四川省雅安市雅安中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)檢測數(shù)學(xué)試卷

四川省雅安中學(xué)高2023級高二上期入學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（）A.事件1與事件3互斥 B.事件1與事件2互為對立事件C.事件2與事件3互斥 D.事件3與事件4互為對立事件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件定義判斷求解.【詳解】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,事件3可表示為：,事件4可表示為：,因為，所以事件1與事件3不互斥，A錯誤；因為為不可能事件，為必然事件，所以事件1與事件2互為對立事件，B正確；因，所以事件2與事件3不互斥，C錯誤；因為為不可能事件，不為必然事件，所以事件3與事件4不互為對立事件，D錯誤；故選：B.2.已知某運動員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機模擬的方式估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定表示命中，表示不命中；再以三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下12組隨機數(shù)：，據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用古典概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】依題意在12組隨機數(shù)中三次投籃恰有兩次命中的有：，，共個，所以該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率.故選：A.3.從裝有若干個紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中，隨機不放回地摸球兩次，每次摸出一個球.若事件“兩個球都是紅球”的概率為，“兩個球都是白球”的概率為，則“兩個球顏色不同”的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)“兩個球都是紅球”為事件A，“兩個球都是白球”為事件B，“兩個球顏色不同”為事件C，則A，B，C兩兩互斥，，再根據(jù)對立事件及互斥事件概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)“兩個球都是紅球”為事件A，“兩個球都是白球”為事件B，“兩個球顏色不同”為事件C，則，，且.因為A，B，C兩兩互斥，所以.故選：C.4.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間直角坐標(biāo)系對稱點的特征即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點坐標(biāo)的特征可知，關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)需要把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為.故選：D5.甲、乙兩人獨立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨立解出的概率為（）A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.6【答案】B【解析】【分析】由題意，表示出該題未被解出的概率，然后列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)乙獨立解出該題的概率為，由題意可得，∴．故選：B.6.已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運算的坐標(biāo)運算及向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程可得向量與.【詳解】因為，，所以，因為與垂直，所以，解得，所以，所以，故選：B.7.某同學(xué)進行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別p，，，該同學(xué)站在這三個不同的位置各投籃一次，恰好投中兩次的概率為，則p的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合獨立事件概率的乘法公式求恰好投中兩次的概率，列方程求解即可得結(jié)果.【詳解】在甲、乙、丙處投中分別記為事件A，B，C，則，可知恰好投中兩次為事件，故恰好投中兩次的概率，解得．故選：A.8.甲?乙?丙三位同學(xué)進行乒乓球比賽，約定賽制如下：（1）累計負(fù)兩場者被淘汰；（2）比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；（3）每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；（4）當(dāng)一人被淘汰后，剩余兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽甲?乙首先比賽，丙首輪輪空，設(shè)每場比賽雙方獲勝概率都為，則丙最終獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)賽制，最小比賽4場，最多比賽5場，比賽結(jié)束，將丙最終獲勝的可能情況進行分類，分別求出各類事件發(fā)生的概率，再由互斥事件概率公式計算可得．【詳解】根據(jù)賽制，最小比賽4場，最多比賽5場，比賽結(jié)束，注意丙輪空時，甲乙比賽結(jié)果對下面丙獲勝概率沒有影響（或者用表示），若比賽4場，丙最終獲勝，則丙3場全勝，概率為，若比賽5場，丙最終獲勝，則從第二場開始的4場比賽按照丙的勝負(fù)輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為，所以丙獲勝的概率為．故選：B．二、多選題9.不透明的袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個紅球、2個黃球.記為事件“從中任取1個球是紅球”，為事件“在有放回隨機抽樣中，第二次取出1個球是紅球”，則（）A. B.C.事件與是互斥事件 D.