2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)7.2.1復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義素養(yǎng)檢測含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測十七復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.已知z1=2+i,z2=1+2i,則復(fù)數(shù)z=z2-z1對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,實部小于零,虛部大于零,故位于其次象限.2.若復(fù)數(shù)z滿意z+(3-4i)=1,則z的虛部是 ()A.-2 B.4 C.3 D.-4【解析】選B.z=1-(3-4i)=-2+4i.3.已知復(fù)數(shù)z1=1+2i,z2=3-4i,若z+z1=z2-z,則復(fù)數(shù)z= ()A.1+3i B.1-3iC.2-6i D.3+4i【解析】選B.設(shè)z=a+bi,a,b∈R,由復(fù)數(shù)z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,得a+bi+1+2i=3-4i-(a+bi),得(a+1)+(b+2)i=(3-a)+(-4-b)i,所以a+1=3-a,b+2=-4-b,得a=1,b=-3,所以z=1-3i.【一題多解】選B.因為復(fù)數(shù)z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,所以2z=z2-z1=3-4i-(1+2i)=2-6i,所以z=1-3i.4.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)1+i和1+3i分別對應(yīng)向量和,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則||=()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.4【解析】選B.由復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義知,對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1+3i)-(1+i)=2i,所以||=2.5.如圖,設(shè)向量,,所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,那么 ()A.z1-z2-z3=0 B.z1+z2+z3=0C.z2-z1-z3=0 D.z1+z2-z3=0【解析】選D.由題圖可知,+=0,所以+-=0,所以z1+z2-z3=0.6.(多選題)下列關(guān)于復(fù)數(shù)的敘述正確的是 ()A.兩個共軛復(fù)數(shù)的和是實數(shù)B.兩個共軛復(fù)數(shù)的差是虛數(shù)C.兩個共軛虛數(shù)的和是實數(shù)D.兩個共軛虛數(shù)的差是虛數(shù)【解析】選ACD.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b∈R,則共軛復(fù)數(shù)QUOTE=a-bi,所以有z+QUOTE=2a∈R,z-QUOTE=2bi,當(dāng)b=0時,z-QUOTE是實數(shù),當(dāng)b≠0時,z-QUOTE是虛數(shù),A正確,B不正確.設(shè)虛數(shù)z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,則共軛虛數(shù)QUOTE=a-bi,所以有z+QUOTE=2a∈R,z-QUOTE=2bi是虛數(shù),C正確,D正確.二、填空題(每小題5分,共10分)7.計算(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=________.

【解析】(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=(1-2+3)+(-3+4+5)i=2+6i.答案:2+6i8.已知|z|=QUOTE,且z-2+4i為純虛數(shù),則z=________.

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R),則z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.由題意知QUOTE所以QUOTE或QUOTE所以z=2±i.答案:2±i【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量和向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3+4i和2-i,則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為__________.

