工程流體力學(xué)第四章

第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)概述流體運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度的變化和所遵循的規(guī)律。分析流體運(yùn)動(dòng)最基本的理論工具是流體動(dòng)力學(xué)的基本方程。流體動(dòng)力學(xué)基本方程可用微分形式來(lái)表示，也可用積分形式來(lái)表示，二者的本質(zhì)是一致的。4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法概述流體是由無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的連續(xù)介質(zhì)，因此，研究流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法和固體不同，分為兩種。拉格朗日法歐拉法4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1.1拉格朗日法（LagrangeMethod）拉格朗日法又稱隨體法。它著眼于流體各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，以個(gè)別質(zhì)點(diǎn)作為觀察對(duì)象加以描述，追蹤研究每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，將各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)匯總起來(lái)，得到整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。拉格朗日法以某一指定的流體質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)刻的初始坐標(biāo)為（a，b，c），則在任一時(shí)刻t，該質(zhì)點(diǎn)的位置將是t0時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的起始坐標(biāo)和時(shí)間變量的函數(shù)，如式（4-1）所示。

（4-1）其中，a，b，c，t稱為拉格朗日變數(shù)。4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1.1拉格朗日法（LagrangeMethod）當(dāng)研究該流體質(zhì)點(diǎn)的流速u及加速度a時(shí)，可直接將式（4-1）對(duì)時(shí)間求一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。在求導(dǎo)過(guò)程中，a，b，c均視為常數(shù)。

（4-2）4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1.1拉格朗日法（LagrangeMethod）

（4-3）其中，ux，uy，uz，ax，ay，az分別為質(zhì)點(diǎn)流速u及加速度a沿三坐標(biāo)軸的分量。拉格朗日法物理概念簡(jiǎn)明，但在數(shù)學(xué)上難以實(shí)現(xiàn)，且難于了解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程。因此，該方法除用于分析波浪運(yùn)動(dòng)等個(gè)別情況外，實(shí)踐中較少采用。4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1.2歐拉法（EulerMethod）歐拉法研究流體運(yùn)動(dòng)，其著眼點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)流體所充滿的空間，即流場(chǎng)。它以流場(chǎng)中某個(gè)固定空間點(diǎn)為考察對(duì)象，觀察流體經(jīng)過(guò)各固定點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，而不考慮這些運(yùn)動(dòng)所代表的流體質(zhì)點(diǎn)及這些質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷。匯總流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，便可形成對(duì)整個(gè)流動(dòng)的描述。因此，歐拉法又稱空間點(diǎn)法或流場(chǎng)法。歐拉法主要包括兩個(gè)內(nèi)容：①確定在空間某一固定點(diǎn)上流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律；②確定在某一瞬間各空間點(diǎn)上流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)的分布規(guī)律。4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1.2歐拉法（EulerMethod）對(duì)于任一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，其位置變量x、y、z都是時(shí)間t的函數(shù)，即

（4-4）4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1.2歐拉法（EulerMethod）設(shè)ux、uy、uz、p、ρ分別為流體質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻，速度u在x、y、z軸的分量，以及壓強(qiáng)和密度，則有

（4-5）其中，空間坐標(biāo)x，y，z和時(shí)間變量t稱為歐拉變數(shù)。4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1.2歐拉法（EulerMethod）當(dāng)空間坐標(biāo)x，y，z不變，而僅僅是時(shí)間t變化時(shí)，式（4-5）表示在某一固定空間點(diǎn)上，流體的運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間變化的規(guī)律；當(dāng)時(shí)間t不變，而空間坐標(biāo)x，y，z變化時(shí)，式（4-5）表示在某一瞬間，不同空間點(diǎn)上流體運(yùn)動(dòng)要素的分布規(guī)律。4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1.2歐拉法（EulerMethod）采用歐拉法時(shí)，某時(shí)刻空間點(diǎn)速度還可表示為：

（4-6）由于空間坐標(biāo)x，y，z是時(shí)間t的函數(shù)，則加速度可表示為：

（4-7）4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1.2歐拉法（EulerMethod）分量形式

