第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型Chapter2Mathematicalmodelofcontrolsystem控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是指描述系統(tǒng)或元件輸入量、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。建立數(shù)學(xué)模型，可以使用解析法和實驗法

數(shù)學(xué)模型時域模型頻域模型方框圖和信號流圖狀態(tài)空間模型本章重點內(nèi)容系統(tǒng)微分方程的列寫傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)系統(tǒng)框圖的建立和等效變換信號流圖和梅遜公式的應(yīng)用2.1列寫系統(tǒng)微分方程的一般方法解析法建立微分方程的一般步驟是根據(jù)實際工作情況，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；1從輸入端開始，按照信號的傳遞時序及方向，根據(jù)各變量所遵循的物理、化學(xué)定律，列寫出變化（運動）過程中的微分方程組；2消去中間變量，得到只包含輸入、輸出量的微分方程；3標(biāo)準(zhǔn)化工作:將與輸入有關(guān)的各項放在等號的右側(cè)，即將與輸出有關(guān)的各項放在等號的左側(cè)，并按照降冪排列。4例2-1R-L-C串聯(lián)電路圖2-1動態(tài)數(shù)學(xué)模型為二階常系數(shù)線性微分方程。2.1.1簡單系統(tǒng)微分方程的建立

例2-2已知一R-C網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試寫出該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間的微分方程。解：設(shè)回路電流i1、i2①

②

③④

⑤由④、⑤得由②導(dǎo)出

將i1、i2代入①、③，則得

例2-3設(shè)彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)如圖所示，試求外力與質(zhì)量為m的質(zhì)量塊的位移之間的微分方程式。

彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)

式中，f為阻尼系數(shù)；k為彈簧的彈性系數(shù)。這是一種機械平移運動的運動方程，它是一個二階微分方程。2.1.2復(fù)雜系統(tǒng)微分方程的建立找到控制系統(tǒng)的總輸入量和最終的輸出量，明確系統(tǒng)中各元件的連接方式和各自的工作原理;分別列寫出各個典型元件的微分方程，組成方程組;消去所有中間變量，得到系統(tǒng)最終輸入量和輸出量的關(guān)系式,即為控制系統(tǒng)的微分方程。

例2-5直流調(diào)速系統(tǒng)(DCspeedcontrolsystem)當(dāng)電動機的負載或電網(wǎng)電壓變化時，由于系統(tǒng)的自動控制作用，電動機的轉(zhuǎn)速能近似的維持不變。

解：系統(tǒng)框圖執(zhí)行元件參考輸入控制變量被控制量擾動量被控對象控制器測量元件偏差

(1)放大器(amplifier)

假設(shè)無慣性

（2）直流他勵發(fā)電機(DCseparatelyexcitedgenerator)

為分析簡化起見，假設(shè)拖動發(fā)電機的原動機的轉(zhuǎn)速恒定不變，發(fā)電機沒有磁滯回線和剩磁。此外，還設(shè)發(fā)電機的磁化曲線為一直線，即。

由電機學(xué)的原理得其中。把式(2-6)代入式(2-5)，于是得式中，（2-5）（2-6）(3)直流他勵電動機(DCseparatelyexcitedmotor)由基爾霍夫定律和牛頓第二定律得由上述三式中消去中間變量后，得式中,稱為電動機的機電時間常數(shù)；稱為電動機的電氣時間常數(shù)；的量綱與時間的量綱相同。

(2-8)(4)測速發(fā)電機測速發(fā)電機的磁場恒定不變。測速發(fā)電機發(fā)出的電壓與轉(zhuǎn)速成正比

(5)比較環(huán)節(jié)

(2-11)

(2-10)

系統(tǒng)方程:對整個系統(tǒng)而言，引起系統(tǒng)運動的外部因素是給定電壓和負載轉(zhuǎn)矩。其余的物理量均為中間變量，經(jīng)消元后得(2-12)線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

?絕對的線性元件和線性系統(tǒng)不存在

非本質(zhì)非線性

本質(zhì)非線性

線性化:在滿足一定條件的前提下，用近似的線性系統(tǒng)代替非線性方程。線性化的基本條件:非線性特性必須是非本質(zhì)的，系統(tǒng)各變量對于工作點僅有微小的偏離。

