河北省衡水中學2025屆高三上學期第一次綜合素養(yǎng)測評數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁河北省衡水中學2025屆高三上學期第一次綜合素養(yǎng)測評數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知不等式x2?2x?3<0的解集為A，不等式x+3x?2<0的解集為B，則A∩BA.?3,3 B.?3,3 C.?1,2 D.?1,22.已知a=63,b=1,a?A.2π3 B.5π6 C.π33.如圖所示，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角∠MAN=30°，C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，從C點測得∠MCA=60°，已知山高A.120m B.150m C.503m4.已知等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為Sn、Tn，若SnA.11113 B.3713 C.111265.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，PA.53 B.54 C.2 6.點P(?2,?1)到直線l:(1+3λ)x+(1+λ)y?2?4λ=0(λ∈R)的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為(

)A.13；3x+2y?5=0 B.11；3x+2y?5=0

C.13；2x?3y+1=0 D.7.已知函數(shù)f(x)的定義域為(?3,3)，且f(x)=lg3?x3+x+2x?3,?3<x<0,lgA.(?3,2) B.(?3,0)∪(0,1)∪(1,2)

C.(?1,3) D.(?1,0)∪(0,2)∪(2,3)8.已知xx?1≥lnx+ax對?x>0A.0 B.

1e C.e D.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若數(shù)列an為遞增數(shù)列，則an的通項公式可以為(

)A.an=nn+1 B.an=2n?110.函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,φ<π2的部分圖象如圖中實線所示，C為函數(shù)fx與x軸的交點，圓C與fx的圖象交于A.ω=2

B.圓的半徑為273

C.函數(shù)fx的圖象關于點4π3,0成中心對稱

11.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點，點PA.若點P是橢圓的短軸頂點，則橢圓C的標準方程為x28+y24=1

B.若P是動點，則b的值恒為2

C.若P是動點，則橢圓的離心率的取值范圍是[1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知α是第四象限角，且sin2α=?23，則cosα?sin13.已知f(x)=x2+cosx，若a=f(e?34)，b=f(ln4514.定義：對于函數(shù)fx和數(shù)列xn，若xn+1?xnf′xn+fxn=0，則稱數(shù)列xn具有“fx函數(shù)性質”.已知二次函數(shù)fx圖象的最低點為0,?4，且fx+1=fx+2x+1，若數(shù)列xn四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知數(shù)列{an}為遞增的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{a(1)求數(shù)列{a(2)記bm為數(shù)列{an}在區(qū)間(2m,216.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=log2x(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設不等式f(x)?0的解集為A，若對任意x1∈A，存在x2∈[0,1]，使得x17.(本小題12分)如圖，拋物線Γ:y2=2px(p>0),M(2,1)是拋物線內(nèi)一點，過點M作兩條斜率存在且互相垂直的動直線l1,l2，設l1與拋物線Γ相交于點A,B,l2與拋物線Γ相交于點(1)求拋物線Γ的方程；(2)求AC?DB18.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)若直線y=e?1x與函數(shù)fx(2)若函數(shù)gx=xfx有兩個極值點x1和x2，且x19.(本小題12分)法國數(shù)學家費馬在給意大利數(shù)學家托里拆利的一封信中提到“費馬點”，即平面內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，托里拆利確定費馬點的方法如下：①當?ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，滿足∠AOB=∠BOC=∠COA=120②當?ABC有一個內(nèi)角大于或等于120請用以上知識解決下面的問題：已知?ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，點M為?ABC的費馬點，且cos2A+(1)求C；(2)若c=4，求MA?(3)若MA+MB=tMC，求實數(shù)參考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.A

6.A

7.D

8.D

9.ABD

10.AC

11.ABD

12.1513.b<c<a

14.?51115.解：(1)設公比為q，由題意得，a1解得a1=2,q=2或a1所以an=2n(2)由題意得，b1對應的區(qū)間為：(21,2b2對應的區(qū)間為：(22,2b3對應的區(qū)間為：(23,26]，其中包含a4，bm對應的區(qū)間為：(2m,22m]，其中包含am+1，am+2因此bm所以bm故Tm

16.解：(1)f(x)=lo=(lo∵1?x?4，∴0?log∴當log2x=0，即x=1時，f(1)=2，

當log2∴當x=1時，f(x)的最大值為2；(2)由f(x)?0，得1?log即2?x?4，∴A=[2,4]，設t=2x+2?x，則當x∈[0,1]g(x)=4x+4設?(t)=t由題意，A=[2,4]是當t∈[2,52]①當a2?2，即a?4時，函數(shù)?(t)在則?(2)=3?2a?2?(52②當a2?52，即a?5時，函數(shù)則?(2)=3?2a?4?(③當2<a2<52，即4<a<5時，函數(shù)?(t)則函數(shù)?(t)的最大值是?(2)與?(5令?(2)=3?2a?4，得a??1令?(52)=綜上所述，實數(shù)a的值為12

17.解：(1)設直線AB:x?2=m(y?1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立

x=my?m+2y2=2px

，得

y2?2pmy+2pm?4p=0，

所以y1+y2=2pm，y1y2=2pm?4p==?MC?因為|MA|?|MB|=1+m2|y1?1|?1+m2|y2?1|18.解：(1)fx=ln設切點Px0,∴k=1x0解得x0=1e，a=2，

故實數(shù)(2)∵g(x)=x(lnx?x+a)，定義域為∴g′(x)=ln因為g(x)有兩個極值點x1和x2，

所以令?(x)=lnx?2x+a+1，?′(x)=1當x∈0,12時，?′(x)>0，?(x)當x∈12,+∞時，?′(x)<0，?(x)當x=12時，?(x)取最大值，最大值為當x→0，?(x)→?∞；

當x→+∞，?(x)→?∞．則?(x)至多兩個零點，要使?(x)有兩個零點，必有a?ln2>0，

聯(lián)立方程lnx1?2令x1x2=t，

由則x1=tx∴x2=故所證不等式轉化為(t+1)lnt2(t?1)只需證(3?t)lnt2(t?1)令F(t)=lnt?2(t?1)F′∵0<t<1，

∴F′(t)>0，

∴F(t)在0,1上單調遞增，∴F(t)<F(1)，其中F(1)=0，故F(t)<0，lnt?2(t?1)3?t<0，

19.解：(1)因為cos2A+所以1?2sin2A+1?2si由正弦定理得a2所以C=90(2)

由(1)知C=90°，所以?ABC的三個角都小于因為點M為?ABC的費馬點，所以∠AMB=∠BMC=∠CMA=120由S?ABC12整理得MA?MB又因為c2=a2+所以MA?所以MA?MB+(3)由(