北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試卷帶答案

北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試題一、單選題1．若用配方法解一元二次方程時(shí)，下列變形正確的為（

）A．B．C．D．2．如果點(diǎn)C是線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的—點(diǎn)，且，那么等于（

）A．5：2B．1：2C．3：2D．2：33．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)b的取值有關(guān)4．下列各選項(xiàng)：①兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的等邊三角形；②兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的正方形；③兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的菱形；④兩個(gè)斜邊不等的等腰直角三角形，其中的兩個(gè)圖形一定相似的有（

）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．小明與小剛一起玩拋擲兩枚硬幣的游戲，游戲規(guī)則：拋出兩個(gè)正面--小明贏1分；拋出其他結(jié)果--小剛贏1分；誰(shuí)先到10分，誰(shuí)就獲勝．這是個(gè)不公平的游戲規(guī)則，要把它修改成公平的游戲，下列做法中錯(cuò)誤的是（）A．把“拋出兩個(gè)正面”改為“拋出兩個(gè)同面”B．把“拋出其他結(jié)果”改為“拋出兩個(gè)反面”C．把“小明贏1分”改為“小明贏3分”D．把“小剛贏1分”改為“小剛贏3分”6．如圖，點(diǎn)在的邊AC上，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將縮小到原來(lái)的，得到，則點(diǎn)P在上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．7．如圖，直線(xiàn)，直線(xiàn)c與直線(xiàn)a、b都相交，從，，，這四個(gè)角中任意選取2個(gè)角，則所選取的2個(gè)角互為補(bǔ)角的概率是（

）A．B．C．D．8．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定9．如圖，矩形中，對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn).若，，則的長(zhǎng)為（

）A．4B．C．3D．510．如圖，菱形ABCD的面積為120cm，正方形AECF的面積為50cm，則AB的長(zhǎng)為（）A．9cmB．12cmC．13cmD．15cm二、填空題11．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是______．12．已知，則的值為_(kāi)_____．13．在一個(gè)不透明的口袋中裝有8個(gè)紅球，若干個(gè)白球，這些球除顏色不同外其它都相同，若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，它是紅球的概率為，則白球的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．14．四邊形具有不穩(wěn)定性，對(duì)于四條邊長(zhǎng)確定的四邊形，當(dāng)內(nèi)角度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其形狀也會(huì)隨之改變．如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角度數(shù)，正方形ABCD變?yōu)榱庑危?，且菱形的面積為16，則正方形ABCD的面積為_(kāi)_____．15．如圖，是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)各被等分為三個(gè)扇形，并分別標(biāo)有2、3、4和6、7、8這6個(gè)數(shù)字，如果同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)各一次（指針落在等分線(xiàn)上重轉(zhuǎn)），轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，則指針指向的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為_(kāi)_____．16．如圖，矩形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，，，垂足為F，將繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在EF上，點(diǎn)E恰好落在點(diǎn)B處，連接BE．下列結(jié)論：①；②四邊形EFBC是正方形；③；④，其中結(jié)論正確的為_(kāi)_____．（填寫(xiě)序號(hào)即可）三、解答題17．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?8．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值．19．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字-3，-1，0，1，2，4這六個(gè)數(shù)，若將第一次擲出的骰子正面朝上的數(shù)記為m，第二次擲出的骰子正面朝上的數(shù)記為n，則點(diǎn)P記作．請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求點(diǎn)恰好落在第二象限的概率．20．在四邊形ABCD中，，，，，的平分線(xiàn)分別交AD、AC于點(diǎn)E、F，求的值．21．某商店將進(jìn)價(jià)為每件10元的商品以每件14元的價(jià)格售出，平均每天能售出220件．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：這種商品每件的售價(jià)每上漲1元，其銷(xiāo)售量就將減少20件，該商店計(jì)劃通過(guò)提高售價(jià)減少銷(xiāo)售量的辦法來(lái)增加利潤(rùn)．若物價(jià)部門(mén)規(guī)定此種商品每件利潤(rùn)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的80%，且商店想要獲得平均每天1080元的利潤(rùn)，則這種商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？22．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，以AC為斜邊的等腰直角三角形AEC的邊CE與AD交于點(diǎn)F，連接OE，使得．在AD上截取，連接EH、ED．（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若，，求EH的長(zhǎng)．