（4-8）此加速度表達(dá)式稱為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，它由兩部分組成，速度隨時(shí)間變化率稱為時(shí)變加速度或當(dāng)?shù)丶铀俣?，它表示不同流體質(zhì)點(diǎn)先后經(jīng)過(guò)某固定空間點(diǎn)所產(chǎn)生的該空間點(diǎn)上的加速度；速度隨位置變化率，，等各項(xiàng)稱為位變加速度或遷移加速度，它表示同一時(shí)刻由于流體質(zhì)點(diǎn)空間位置變化而引起的流速隨時(shí)間的變化率。4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1.2歐拉法（EulerMethod）與拉格朗日法不同：歐拉法只以空間點(diǎn)的流速、加速度為研究對(duì)象，并不涉及流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，也不考慮各點(diǎn)流速及加速度屬于哪一質(zhì)點(diǎn)。因此，歐拉法被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)的研究中。4.1描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩種方法4.1.2歐拉法（EulerMethod）例如，有一水箱的放水管在放水，其中有兩個(gè)水流質(zhì)點(diǎn)A與B。假定經(jīng)過(guò)微小時(shí)段dt后，它們分別移至A'和B'，如圖所示。由于作用水頭H在放水過(guò)程中逐漸降低，則管內(nèi)各固定的空間點(diǎn)上的流動(dòng)都將隨時(shí)間而變化，從而形成時(shí)變加速度。但是，由于A與A'兩點(diǎn)所處管段直徑不變，因此，這兩點(diǎn)在同一時(shí)刻流速相同，理論上不存在遷移加速度；而B(niǎo)與B'兩點(diǎn)位于漸變段，管徑逐漸變小，流速逐漸加大，因此，B'點(diǎn)流速大于B點(diǎn)流速，故這兩點(diǎn)之間不僅存在時(shí)變加速度，也存在遷移加速度。流體運(yùn)動(dòng)的基本概念4.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念4.2.1跡線與流線1．跡線跡線是流體質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)段的運(yùn)動(dòng)軌跡。由運(yùn)動(dòng)方程：得到跡線的微分方程：

（4-9）式中時(shí)間t是自變量，x，y，z是t的因變量，ux，uy，uz均為t，x，y，z的函數(shù)。4.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念4.2.1跡線與流線2.流線所謂流線是某一時(shí)刻在流場(chǎng)中畫(huà)出的一條空間曲線，在該時(shí)刻，曲線上的所有質(zhì)點(diǎn)的流速矢量均與這條曲線相切，如圖所示。流線能夠形象地描繪出流場(chǎng)內(nèi)的流動(dòng)狀態(tài)，它也是歐拉法描述流體運(yùn)動(dòng)的幾何基礎(chǔ)。流線的特性是不會(huì)相交，否則位于交點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)，在同一時(shí)刻就有與流線相切的兩個(gè)速度矢量，而這是不可能的；流線只能是一條光滑曲線或直線，不可能是折線；流線密的地方流速大，流線疏的地方流速小。4.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念4.2.1跡線與流線設(shè)t時(shí)刻，在流線上某點(diǎn)附近取微元段矢量，為該點(diǎn)速度矢量，由于足夠小，因此，二者方向一致，如圖所示。即

（4-10）在直角坐標(biāo)系中，流線微分方程為：

（4-11）初看起來(lái)，流線微分方程與跡線微分方程類似，但是，兩者含義是不同的。對(duì)于流線微分方程，式中的x，y，z是與t無(wú)關(guān)的獨(dú)立變量，它們表示在某一瞬時(shí)t組成同一流線的空間點(diǎn)的坐標(biāo)。因此，在流線微分方程積分過(guò)程中，時(shí)間t可作為常量處理。4.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念4.2.1跡線與流線【例4-1】已知平面流場(chǎng)的速度分布，ux=-4x+2，uy=4y-2，求流線方程?！窘狻扛鶕?jù)流線方程得則故4.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念4.2.2流管、元流（流束）與總流1．流管流管是在流場(chǎng)中任取不與流線重合的封閉曲線，過(guò)曲線上各點(diǎn)作流線，所構(gòu)成的管狀表面，如圖所示。由于流線不能相交，所以流體不能由流管壁出入。4.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念4.2.2流管、元流（流束）與總流2．元流流管中流動(dòng)的流體稱為元流、流束或纖流，元流的極限是一條流線。4.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念4.2.2流管、元流（流束）與總流3．總流把邊界擴(kuò)展到整個(gè)運(yùn)動(dòng)流體的邊界上，則邊界內(nèi)整股流動(dòng)的流束稱為總流。即總流在邊界內(nèi)由無(wú)數(shù)股元流組成。例如，工程中沿某一方向流動(dòng)的水管、風(fēng)管等。4.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念4.2.3過(guò)流斷面、流量與斷面平均流速1．過(guò)流斷面過(guò)流斷面是在流束上作出的與流線正交的橫斷面。過(guò)流斷面不一定都是平面，只有在流線相互平行的均勻流段，才是平面，如圖所示。4.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念4.2.3過(guò)流斷面、流量與斷面平均流速由于總流過(guò)流斷面上實(shí)際的流速分布是不均勻的，因此，在工程中常用斷面平均流速來(lái)表示。以管流為例，管壁附近流速較小，軸線上流速最大，如圖所示。為了方便，設(shè)過(guò)流斷面上流速均勻分布，通過(guò)流量與實(shí)際流量相同，流速υ定義為該斷面的平均流速，即