事件與是相互獨立事件【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意可知：此實驗相當(dāng)于進行兩次獨立重復(fù)實驗，進而判斷選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知：兩次取球相當(dāng)于兩次獨立重復(fù)實驗，所以事件與是相互獨立事件，且，故選：.10.已知事件A，B，且，則（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果A與B相互獨立，那么D.如果A與B相互獨立，那么【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)事件關(guān)系及運算有、，由事件的相互獨立知，結(jié)合事件的運算求、.【詳解】A：由，則，正確；B：由，則，正確；C：如果A與B相互獨立，則，，錯誤；D：由C分析及事件關(guān)系知：，正確.故選：ABD.11.一臺儀器每啟動一次都隨機地出現(xiàn)一個5位的數(shù)字，其中的各位數(shù)字中，，則（）A.的所有實驗結(jié)果構(gòu)成的樣本空間中共有32個樣本點B.若的各位數(shù)字都是等可能地取值為0或1，則的概率大于的概率C.若的各位數(shù)字都是等可能地取值為0或1，則中各位數(shù)字之和是4的概率為D.若出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，則啟動一次出現(xiàn)的數(shù)字中恰有兩個0的概率為【答案】ACD【解析】【分析】由樣本空間的定義判斷A，根據(jù)古典概型概率計算公式，互斥事件的加法及獨立事件的乘法公式判斷BCD．【詳解】對于A，由于的各位數(shù)字中，都可能為0或1，則的所有實驗結(jié)果構(gòu)成的樣本空間中有個樣本點，正確；對于B，若的各位數(shù)字都是等可能地取值0或1，則，所以的概率等于的概率，錯誤；對于C，若的各位數(shù)字都是等可能地取值為0或1，如果中各位數(shù)字之和是4，即5個數(shù)字中有4和“1”和1個“0”，可能情況有：，共有5種等可能情況，其概率，正確；對于D，由于，數(shù)字中恰有2個0，即在四個數(shù)中恰好有2個0,2個1，可能情況有：，共有6種情況，啟動一次出現(xiàn)的數(shù)字中恰有兩個0的概率為，正確；故選：ACD．三、填空題12.已知四點共面且任意三點不共線，平面外一點，滿足，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面的推論求解即可.【詳解】四點共面且任意三點不共線，，，．故答案為：13.隨著阿根廷隊的奪冠，2022年卡塔爾足球世界杯落下帷幕.根據(jù)足球比賽規(guī)則，兩支球隊先進行90分鐘常規(guī)賽.若比分相同，則進行30分鐘加時賽；如果在加時賽比分依舊相同，則進入5球點球大賽.若甲、乙兩隊在常規(guī)賽與加時賽中得分均相同，則甲、乙兩隊輪流進行5輪點球射門，進球得1分，不進球不得分.假設(shè)甲隊每次進球的概率均為0.8，乙隊每次進球的概率均為0.5，且在前兩輪點球中，乙隊領(lǐng)先一球，已知每輪點球大賽結(jié)果相互獨立，則最終甲隊獲勝的概率為______.【答案】0.304【解析】【分析】先計算甲隊獲勝或平局的概率，再討論甲隊最終獲勝的情況，依次計算其概率即可.【詳解】甲隊在每輪點球比賽獲勝的概率為，甲隊在每輪點球比賽平局的概率為.由題可知最終甲隊獲勝，則后三輪比賽只能有兩種情況：①甲獲勝兩輪，剩下一輪甲乙平局，最終甲隊獲勝的概率為；②甲獲勝三輪，該情況下最終甲隊獲勝的概率為，綜上，甲隊獲勝的概率為0.24＋0.064＝0.304.故答案為：0.30414.冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等，其描述為：任一正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復(fù)計算，最終都將會得到數(shù)字1．例如：給出正整數(shù)5，則進行這種反復(fù)運算的過程為，即按照這種運算規(guī)律進行5次運算后得到1．若從正整數(shù)6，7，8，9，10中任取2個數(shù)按照上述運算規(guī)律進行運算，則運算次數(shù)均為奇數(shù)的概率為______．【答案】##0.1【解析】【分析】根據(jù)題中定義，分別求出正整數(shù)6，7，8，9，10按照題中所給運算規(guī)律進行運算的次數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計算公式進行求解即可.【詳解】按照題中運算規(guī)律，正整數(shù)6的運算過程為，運算次數(shù)為；正整數(shù)7的部分運算過程為，當(dāng)運算到10時，運算次數(shù)為10，由正整數(shù)的運算過程可知，正整數(shù)7總的運算次數(shù)為；正整數(shù)8的運算次數(shù)為；正整數(shù)9的部分運算過程為，當(dāng)運算到7時，運算次數(shù)為3，由正整數(shù)7的運算過程可知，正整數(shù)9總的運算次數(shù)為；正整數(shù)10的運算次數(shù)為6；故正整數(shù)6，7，8，9，10的運算次數(shù)分別為偶數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)，從正整數(shù)6，7，8，9，10中任取2個數(shù)的方法總數(shù)為：，共種，其中的運算次數(shù)均為奇數(shù)的方法總數(shù)為：，共種，故運算次數(shù)均為奇數(shù)的概率為．故答案為：四、解答題15.經(jīng)調(diào)查某市三個地區(qū)存在嚴(yán)重的環(huán)境污染，嚴(yán)重影響本地區(qū)人員的生活．相關(guān)部門立即要求務(wù)必加強環(huán)境治理，通過三個地區(qū)所有人員的努力，在一年后，環(huán)境污染問題得到了明顯改善．為了解市民對城市環(huán)保的滿意程度，開展了一次問卷調(diào)查，并對三個地區(qū)進行分層抽樣，共抽取40名市民進行詢問打分，將最終得分按分段，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；（2）若分?jǐn)?shù)在區(qū)間的市民視為對環(huán)保不滿意的市民，從不滿意的市民中隨機抽出兩位市民做進一步調(diào)查，求抽出的兩位市民來自不同打分區(qū)間的概率．