2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)章末綜合測評二點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系課時分層作業(yè)含解析新人教A版必修2

PAGE章末綜合測評(二)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(滿分：150分時間：120分鐘)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列推理錯誤的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A∈l，l?α?A∈αC[若直線l∩α＝A，明顯有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α.]2．下面給出了四個條件：①空間三個點(diǎn)；②一條直線和一個點(diǎn)；③和直線a都相交的兩條直線；④兩兩相交的三條直線．其中，能確定一個平面的條件有()A．3個B．2個C．1個D．0個D[①當(dāng)空間三點(diǎn)共線時不能確定一個平面；②點(diǎn)在直線上時不能確定一個平面；③兩直線若不平行也不相交時不能確定一個平面；④三條直線交于一點(diǎn)且不共面時不能確定一個平面.故以上4個條件都不能確定一個平面．]3．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AB，A1D1A．30°B．45°C．60°D．90°D[由于AD∥A1D1，則∠BAD是異面直線AB，A1D1所成的角，很明顯∠BAD＝90°.]4．已知a，b，c是直線，則下面命題：①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；③若a∥b，則a，b與c所成的角相等．其中真命題的個數(shù)為()A．0B．3C．2D．1D[異面、相交關(guān)系在空間中不能傳遞，故①②錯；依據(jù)等角定理，可知③正確．]5．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A．30°B．45°C．60°D．90°B[當(dāng)三棱錐D-ABC的體積最大時，平面DAC⊥ABC，取AC的中點(diǎn)O，連接OD，OB(圖略)，則△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.]6．設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥βB[選項(xiàng)A，平行于同一條直線的兩個平面也可能相交，故選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B，垂直于同始終線的兩個平面相互平行，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，由條件應(yīng)得α⊥β，故選項(xiàng)C錯誤；選項(xiàng)D，l與β的位置不確定，故選項(xiàng)D錯誤．故選B.]7．如圖，點(diǎn)S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，則EF的長是()A．1 B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(1,2)B[取CB的中點(diǎn)D，連接ED，DF，則∠EDF(或其補(bǔ)角)為異面直線SB與AC所成的角，即∠EDF＝90°.在△EDF中，ED＝eq\f(1,2)SB＝1，DF＝eq\f(1,2)AC＝1，所以EF＝eq\r(ED2＋DF2)＝eq\r(2).]8．設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一個平面B[若α∥β，則α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行，反之不成立；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D中條件均不是α∥β的充要條件．依據(jù)平面與平面平行的判定定理知，若一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則兩平面平行，反之成立．因此B中條件是α∥β的充要條件．故選B.]9．在四面體ABCD中，已知棱AC的長為eq\r(2)，其余各棱長都為1，則二面角A-CD-B的余弦值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),3)C[取AC的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，連接BE，EF，BF，則EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，因?yàn)镋F2＋BE2＝BF2，所以△BEF為直角三角形，cosθ＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).]10．如圖，在多面體ACBDE中，BD∥AE，且BD＝2，AE＝1，F(xiàn)在CD上，要使AC∥平面EFB，則eq\f(DF,FC)的值為()A．3 B．2C．1 D．eq\f(1,2)B[連接AD交BE于點(diǎn)O，連接OF,因?yàn)锳C∥平面EFB，平面ACD∩平面EFB＝OF，所以AC∥OF.所以eq\f(OD,OA)＝eq\f(DF,FC).又因?yàn)锽D∥AE，所以△EOA∽△BOD，所以eq\f(OD,OA)＝eq\f(DB,EA)＝2.故eq\f(DF,FC)＝2.]11．設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC所成角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則()A．β＜γ，α＜γ B．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜α D．α＜β，γ＜βB[如圖G為AC的中點(diǎn)，V在底面的射影為O，則P在底面上的射影D在線段AO上，過D作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，過P作PF∥AC交VG于F，過D作DH∥AC，交BG于H，則α＝∠BPF，β＝∠PBD，γ＝∠PED，則cosα＝eq\f(PF,PB)＝eq\f(EG,PB)＝eq\f(DH,PB)＜eq\f(BD,PB)＝cosβ，又α、βeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，可得β＜α；tanγ＝eq\f(PD,ED)＞eq\f(PD,BD)=tanβ，可得β＜γ.]12．如圖所示，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF，EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①與② B．①與③C．②與③ D．③與④B[由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，GE?平面EFG，GF?平面EFG，得SG⊥平面EFG，解除C，D，若SE⊥平面EFG，則SG∥SE.這與SG∩SE＝S沖突，解除A.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．