2023年北京市重點校初三（上）期末數(shù)學(xué)試題匯編：一元二次方程章節(jié)綜合

第1頁/共1頁2023北京重點校初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編一元二次方程章節(jié)綜合一、單選題1．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則的值為(

)A．2 B．1 C．0 D．2．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）某廠家2020年1～5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計如圖所示．設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程（）A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=442二、解答題3．（2023秋·北京海淀·九年級期末）用因式分解法解方程：．4．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）下面是小聰同學(xué)用配方法解方程：的過程，請仔細閱讀后，解答下面的問題．解：移項，得：．①二次項系數(shù)化為1，得：．②配方，得．③即.∵，∴．④∴，．⑤(1)第②步二次項系數(shù)化為1的依據(jù)是什么？(2)整個解答過程是否正確？若不正確，說出從第幾步開始出現(xiàn)的錯誤，并直接寫出此方程的解．5．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)當(dāng)該方程的判別式的值最小時，寫出m的值，并求出此時方程的解．6．（2023秋·北京海淀·九年級期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)(3)；(4)．7．（2023秋·北京海淀·九年級期末）解方程：（用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)(3)(4)8．（2023秋·北京海淀·九年級期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?1)；(2)．9．（2023秋·北京海淀·九年級期末）解方程：(1)；(2)．10．（2023秋·北京海淀·九年級期末）解方程：(1)；(2)．11．（2023秋·北京海淀·九年級期末）解方程：．12．（2023秋·北京海淀·九年級期末）若一元二次方程的兩根為則，，我們把這個命題叫做韋達定理．設(shè)，是方程的兩根，請根據(jù)韋達定理求下列各式的值：(1)；；(2)；(3)．13．（2023秋·北京海淀·九年級期末）一元二次方程的一個根是，求另一個根及k的值．14．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（k為常數(shù)）．(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍；(2)設(shè)為方程的兩個實數(shù)根，若是一個矩形的一組鄰邊的長，且矩形的對角線長為；試求k的值．15．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)選取一個合適的整數(shù)k，使方程的解為整數(shù)，并解出方程．16．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知m為方程的根，求的值．17．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有實數(shù)根．(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)m＝2時，方程的根為x1，x2，求代數(shù)式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．18．（2023秋·北京海淀·九年級期末）解方程：x（x﹣4）＝2﹣8x．19．（2023秋·北京海淀·九年級期末）關(guān)于x的方程有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．20．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知實數(shù)a是一元二次方程的根，求代數(shù)式的值．21．（2023秋·北京海淀·九年級期末）關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）如果符合條件的最大整數(shù)k是關(guān)于y的一元二次方程的一個根，求該方程的另一個根．22．（2023秋·北京海淀·九年級期末）若關(guān)于x的一元二次方程mx2-4x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，求此時方程的根．23．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一個根為﹣1，求a的值．24．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若x12﹣2kx1﹣x2+2x1x2=4，求k的值．三、填空題25．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）請寫出一個常數(shù)c的值，使得關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則c的值可以是____________．26．（2023秋·北京海淀·九年級期末）關(guān)于的一元二次方程的根的情況為______．27．（2023秋·北京海淀·九年級期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則c的最小值是___________．28．（2023秋·北京海淀·九年級期末）關(guān)于x的方程x2-kx-2k=0的兩個根的平方和為12，則k=________．29．（2023秋·北京海淀·九年級期末）關(guān)于x的一元二次方程有兩個不等的整數(shù)根，m為整數(shù)，那么m的值是_________．30．（2023秋·北京海淀·九年級期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0沒有實數(shù)根，則m的取值范圍是_____．

