2024-2025學年北京市海淀區(qū)中關村中學高二（上）開學數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市海淀區(qū)中關村中學高二（上）開學數(shù)學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復數(shù)2i1?i(i是虛數(shù)單位)的虛部是(

)A.1 B.?i C.2 D.?2i2.已知向量a=(?5,5)，b=(0,?3)，則a與b的夾角為(

)A.π4 B.π3 C.2π33.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,?π2<φ<πA.ω=23，φ=?π6

B.ω=23，φ=π6

C.ω=4.已知cosα=45，α∈(3π2,2π)，則A.?1010 B.1010 5.若函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)在區(qū)間[?π4,A.(0,103] B.(0,23]6.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面積為32，且sinA+sinC=2sinB，則b的值為(

)A.4+23 B.4?23 C.7.若x，y∈R，則“l(fā)gx+lg(y?1)=0”是“x(y?1)=1”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.為了解某地高三學生的期末語文考試成績，研究人員隨機抽取了100名學生對其進行調(diào)查，根據(jù)所得數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知不低于90分為及格，則這100名學生期末語文成績的及格率為(

)A.40% B.50% C.60% D.65%9.“α+β=π2+2kπ，k∈Z”是“sinα=cosβ”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.在△ABC中，cosB=?12，AB=BC=2，已知點P滿足AP=λAB+(1?λ)AC，且A.14 B.13 C.12二、填空題：本題共6小題，每小題6分，共36分。11.已知復數(shù)z滿足|z|=1，|z?i|=1，則z的虛部為______．12.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，則∠B的大小是______．13.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b=6，sinA=2sinC，B=π3，則△ABC的面積為______．14.如圖，在某個海域，一艘漁船以60海里/時的速度，沿方位角為150°的方向航行，行至A處發(fā)現(xiàn)一個小島C在其東偏南15°方向，半小時后到達B處，發(fā)現(xiàn)小島C在其東北方向，則B處離小島C的距離為______海里．

15.邊長為2的等邊△ABC中，|BD|=1，CE=EA，則16.如果存在函數(shù)g(x)=ax+b(a,b為常數(shù))，使得對函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意x都有f(x)≤g(x)成立，那么稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個“線性覆蓋函數(shù)”.給出如下四個結論：

①函數(shù)f(x)=2x存在“線性覆蓋函數(shù)”；

②對于給定的函數(shù)f(x)，其“線性覆蓋函數(shù)”可能不存在，也可能有無數(shù)個；

③g(x)=12x+12為函數(shù)f(x)=x的一個“線性覆蓋函數(shù)”；

④若三、解答題：本題共4小題，共64分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題16分)

已知函數(shù)f(x)=asinxcosx+cos(2x+π6)，且f(π4)=32．

(1)求a的值和18.(本小題16分)

已知A，B，C分別為△ABC三邊a，b，c所對的角，向量m=(sinA,sinB)，n=(cosB,cosA)，且m?n=sin2C．

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若sinA+sinB=2sinC，且CA19.(本小題16分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b=2,sinA+sinBsinB+sinC=ca?2．

(1)求角A．

(2)從以下三個條件中任選一個，求△ABC的面積．

①邊BC上的中線AD=1；②sinB=13；③角A的平分線AD=1，點20.(本小題16分)

對于函數(shù)f(x)，g(x)，若存在實數(shù)m，n，使得函數(shù)?(x)=mf(x)+ng(x)，則稱?(x)為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”．

(1)已知f(x)=x?3，g(x)=3?2x，試判斷?(x)=x?6是否為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”？若是，求實數(shù)m，n的值；若不是，說明理由；

(2)已知f(x)=sin(x?π4)，g(x)=cosx，?(x)為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”，且m=1，n=2，若關于x的方程f(x+π4)?g(x)+k?(x)=0在x∈[0,π2]上有解，求實數(shù)k的取值范圍；

(3)已知f(x)=x，g(x)=3x，?(x)為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”(其中m>0，n>0)，?(x)的定義域為(0,+∞)，當且僅當x=3時，?(x)參考答案1.A

2.D

3.A

4.B

5.B

6.D

7.A

8.C

9.A

10.D

11.1212.π313.614.1015.?16.②③

17.解：(1)因為f(π4)=32，所以f(π4)=asinπ4cosπ4+cos(π2+π6)=32，

即12a?12=32，解得a=4，

所以f(x)=4sinxcosx+cos18.解：(1)由m=(sinA,sinB)，n=(cosB,cosA)，

得m?n=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，

又m?n=sin2C，∴sin2C=2sinCcosC=sinC，

∵0<C<π，則sinC≠0，可得cosC=12，即C=π3；

(2)∵sinA+sinB=2sinC，∴2c=a+b，

又CA?(AB?AC19.解：(1)由題意sinA+sinBsinB+sinC=ca?2，

由正弦定理可得a+bb+c=ca?2，即a+22+c=ca?2，

則a2?c2=2c+4，

由余弦定理得a2=4+c2?4ccosA，所以a2?c2=4?4ccosA，

所以2c+4=4?4ccosA，所以cosA=?12，

又因為0<A<π，所以A=2π3；

(2)若選①：由邊BC邊上的中線AD=1，如圖，

所以AD=12(AB+AC)，即12=14(c2+4?2c)，

即c2?2c=0，又因為c>0，所以c=2，

由(1)知cosA=?12，所以sinA=32，

所以S△ABC=12bcsinA=12×2×2×32=3；

若選②：當sinB=13，由cosA=?120.解：(1)假設?(x)=x?6為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”，

則?(x)=x?6=m(x?3)+n(3?2x)=(m?2n)x+3(n?m)，

所以m?2n=13(n?m)=?6，解得m=3，n=1，

所以?(x)=x?6為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”，且m=3，n=1；

(2)因為f(x)=sin(x?π4)，且m=1，n=2，

所以?(x)=sin(x?π4)+2cosx=22(sinx+cosx)，

由f(x+π4)?g(x)+k?(x)=0，

得sinxcosx+22k(sinx+cosx)=0(?)，

令t=si