（4-14）顯然，當(dāng)流量Q一定時(shí)，過(guò)水?dāng)嗝嬖酱?，斷面平均流速越小；過(guò)水?dāng)嗝嬖叫。瑪嗝嫫骄魉僭酱?。流體運(yùn)動(dòng)的分類4.3流體運(yùn)動(dòng)的分類4.3.1恒定流與非恒定流恒定流動(dòng)又稱定常流動(dòng)，是指流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)參數(shù)不隨時(shí)間變化，只與空間位置有關(guān)的流動(dòng)。此時(shí)流體被稱為恒定流，反之，其他流體被稱為非恒定流。恒定流的流場(chǎng)方程為：

（4-15）此時(shí)物理量的時(shí)變導(dǎo)數(shù)為零

（4-16）4.3流體運(yùn)動(dòng)的分類4.3.2一元流、二元流與三元流以空間為標(biāo)準(zhǔn)，若各空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（主要是速度）是三個(gè)空間坐標(biāo)和時(shí)間變量的函數(shù)，則該流動(dòng)是三元流動(dòng)。若各空間點(diǎn)的速度平行于某一平面，運(yùn)動(dòng)參數(shù)只是兩個(gè)空間坐標(biāo)和時(shí)間變量的函數(shù)，則該流動(dòng)是二元流動(dòng)。若各空間點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)參數(shù)只是一個(gè)空間坐標(biāo)和時(shí)間變量的函數(shù)，則該流動(dòng)是一元流動(dòng)。4.3流體運(yùn)動(dòng)的分類4.3.3均勻流與非均勻流同一流線上各質(zhì)點(diǎn)的流速矢量沿程不變，流線簇彼此呈平行直線的流動(dòng)，稱為均勻流，否則為非均勻流。均勻流的遷移加速度為0，即非均勻流又分為漸變流與急變流。如果流體質(zhì)點(diǎn)的遷移加速度很小，或者說(shuō)流線近于平行直線，則該流動(dòng)被稱為漸變流，否則被稱為急變流，如圖所示。4.3流體運(yùn)動(dòng)的分類4.3.3均勻流與非均勻流顯然，漸變流與均勻流相似，因此，均勻流的性質(zhì)對(duì)于漸變流都近似成立。這些性質(zhì)具體包括：（1）漸變流的過(guò)流斷面近于平面，平面上各點(diǎn)的速度方向近于平行，且過(guò)流斷面的面積沿程不變；（3）同一流線上各點(diǎn)的流速相等（不同流線則不一定相等），流速分布沿程不變，斷面平均流速沿程不變，因此，均勻流是沿程沒(méi)有加速度的流動(dòng)。（3）恒定漸變流過(guò)流斷面上的動(dòng)壓強(qiáng)按靜壓強(qiáng)的規(guī)律分布，即同一斷面上任一點(diǎn)的測(cè)壓管水頭為常數(shù)。此外，漸變流沒(méi)有準(zhǔn)確的界定標(biāo)準(zhǔn)，流動(dòng)是否按漸變流處理，以所得結(jié)果能否滿足工程要求的精度而定。4.3流體運(yùn)動(dòng)的分類4.3.4有壓流與無(wú)壓流如果流體充滿整個(gè)管道的斷面，而沒(méi)有自由表面，這種管道稱為有壓管道，有壓管道中的流體稱為有壓流。一般來(lái)說(shuō)，有壓管道斷面上各點(diǎn)承受的壓強(qiáng)一般大于大氣壓強(qiáng)。此外，還要注意，管道的有壓還是無(wú)壓都是針對(duì)大氣壓強(qiáng)而言的。如果管道內(nèi)沒(méi)有被流體充滿，而存在自由表面，則管內(nèi)自由表面壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)，這樣的管道稱為無(wú)壓管道，無(wú)壓管道中的流體稱為無(wú)壓流。4.3流體運(yùn)動(dòng)的分類4.3.4有壓流與無(wú)壓流【例4-2】已知流場(chǎng)的速度分布為ux=x2y，uy=-3y，uz=2z2，求點(diǎn)（1，2，3）處流體的加速度。【解】4.3流體運(yùn)動(dòng)的分類4.3.4有壓流與無(wú)壓流【例4-3】已知速度場(chǎng)問(wèn)：①在t=2s時(shí)，（2，4）點(diǎn)的加速度是多少？②該流動(dòng)是恒定流還是非恒定流？③該流動(dòng)是均勻流還是非均勻流？【解】①計(jì)算在（2，4）點(diǎn)的加速度4.3流體運(yùn)動(dòng)的分類4.3.4有壓流與無(wú)壓流【例4-3】已知速度場(chǎng)問(wèn)：①在t=2s時(shí)，（2，4）點(diǎn)的加速度是多少？②該流動(dòng)是恒定流還是非恒定流？③該流動(dòng)是均勻流還是非均勻流？【解】①計(jì)算在（2，4）點(diǎn)的加速度4.3流體運(yùn)動(dòng)的分類4.3.4有壓流與無(wú)壓流【例4-3】已知速度場(chǎng)問(wèn)：①在t=2s時(shí)，（2，4）點(diǎn)的加速度是多少？②該流動(dòng)是恒定流還是非恒定流？③該流動(dòng)是均勻流還是非均勻流？【解】①把t=2s，x=2，y=4代入上式，得ax=4m/s2，ay=6m/s2，a=7.21m/s2②判斷該流動(dòng)是恒定流還是非恒定流由于 顯然，速度隨時(shí)間變化，因此，該流動(dòng)是非恒定流。4.3流體運(yùn)動(dòng)的分類4.3.4有壓流與無(wú)壓流【例4-3】已知速度場(chǎng)問(wèn)：①在t=2s時(shí)，（2，4）點(diǎn)的加速度是多少？②該流動(dòng)是恒定流還是非恒定流？③該流動(dòng)是均勻流還是非均勻流？【解】③判斷該流動(dòng)是均勻流還是非均勻流由于流動(dòng)的遷移加速度為故該流動(dòng)為均勻流。流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程4.4流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程概述連續(xù)性方程是流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本方程，是質(zhì)量守恒原理的流體力學(xué)表達(dá)式。流體被視為連續(xù)介質(zhì)，流場(chǎng)中任一封閉曲面，在任一瞬時(shí)流進(jìn)封閉曲面的的流體質(zhì)量與流出流體質(zhì)量之差應(yīng)等于封閉曲面內(nèi)因密度變化而引起的質(zhì)量變化，即流動(dòng)必須遵循質(zhì)量守恒定律。4.4流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程4.4.1連續(xù)性微分方程在流場(chǎng)中取微小直角六面體空間為控制體，正交三個(gè)邊dx，dy，dz分別平行于x，y，z軸，如圖所示。首先計(jì)算dt時(shí)間x方向流出和流入控制體的質(zhì)量差，即x方向凈流出質(zhì)量為：同理，y、z方向的凈流出質(zhì)量如下：4.4流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程4.4.1連續(xù)性微分方程則dt時(shí)間控制體的總凈流出質(zhì)量為：則dt時(shí)間控制體的總凈流出質(zhì)量必等于控制體由于密度變化而減少的質(zhì)量，即

