09幾何大題綜合-【黃金沖刺】考前10天中考數(shù)學極限滿分沖刺(浙江專用)原卷版+解析

09幾何大題綜合1．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）在中，，，D是邊上的中點，E是直線右側的一點，且，連接，過點D作的垂線交射線于點F．(1)點C到的距離為______；(2)如圖1，當點E在的外部時．①求證：；②如圖2，連接，當時，試探究與之間的數(shù)量關系；(3)若，請直接寫出的長．2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）在矩形中，點E為射線上一動點，連接．(1)當點E在邊上時，將沿翻折，使點B恰好落在對角線上點F處，交于點G．①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，當，且時，求的長．(2)在②所得矩形中，將矩形沿進行翻折，點C的對應點為，當點三點共線時，求的長．3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，在矩形中，．對角線相交于點O，點E，F(xiàn)分別在對角線上，，連結．(1)求線段的長和的度數(shù)．(2)當點F在點B處時，以為邊在右下方作等邊，連結．在點F運動過程中，點G也隨之運動．如圖2，過點F作的平行線交于點H．若設線段長為x，線段長為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出相應x的取值范圍．(3)若點F在直線上運動，以為邊作等邊．當點G恰好落在矩形的邊上時，求的長．4．（2023·浙江·模擬預測）已知E是正方形邊上任意一點，(1)將沿翻折至，①如圖1，若F點恰好在對角線上，，求的長．②如圖2，若點E是中點，若，射線與邊交于點G，求四邊形的面積．(2)如圖3，點Q是邊上任意一點，記與的交于點H，射線與射線交于點P，求證：．5．（2023·浙江·模擬預測）點E、F分別為正方形邊、上一點，滿足，連結和．(1)求證：；(2)過點E作交于點M，垂足為點N．①判斷的形狀，并說明理由；②當M在邊上時，設，和的面積分別是和，求證：6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）【基礎鞏固】如圖1，在中，為上一點，連結，為上一點，連結，若，，求證：．（2）【嘗試應用】如圖2，在中，對角線、交于點，為上一點，連結，，，若，，求的長．（3）【拓展提升】如圖3，在菱形中，對角線、交于點，為中點，為上一點，連結、，，若，，求菱形的邊長．7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）新定義：垂直于圖形的一邊且等分這個圖形面積的直線叫作圖形的等積垂分線，等積垂分線被該圖形截的線段叫做等積垂分線段．問題探究：(1)如圖1，等邊邊長為3，垂直于邊的等積垂分線段長度為______；(2)如圖2，在中，，，，求垂直于邊的等積垂分線段長度；(3)如圖3，在四邊形中，，，，求出它的等積垂分線段長．8．（2023·浙江寧波·?？家荒＃净A鞏固】（1）如圖，在中，，分別在，上，，求證：．【嘗試應用】（2）如圖2，在中，，，分別在，，上，四邊形為平行四邊形，，，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，平行四邊形的周長為，，分別在，上，四邊形為平行四邊形，，，求EF的長．9．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）【問題初探】如圖1，是正方形的邊上一點，延長至點，使，連接，．求證：．（2）【問題再探】如圖2，，分別是正方形的邊，上一點，分別過點，作于點，于點，線段，相交于點．連接，，，，若．①求證：．②探究和的面積關系，并說明理由．（3）【問題延伸】如圖3，在正方形中，，分別是射線，上一點，【問題再探】中的其余條件不變，請直接判斷和的面積關系是否仍成立．10．（2023·浙江杭州·杭州育才中學?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，對角線和交與點O，點M在邊上，交對角線與點E，．(1)求證：；(2)設；①若，，求的值；②若，求的值．11．（2023·浙江寧波·校考一模）（1）特殊發(fā)現(xiàn)如圖1，正方形與正方形的頂點重合，、分別在、邊上，連接，則有：①