23．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作且，連接AE交OD于點(diǎn)F，連接OE．（1）求證：；（2）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，，求AE的長(zhǎng)．24．已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上，點(diǎn)G在線(xiàn)段AD上（P、G不與正方形頂點(diǎn)重合，且在CD的同側(cè)），，于點(diǎn)H，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F，將線(xiàn)段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段PE，連接EF．（1）求證：；（2）求證：四邊形PEFD是菱形；（3）若，．求四邊形PEFD的面積．25．如圖，在和中，，，且，線(xiàn)段AC與DE交于點(diǎn)G，連接BD，CE．（1）如圖1，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，求證：．參考答案1．D【解析】【分析】先將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，根據(jù)等式的性質(zhì)將二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半平方，將方程左邊配成一個(gè)完全平方式即可．【詳解】解：原方程變形為：，，配方為：，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用配方法解一元二次方程的運(yùn)用，配方法的解法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練配方法的步驟．2．C【解析】【分析】先畫(huà)出圖形，設(shè)為，然后用表示出，最后求出即可．【詳解】根據(jù)題意可畫(huà)出下圖：，設(shè)，則，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了成比例線(xiàn)段，正確設(shè)出線(xiàn)段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．3．A【解析】【分析】先計(jì)算出判別式的值，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷△＞0，然后利用判別式的意義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．4．C【解析】【分析】利用相似圖形的判定方法：形狀相同的圖形稱(chēng)為相似形，進(jìn)而分別判斷得出即可．【詳解】解：①兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的等邊三角形一定相似，符合題意；②兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的正方形一定相似，符合題意；③兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的菱形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，故兩個(gè)菱形不一定相似，不符合題意；④兩個(gè)斜邊不等的等腰直角三角形一定相似，符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】考查了相似圖形的定義，解題的關(guān)鍵是了解對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的圖形相似，難度不大．5．D【解析】【詳解】解：如圖，因?yàn)閜（正，正）=，則出現(xiàn)其他結(jié)果的概率為：．A．根據(jù)出現(xiàn)拋出兩個(gè)相同面的概率為：，則把“拋出兩個(gè)正面”改為“拋出兩個(gè)同面”正確，故此選項(xiàng)正確不符合題意；B．把“拋出其他結(jié)果”改為“拋出兩個(gè)反面”時(shí)，兩人獲勝概率都為：，故此時(shí)公平，故此選項(xiàng)正確不符合題意；C．∵小明獲勝概率為：，小剛獲勝概率為：，故把“小明贏1分”改為“小明贏3分”，故此時(shí)公平，故此選項(xiàng)正確不符合題意；D．把“小剛贏1分”改為“小剛贏3分，此時(shí)不公平，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．6．C【解析】【分析】直接利用在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k，進(jìn)而結(jié)合已知得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)在△ABC的邊AC上，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來(lái)的，得到△A′B′C′，∴點(diǎn)P在A′C′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的的坐標(biāo)為：（3，2）．故答案選C【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出位似比是解題關(guān)鍵．7．B【解析】【分析】用列表法列出所有結(jié)果數(shù)，再求出所選取的2個(gè)角互為補(bǔ)角結(jié)果數(shù)，即可求解．【詳解】解：從，，，這四個(gè)角中任意選取2個(gè)角，列表可得：，，，，，，，，，，，，共有12種結(jié)果，其中所選取的2個(gè)角互為補(bǔ)角有6種結(jié)果（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）所選取的2個(gè)角互為補(bǔ)角的概率為故選B【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖求概率，涉及了平行線(xiàn)的性質(zhì)以及補(bǔ)角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握列表法或樹(shù)狀圖求概率的方法．8．B【解析】【分析】把a(bǔ)=1，b=-4，c=4代入判別式△=b2-4ac進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷方程根的情況．【詳解】解：∵一元二次方程x2-4x+4=0，∴△=（-4）2-4×1×4=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．9．A【解析】【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)可得OB=OC，求得∠ACB=30°，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求出AB的值．