（4-17）4.4流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程4.4.1連續(xù)性微分方程式（4-17）即為可壓縮流體非恒定流的連續(xù)性微分方程，它表達(dá)了任何可實(shí)現(xiàn)的流體運(yùn)動(dòng)所必須滿足的連續(xù)性條件。其物理意義是：流體在單位時(shí)間流經(jīng)單位體積空間時(shí)，流出與流進(jìn)的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零，即流體質(zhì)量守恒。4.4流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程4.4.1連續(xù)性微分方程對(duì)于均勻不可壓縮流體，ρ為常數(shù)，則

（4-18）式（4-18）即為不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程。該式說(shuō)明：對(duì)于均勻不可壓縮流體來(lái)說(shuō)，單位時(shí)間流出與流進(jìn)單位體積空間的流體體積之差等于零，即流體體積守恒。上述形式的連續(xù)性微分方程是1755年歐拉首先建立的，是質(zhì)量守恒原理的流體力學(xué)表達(dá)式（微分形式），它是支配流體流動(dòng)的基本微分方程式。4.4流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程4.4.2總流的連續(xù)方程設(shè)恒定總流，在總流上任取兩個(gè)過(guò)流斷面①、②，其面積和斷面平均流速分別是A1、A2、υ1、υ2，密度分別為ρ1、ρ2。以兩過(guò)流斷面及其間的總流側(cè)表面所包圍的空間作為控制體（圖中的虛線），則流出控制體的質(zhì)量流量為ρ2υ2A2，流入控制體的質(zhì)量流量為ρ1υ1A1。因此，恒定流動(dòng)中流出和流入控制體的質(zhì)量流量可寫(xiě)成

