垂直的判定與性質(zhì)講義高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.線線垂直的判定(1)等腰三角形中線(2)勾股逆定理(3)菱形對(duì)角線(4)矩形鄰邊(5)正方形對(duì)角線與鄰邊(6)圓直徑所對(duì)圓周角(7)線面垂直的性質(zhì)※若提及空間中兩個(gè)角相等，應(yīng)證明全等，進(jìn)而得到邊相等，利用等腰三角形的性質(zhì)※若菱形有一內(nèi)角為，則角頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線與對(duì)邊垂直2.線面垂直的判定判定性質(zhì)圖形表示數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示圖形表示數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示線面垂直【例題分析】考向一利用特殊平行四邊形的性質(zhì)證垂直1．（2022·上海閔行·二?！す?jié)選）如圖，四棱錐的底面為菱形，平面ABCD，，E為棱BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PAD；考向二利用等腰三角形的性質(zhì)證垂直例2.如圖，在三棱錐中，，，，．求證：；AACBP考向三利用勾股逆定理證垂直3．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)·節(jié)選）如圖，四棱臺(tái)的底面為菱形，，點(diǎn)為中點(diǎn)，．(1)證明：平面；

考向四利用圓直徑所對(duì)圓周角是直角證垂直4．（2022·吉林·模擬預(yù)測(cè)·節(jié)選）如圖，在三棱錐中，是外接圓的直徑，垂直于圓所在的平面，、分別是棱、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；5．（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)·節(jié)選）如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于的點(diǎn)，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，.(1)證明：平面；

考向五利用線面垂直的性質(zhì)證垂直6．（2324高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試·改編）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.(1)證明：平面.(2)證明：平面.7．（2024·河北保定·二?！す?jié)選）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，分別為的中點(diǎn)，且．(1)證明：．

知識(shí)點(diǎn)二面面垂直的判定【基礎(chǔ)指數(shù)框架】面面垂直的判定文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直．【例題分析】例1．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三開(kāi)學(xué)考·節(jié)選）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，.

(1)證明：平面平面；

例2．（2023秋·福建福州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，．(1)求證：平面平面ABCD；例3.已知四邊形是矩形，平面，，，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面平面.

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽蕪湖·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖所示，在正方體中．求證：(1)直線平面；(2)平面平面．2．（2022春·云南保山·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面是等邊三角形，.(1)求證：平面平面；

3．（2023春·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末·節(jié)選）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為CD的中點(diǎn)，，，(1)證明：平面平面ABCD；4．（2022·廣州一模）如圖，在五面體ABCDE中，平面ABC，，，.(1)求證：平面平面ACD；

知識(shí)點(diǎn)三面面垂直的性質(zhì)【基礎(chǔ)指數(shù)框架】面面垂直的性質(zhì)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直．【例題分析】例1．（2024·廣東廣州·二?！す?jié)選）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，且與平面垂直，，.(1)證明：平面；

例2．（2024·廣東深圳·一?！す?jié)選）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點(diǎn)在上，且．(1)求證：平面；例3．（2023·廣西玉林·模擬預(yù)測(cè)·節(jié)選）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，且，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面?zhèn)让?，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；

【變式訓(xùn)練】1．（2022?集美區(qū)校級(jí)模擬）如圖，是以為直徑的圓上異于，的點(diǎn)，平面平面，為正三角形，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：；2．（2022?廣州二模