2023年北京市重點校初三（上）期末數(shù)學試題匯編：點和圓、直線和圓的位置關系

第1頁/共1頁2023北京重點校初三（上）期末數(shù)學匯編點和圓、直線和圓的位置關系一、單選題1．（2023秋·北京密云·九年級統(tǒng)考期末）已知的半徑為2，點O到直線l的距離是4，則直線l與的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．以上情況都有可能2．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，已知正方形，以點為圓心，長為半徑作，點與的位置關系為（

）A．點在外 B．點在內(nèi) C．點在上 D．無法確定3．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，過點作的切線，，切點分別是，，連接．過上一點作的切線，交，于點，．若，的周長為4，則的長為（

）A．2 B． C．4 D．4．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，的半徑為2，，是的兩條切線，切點分別為A，B．連接，，，，若，則的周長為（

）A． B． C．6 D．35．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，中，，，，點是的內(nèi)心，則的長度為（）A．2 B．3 C． D．6．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，在一張紙片中，，，，是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長為（

）A．4 B．5 C．6 D．87．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，是的切線，切點分別是P、C、D．若，則的長是（）．A．3 B．4 C．5 D．68．（2023秋·北京海淀·九年級期末）在平面直角坐標系xOy中，如果⊙O是以原點O（0，0）為圓心，以5為半徑的圓，那么點A（﹣3，﹣4）與⊙O的位置關系是（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能確定二、填空題9．（2023秋·北京密云·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A，B、C三點都在上，，過點A作的切線與的延長線交于點P，則的度數(shù)是_________．10．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，上有兩點，點在內(nèi)，若的半徑為，則弦的弦心距離__________，__________．11．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點A，連接OB交⊙O于點C，過點A作AD∥OB交⊙O于點D，連接CD．若∠B=50°，則∠OCD的度數(shù)等于___________．三、解答題12．（2023秋·北京平谷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標系中，矩形，其中、、、定義如下：若點P關于直線l的對稱點在矩形的邊上，則稱點P為矩形關于直線l的“關聯(lián)點”．(1)已知點、點、點、點中是矩形關于y軸的關聯(lián)點的是___；(2)的圓心半徑為，若上至少存在一個點是矩形關于直線的關聯(lián)點，求t的取值范圍；(3)的圓心半徑為r，若存在t值使上恰好存在四個點是矩形關于直線的關聯(lián)點，寫出r的取值范圍，并寫出當r取最小值時t的取值范圍(用含m的式子表示)．13．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）下面是小美設計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：點A在上．求作：的切線．作法：①作射線；②以點A為圓心，適當長為半徑作弧，交射線于點C和點D；③分別以點C，D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交點B；④作直線．則直線即為所求作的的切線.根據(jù)小美設計的尺規(guī)作圖過程，解決下面的問題：(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明.證明：連接，．由作圖可知，，．∴．∵點A在上，∴直線是的切線()(填寫推理依據(jù))．14．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，我們給出如下定義：將圖形M繞直線上某一點P順時針旋轉，再關于直線對稱，得到圖形N，我們稱圖形N為圖形M關于點P的二次關聯(lián)圖形．