遼寧省鐵嶺市開原市2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

2024—2025學(xué)年度上學(xué)期隨堂練習(xí)九年數(shù)學(xué)（一）北師大一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．下列說法正確的是（）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 D．對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形3．關(guān)于的方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．無實(shí)數(shù)根4．關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（）A． B．1 C． D．05．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是菱形，其中點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)在軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．6．如圖，矩形中，，在軸上．且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，若以點(diǎn)為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑作弧交軸的正半軸于，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．7．如圖，菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．若，、則的長(zhǎng)為（）A．4 B．3 C． D．8．摩拜共享單車計(jì)劃2023年第三季度（8，9，10月）連續(xù)3個(gè)月對(duì)成都投放新型摩拜單車，計(jì)劃8月投放3000臺(tái)，第三季度共投放12000臺(tái)，每月按相同的增長(zhǎng)率投放，設(shè)增長(zhǎng)率為，則可列方程（）A． B．C． D．9．在長(zhǎng)為30m，寬為20m的長(zhǎng)方形田地中開辟三條入口寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為，求道路的寬度設(shè)道路的寬度為，則可列方程（）A． B．C． D．10．如圖，正方形中，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，矩形兩邊分別交、邊于、兩點(diǎn)，連接，下列結(jié)論正確的有（）個(gè)．（1）；（2）；（3）；（4）若，則以為斜邊的直角三角形面積的最大值為8．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_________．12．如圖，在菱形中，，點(diǎn)、分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，若，，則圖中陰影部分的面積是_________．13．根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個(gè)物體從地面以的速度豎直上拋（如圖所示），那么物體經(jīng)過離地面的高度（單位：m）為．根據(jù)上述規(guī)律，該物體落回地面所需要的時(shí)間約為_________s（結(jié)果保留整數(shù)）．14．如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，菱形的面積為18，則_________．15．如圖，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_________．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．（8分）解方程：（1）； （2）17．（8分）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若是該方程的一個(gè)解，求方程的另一個(gè)根．18．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）畫出將向左平移4個(gè)單位后得到的圖形；（2）畫出將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，并直接寫出四邊形的形狀；（3）在平面內(nèi)有一點(diǎn)，當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．19．（8分）如圖，在平行四邊形中，是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：四邊形是矩形；（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．20．（9分）如圖，在中，，過點(diǎn)的直線，為邊上點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線與，垂足為，連接，．（1）求證：；（2）當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？說明理由；21．（10分）三星堆遺址被稱為20世紀(jì)人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一，昭示了長(zhǎng)江流域與黃河流域一樣，同屬中華文明的母體，被譽(yù)為“長(zhǎng)江文明之源”．為更好的傳承和宣傳三星堆文化，三星堆文創(chuàng)館一次次打破了自身限定，讓文創(chuàng)產(chǎn)品充滿創(chuàng)意．已知文創(chuàng)產(chǎn)品“青銅鳥文創(chuàng)水杯”有，兩個(gè)系列，系列產(chǎn)品比系列產(chǎn)品的售價(jià)低5元，100元購(gòu)買系列產(chǎn)品的數(shù)量與150元購(gòu)買系列產(chǎn)品的數(shù)量相等．按定價(jià)銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：系列產(chǎn)品按定價(jià)銷售，每天可以賣50件，若系列產(chǎn)品每降1元，則每天可以多賣10件．（1）系列產(chǎn)品和系列產(chǎn)品的單價(jià)各是多少？（2）為了使系列產(chǎn)品每天的銷售額為960元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/件？22．（10分）綜合實(shí)踐——用矩形硬紙片制作無蓋紙盒．