微偏法:若非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其各階導(dǎo)數(shù)均存在，則由級數(shù)理論可知，可在給定工作點鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，并略去二階及二階以上的各項，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。線性化的方法:設(shè)一非線性元件的輸入為x、輸出為y，它們間的關(guān)系如圖所示，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式為

(2-13)在給定工作點附近，將上式展開泰勒級數(shù)若在工作點附近增量的變化很小，則可略去式中項及其后面所有的高階項，這樣，上式近似表示為

(2-14)

或?qū)憺?/p>

（2-14）

式中，式（2-14）就是式（2-13）的線性化方程。疊加原理：可疊加性和齊次性線性系統(tǒng)的基本特性當(dāng)f(t)=f1(t)時，上述方程的解為x1(t)；當(dāng)f(t)=f2(t)時，上述方程的解為x2(t)；如果f(t)=f1(t)+f2(t),方程的解為x(t)=x1(t)+x2(t),這就是疊加性當(dāng)f(t)=Af1(t)時，上述方程的解為x1(t)=Ax1(t),這就是齊次性

END

10≤y≤12上線性化。求用線性化方程來計算當(dāng)x=5，y=10時z值所產(chǎn)生的誤差。解：由于研究的區(qū)域為5≤x≤7、10≤y≤12，故選擇工作點x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66.求在點x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性化表達式。將非線性方程在點x0,y0,z0處展開成泰勒級數(shù)，并忽略其高階項，則有因此，線性化方程式為：z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66當(dāng)x=5,y=10時，z的精確值為z=xy=5×10=50由線性化方程求得的z值為z=11x+6y=55+60-66=49因此，誤差為50-49=1，表示成百分?jǐn)?shù)

例2-4試把非線性方程z=xy在區(qū)域5≤x≤7、例子：直流他勵發(fā)電機磁化曲線的線性化設(shè)發(fā)電機原工作于磁化曲線的A點。若令發(fā)電機的勵磁電壓增加，求其增量電動勢的變化規(guī)律。若發(fā)電機在小（增量）信號勵磁電壓的作用下，工作點A的偏離范圍便較小，從而可以通過A點作一切線CD，且依此切線CD近似地代替原有的曲線EAF。在平衡點A處，發(fā)電機的方程為當(dāng)勵磁電壓增加后，則有（2-15）（2-16）（2-17）（2-18）

由式（2-17）減式（2-15），式（2-18）減去式（2-16）后得作上述相減的運算，消去了原平衡工作點A處各變量間的關(guān)系，使所求的式（2-19）、（2-20）中的變量均為增量，因而稱這兩個方程式為增量方程式。（2-19）（2-20）

增量方程只描述了發(fā)電機在平衡工作點A處受到增量勵磁電壓作用下的運動過程。對于式（2-19）、（2-20）而言，發(fā)電機勵磁曲線的坐標(biāo)原點不是在O點而是移至原平衡點A處。因此，發(fā)電機的初始條件變?yōu)榱懔?。這樣，不僅便于求解方程，而且也是我們以后研究控制系統(tǒng)時假設(shè)零初始條件的依據(jù)。需要注意的是，在式（2-19）中之所以不寫作，而用表示，原因是那一段磁化曲線不是一直線，即，表示電感L不是一個常數(shù)，因而用反電動勢來表示。

把磁化曲線在平衡工作點處展開為泰勒級數(shù)略去上式中項及其后面所有的高階項，并令 則式（2-21）便簡化為（2-21）或?qū)懽魇街袨槠胶夤ぷ鼽cA處的正切值。根據(jù)式（2-22），式（2-19）和式（2-20）可改寫為其中，（2-22）（2-23）（2-24）

不難看出，隨著發(fā)電機平衡工作點的不同，其時間常數(shù)和放大倍數(shù)也不同。由線性化引起的誤差的大小與非線性的程度和工作點偏移的大小有關(guān)。

嚴(yán)格