已知點．(1)若點P的坐標是，直接寫出點A關于點P的二次關聯(lián)圖形的坐標________；(2)若點A關于點P的二次關聯(lián)圖形與點A重合，求點P的坐標（直接寫出結果即可）；(3)已知的半徑為1，點A關于點P的二次關聯(lián)圖形在上且不與點A重合．若線段，其關于點P的二次關聯(lián)圖形上的任意一點都在及其內(nèi)部，求此時P點坐標及點B的縱坐標的取值范圍．15．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點在以為直徑的上，平分交于點D，交于點E，過點D作交的延長線于點F．(1)求證：直線是的切線；(2)若°，，求DF的長．16．（2023秋·北京通州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是直角三角形的外接圓，直徑，過點作的切線，與延長線交于點，為的中點，連接，且與相交于點．(1)求證：與相切；(2)當時，在的圓上取點，使，求點到直線的距離．17．（2023秋·北京平谷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知銳角，以為直徑畫，交邊于點M，平分與交于點D，過點D作于點E．(1)求證：是的切線；(2)連接交于點F，若，，求長．18．（2023·北京海淀·九年級期末）已知：點，，在上，且．求作：直線，使其過點，并與相切．作法：①連接；②分別以點，點為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于外一點；③作直線．直線就是所求作直線．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接，，∵，∴四邊形是菱形，∵點，，在上，且，∴______°（_________________）（填推理的依據(jù)）．∴四邊形是正方形，∴，即，∵為半徑，∴直線為的切線（_________________）（填推理的依據(jù)）．19．（2023·北京海淀·九年級期末）已知：如圖，是的切線，為切點．求作：的另一條切線，為切點．作法：以為圓心，長為半徑畫弧，交于點；作直線．直線即為所求．(1)根據(jù)上面的作法，補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面證明過程．證明：連接，，．∵是的切線，為切點，∴．∴．在與中，∴．∴．∴于點．∵是的半徑，∴是的切線（____________________）（填推理的依據(jù)）．20．（2023·北京海淀·九年級期末）在平面直角坐標系中，對于點和線段，若線段或的垂直平分線與線段有公共點，則稱點為線段的融合點．(1)已知，，①在點，，中，線段的融合點是______；②若直線上存在線段的融合點，求的取值范圍；(2)已知的半徑為4，，，直線過點，記線段關于的對稱線段為．若對于實數(shù)，存在直線，使得上有的融合點，直接寫出的取值范圍．21．（2023·北京海淀·九年級期末）尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）已知：和外一點P．求作：過點P的的切線，PB．22．（2023·北京海淀·九年級期末）如圖，點，在上，且，點為的中點，過點作交的延長線于點．(1)求證：直線是的切線；(2)若的半徑為4，求的長．23．（2023·北京海淀·九年級期末）下面是小樂設計的“過圓外一點作這個圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：及外一點．求作：直線和直線，使切于點，切于點．作法：如圖，①連接，分別以點和點為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點，；②連接，交于點，再以點為圓心，的長為半徑作弧，交于點和點；③作直線和直線．所以直線和就是所求作的直線．根據(jù)小樂設計的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明．證明：∵是的直徑，∴________（________）（填推理的依據(jù)）．∴，．∵，是的半徑，∴，是的切線．24．（2023·北京海淀·九年級期末）下面是“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，和外一點．求作：過點的的切線．作法：如圖2，①連結，作線段的中點；②以為圓心，的長為半徑作圓，交于點；③作直線和，直線即為所求作的切線．請在圖2中補全圖形，并完成下面的證明．證明：連接，如圖2，由作法可知，為的直徑，∴（_____________）（填推理的依據(jù)），∴，∵點在上，∴直線是圓的切線（_____________）（填推理的依據(jù)），同理，直線也是圓的切線．