直線l1∥l2，在l1上取2個點(diǎn)，l2上取2個點(diǎn)，由這4個點(diǎn)能確定平面的個數(shù)是________.1[因?yàn)閘1∥l2，所以經(jīng)過l1，l2有且只有一個平面．]14．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點(diǎn)，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，則對角線AC與平面DEF的位置關(guān)系是________.平行[因?yàn)锳E∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以EF∥AC.又因?yàn)锳C?平面DEF，EF?平面DEF，所以AC∥平面DEF.]15．已知平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A，B∈α，點(diǎn)C∈平面β，且C?l，AB∩l＝R.若過A，B，C三點(diǎn)的平面為平面γ，則β∩γ＝________.CR[依據(jù)題意畫出圖形，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)C∈β，且點(diǎn)C∈γ，所以C∈β∩γ.因?yàn)辄c(diǎn)R∈AB，所以點(diǎn)R∈γ.又R∈β，所以R∈β∩γ，從而β∩γ＝CR.]16．已知三棱錐S-ABC的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________.36π[如圖，連接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱錐S-ABC的體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SC·OB))·OA＝eq\f(r3,3)，即eq\f(r3,3)＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，點(diǎn)D是AB(1)求證：AC⊥B1C(2)求證：AC1∥平面CDB1.[證明](1)∵C1C⊥平面ABC∴C1C⊥AC∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1而B1C?平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接OD.如圖∵O，D分別為BC1，AB的中點(diǎn)，∴OD∥AC1.又OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.18．(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝eq\f(2,3)CD.試問在PC上能否找到一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAD？若能，請確定點(diǎn)E的位置，并給出證明；若不能，請說明理由．[解]在PC上能找到點(diǎn)E，且滿意eq\f(CE,PE)＝eq\f(1,2)，可使BE∥平面PAD.證明如下：延長DA和CB交于點(diǎn)F，連接PF.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝eq\f(2,3)CD.所以eq\f(AB,CD)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(BC,BF)＝eq\f(1,2).又eq\f(CE,PE)＝eq\f(1,2)，所以在△PFC中，eq\f(CE,PE)＝eq\f(BC,BF)，所以BE∥PF.而BE?平面PAD，PF?平面PAD，所以BE∥平面PAD.19．(本小題滿分12分)如圖，已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AC，M為PB的中點(diǎn)．(1)求證：PC⊥BC；(2)求二面角M-AC-B的大?。甗解](1)證明：由PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又因?yàn)椤螦CB＝90°，即BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC.(2)取AB中點(diǎn)O，連接MO，過O作HO⊥AC于H，連接MH，因?yàn)镸是BP的中點(diǎn)，所以MO∥PA，又因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以MO⊥平面ABC，所以∠MHO為二面角M-AC-B的平面角，設(shè)AC＝2，則BC＝2eq\r(3)，MO＝1，OH＝eq\r(3)，在Rt△MHO中，tan∠MHO＝eq\f(MO,HO)＝eq\f(\r(3),3)，所以二面角M-AC-B的大小為30°.20．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說明理由．[解](1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC＝60°，且E為CD的中點(diǎn)，所以AE⊥CD.又AB∥CD，所以AB⊥AE.又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB.又AE?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上存在點(diǎn)F，且F為PB的中點(diǎn)，使得CF∥平面PAE.取F為PB的中點(diǎn)，取G為PA的中點(diǎn)，連接CF，F(xiàn)G，EG.因?yàn)镚，F(xiàn)分別為PA，PB的中點(diǎn)，則FG∥AB，且FG＝eq\f(1,2)AB.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，所以CE∥AB，且CE＝eq\f(1,2)AB.所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四邊形CEGF為平行四邊形，所以CF∥EG.因?yàn)镃F?平面PAE，EG?平面PAE，所以CF∥平面PAE.21.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過B1C1和P的平面交AB于E，(1)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝eq\f(π,3)，求四棱錐B-EB1[解](1)證明因?yàn)镸，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，A1N∩MN＝N，故B1C1⊥平面A1AMN.因?yàn)锽1C1?平面EB1C1F(2)因?yàn)锳O∥平面EB1C1F，AO?平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝PN，故AO∥PN.又AP∥ON，故四邊形APNO是平行四邊形，所以PN＝AO＝6，AP＝ON＝eq\f(1,3)AM＝eq\r(3)，PM＝eq\f(2,3)AM＝2eq\r(3)，EF＝eq\f(1,3)BC＝2.因?yàn)锽C∥平面EB1C1F，所以四棱錐B-EB1C1F的頂點(diǎn)B究竟面EB1C如圖，作MT⊥PN，垂足為T，則由(1)知，MT⊥平面EB1C1F，故MT＝PMsin底面E