達(dá)人”，現(xiàn)用分層抽樣的方法從樣本的“水果達(dá)人”中抽取5人，求這5人中消費(fèi)金額不低于100元的人數(shù)；（2）從（1）中的5人中抽取2人作為幸運(yùn)客戶免費(fèi)參加山村旅游項(xiàng)目，請(qǐng)列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人購買金額不低于100元的概率；（3）為吸引顧客，該村特推出兩種促銷方案，方案一：每滿80元可立減8元；方案二：金額超過50元但又不超過80元的部分打9折，金額超過80元但又不超過100元的部分打8折，金額超過100元的部分打7折.若水果的價(jià)格為11元/千克，某游客要購買10千克，應(yīng)該選擇哪種方案更優(yōu)惠.【答案】（1）2；（2）；（3）應(yīng)該選擇方案二更優(yōu)惠.【解析】【分析】（1）由題意可求出金額在“水果達(dá)人”的人數(shù)30人和消費(fèi)金額在“水果達(dá)人”的人數(shù)20人，然后利用分層抽樣的比求出5人中消費(fèi)金額不低于100元的人數(shù)為人；（2）由（1）可知抽取的5人中消費(fèi)金額在的有3人，分別記為，，，消費(fèi)金額在的有2人，記為，，即可列出所有的基本事件共有10種，其中滿足條件的有7種，從而可求出概率；（3）由題意可得該游客要購買110元水果，分別計(jì)算兩種方案所需支付金額，即可得解.【詳解】解：（1）由圖可知，消費(fèi)金額在“水果達(dá)人”的人數(shù)為：人，消費(fèi)金額在“水果達(dá)人”的人數(shù)為：人，