25．（2023·北京海淀·九年級期末）對于平面直角坐標系中的圖形G和點P給出如下定義；Q為圖形G上任意一點，若P，Q兩點間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，則稱點P為圖形G的“k分點”．已知點，，，．(1)①在點A，B，C中，線段的“分點”是______；②點，若點C為線段的“二分點”，求a的值；(2)以點O為圓心，r為半徑畫圖，若線段上存在的“二分點”，直接寫出r的取值范圍．26．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點，是的切線交的延長線于點．求證：．27．（2023·北京海淀·九年級期末）按要求作圖：(1)如圖1，在正方形網(wǎng)格中，有一圓經(jīng)過了兩個小正方形的頂點A，B，利用無刻度直尺畫出這個圓的一條直徑；(2)如圖2，BA，BD是⊙O中的兩條弦，C是BD上一點，BAC50，利用無刻度直尺在圖中畫一個含有50角的直角三角形；(3)如圖3，利用無刻度直尺和圓規(guī)，以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）；(4)如圖4，AB與圓相切，且切點為點B，利用無刻度直尺在網(wǎng)格中找出點B的位置．28．（2023·北京海淀·九年級期末）探究：如圖①，點P在⊙O上，利用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)過點P作⊙O的切線，小明所在的數(shù)學小組經(jīng)過合作探究，發(fā)現(xiàn)了很多作法，精彩紛呈．作法一：①作直徑PA的垂直平分線交⊙O于點B；②分別以點B、P為圓心，OP為半徑作弧，交于點C；③作直線PC．作法二：①作直徑PA的四等分點B、C；②以點A為圓心，CA為半徑作弧，交射線PA于點D；③分別以點A、P為圓心，PD、PC為半徑作弧，兩弧交于點E；④作直線PE．以上作法是否正確？選一個你認為正確的作法予以證明．29．（2023·北京海淀·九年級期末）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以點O為圓心，OC為半徑的⊙O與AB相切于點B，與AO相交于點D，AO的延長線交⊙O于點E，連接EB交OC于點F．求∠C和∠E的度數(shù)．30．（2023·北京海淀·九年級期末）如圖，AB為的直徑，點E在弦AC的延長線上，過點E作，ED與相切于點D．(1)求證：AD平分．(2)若，，求CE和DE的長．

參考答案1．A【分析】欲求直線l與圓O的位置關系，關鍵是比較圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關系．若，則直線與圓相交；若，則直線與圓相切；若，則直線與圓相離．據(jù)此判斷即可．【詳解】∵圓半徑，圓心到直線的距離．∴，∴直線l與的位置關系是相離．故選：A．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，解題的關鍵是可通過比較圓心到直線距離與圓半徑大小關系完成判定．2．A【分析】設正方形的邊長為，用勾股定理求得點到的圓心之間的距離，為的半徑，通過比較二者的大小，即可得到結論．【詳解】解：設正方形的邊長為，則，，，點在外，故選：A．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，解題的關鍵是確定圓的半徑和點到圓心之間的距離的大小關系．3．B【分析】利用切線長定理得出，，，再根據(jù)三角形周長等于4，可求得，從而利用勾股定理可求解．【詳解】解：∵，是的切線，切點分別是，，∴，∵、是的切線，切點是D，交，于點，，∴，，∵的周長為4，即，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查切線長定理，勾股定理，熟練掌握切線長定理是解題的關鍵．4．A【分析】由切線的性質可得出，由切線長定理可得出，從而可判斷為等邊三角形，又易證，即可求出，從而可求出，進而可求出，最后由三角形周長公式求解即可．【詳解】解：∵，是的兩條切線，切點分別為A，B，∴，．∵，∴為等邊三角形，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴的周長為．故選A．【點睛】本題考查切線的性質，切線長定理，等邊三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質．掌握從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等是解題關鍵．5．C【分析】根據(jù)點是的內(nèi)心，畫出的內(nèi)切圓，如圖，過點D作，，，垂足為E，F(xiàn)，H，連接AD，根據(jù)內(nèi)切圓的性質可知垂足E，F(xiàn)，H也是三邊與的切點，，，，，利用勾股定理可得，設，則，根據(jù)切線長定理可求得，設，根據(jù)，可得，即，問題隨之得解．