【答案】（1），中位數(shù)為（分）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)小矩形的面積之和為即可求出，再根據(jù)頻率分布直方圖求出中位數(shù)即可；（2）分別求出和的市民人數(shù)，再根據(jù)古典概型即可得解.【小問1詳解】由題意可得，解得，由，可得此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)在上，設(shè)為，則，解得，所以此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為（分）；【小問2詳解】的市民有人，記為a，b，的市民有人，記為1，2，3，4，則從中抽取兩人的基本事件有：共15種，其中兩人來自不同的組的基本事件有8種，則所求概率為.16.甲乙二人用4張撲克牌（分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4）完游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.（1）設(shè)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出甲乙二人抽到的牌的所有情況；（2）若甲抽到紅桃3，則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？（3）甲乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平，說明你的理由.【答案】（1）答案見解析（2）（3）不公平，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用列舉法，即可求解基本事件的總數(shù)及基本事件的空間；（2）由乙抽到的牌只能是2，4，，進而求得乙抽到的牌的數(shù)字大于3的概率；（3）根據(jù)古典概率的概率計算公式，分別求得甲、乙獲勝的概率，即可得到結(jié)論.【小問1詳解】解：甲乙二人抽到的牌的所有情況（方片4用字母表示，紅桃2，紅桃3，紅桃4分別用2，3，4表示），可得基本事件的空間為：（2，3）、（2，4）、（2，）、（3，2）、（3，4）、（3，）、（4，2）、（4，3）、（4，）、（，2）、（，3）、（，4），共12種不同情況，小問2詳解】解：由題意，甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，，所以乙抽到的牌的數(shù)字大于3的概率為.小問3詳解】解：根據(jù)題意，甲抽到的牌比乙大的有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（，2）、（，3），共有5種情況，所以甲勝的概率，乙獲勝的概率為，因為，所以此游戲不公平．17.杭州2022年第19屆亞運會（The19thAsianGamesHangzhou2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運會共設(shè)40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目．同時，在保持40個大項目不變的前提下，增設(shè)了電子競技項目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率．假設(shè)最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組．之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制．假設(shè)四支隊伍分別為，其中對陣其他三個隊伍獲勝概率均為，另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為．最初分組時同組，同組．（1）若，在淘汰賽賽制下，獲得冠軍的概率分別為多少？（2）分別計算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強者不公平”？【答案】（1）；；（2）淘汰賽制獲得冠軍概率為，雙敗賽制獲得冠軍概率為；雙敗賽制下，會使得強者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強者”，人們“對強者不公平”的質(zhì)疑是不對的．【解析】【分析】（1）若拿冠軍則只需要連贏兩場，對于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，然后根據(jù)獨立事件的乘法公式計算即可；（2）根據(jù)獨立事件的乘法公式分別算出在不同賽制下拿冠軍的概率，然后作差進行比較.【小問1詳解】記拿到冠軍分別為事件淘汰賽賽制下，只需要連贏兩場即可拿到冠軍，因此，對于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，因此．【小問2詳解】記兩種寒制下獲得冠軍的概率分別為，則.而雙敗賽制下，獲得冠軍有三種可能性：（1）直接連贏三局；（2）從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽；（3）直接掉入敗者組拿到冠軍.因此，，.則不論哪種賽制下，獲得冠軍的概率均小于，.若，雙敗賽制下，隊伍獲得冠軍的概率更大，其他隊伍獲得冠軍的概率會變小，若，雙敗賽制下，以伍獲得冠軍的概率更小，其他隊伍獲得冠軍的概率會變大，綜上可知：雙敗賽制下，會使得強者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強者”，人們“對強者不公平”的質(zhì)疑是不對的．18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點，作交PB于點F.（1）求證：平面EDB；（2）求證：平面EFD；（3）求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面EDB的一個法向量為，由證明；（2）由，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理證明；（3）求得平面CPB的一個法向量為，易知平面PBD的一個法向量為，由求解.【小問1詳解】解：以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).依題意得，，，.所以，，.設(shè)平面EDB的一個法向量為，則有即取，則，因為平面EDB，因此平面EDB.【小問2詳解】依題意得，因為，所以.由已知，且，所以平面EFD.小問3詳解】依題意得，且，.設(shè)平面CPB的一個法向量為，則即，取.易知平面PBD的一個法向量為，所以.所以平面CPB與平面PBD的夾角為.19.在信道內(nèi)傳輸