（4-19）這就是恒定流動(dòng)條件下總流的連續(xù)性方程。它表明，在恒定流動(dòng)中，總流沿程通過(guò)各過(guò)流斷面的質(zhì)量流量都相等。4.4流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程4.4.2總流的連續(xù)方程若流動(dòng)不僅是恒定的，流體還是不可壓縮的，則式（4-19）中ρ1=ρ2，故有

（4-20）該式表明，在不可壓縮流體的恒定流動(dòng)中，總流沿程通過(guò)各過(guò)流斷面的體積流量都相等，因而總流過(guò)任意兩流斷面的平均流速與其面積成反比。4.4流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程4.4.2總流的連續(xù)方程【例4-4】設(shè)有兩種均勻不可壓縮的二元流動(dòng)，流速為①

ux=-2x，uy=-2y；②

ux=0，uy=3xy，檢查流動(dòng)是否滿足連續(xù)條件?！窘狻看脒B續(xù)性方程①

滿足連續(xù)性條件；②

不滿足連續(xù)性條件，流動(dòng)不存在。4.4流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程4.4.2總流的連續(xù)方程【例4-5】直徑4.5cm的壓氣機(jī)進(jìn)口斷面上空氣的密度為1.2kg/m3，平均流速為5m/s。經(jīng)過(guò)壓縮后在直徑為2.5cm的圓管中以平均流速3m/s送出，求通過(guò)壓氣機(jī)的質(zhì)量流量和出口斷面的空氣密度。【解】進(jìn)入壓氣機(jī)的質(zhì)量流量為根據(jù)連續(xù)性方程，流出壓氣機(jī)與流入壓氣機(jī)的質(zhì)量流量應(yīng)該相等，故理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程4.5理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程概述在運(yùn)動(dòng)的無(wú)黏性流體中，取微小平行六面體（質(zhì)點(diǎn)），正交的三個(gè)邊dx，dy，dz分別平行于x，y，z坐標(biāo)軸，如圖4-10所示。設(shè)六面體的中心點(diǎn)為O'（x，y，z），速度為u，壓強(qiáng)為p，分析該微小六面體x方向的受力和運(yùn)動(dòng)情況。4.5理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程4.5.1表面力與質(zhì)量力理想流體內(nèi)不存在切應(yīng)力，只有壓強(qiáng)。x方向受壓面（abcd面和a'b'c'd'面）形心點(diǎn)的壓強(qiáng)為因?yàn)槭軌好娣浅Ｎ⑿。?，pM，pN可以作為所在平面的平均壓強(qiáng)，故受壓面上的壓力為作用于微小六面體x方向的質(zhì)量力為4.5理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程4.5.2力平衡方程由牛頓第二定律，在x軸方向上，作用于微元六面體上的表面力和質(zhì)量力的代數(shù)和應(yīng)等于微元六面體的質(zhì)量與加速度的乘積。即則化簡(jiǎn)得4.5理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程4.5.2力平衡方程同理得將加速度項(xiàng)展開(kāi)成歐拉法表示，得

（4-21）4.5理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程4.5.2力平衡方程式（4-21）即為理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式，又稱歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式。該式是牛頓第二定律的流體力學(xué)表達(dá)式，是控制理想流體運(yùn)動(dòng)的基本方程式。對(duì)于恒定流，對(duì)于靜止流體，恒定元流的伯努利方程4.6恒定元流的伯努利方程4.6.1理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程是非線性偏微分方程組，只有特定條件下的積分，其中最著名的是伯努利（Bernoulli）積分。將各式分別乘以dx、dy、dz并相加，得

（4-22）4.6恒定元流的伯努利方程4.6.1理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利方程引入限定條件：（1）作用在流體上的質(zhì)量力只有重力，則X=Y=0，Z=-g（2）流體為不可壓縮流體，且恒定流動(dòng)，則ρ=常數(shù)，p=p(x，y，z)4.6恒定元流的伯努利方程4.6.1理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利方程（3）恒定流動(dòng)，且流線與跡線重合，則4.6恒定元流的伯努利方程4.6.1理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利方程將上面各式代入式（4-22），積分得