【詳解】根據(jù)點是的內(nèi)心，畫出的內(nèi)切圓，如圖，過點D作，，，垂足為E，F(xiàn)，H，連接AD，根據(jù)內(nèi)切圓的性質可知垂足E，F(xiàn)，H也是三邊與的切點，∴，∵，∴，設，則，∴，，，∴，∴，∴，設，∵，∴，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，勾股定理，三角形的外接圓與外心，作出輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．6．C【分析】設的內(nèi)切圓切三邊于點，連接，得四邊形是正方形，由切線長定理可知，根據(jù)是的切線，可得，，根據(jù)勾股定理可得，再求出內(nèi)切圓的半徑，進而可得的周長．【詳解】解：如圖，設的內(nèi)切圓切三邊于點、、，連接、、，∴四邊形是正方形，由切線長定理可知，∵是的切線，∴，∵，，，∴∵是的內(nèi)切圓，∴內(nèi)切圓的半徑，∴，∴，∴的周長．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質，解決本題的關鍵是掌握切線的性質．7．B【分析】根據(jù)是的切線，則，再求出的長，即可求出的長．【詳解】解：∵為的切線，∴．∵為的切線，∴．∵，∴．故選B．【點睛】本題考查切線長定理，掌握從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等是解題關鍵．8．B【分析】根據(jù)兩點間的距離公式求出AO的長，然后與⊙O的半徑比較，即可確定點A的位置．【詳解】∵點A（﹣3，﹣4），∴AO==5，∵⊙O是以原點O（0，0）為圓心，以5為半徑的圓，∴點A在⊙O上，故選B．考點:點與圓的位置關系；坐標與圖形性質．9．/20度【分析】連接，則，由圓周角定理得：，進而求出的度數(shù)．【詳解】連接∵∴∵過點A作的切線與的延長線交于點P∴∴故答案為：【點睛】本題考查切線的性質和圓周角定理，解題的關鍵是連接，運用相關定理求解．10．【分析】過點O作，垂足為D，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出弦的弦心距離；延長交于點F，連接，，過點O作，垂足為點E，通過證明求出的長度，再結合垂徑定理和勾股定理即可求出的長度．【詳解】解：過點O作，垂足為D，在中，由勾股定理可得：，∵，∴，∵半徑為，∴，延長交于點F，連接，，過點O作，垂足為點E．∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理可得：，∴在中，由勾股定理可得：，故答案為：，．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握相關知識點，根據(jù)題意作出輔助線求解．11．20°/20度【分析】連接OA，如圖，根據(jù)切線的性質得到∠OAB=90°，則利用互余可計算出∠AOB=40°，再利用圓周角定理得到∠ADC=20°，然后根據(jù)平行線的性質得到∠OCD的度數(shù)．【詳解】解：連接OA，如圖，∵AB切⊙O于點A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∵∠B=50°，∴∠AOB=90°-50°=40°，∴∠ADC=∠AOB=20°，∵AD∥OB，∴∠OCD=∠ADC=20°．故答案為：20°．【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理．12．(1)，(2)(3)r的取值范圍為或；t的取值范圍為或【分析】（1）根據(jù)關聯(lián)點的定義，一次判斷各個點即可；（2）根據(jù)圖形，先找出只有一個關聯(lián)點的情況，即可進行解答；（3）根據(jù)題意，畫出圖形，進行分類討論即可．【詳解】（1）解：∵點關于y軸的對稱點為，與點D重合，∴點是矩形關于y軸的關聯(lián)點；∵點關于y軸的對稱點為，不在矩形上，∴點不是矩形關于y軸的關聯(lián)點；∵點關于y軸的對稱點為，在邊上，∴點是矩形關于y軸的關聯(lián)點；∵點關于y軸的對稱點為，不在矩形上，∴點不是矩形關于y軸的關聯(lián)點；故答案為：，；（2）如圖：過點O作x軸的平行線交于點M和點N，∵的圓心半徑為，∴①當上只有點N是矩形關于直線的關聯(lián)點時，∵點N關于直線的對稱點坐標為，∴；②當上只有點M是矩形關于直線的關聯(lián)點時，∵點M關于直線的對稱點坐標為，∴；綜上：t的取值范圍為；（3）如圖，當關于的對稱圖形與和相切時，，當關于的對稱圖形與和相切時，，當關于的對稱圖形與相切時，如下圖:則解得，∴，當關于的對稱圖形為矩形的外接圓時，連接，∵，，∴，∴，綜上：r的取值范圍為或；∴r的最小值為1，令當與相切時，，此時，∴，∵，∴，整理得：當與相切時，，此時，∴，∵，∴，整理得：，綜上，t的取值范圍為或．