參考答案1．C【分析】將代入方程，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有一個根為，∴，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，將代入方程是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)這個增長率為x，根據(jù)“2月份的180萬只，4月份的產(chǎn)量將達到461萬只”，即可得出方程．【詳解】解：從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程：180（1+x）2=461，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．3．，【分析】方程變形后，利用平方差公式分解，利用兩數(shù)相乘積為，兩因式中至少有一個為轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．【詳解】解：方程變形得：，分解因式得：，開可得：或，解得：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．4．(1)等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等(2)不正確，解答從第③步開始出錯，，【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)2即可寫出依據(jù)；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟即可求解．【詳解】（1）等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；（2）不正確，解答從第③步開始出錯，正確的步驟為：配方，得．③即∵，∴．④∴，．⑤此方程的解為，．【點睛】本題考查等式的性質(zhì)和解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂材料，明確每一步的做題依據(jù)．5．(1)見解析(2)，【分析】（1）判斷判別式的符號，即可得證；（2）求出判別式的值最小時的m的值，再解一元二次方程即可．【詳解】（1）證明：∵，∵，∴．∴無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）解：由題意可知，當(dāng)時，的值最?。畬⒋?，得解得：．【點睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的個數(shù)的關(guān)系，以及解一元二次方程．熟練掌握判別式與根的個數(shù)的關(guān)系，以及解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵．6．(1)，(2)，；(3)，，(4)，．【分析】（1）移項，系數(shù)化為1，開方即可得；（2）移項，配方，開方即可得；（3）移項，因式分解即可得；（4）提取公因式，即可得．【詳解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：或，，，（4）解：或，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的方法．7．(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可（2）用因式分解法解一元二次方程即可（3）用公式法解一元二次方程即可（4）用公式法解一元二次方程即可【詳解】（1）∵，∴，∴，（2）∵，∴，∴或，∴，（3）∵，∴，∴，∴，（4）∵，∴，∴，∴，【點睛】本題考查了解一元二次方程，恰當(dāng)應(yīng)用解方程的方法是解決問題的關(guān)鍵8．(1)，(2)，【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；（2）利用因式分解法解一元二次方程．【詳解】（1）解：移項，得，，配方，得：，∴，解得：，；（2）解：∴，解得：，．【點睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．9．(1)，；(2)，．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：移項，得，配方，得，解得，；（2）解：因式分解，得，即或，解得，．【點睛】本題考查解一元二次方程，選用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙忸}的關(guān)鍵．10．(1)，(2)，【分析】（1）運用配方法求解即可；（2）運用因式分解法求．【詳解】（1）解：，，即，∴，∴，；（2）解：，，∴或，∴，．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用配方法與因式分解法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．，【分析】利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：原方程可變?yōu)椋?，∴或，解得，．【點睛】此題考查了一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．12．(1)5，2(2)8(3)17【分析】（1）根據(jù)韋達定理直接求解即可；（2）利用整式的乘法將式子展開，再代入求解即可；（3）根據(jù)方程根的含義可得，代入，求解即可．【詳解】（1）解：，是方程的兩根，，，故答案為：5，2；（2）解：；（3）解：，是方程的兩根，，得，．【點睛】此題考查了韋達定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．13．另一個根是5，k的值為【分析】先設(shè)它的另一個根是a，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得a，再把代入方程求得k．【詳解】解：設(shè)它的另一個根是a，則，解得，把代入方程，得，解得．答：另一個根是5，k的值為．【點睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系，．14．(1)(2)1【分析】（1）由根的判別式得到關(guān)于k的一元一次不等式，通過解不等式求得k的取值范圍；（2）設(shè)方程的兩根為，依題意，又根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到，而，利用等式變形，解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：依題意，∴；（2）解：設(shè)方程的兩根為，依題意，∵，∴，整理得：，∴或，由（1）知，∴．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，首先利用判別式是非負數(shù)確定k的取值范圍，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系確定k的值．15．(1)(2)當(dāng)時，，（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式即可進行解答；（2）選擇一個符合條件的k的值代入求解即可．【詳解】（1）解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：．（2）當(dāng)時，方程有整數(shù)解，當(dāng)時，原方程為，，或，，．（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．16．0【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，則，然后利用降次的方法對原式進行化簡即可．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，∴，∴【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了代數(shù)式的變形．17．(1)m≤(2)1【分析】（1）根據(jù)△≥0，解不等式即可；（2）將m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，計算兩根和與兩根積，化簡所求式子，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有實數(shù)根，∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤．（2）當(dāng)m＝2時，方程為x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根為x1，x2，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（x2+1）＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1＝﹣x2﹣x1﹣2＝3﹣2＝1【點睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根的判別式等知識，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”，是解題的關(guān)鍵．18．，【分析】將原方程整理后再運用配方法，再開方，得到兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】解：x（x﹣4）＝2﹣8x整理為：方程兩邊都加上4，得，∴∴∴，【點睛】本題主要考查了用配方法解一元二次方程，能夠正確配方是解答本題的關(guān)鍵．19．1，【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根，則△≥0，確定m的取值范圍，結(jié)合m為正整數(shù)，確定m的值，后解方程即可．【詳解】∵x的方程有實數(shù)根，∴△≥0，∴≥0，∴m≤，∵m為正整數(shù)，∴m=1，∴方程變形為：，∴（x-1）（x-3）=0，解得．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式及其解法，根據(jù)實數(shù)根的情形確定判別式的屬性是解題的關(guān)鍵．20．-1【分析】利用方程解的定義得到，然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式的值．【詳解】解：∵a是方程的根，∴，∴，∴原式．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．21．（1）k＜4且k≠2；（2）-1【分析】（1）根據(jù)題意可得根的判別式△＞0，列出不等式求解即可；（2）根據(jù)k的最大值為3，根據(jù)題意先求出m的值，然后解一元二次方程即可求得答案．【詳解】解：（1）由該一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根得