如圖1，有一張長(zhǎng)30cm，寬16cm的長(zhǎng)方形硬紙片，裁去角上同樣大小的四個(gè)小正方形之后，折成圖2所示的無蓋紙盒．（硬紙片厚度忽略不計(jì)）（1）若剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2cm，則紙盒底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為_________cm，寬為_________cm；（2）若紙盒的底面積為，請(qǐng)計(jì)算剪去的正方形的邊長(zhǎng)；（3）如圖3，小明先在原矩形硬紙片的兩個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形（陰影部分），經(jīng)過思考他發(fā)現(xiàn)，再剪去兩個(gè)同樣大小的矩形后，可將剩余部分折成一個(gè)有蓋紙盒．若折成的有蓋長(zhǎng)方體紙盒的表面積為，請(qǐng)計(jì)算剪去的正方形的邊長(zhǎng)．23．（12分）在菱形中，，點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作菱形；且菱形與菱形的形狀、大小完全相同，即，，在菱形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．【特例感知】（1）如圖1，當(dāng)，時(shí)，則，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_________；【類比探究】（2）如圖2，菱形的邊長(zhǎng)為8，，求的值（用含的代數(shù)式表示）；【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，連接，，，求的長(zhǎng)度．九上數(shù)學(xué)北師大（一）參考答案與試題解析一．選擇題1-5．DCABC．6-10.CCDAB．二．填空題11.a≤14且a≠0．12.13.2．14．2．15.5或35．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．（8分）(每題4分)解：（1）x2﹣6x+8＝0，因式分解得，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，解得，x1＝4，x2＝2；（2）x2﹣3x+1＝0∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴，∴，．17．（8分）（1）證明：∵在一元二次方程x2+（n+2）x+n＝0中，a＝1，b＝n+2，c＝n，∴Δ＝b2﹣4ac＝（n+2）2﹣4n＝n2+4＞0，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：∵x＝﹣2是該方程的一個(gè)解，∴（﹣2）2﹣2（n+2）+n＝0，解得n＝0，∴該方程為x2+2x＝0，解得x1＝﹣2，x2＝0，∴方程的另一個(gè)根為x＝0．18．（10分）【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．3分（2）如圖，△A2B2C即為所求．5分由旋轉(zhuǎn)得，BC＝B2C，AC＝A2C，∴四邊形A2B2AB為平行四邊形．（3）如圖，點(diǎn)D1，D2，D3均滿足題意，∴滿足題意的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4）或（4，0）或（﹣2，﹣2）．19．（8分）（1）證明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，設(shè)AQ＝x，則DQ＝PQ＝9﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的長(zhǎng)是4．20．（9分）（1）證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE＝AD；（2）解：四邊形BECD是菱形，理由如下：∵D為AB中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，∴CD＝AB＝BD，∴四邊形BECD是菱形；21．（10分）解：（1）設(shè)A系列產(chǎn)品的單價(jià)是x元/件，則B系列產(chǎn)品的單價(jià)是（x+5）元/件，根據(jù)題意得：，解得：x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是所列方程的解，且符合題意，∴x+5＝10+5＝15（元）．答：A系列產(chǎn)品的單價(jià)是10元/件，B系列產(chǎn)品的單價(jià)是15元/件；（2）設(shè)B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為y元/件，則每天可以賣50+10（15﹣y）＝（200﹣10y）件，根據(jù)題意得：y（200﹣10y）＝960，整理得：y2﹣20y+96＝0，解得：y1＝8，y2＝12，又∵要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，∴y＝8．答：B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為8元/件．22．（10分）解：（1）26，12；（2）設(shè)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意得：（30﹣2x）（16﹣2x）＝240，解得：x1＝20（不符合題意，舍去），x2＝3，答：剪去的正方形的邊長(zhǎng)為3cm；（3）設(shè)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為ycm，根據(jù)題意得：，解得：y1＝﹣17（不符合題意，舍去），y2＝2，答：剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2cm．23．（12分）解：（1）CF+CE＝BC；（2）如圖2，過點(diǎn)O′作O′G∥AB，交BC于G，∵四邊形ABCD和四邊形A′B′C′O′是形狀、大小完全相同的菱形，且邊長(zhǎng)為8，α＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝A′B′＝B′C′＝C′O′＝O′A′＝8，∠B＝∠D＝∠B′＝∠A′O′C′＝60°，∴△ABC、△ACD均為等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，AC＝AB＝8，∵O′G∥AB，∴∠CO′G＝∠BAC＝60°＝∠O′CG，∴△O′CG是等邊三角形，∴O′G＝CG＝O′C＝k?AC＝8k，∵∠EO′G+∠CO′E＝∠CO′E+∠CO′F′＝60°，∴∠EO′G＝∠CO′F，∴△O′EG≌△O′FC（ASA），∴EG＝CF，∵CE+EG＝CG，∴CE+CF＝8k；（3）連接B