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質，矩形的性質，圓的相關知識，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱的性質，會根據(jù)已知點的坐標求出對稱軸，以及根據(jù)對稱軸求對稱點的坐標．13．(1)見解析；(2)；；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【分析】（1）依據(jù)題意，按步驟正確尺規(guī)作圖即可；（2）結合作圖，完成證明過程即可．【詳解】（1）補全圖形如圖所示，（2）證明：連接，．由作圖可知，，．∴，∵點A在上，∴直線是的切線(經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故答案為：；；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖能力和切線的證明；能夠按要求規(guī)范作圖是解題的關鍵．14．(1)(2)(3)，，【分析】（1）根據(jù)二次關聯(lián)圖形的定義分別找到和，過點作軸于點D，可證得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)題意得：點P位于x軸的下方，設點P的縱坐標為m，過點P作軸于點E，過點作軸交延長線于點F，坐標為m，表達點的坐標，可得出結論；（3）由（2）可知，點的坐標，由A關于點P的二次關聯(lián)圖形在上且不與點A重合可得出點的坐標，由線段，其關于點P的二次關聯(lián)圖形上的任意一點都在及其內(nèi)部，找到臨界點，可得出的坐標，進而可得出點B的坐標，即可得出的取值范圍．【詳解】（1）如圖1，根據(jù)二次關聯(lián)圖形的定義分別找到和，過點作軸于點D，∴由旋轉可知，，∴，∴，∴，∴，∴，∵點和關于直線對稱，∴點，即點A關于點P的二次關聯(lián)圖形的坐標為；故答案為：（2）解：根據(jù)題意得：點P位于x軸的下方，設點P的縱坐標為m，如圖，過點P作軸于點E，過點作軸交延長線于點F，由（1）得：，∴，∴，根據(jù)題意得：點A和點關于直線對稱，∴，解得：，∴點P的坐標為，（3）解：設點P的縱坐標為n，由（2）得：，∴，∵在上，∴，解得：（舍去）或，∴點P的坐標為，∵，其關于點P的二次關聯(lián)圖形上的任意一點都在及其內(nèi)部，此時點是一個臨界點，連接，如圖，∵，∴是等邊三角形，過點作軸于點M，則，∴，∴，∴，∴，由對稱性得：另一個點的坐標為，∴的取值范圍為．【點睛】本題屬于新定義類問題，主要考查軸對稱最值問題，等邊三角形的性質與判定，圓的定義等相關知識，關鍵是理解給出新定義，畫出對應的圖形．15．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明可得結論；（2）再中，，，得到，，再在中，由，繼而求得；【詳解】（1）證明：連接．∵是的直徑，平分，∴.又∵，∴．即．∴直線為的切線．（2）解：∵是的直徑，∴．又∵，，∴．∴．∵，∴.∵，∴,，設則，又，在中，由勾股定理得：，解得：，故【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的判定，特殊角的直角三角形性質，等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線解決問題．16．(1)見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得出，進而得出，證明，得出，即可得證；（2）分點在以及半圓上，分別作出圖形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質，勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，為的中點，是中點，，是的直徑，，，，又，，，是切線，，，是切線；（2）當點在上時，連接，交于點，，，，，直徑，，，當點在半圓上時，過點作，垂足為點,，垂足為點，四邊形是矩形，在中，，，，．【點睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的性質與判定，垂徑定理，直徑所對的圓周角是直角，綜合運用以上知識是解題的關鍵．17．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)可得，根據(jù)角平分線的定義，則，最后根據(jù)，，即可證明；（2）連接，可得，即可求出的長度，根據(jù)勾股定理求出的長度，進而求出的長度，通過證明，即可根據(jù)相似三角形對應邊成比例求解．