2024-2025學(xué)年北京市門頭溝區(qū)大峪中學(xué)高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市門頭溝區(qū)大峪中學(xué)高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U={x|?2≤x≤2}，集合A={x|?1≤x<2}，則?UA=(

)A.(?2,?1) B.[?2,?1] C.(?2,?1)∪{2} D.[?2,?1)∪{2}2.復(fù)數(shù)z=m2?1+(m+1)i表示純虛數(shù)，則實數(shù)m值為A.±1 B.0 C.1 D.?13.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=x12 B.y=1x 4.已知向量a=(1,2)，b=(3,x)，a與a+b共線，則A.6 B.25 C.20 5.已知函數(shù)f(x)=2x?x?1，則不等式f(x)>0的解集是A.(?1,1) B.(?∞,?1)∪(1,+∞)

C.(0,1) D.(?∞,0)∪(1,+∞)6.若兩條直線l1：y=2x+m，l2：y=2x+n與圓x2+yA.45 B.210 C.7.設(shè)a>0，b>0，則“l(fā)g(a+b)>0”是“l(fā)g(ab)>0”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，a1=b1=?4，aA.有且僅有1個值 B.有且僅有2個值 C.有且僅有3個值 D.有無數(shù)多個值9.函數(shù)f(x)是定義在(?4,4)上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，f(3)=0.設(shè)f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(x+1)?f′(x)≥0的解集是(

)A.[0,2] B.[?3,0]∪[3,4) C.(?5,0]∪[2,4) D.(?4,0]∪[2,3)10.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D①三棱錐A?D1PC的體積為定值；

②且線AP與平面ACD1所成的角的大小不變；

③直線AP與A1A.①②③

B.②③④

C.①②④

D.①③④二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)f(x)=1x+112.(x?2x213.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，過點F的直線與該拋物線交于A，B兩點，|AB|=10，AB的中點橫坐標為4，則p=______．14.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分圖象如圖，f(x1)=f(x2)=?15.若函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的兩點M(x1,y1)，N(x2,y2)，坐標滿足關(guān)系：|x1x2+y1y2|≥x1三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，BC=12AD，PA=AB=2，E為棱PD的中點．

(1)求證：EC//平面PAB；

(2)當PC=3時，求直線PC與平面BCE17.(本小題14分)

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足sinAcos(A+π6)=14．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)試從條件①②③中選出兩個作為已知，使得△ABC存在且唯一，寫出你的選擇_____，并以此為依據(jù)求△ABC的面積.(注：只需寫出一個選定方案即可)

條件①：a=2；條件②：B=π4；條件③：c=3b．18.(本小題13分)

每年8月8日為我國的全民健身日，倡導(dǎo)大家健康、文明、快樂的生活方式.為了激發(fā)學(xué)生的體育運動興趣，助力全面健康成長，某中學(xué)組織全體學(xué)生開展以體育鍛煉為主題的實踐活動.為了解該校學(xué)生參與活動的情況，隨機抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計他們參加體育鍛煉活動時間(單位′分鐘)，得到下表：時間人數(shù)類別[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)性別男51213898女69101064學(xué)段初中高中M1312754(Ⅰ)從該校隨機抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計該學(xué)生參加體育鍛煉活動時間在[50,60)的概率；

(Ⅱ)從參加體育鍛煉活動時間在[80,90)和[90,100)的學(xué)生中各腦機抽取1人，其中初中學(xué)生的人數(shù)記為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)假設(shè)同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育鍛煉活動時間的平均數(shù)記為μ0，初中、高中學(xué)生參加體育鍛煉活動時間的平均數(shù)分別記為μ1，μ2.寫出一個m的值，使得19.(本小題15分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，A，B分別是E的左、右頂點，P是E上異于A，B的點，△APB的面積的最大值為22．

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)設(shè)O為原點，點N在直線x=2上，N，P分別在x軸的兩側(cè)，且△APB與△NBP的面積相等．

(i)求證：直線ON與直線AP的斜率之積為定值；20.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=px?px?2lnx，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)當p=32時，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；

(3)設(shè)g(x)=2ex，若在[1,e]上至少存在一點21.(本小題15分)

若有窮自然數(shù)數(shù)列A：a1，a2，…，an(n≥2)滿足如下兩個性質(zhì)，則稱A為Bn數(shù)列：

①ak≥max{a1+ak?1,a2+ak?2,…,ak?1+a1}(k=2，3，…，n)，其中，max{x1,x2,…,xs}表示x1，x2，…，xs，這s個數(shù)中最大的數(shù)；

②ak≤min{a1+ak?1,a2+ak?2,…,ak?1+a1}+1(k=2，3，…，n)，其中，max{x1,x2,…,xs}表示x1，x2，…，xs，這s參考答案1.D