（4-23）或

（4-24）4.6恒定元流的伯努利方程4.6.1理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利方程也可采用符號(hào)代表單位體積流體的重量，則式（4-23）又可表示為4.6恒定元流的伯努利方程4.6.1理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利方程上述理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程沿流線的積分稱為伯努利積分，所得式（4-23）或（4-24）稱為伯努利方程。由于元流的過(guò)流斷面積無(wú)限小，所以沿流線的伯努利方程就是元流的伯努利方程。推導(dǎo)該方程引入的限定條件，就是理想流體元流伯努利方程的應(yīng)用條件。歸納起來(lái)有：理想流體；恒定流動(dòng)；質(zhì)量力中只有重力；沿元流（流線）；不可壓縮流體。4.6恒定元流的伯努利方程4.6.2伯努利方程的物理意義和幾何意義1．物理意義伯努利方程每一項(xiàng)都表示單位重量流體所具有的能量，所以，該方程的物理意義也就是它的能量意義。式（4-23）中各項(xiàng)的物理意義如下：z表示單位重量流體從某一基準(zhǔn)面算起所具有的位置勢(shì)能，簡(jiǎn)稱單位位能；

表示單位重量流體相對(duì)于以大氣壓強(qiáng)為基準(zhǔn)所具有的壓強(qiáng)勢(shì)能，簡(jiǎn)稱單位壓能。由于流體壓強(qiáng)的存在，可以使流體上升至一定高度，故稱之為壓強(qiáng)勢(shì)能。流體的壓強(qiáng)實(shí)質(zhì)上是一種潛在能量。4.6恒定元流的伯努利方程4.6.2伯努利方程的物理意義和幾何意義

則反映了單位重量流體所具有的總勢(shì)能；是單位重量流體具有的動(dòng)能；三項(xiàng)之和

是單位重量流體具有的總機(jī)械能。4.6恒定元流的伯努利方程4.6.2伯努利方程的物理意義和幾何意義式（4-23）表明，元流從一個(gè)斷面到另一個(gè)斷面的過(guò)程中，其斷面上各項(xiàng)單位能量在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。但是，前一過(guò)流斷面的總機(jī)械能應(yīng)和后一斷面的總機(jī)械能相等，即元流各過(guò)流斷面上單位重量流體所具有的總機(jī)械能沿程保持不變。它反映了能量既守恒又轉(zhuǎn)化的關(guān)系。4.6恒定元流的伯努利方程4.6.2伯努利方程的物理意義和幾何意義2．幾何意義伯努利方程中的每一項(xiàng)都具有長(zhǎng)度量綱，因此，該方程中每一項(xiàng)的幾何意義都表示單位重量流體所具有的高度，在水力學(xué)中稱之為水頭。式（4-23）中各項(xiàng)的幾何意義如下：z表示研究點(diǎn)相對(duì)某一基準(zhǔn)面的位置高度，故稱其為位置水頭；

表示與所研究點(diǎn)處壓強(qiáng)大小相當(dāng)?shù)囊褐叨?，故稱之為壓強(qiáng)水頭；4.6恒定元流的伯努利方程4.6.2伯努利方程的物理意義和幾何意義兩項(xiàng)之和

等于測(cè)點(diǎn)處測(cè)壓管的液面高度，故稱之為測(cè)壓管水頭；

表示與研究點(diǎn)處流速大小相當(dāng)?shù)囊褐叨?，稱之為流速水頭；三項(xiàng)之和

表示測(cè)點(diǎn)處的總水頭。4.6恒定元流的伯努利方程4.6.2伯努利方程的物理意義和幾何意義式（4-23）表明，元流從一斷面流到另一斷面的過(guò)程中，總水頭線H沿程不變，故總水頭線是一水平線，如圖所示。同時(shí)，其他水頭之間可以相互轉(zhuǎn)化。4.6恒定元流的伯努利方程4.6.3元流伯努利方程的應(yīng)用——畢托管下面以畢托管（PitotTube）為例，說(shuō)明元流能量方程的應(yīng)用。畢托管是廣泛用于量測(cè)水流和氣流點(diǎn)流速的一種儀器，如圖4-12所示。管前端開(kāi)口a正對(duì)水流或氣流。a端內(nèi)部有流體通路與上部a'端相通。管側(cè)有多個(gè)孔口b，b端內(nèi)部也有流體通路與上部b'相通。4.6恒定元流的伯努利方程4.6.3元流伯努利方程的應(yīng)用——畢托管由于a、b點(diǎn)相距很近，故其位置水頭z相等，即za=zb。因此，我們可以沿ab流線寫(xiě)元流能量方程如下：則則4.6恒定元流的伯努利方程4.6.3元流伯努利方程的應(yīng)用——畢托管因即為a'、b'兩管水面差△h，則點(diǎn)流速考慮到黏性流體從迎流孔至順流孔存在黏性效應(yīng)，以及畢托管對(duì)源流場(chǎng)的干擾等因素，可引入修正系數(shù)φ，于是