且△解得：k<4由二次項系數(shù)不為0得，即；∴；（2）由題意的，

把y=3代入得，解得：；把帶入得，解得：，∴該方程另一根；【點睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一元二次方程的知識解答．22．（1）m＜且m≠0；（2）x1=1，x2=3【分析】（1）一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則△>0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．（2）根據(jù)題意方程為x2-4x+3=0，因式分解法解方程即可求得方程的根．【詳解】解：(1)∵△=(-4)2-4m×3=16-12m＞0,解得m＜又m≠0，∴m＜且m≠0，（2）∵m為正整數(shù)∴m=1，∴原方程為x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3．【點睛】本題考查了根的判別式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根據(jù)根的判別式和已知得出不等式是解題的關(guān)鍵．23．a(chǎn)＝0或a＝1【分析】將x＝﹣1代入原方程可求出a的值．【詳解】解：將x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，整理得：a2﹣a＝0，即：a（a﹣1）＝0解得：a＝0或a＝1．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，將x=-1代入原方程求出a值是解題的關(guān)鍵．24．（1）；（2）【分析】（1）本題可利用一元二次方程根的判別式大于等于0，列不等式求解即可．（2）本題首先利用韋達定理求解以及，繼而求解，將對應(yīng)數(shù)值代入題目方程可得關(guān)于的一元二次方程，最后求解方程并根據(jù)的范圍求解值．【詳解】（1）∵關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根x1，x2，∴，解上述不等式得：；（2）∵關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根x1，x2，∴，，將兩邊同時乘可得：，將代入上式可得：．∵，∴，整理上式并將對應(yīng)數(shù)值代入可得：，求解上述關(guān)于的一元二次方程可得：，，∵k，∴．【點睛】本題考查一元二次方程，利用根的判別式以及根的情況反求參數(shù)極為常見，計算時細心最為重要，韋達定理可提升求解效率，需要熟練掌握，求解方程時十字相乘法較為常用．25．0，（答案不唯一，即可）．【分析】利用一元二次方程根的判別式求出c的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以解得故答案為：0，（答案不唯一，即可）【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式；熟知一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．26．方程有兩個不相等的實數(shù)根【分析】根據(jù)根的判別式的值的符號可以判斷根的情況．【詳解】解：，，，，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故答案為：方程有兩個不相等的實數(shù)根．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1），方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2），方程有兩個相等的實數(shù)根；（3），方程沒有實數(shù)根，掌握一元二次方程根的判定方法是解題的關(guān)鍵．27．0．【分析】利用根的判別式列出方程，再確定c的最小值即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，則c的最小值是