2.C

3.D

4.B

5.D

6.B

7.B

8.A

9.D

10.D

11.{x|x>0}

12.60

13.2

14.?4

3415.①②④

16.解：(1)證明：取PA中點為M，連接ME，MB，如下圖所示：

在△PAD中，因為M，E分別為PA，PD的中點，

故ME//AD,ME=12AD，

又AD//BC,BC=12AD，

故ME/?/BC，ME=BC，則四邊形MBCE為平行四邊形，EC//MB，

又MB?面PAB，EC?面PAB，

故EC/?/面PAB．

(2)過點P作BM延長線的垂線，垂足為N，連接NC，如下圖所示：

由(1)可知，EC//BM，

故平面BCE也即平面NMBCE，

因為AB⊥AD，BC/?/AD，

則BC⊥AB，

又PA⊥面ABCD，BC?面ABCD，

故BC⊥PA，

又PA∩AB=A，PA，AB?面PAB，

故BC⊥面PAB，

又PN?面PAB，則PN⊥BC，又PN⊥BN，

BC∩BN=B，BC，BN?面BCE，

故PN⊥面BCE，

則∠PCN即為PC與平面BCE的夾角，

在△ABM中，因為AB=2,AM=12PA=1，

則BM=AB2+AM2=5，sin∠AMB=255，

在△PMN中，因為PM=17.解：(Ⅰ)∵sinAcos(A+π6)=14，

∴可得sinA(32cosA?12sinA)=34sin2A+14cos2A?14=14，可得sin(2A+π6)=1，

∵0<A<π，

∴π6<2A+π6<13π6，

∴2A+π6=π2，

∴A=π6．

(Ⅱ)若選擇①②，

∵A=π6，a=2，B=π4，

∴由正弦定理可得b=a?sinBsinA=2×2212=218.解：(Ⅰ)方法一：女生共有6+9+10+10+6+4=45人，

記事件A為“從所有調(diào)査學(xué)生中隨機抽取1人，女生被抽到”，

事件B為“從所有調(diào)査學(xué)生中隨機抽取1人，參加體育活動時間在[50,60)“，

由題意可知，P(A)=45100,P(AB)=9100，

因此P(B|A)=P(AB)P(A)=910045100=945=15，

所以從該校隨機抽取1名學(xué)生，

若已知抽到的是女生，

估計該學(xué)生參加體育活動時間在[50,60)的概率為15；

方法二：女生共有6+9+10+10+6+4=45人，

記事件M為“從所有調(diào)査學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，

若已知抽到的是女生，

該學(xué)生參加體育活動時間在[50,60)“，

由題意知，從所有調(diào)査學(xué)生中隨機抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45個，

抽到女生且參加體育活動時間在[50,60)所包含的基本事件共9個，

所以P(M)=945=15，

所以從該校隨機抽取1名學(xué)生，

若已知抽到的是女生，估計該學(xué)生參加體育活動時間在[50,60)的概率為15；

(Ⅱ)方法一：X的所有可能值為0，1，2，

時間在[80,90)的學(xué)生有10+5=15人，活動時間在[90,100)的初中學(xué)生有8+4?4=8人，

記事件C為“從參加體育活動時間在[80,90)的學(xué)生中隨機抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”，

事件D為“從參加體育活動時間在[90,100)的學(xué)生中隨機抽取

X

0

1

2

P

1

4

4故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×19+1×49+2×49=129=43；

方法二：X的所有可能值為0，1，2，

因為從參加體育活動時間在[80,90)和[90,100)的學(xué)生中各隨機抽取1人是相互獨立，且抽到初中學(xué)生的概率均為23，

故X～B(2,2

X

0

1

2

P

1

4

4故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=np=2×23=43；

時間人數(shù)類別[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100性別男51213898女69101064學(xué)段初中11?m81111108高中m1312754[50,100)內(nèi)初中生的總運動時間t1=8×55+11×65+11×75+10×85+8×95=3590，[50,100)內(nèi)高中生的總運動時間t2=13×55+12×65+7×75+5×85+4×95=2825，

則由題，m=1，2，3…11，

又μ0=1100(11×25+3590+2825)=66.9，

μ1=159?m[25(11?m)+3590]=239059?m+25，

μ2=141+m(25m+2825)=25+19.解：(Ⅰ)由題知S△APB的最大值為12×2a×b=ab，

ab=22e=ca=22a2=b2+c2，解得a=2，b=2，

所以E的方程為：x24+y22=1；

(Ⅱ)設(shè)N(2,t)，P(x0,y0)(x0≠±2)，則y0t<0，

證明：(i)由題知SΔAPB=SΔNBP，

所以12|AB||y0|=12|BN|(2?x0)，

即|t|=4|y0|2?x0，所以t=?4y02?x0，

設(shè)直線ON的斜率為kON，直線AP的斜率為k20.(1)解：由已知f(x)=px?px?2lnx，得f′(x)=px2?2x+px2，

p=32時，f′(x)=(x?3)(3x?1)2x2，

令f′(x)=0，可得x=3或33，

故函數(shù)在(0,33)，(3,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)，在(33,3)上為單調(diào)減函數(shù)，

所以函數(shù)的極大值為f(33)=ln3?1，極小值為f(3)=1?ln3，

∴函數(shù)的極大值為ln3?1，極小值為1?ln3；

(2)解：f′(x)=p+px2?2x=px2?2x+px2，

令?(x)=px2?2x+p，

要使f(x)在其定義域(0,+∞)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需?(x)在(0,+∞)內(nèi)滿足?(x)≥0或?(x)≤0恒成立，

當且僅當p(x2+1)≥2x時，?(x)≥0，p(x2+1)≤2x時，?(x)≤0，

因為x2+1>0，

所以當且僅當p≥2xx2+1時，?(x)≥0，p≤2xx2+1時，?(x)≤0，

因為在(0,+∞)內(nèi)有0<2xx2+1=2x2+1x=2x+1x≤1，當且僅當x=1x即x=1時取等號，

所以當p≥1時，?(x)≥0，f′(x)≥021.解：(Ⅰ)A：2，4，6，7，10不是B5數(shù)列．理由如下：

因為a1+a3=8，a2+a2=8，

所以max{a1+a3,a2+a2}=8．

但a4=7<8，所以A不滿足性質(zhì)①，故不是B5數(shù)列．

(Ⅱ)根據(jù)B6數(shù)列的定義，可知A：a1，a2，…，a6滿足：

a2=a1+a1或a2=a1+a1+1，a3=a1+a2或a3=a1+a2+1，

(1)若a2=a1+a1，因為a1，a2，a3成等比數(shù)列，所以a3=a22a1=4a1，

又因為a1≠0，所以a3