（4-25）φ為畢托管修正系數(shù)，可經(jīng)實(shí)驗(yàn)標(biāo)定，其取值范圍通常在1～1.04之間。在要求不是很嚴(yán)格的情況下，通?？扇?。4.6恒定元流的伯努利方程4.6.4黏性流體元流的伯努利方程實(shí)際流體具有黏性，運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生流動(dòng)阻力，克服阻力做功，使流體的一部分機(jī)械能不可逆地轉(zhuǎn)化為熱能而散失。因此，黏性流體流動(dòng)時(shí)，單位重量流體具有的機(jī)械能沿程不是守恒而是減少，總水頭線是沿程下降的。因此，設(shè)hw'為黏性流體元流單位重量流體由過(guò)流斷面1－1運(yùn)動(dòng)至過(guò)流斷面2－2的機(jī)械能損失（稱為元流的水頭損失），根據(jù)能量守恒原理，可得到黏性流體元流的伯努利方程

（4-26）其中，水頭損失hw'也具有長(zhǎng)度量綱。恒定總流的伯努利方程4.7恒定總流的伯努利方程4.7.1黏性流體恒定總流的能量方程工程實(shí)際中，流動(dòng)一般都是總流。應(yīng)用能量方程解決實(shí)際問(wèn)題，必須把元流的能量方程對(duì)總流過(guò)流斷面積分，從而推廣為總流的能量方程。

（4-27）式（4-27）即為黏性流體總流的伯努利方程。式中：z1、z2為1、2過(guò)流斷面上選定點(diǎn)相對(duì)于選定基準(zhǔn)面的高程；p1、p2為相應(yīng)斷面選定點(diǎn)的壓強(qiáng)；υ1，υ2為相應(yīng)斷面的平均流速；α1，α2為相應(yīng)斷面的動(dòng)能修正系數(shù)，

，它表示單位時(shí)間通過(guò)總流某一斷面的實(shí)際動(dòng)能，與以斷面平均流速υ，在單位時(shí)間通過(guò)同一斷面的動(dòng)能之比。α的取值取決于過(guò)流斷面上速度的分布的情況。對(duì)于分布較均勻的流動(dòng)，α＝1.05～1.0，通常取α＝1.0；4.7恒定總流的伯努利方程4.7.1黏性流體恒定總流的能量方程hw為1、2兩斷面間單位重量流體所具有的能量損失，稱為水頭損失。影響hw的因素較為復(fù)雜，它除了與流速大小、斷面形狀和尺寸有關(guān)外，還與流道的固體邊壁的性質(zhì)和粗糙程度等因素有關(guān)。此外，根據(jù)能量損失的形式不同，hw可劃分為沿程能量損失和局部能量損失。其中，沿程能量損失稱為沿程水頭損失，通常以hf表示；局部能量損失稱為局部水頭損失，通常以hj表示。同樣，將元流的伯努利方程推廣為總流的伯努利方程，也引入了某些限制條件（稱為總流伯努利方程的適用條件），具體包括：恒定流動(dòng)；質(zhì)量力只有重力；不可壓縮流體；所取過(guò)流斷面為漸變流斷面；兩斷面間無(wú)分流和匯流。4.7恒定總流的伯努利方程4.7.2有能量輸入或輸出的伯努利方程總流伯努利方程（4-27）是在兩過(guò)流斷面間除水頭損失之外，再無(wú)能量輸入或輸出的條件下導(dǎo)處的。但是，當(dāng)兩過(guò)流斷面間有水泵、風(fēng)機(jī)或水輪機(jī)等流體機(jī)械時(shí)，存在能量的輸入或輸出。對(duì)于此種情況，根據(jù)能量守恒原理，在式（4-27）中計(jì)入單位重量流體經(jīng)流體機(jī)械獲得或失去的機(jī)械能，便擴(kuò)展為有能量輸入或輸出的伯努利方程式

（4-28）式中：＋Hm表示單位重量流體流過(guò)流體機(jī)械（如水泵）獲得的機(jī)械能，又稱水泵的揚(yáng)程；－Hm表示單位重量流體給予流體機(jī)械（水輪機(jī)）的機(jī)械能，又稱水輪機(jī)的作用水頭。4.7恒定總流的伯努利方程4.7.3兩斷面間有分流或匯流的伯努利方程總流的伯努利方程（式4-27）是在兩過(guò)流斷面間無(wú)分流和匯流的條件下導(dǎo)出的，而實(shí)際的供水，供氣管路，沿程大多都有分流和匯流。對(duì)于兩斷面間有分流的流動(dòng)（參見(jiàn)圖），設(shè)想1－1斷面的來(lái)流分為兩股（以虛線劃分），分別通過(guò)2－2，3－3斷面對(duì)1'－1'（1－1斷面中的一部分）和2－2斷面列伯努利方程，如下所示：