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切線；（2）如圖：連接，∵為直徑，，∴，∵，平分，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得，∵，，∴，∴，∴，∴，即，解得：．【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理，角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握相關內(nèi)容并靈活運用．18．(1)見解析；(2)90°；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】（1）按照題中作法步驟作圖即可；（2）根據(jù)圓周角定理和切線的判定定理填空．【詳解】（1）解：補全圖形，如圖所示；（2）90°；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，圓周角定理，切線的判斷和性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．19．(1)見解析(2)，經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】（1）按照作法作出圖形即可；（2）連接，，，證明即可證明是的切線．【詳解】（1）補全圖形，如圖所示：（2）連接，，．∵是的切線，A為切點，∴．∴．在與中，∴．∴．∴于點．∵是的半徑，∴是的切線（經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．故答案為：，經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【點睛】本題考查了尺柜作圖，切線的性質和判定，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定與性質是解答本題的關鍵．20．(1)①，；②當時，直線上存在線段的融合點(2)或【分析】（1）①畫出對應線段的垂直平分線，再根據(jù)融合點的定義進行判斷即可；②先確定線段融合點的軌跡為分別以點，為圓心，長為半徑的圓及兩圓內(nèi)區(qū)域，則當直線與兩圓相切時是臨界點，據(jù)此求解即可；（2）先推理出的融合點的軌跡即為以T為圓心，的長為半徑的圓和以T為圓心，以的長為半徑的圓的組成的圓環(huán)上（包括兩個圓上），再求出兩個圓分別與內(nèi)切，外切時a的值即可得到答案．【詳解】（1）解：①如圖所示，根據(jù)題意可知，是線段的融合點，故答案為；，；②如圖1所示，設的垂直平分線與線段的交點為Q，∵點Q在線段的垂直平分線上，∴，∴當點Q固定時，則點P在以Q為圓心，的長為半徑的圓上，∴當點Q在上移動時，此時點P的軌跡即線段的融合點的軌跡為分別以點，為圓心，長為半徑的圓及兩圓內(nèi)區(qū)域．當直線與兩圓相切時，記為，，如圖2所示．∵，，∴,∴或．∴當時，直線上存在線段的融合點．（2）解：如圖3-1所示，假設線段位置確定，由軸對稱的性質可知，∴點在以T為圓心，的長為半徑的圓上運動，點在以T為圓心，以的長為半徑的圓上運動，∴的融合點的軌跡即為以T為圓心，的長為半徑的圓和以T為圓心，以的長為半徑的圓的組成的圓環(huán)上（包括兩個圓上）；當時，如圖3-2所示，當以T為圓心，為半徑的圓與外切時，∴，∴，∴，∴（負值舍去）；如圖3-3所示，當以為圓心，為半徑的圓與內(nèi)切時，∴，∴，∴，∴（負值舍去）；∴時，存在直線，使得上有的融合點；同理當時，當以T為圓心，為半徑的圓與外切時，∴，∴，∴，∴（正值舍去）；當以為圓心，為半徑的圓與內(nèi)切時，∴，∴，∴，∴（正值舍去）；∴時，存在直線，使得上有的融合點；綜上所述，當或時存在直線，使得上有的融合點．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，軸對稱的性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理，圓與圓的位置關系等等，正確推理出對應線段的融合點的軌跡是解題的關鍵．21．見解析【分析】根據(jù)幾何語言畫出對應的幾何圖形即可；【詳解】作圖如圖，直線、即為所作的的切線．【點睛】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．22．