【解析】因為=-,所以對應(yīng)復(fù)數(shù)為(2-i)-(3+4i)=-1-5i.答案:-1-5i三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C.若=x+y,求x+y的值.【解析】由于復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,所以=-1+2i,=1-i,=3-2i,因為=x+y,所以3-2i=x(-1+2i)+y(1-i),所以QUOTE解得QUOTE故x+y=5.10.已知z1=-3+i,z2=2+6i對應(yīng)的向量分別為和,以O(shè)Z1,OZ2為鄰邊作平行四邊形OZ1CZ2.求向量,,對應(yīng)的復(fù)數(shù).【解析】由復(fù)數(shù)加減法的幾何意義知,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1+z2=(-3+i)+(2+6i)=-1+7i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)z2-z1=(2+6i)-(-3+i)=5+5i;向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)z1-z2=-5-5i.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.復(fù)平面上三點(diǎn)A,B,C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,5+2i,則由A,B,C所構(gòu)成的三角形是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【解析】選A.|AB|=|2i-1|=QUOTE,|AC|=|4+2i|=QUOTE,|BC|=5,所以|BC|2=|AB|2+|AC|2.故選A.2.在復(fù)平面上復(fù)數(shù)-3-2i,-4+5i,2+i所對應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,C,則平行四邊形ABCD的對角線BD所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ()A.5-9i B.-5-3iC.7-11i D.-7+11i【解析】選C.在復(fù)平面上復(fù)數(shù)-3-2i,-4+5i,2+i所對應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,C,則=(-3,-2),=(-4,5),=(2,1),所以平行四邊形ABCD的對角線BD滿意=+=(-)+(-)=(7,-11),所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是7-11i.3.(多選題)設(shè)z1,z2∈C,則下列關(guān)系正確的是 ()A.|z1+z2|>|z1|B.|z1-z2|<|z1|C.|z1+z2|≤|z1|+|z2|D.|z1-z2|≤|z1|+|z2|【解析】選CD.若z2=0時,|z1+z2|=|z1|,|z1-z2|=|z1|,故A,B不正確.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)平面對量,,當(dāng)與不共線時,|+|<||+||,當(dāng)與方向相同時,|+|=||+||,故|+|≤||+||,即|z1+z2|≤|z1|+|z2|,C正確.當(dāng)與不共線時,|-|<||+||,當(dāng)與方向相反時,|-|=||+||,故|-|≤||+||,即|z1-z2|≤|z1|+|z2|,D正確.4.復(fù)數(shù)z1=1+icosθ,z2=sinθ-i,則|z1-z2|的最大值為 ()A.3-2QUOTE B.QUOTE-1C.3+2QUOTE D.QUOTE+1【解析】選D.|z1-z2|=|(1+icosθ)-(sinθ-i)|=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE+1.二、填空題(每小題5分,共20分)5.復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-4i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-2i,則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為________.

【解析】由點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-4i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,向量對應(yīng)復(fù)數(shù)為3-2i,得=+=+-=(3-4i)+(3-2i)-(1+2i)=5-8i,所以點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5-8i.答案:5-8i6.復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)滿意條件|z-4i|=|z+2|,則2x+4y的最小值為________.

【解析】由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+22y≥2QUOTE=2QUOTE=4QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=QUOTE時,2x+4y取得最小值4QUOTE.答案:4QUOTE7.已知復(fù)平面上△AOB的頂點(diǎn)A所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,其重心G所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i,則|+|=________.

【解析】復(fù)平面上△AOB的頂點(diǎn)A所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,其重心G所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i,設(shè)AB的中點(diǎn)為D,則=QUOTE,由向量加法的平行四邊形法則,得+=2=3=3+3i,故|+|=3QUOTE.答案:3QUOTE8.復(fù)平面內(nèi)有A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)是3+i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-2-4i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-4-i,則B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為________.

【解析】因為表示的復(fù)數(shù)是2+4i,表示的復(fù)數(shù)是4+i,所以=-=(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+=(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為zB=5-2i.答案:5-2i三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知復(fù)數(shù)z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,y∈R)設(shè)z=z1-z2=14-11i,求z1+z2.【解析】由z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),z=z1-z2=14-11i,得(5x-3y)+(x+4y)i=14-11i,所以QUOTE解得QUOTE所以z1=(3x+y)+(y-4x)i=-7i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i=-14+4i,z1+z2=-14-3i.10.已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=QUOTE,求|z1-z2|.【解析】方法一:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,則z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,由|z1|2=|z2|2=1,|z1+z2|2=3,得a2+b2=1,①c2+d2=1,②(a+c)2+(b+d)2=3,③將①②代入③,得ac+bd=QUOTE.所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1,所以|z1-z2|=1.方法二:由z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=QUOTE,依據(jù)復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系以及平行四邊形法則可知,z1,z2,z1+z2所對應(yīng)的點(diǎn)圍成菱形ABCD,如圖,在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ABC=QUOTE=-QUOTE,所以∠ABC=120°,∠BAD=60°,所以△ABD是等邊三角形,所以=1,即QUOTE=1.11.已知平行四邊形ABCD中,與對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+2i與1+4i,兩對角線AC與BD相交于P點(diǎn).(1)求對應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)求對應(yīng)的復(fù)數(shù);(3)求△APB的面積.【解析】(1)由于四邊形ABCD是平行四邊形,所以=+,于是=-,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-2+2i.(2)由于=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,即對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5.(3)由于=QUOTE=-QUOTE=