【詳解】∵ABCD是矩形，∴OA=OB=OC，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=30°，∵AC=8，∴AB=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟練掌握矩形的性質(zhì)，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．10．C【解析】【分析】根據(jù)正方形的面積求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的面積求出BD的長(zhǎng),再利用菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分計(jì)算菱形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：因?yàn)檎叫蜛ECF的面積為50cm2，所以AC=因?yàn)榱庑蜛BCD的面積為120cm2，所以BD=所以菱形的邊長(zhǎng)=故選C．【點(diǎn)睛】此題考查正方形和菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形和菱形的面積進(jìn)行解答．11．且【解析】【分析】由于關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，計(jì)算根的判別式，得關(guān)于的不等式，由于一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0得出，，求解即可．【詳解】關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，且．解得：且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，掌握“方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則”是解題的關(guān)鍵.12．【解析】【分析】設(shè)=k，用k表示出a、b、c，代入求值即可.【詳解】解：設(shè)=k，∴a=2k，b=3k，c=4k，∴==.故答案是：.【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，涉及到連比時(shí)一般假設(shè)比值為k，這是常用的方法.13．12【解析】【分析】設(shè)該盒中白球的個(gè)數(shù)為個(gè)，根據(jù)意得，解此方程即可求得答案．【詳解】解：設(shè)該盒中白球的個(gè)數(shù)為個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，所以該盒中白球的個(gè)數(shù)為12個(gè)，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14．32【解析】【分析】根據(jù)菱形，AB邊上的高等于邊的一半，得到，求出AB邊的長(zhǎng)，從而得到正方形ABCD的面積．【詳解】∵，即∴∴．故填32．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊三角形的性質(zhì)，菱形和正方形面積公式，利用30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半求出菱形的高是解決本題的關(guān)鍵．15．【解析】【分析】首先畫(huà)樹(shù)狀圖，根據(jù)樹(shù)狀圖求得所有的等可能的結(jié)果與指針指向的數(shù)字和為奇數(shù)的情況，然后根據(jù)概率公式即可求得答案．【詳解】畫(huà)樹(shù)狀圖得：∴一共有9種等可能的結(jié)果，指針指向的數(shù)字和為奇數(shù)的有4種情況，∴指針指向的數(shù)字和為奇數(shù)的概率是：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查用列舉法求概率，畫(huà)出滿(mǎn)足題意的樹(shù)狀圖，并靈活運(yùn)用概率公式求解是解題的關(guān)鍵．16．①②④【解析】【分析】延長(zhǎng)BM交AE于N，連接AM，由垂直的定義可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得∠EAF＝67.5°，從而有∠EAF+∠FBM＝90°，得到①正確；根據(jù)三個(gè)角是直角可判斷四邊形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正確，計(jì)算出∠EBM＝22.5°得③錯(cuò)誤；由①知∠EAF＝67.5°，∠AEF＝22.5°，F(xiàn)B＝FE，易得∠BEA=∠EAB＝67.5°，所以AB=BE，故④正確．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BM交AE于N，連接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵將△AEF繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△MFB，∴MF＝AF，F(xiàn)B＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四邊形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正確；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③錯(cuò)誤；由①知∠EAF＝67.5°，∠AEF＝22.5°，F(xiàn)B＝FE，∴∠BEF=45°，∴∠BEA=∠AEF+∠BEF=22.5°+45°＝67.5°=∠EAB，∴AB=BE，故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理和正方形的判定與性質(zhì)，掌握常用輔助線(xiàn)的添加方法，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．【解析】【分析】先將方程轉(zhuǎn)化為，再利用因式分解法，即可求解．【詳解】解：變形為，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法，并根據(jù)方程的特征靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．18．4【解析】【分析】先根據(jù)一元二次方程根的判別式可得，從而可得，再代入計(jì)算即可得．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴此方程根的判別式，即，則，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、代數(shù)式求值，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．19．【解析】【分析】根據(jù)題意通過(guò)列表法求得所有可能，再根據(jù)在第二象限的點(diǎn)的特點(diǎn)即可求得恰好落在第二象限的概率．