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明是等邊三角形，得出，根據(jù)，可得，即可得證；（2）過點作于點，得出四邊形是矩形，進而得出，根據(jù)（1）可得，進而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質求得，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，點為的中點，∴，∵∴是等邊三角形，∴∴∴，∵∴，∴是的切線；（2）如圖，過點作于點，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即的長為2．【點睛】本題考查了切線的判定，矩形的性質與判定，含30度角的直角三角形的性質，等邊三角形的性質與判定，綜合運用以上知識是解題的關鍵．23．(1)見解析(2)，直徑所對的圓周角為直角【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖形即可；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出，再根據(jù)垂線的定義，得出，，再根據(jù)切線的判定定理，即可得出結論．【詳解】（1）解：補全圖形如圖：（2）證明：∵是的直徑，∴（直徑所對的圓周角為直角）．∴，．∵，是的半徑，∴，是的切線．故答案為：，直徑所對的圓周角為直角【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，線段的垂直平分線的性質、圓周角定理、切線的判定定理，解本題的關鍵在理解題意，靈活運用所學知識解決問題．24．見詳解，直徑所對的圓周角為直角，經(jīng)過圓半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】根據(jù)題干步驟補全作圖即可；根據(jù)圓周角定理的推論和切線的判定定理即可填空．【詳解】解：補畫圖形如下，證明：連接，如圖2，由作法可知，為的直徑，∴（直徑所對的圓周角為直角），∴，∵點在上，∴直線是圓的切線（經(jīng)過圓半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線），同理，直線也是圓的切線．【點睛】本題主要考查了作圖—過圓外一點作圓的切線、圓周角定理的推論和切線的判定定理等知識，熟練掌握基本作圖方法和熟記直徑所對的圓周角為直角是解題關鍵．25．(1)①點B，②(2)或【分析】（1）①分別找出點A、B、C到線段的最小值和最大值，是否滿足“分點”定義即可，②對a的取值分情況討論：，，和，根據(jù)“二分點”的定義可求解，（2）設線段上存在的“二分點”為．對r的取值分情況討論，且，且，，根據(jù)二分點的定義可求解．【詳解】（1）解：①∵點A在上，故最小值為0，不符合題意，點B到的最小值為，最大值為，∴點B是線段的“分點”，點C到的最小值為1，最大值為∴點C不是線段的“分點”，故答案為：點B；②當時，點C到的最小值為，點C到的最大值為，∵點C為線段的“二分點”，∴，即，∵，故無解，舍去；當時，點C到的最小值為1，點C到的最大值為，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，當時，點C到的最小值為1，點C到的最大值為，∵點C為線段的“二分點”，∴，（舍去），當時，點C到的最小值為，點C到的最大值為，∵點C為線段的“二分點”，同時，無解，舍去；綜上．（2）如圖所示，設線段上存在的“二分點”為，當時，最小值為：，最大值為：，∴，即，∵，∴，當且時，最小值為：，最大值為，∴，即，∵，∴，∵，∴r不存在，當且時，最小值為：，最大值為：，∴，即，∵，∵，∴r不存在．當時，最小值為：，最大值為：，∴，即，∴．∵，∴，綜上所述，r的取值范圍為或．【點睛】本題考查坐標上的兩點距離，勾股定理，點到圓的距離．根據(jù)題目所給條件，掌握“二分點”的定義是解題的關鍵．26．證明見解析【分析】根據(jù)等弧或同弧所對的圓周角相等可得，利用直徑所對的圓周角是直角和切線性質得到，，繼而得到即可解答．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，∴，又∵，∴，∵是的直徑，∴，即，∵是的切線，∴，即，∴，∴．【點睛】本題考查切線的性質、圓周角定理和平行線的判定，熟練掌握圓周角定理和切線性質，根據(jù)角度的轉換得到內(nèi)錯角相等是解題的關鍵．27．(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析；(4)見解析．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可知，AB的垂直平分線過圓心，連接AB，利用網(wǎng)格找出線段AB的垂直平分線即可；（2）延長AC交⊙O與點E，連接BO并延長交⊙O于點F，在連接EF，則即為所求；（3）作線段AD的垂直平分線，交AB于點O，再以點O為圓心，OA為半徑作圓即可；（4）過點A作圓的兩條割線：ACD和AEF；連接CF，DE交于點G，延長EC和FD交于點H，連接HG交圓于點B，連接AB即可．【詳解】（1）解