（4-29）4.7恒定總流的伯努利方程4.7.3兩斷面間有分流或匯流的伯努利方程因1－1斷面為漸變流斷面，面上各點(diǎn)的勢(shì)能相等，則如1－1斷面流速分布較為均勻，即于是故同理4.7恒定總流的伯努利方程4.7.3兩斷面間有分流或匯流的伯努利方程由此可見(jiàn)，兩斷面間雖有流出或流入流量，但寫(xiě)總流量能量方程時(shí)，只考慮斷面間各支流的能量損失，而不考慮流出或流入流量的能量損失。4.7恒定總流的伯努利方程4.7.4氣體的伯努利方程總流的伯努利方程式（4-27）是對(duì)不可壓縮流體導(dǎo)出的。氣體是可壓縮流體，但對(duì)于速度不是很大，壓強(qiáng)變化不大的系統(tǒng)，如工業(yè)通風(fēng)管路、煙道等，氣流在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中密度變化很小，在這樣的條件下，伯努利方程也可用于氣流。由于氣流的密度同外部空氣的密度是相同的數(shù)量級(jí)，在用相對(duì)壓強(qiáng)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要考慮外部大氣壓在不同高度的差值。4.7恒定總流的伯努利方程4.7.4氣體的伯努利方程如圖所示，設(shè)恒定氣流的氣流密度為ρ，外部空氣的密度為ρa(bǔ)，過(guò)流斷面上計(jì)算點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)為ρ1abs、ρ2abs。列1－1和2－2斷面的伯努利方程進(jìn)行氣流計(jì)算時(shí)，通常把上式表示為壓強(qiáng)的形式，取α1=α2=1，則

（4-30）式中pw為壓強(qiáng)損失。4.7恒定總流的伯努利方程4.7.4氣體的伯努利方程將式（4-30）中的壓強(qiáng)用相對(duì)壓強(qiáng)p1、p2表示，則式中pa為高程z1處的大氣壓，為高程z2處的大氣壓。將p1abs、p2abs代入式（4-30），式兩端消去pa，進(jìn)行簡(jiǎn)單整理，得

（4-31）這里p1、p2稱為靜壓，

、稱為動(dòng)壓，

為單位體積氣體所受有效浮力，z2-z1為氣體沿浮力方向升高的距離，

乘積為1－1斷面相對(duì)于2－2斷面單位面積氣體的位能，稱為位壓。式（4-31）就是以相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算的氣流伯努利方程。恒定總流的動(dòng)量方程4.8恒定總流的動(dòng)量方程4.8.1動(dòng)量守恒及動(dòng)量簡(jiǎn)介流體運(yùn)動(dòng)出了必須遵守質(zhì)量守恒和能量守恒普遍規(guī)律外，還必須遵守動(dòng)量守恒原理。動(dòng)量方程即為動(dòng)量守恒定律在流體運(yùn)動(dòng)中的具體表現(xiàn)，它反映了流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量變化與作用力之間的關(guān)系。雖然能量方程和連續(xù)性方程對(duì)于分析流體運(yùn)動(dòng)和解決工程實(shí)際問(wèn)題極為有用，但是，它們沒(méi)有反映出流體和邊界作用之間的關(guān)系，而工程實(shí)踐中經(jīng)常要求分析、計(jì)算急變流段的流體與固定邊界之間的相互作用力。同時(shí)，能量方程中包含有水頭損失，但對(duì)于某些流動(dòng)，一時(shí)難于確定水頭損失的大小，動(dòng)量方程則彌補(bǔ)了這些不足，因而在分析流體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)得到了廣泛應(yīng)用。4.8恒定總流的動(dòng)量方程4.8.1動(dòng)量守恒及動(dòng)量簡(jiǎn)介所謂動(dòng)量定律是指：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)量變化等于作用于該物體上外力的總和，具體表示為

是運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)量，它等于運(yùn)動(dòng)物體質(zhì)量m與其速度

的乘積，即

。由于速度是矢量，因此，動(dòng)量也是矢量。

是指作用在物體上的外力之和，t是物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

代表動(dòng)量的變化。4.8恒定總流的動(dòng)量方程4.8.2恒定總流的動(dòng)量方程推導(dǎo)設(shè)恒定總流，取過(guò)流斷面1－1、2－2為漸變流斷面，面積為A1、A2，以過(guò)流斷面及總流的側(cè)表面圍成的空間為控制體（參見(jiàn)圖）?？刂企w內(nèi)的流體經(jīng)過(guò)dt時(shí)間，由1－2運(yùn)動(dòng)到1'－2'