【詳解】列表如下，（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）共有36中等可能結(jié)果，點(diǎn)恰好落在第二象限的有：（，）（，）（，）（，）（，）（，）共6種情形點(diǎn)恰好落在第二象限的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征，列表法求概率，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，由EA∥FG，得出=，又BE是∠ABC的平分線(xiàn)，結(jié)合AC=BC，∠ACB=90°，得到AB=BC，即可求解本題．【詳解】解：作FG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠DAB=90°，∴EA∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又BE是∠ABC的平分線(xiàn)，∴FG=FC，在中，，，∴CB=GB，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴AB=BC，∴===(－1)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等及等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是直角邊的倍，熟練掌握這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21．16元【解析】【分析】設(shè)這種商品的售價(jià)應(yīng)定為元，則每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為元，日銷(xiāo)售量為件，根據(jù)日銷(xiāo)售總利潤(rùn)每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)日銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合此種商品的每件利潤(rùn)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的，即可確定的值．【詳解】解：設(shè)這種商品的售價(jià)應(yīng)定為元，則每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為元，日銷(xiāo)售量為件，依題意得：，整理得：，解得：，．（元，，．答：這種商品的售價(jià)應(yīng)定為16元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．22．（1）矩形，理由見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OA=OC=AC，OB=OD=BD，再由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半得到OE=AC=OA，則OA=OD，即AC=BD，由此即可證明四邊形ABCD是矩形；（2）先根據(jù)平行四邊形ABCD是矩形，得到AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，則DH=AD－AH=4，然后證明△AEH≌△CED得到EH=ED，∠AEH=∠DEC，即可推出∠HED=90°，則EH2＋ED2=DH2，由此求解即可．【詳解】解：（1）四邊形ABCD是矩形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，∵△AEC是等腰直角三角形，∴OE⊥AC，OE=AC=OA，∵OE=OD，∴OA=OD，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）∵平行四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，∵AH=CD，∴AH=2，∴DH=AD－AH=4，∵∠AEC=∠ADC=90°，∴∠DCF＋∠DFC=∠EAF＋∠AFE=90°∵∠AFE=∠DFC，∴∠DCF=∠EAF，∴△AEH≌△CED（SAS），∴EH=ED，∠AEH=∠DEC，∵∠AEH＋∠HEC=∠AEC=90°，∴∠CED＋∠HEC=∠HED=90°，∴EH2＋ED2=DH2，∴2EH2=DH2，∴EH=DH=×4=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握矩形的性質(zhì)與判定條件．23．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)連接EC,由菱形ABCD中，DE//AC且DE=AC，易證得四邊形OADE是平行四邊形，繼而可得OE=AB即可；(2)由菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，可證得四邊形OCED是矩形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC=AB，再根據(jù)勾股定理得出AE的長(zhǎng)度即可.【詳解】（1）連接EC，∵四邊形ABCD是菱形∴OA=OC=AC，AD=AB.∵DE//AC且DE=AC∴DE=OA=OC∴四邊形OADE、四邊形OCED都是平形四邊形，∴OE=AD，∴OE=AB；(2)∵AC⊥BD，∴平行四邊形OCED是矩形，∴∠OCE=90°.∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=4，∴AO=AC=2，∴在矩形OCED中，CE=OD==2∴在Rt△ACE中，AE==2【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用．注意證得四邊形OADE是平行四邊形，四邊形OCED是矩形是關(guān)鍵;24．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）8【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD為正方形得AD＝AB，由四邊形ABPM為矩形得AB＝PM，則AD＝PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH＝∠MPG，于是可根據(jù)“ASA”證明△ADF≌△MPG，得到DF＝PG；（2）如圖2中，作PM⊥AD于M．則四邊形CDMP是矩形，CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出DP＝PG＝PE＝PD，再證明DF∥PE，推出四邊形PEFD是平行四邊形，由PD＝PE，即可證明四邊形PEFD是菱形．（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EPG＝90°，PE＝PG，所以PE＝PD＝DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判斷四邊形PEFD為平行四邊形，根據(jù)勾股定理得到PD＝＝，DF＝PG＝PD＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GH＝，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠HGD+∠ADF＝90°，∠CDP+∠PDG＝90°，∵PD＝PG，∴∠PGD＝∠PDG，∴∠ADF＝∠CDP，∴△ADF≌