第23講圓的一般方程（三大題型歸納分層練）（原卷版）

第23講圓的一般方程【人教A版選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01圓的一般方程的辨析 2題型02求圓的一般方程 4題型03圓的軌跡問題 7分層練習(xí) 10夯實(shí)基礎(chǔ) 10能力提升 18創(chuàng)新拓展 271．圓的一般方程：當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，二元二次方程________________叫做圓的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個(gè)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以__________________為圓心，以____________為半徑的圓注意點(diǎn)：(1)二元二次方程要想表示圓，需x2和y2的系數(shù)相同且不為0，沒有xy這樣的二次項(xiàng)．(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0.題型01圓的一般方程的辨析【解題策略】圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解【典例分析】【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓．(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)寫出圓心坐標(biāo)和半徑．【變式演練】【變式1】（2324高二上·天津和平·期中）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（

）A．，3 B．，3C．，1 D．，1【變式2】（2324高二上·浙江寧波·期末）已知圓C的方程為，則圓C的半徑為.【變式3】（2324高二上·湖南張家界·期末）已知直線：和圓：.(1)求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑；(2)求經(jīng)過圓的圓心且與直線垂直的直線方程.題型02求圓的一般方程【解題策略】求圓的方程的策略(1)幾何法：由已知條件通過幾何關(guān)系求得圓心坐標(biāo)、半徑，得到圓的方程．(2)待定系數(shù)法：選擇圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件列關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組解出系數(shù)得到圓的方程【典例分析】課本例4求過三點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．【例2】已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圓的一般方程；(2)若點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上，求a的值．【變式演練】【變式1】（2223高二·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)的圓的一般方程為．【變式2】已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑長為eq\r(2)，求圓的一般方程．【變式3】（2324高二上·新疆塔城·期中）已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)求AB邊中線所在直線的方程；(2)求△ABC外接圓的一般方程．題型03圓的軌跡問題【解題策略】求與圓有關(guān)的軌跡問題的方程(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式【典例分析】課本例5已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．【例3】點(diǎn)A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點(diǎn)，點(diǎn)B(1，1)是圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程．【變式演練】【變式1】（2324高二上·廣東珠海·期末）已知點(diǎn)，，若點(diǎn)P滿足，則P的軌跡方程為．【變式2】已知圓C經(jīng)過(2,6)，(5,3)，(2,0)三點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B(2,3)，且點(diǎn)M滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，求點(diǎn)M的軌跡方程．【變式3】（2324高二上·廣東佛山·期末）已知點(diǎn)，圓上兩動(dòng)點(diǎn)滿足，且四邊形是矩形．(1)當(dāng)點(diǎn)在第一象限且橫坐標(biāo)為3時(shí)，求邊所在直線的方程；(2)求點(diǎn)的軌跡方程．【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高二上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．2．（2324高二上·浙江·期中）若直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．3．（2324高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）過圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．．C． D．4．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，且過點(diǎn)C（－a，a）的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（）A．B．C．D．二、多選題5．（2324高二上·甘肅白銀·期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸將邊長為4的正方形分割成四個(gè)小正方形.若大圓為正方形的外接圓，四個(gè)小圓分別為四個(gè)小正方形的內(nèi)切圓，則下列方程是圖中某個(gè)圓的方程的是（

）

A． B．C． D．6．（2324高二上·重慶萬州·期中）若，，，四點(diǎn)共圓，則m的值為（

）A．2 B． C． D．3三、填空題7．（2324高二下·上海閔行·階段練習(xí)）已知圓的一般方程為，則圓的面積為.8．（2324高二上·江西吉安·期末）已知圓:過原點(diǎn)作圓的弦,則的中點(diǎn)的軌跡方程為．9．（2324高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）過點(diǎn)，且圓心與已知圓相同的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．四、解答題10．（2324高二上·天津武清·階段練習(xí)）（1）已知圓圓心在直線上，且過點(diǎn)，.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓M經(jīng)過三點(diǎn)：，，．求圓M的方程．11．（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知等腰三角形的頂點(diǎn)是，底邊一個(gè)端點(diǎn)是，另一個(gè)端點(diǎn)是，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．12．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一個(gè)圓．(1)求t的取值范圍；(2)求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑；(3)求該圓半徑r的最大值及此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．13.如圖，已知線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的端點(diǎn)B的軌跡方程．【能力提升】一、單選題1．（2223高二上·河南駐馬店·期末）以，為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．2．（2223高二上·北京大興·期中）已知點(diǎn)和點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（2223高二·江蘇·假期作業(yè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．4．（2223高二下·廣東深圳·期中）點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2223高二上·河北張家口·期末）下列選項(xiàng)正確的有（

）A．表示過點(diǎn)，且斜率為2的直線B．是直線的一個(gè)方向向量C．以，為直徑的圓的方程為D．直線恒過點(diǎn)6．（2223高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則下列中說法正確的有（

）A．邊上的高所在直線的方程B．的外接圓的方程為C．的面積為12D．直線在軸上的截距為7三、填空題7．（2324高二上·全國·單元測試）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接點(diǎn)P與定點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為.8．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）過點(diǎn)且圓心在直線上的圓的一般方程為．9．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，(1,3)和(5,1)，則圓C與兩坐標(biāo)軸的四個(gè)截距之和為________．10．（2021高二上·山東泰安·階段練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，且過點(diǎn)，，則圓的一般方程為.四、解答題11．（2324高二上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知三點(diǎn)，求：(1)的面積.(2)外接圓的一般方程.12．（2223高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓與軸相切．(1)求圓的一般方程；(2)設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2021高一上·河南洛陽·期末）已知圓經(jīng)過原點(diǎn)，，三點(diǎn)，則圓的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2324高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）（多選）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則（

）A．邊的垂直平分線的方程是B．三角形的面積為1C．三角形外接圓的方程為D．三角形外接圓的圓心坐標(biāo)三、填空題3．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）到點(diǎn)O（0，0）的距離是到點(diǎn)A（3，0）的距離的的點(diǎn)M的軌跡方程為.四、解答題4．（2324高二上·北京大興·期中）已知圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)若線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．5．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，長度為2的線段EF的兩端點(diǎn)E