；

②直線與直線所夾的銳角等于度；（2）理解運用將圖1中的正方形繞點逆時針旋轉，連接、，①

如圖2，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若、、三點在同一直線上，且過邊的中點，，直接寫出的長；（3）拓展延伸如圖4，點是正方形的邊上一動點（不與、重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點，連接，若，則的值是否是定值？請說明理由．12．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）如圖1，在矩形中，，，動點P從點C出發(fā)，以1個單位每秒速度，沿線段運動，同時，動點Q從點B出C發(fā)，以2個單位每秒速度，沿射線運動，當點P到達點D時，點P，Q同時停止運動，設運動時間為t秒．(1)請用含t的代數(shù)式表示線段的長．(2)如圖2，與交于點M，當時，求與的面積之比．(3)在點P，Q的整個運動過程中，直線上是否存在點E，使以為直角邊的，與以點P，Q，C三點為頂點的三角形相似？若不存在，說明理由；若存在，求t的值．13．（2023·浙江溫州·模擬預測）閱讀材料：如圖，在中，，分別是邊，的中點，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長到點，使，連接，證明，再證四邊形是平行四邊形即得證．(1)類比遷移：如圖，是的中線，交于點，交于點，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖，延長至點，使，連接，…請根據(jù)小明的思路完成證明過程．(2)方法運用：如圖，在等邊中，是射線上一動點（點在點的右側），連接．把線段繞點逆時針旋轉得到線段．是線段的中點，連接，．①請你判斷線段與的數(shù)量關系，并給出證明；②若，，請直接寫出的長．14．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【基礎鞏固】（1）如圖1，于點B，于點C，交于點，求證∶．【嘗試應用】（2）如圖2，在矩形中，是上的一點，作交于點，，若，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，菱形的邊長為為上的一點，作交于點，交于點，且，求的長．15．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，對角線，相交于點O，E為的中點，將繞點D順時針旋轉α（）得到.(1)求的面積.(2)旋轉過程中，是否存在α使得與的面積相等？若存在，求出α的值，若不存在，請說明理由.(3)旋轉過程中，當所在直線經(jīng)過點B時，求的長.16．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形，E為對角線上一點．[建立模型]（1）如圖1，連結．求證：．[模型應用]（2）如圖2，F(xiàn)是DE延長線上一點，，交于點G．①判斷的形狀，并說明理由．②若G為的中點，且，求的長．[模型遷移]（3）F是延長線上一點，，交射線于點G，且，．求的值．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．17．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）[證明體驗]如圖1，在中，D為邊上一點，連接，若，求證：．（2）在中，，，D為邊上一動點，連接，E為中點，連接．①[思考探究]如圖2，當時，求的長．②[拓展延伸]如圖3，當時，求的長．解題的關鍵是添加輔助線，構造三角形的中位線，證明三角形相似．18．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，是銳角中邊上的高，將沿所在的直線翻折得到，將沿所在的直線翻折得到，延長相交于點P．(1)如圖1，若，求證：四邊形為正方形；(2)如圖2，若，當是等腰三角形時，求的度數(shù)；(3)如圖3，連結，分別交于點G、H，連結交于點M，若，①求_________度；②若，求的面積．19．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A的坐標為，直線經(jīng)過點、．將四邊形繞點O按順時針方向旋轉α度得到四邊形，此時直線、直線分別與直線相交于點P、Q．(1)四邊形的形狀是，當時，的值是；(2)①如圖2，當四邊形的頂點落在y軸正半軸上時，求的值；②如圖3，當四邊形的頂點落在直線上時，求的面積；(3)在四邊形旋轉過程中，當時，是否存在這樣的點P和點Q，使得，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．20．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【基礎鞏固】(1)如圖1，四邊形中，平分，．求證：；【遷移運用】(2)如圖2，在（1）的條件下，取的中點E，連接交于點F，若，，求的長；【解決問題】(3)如圖3，四邊形中，，，在上取點E，使得，恰有．若，，求四邊形的面積．21．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）正方形的邊長為8，點E是其邊上的一點，以為對角線作矩形（點A、H、E、G按順時針排列），且．(1)如圖1，若與交于點M，當時，求證：平分；(2)當點G落在正方形的邊上時，求的長；(3)當點E在上運動時，連接，求的最大值．22．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，，．點D是直線上一動點．過點D作，滿足點E在上方，，以、為鄰邊作．(1)求的長以及點C到的距離；(2)設線段與邊交于點M，線段與邊交于點N．當時，求的長；(3)連接，沿直線分割，當分割的兩部分可以拼成一個不重疊無縫隙的三角形時，求的長．23．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖1，在矩形中，，．，分別是，上的動點，且滿足，是射線上一點，，設，．(1)求y關于x的函數(shù)表達式．(2)當中有一條邊與垂直時，求的長．(3)如圖2，當點Q運動到點C時，點P運動到點F．連結，以，為邊作平行四邊形．①當所在直線經(jīng)過點D時，求平行四邊形的面積；②當點G在的內部（不含邊界）時，直接寫出x的取值范圍．24．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖1，在正方形紙片中，點E是的中點．將沿折疊，使點A落在點F處，連結．(1)求證：．(2)如圖2，延長交于點G，求的值．(3)如圖3，將沿折疊，此時點C的對應點H恰好落在上．若記和重疊部分的面積為，正方形的面積為，求的值．25．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，點O為數(shù)軸上的原點，在數(shù)軸正半軸上取一點A，以為邊在數(shù)軸上方作一正方形，點D為對角線上一動點（不與端點O，B重合），作交數(shù)軸于點E，作的角平分線交邊于點F．(1)若，求度數(shù)；(2)若，求度數(shù)和的值；(3)若，直接寫出的值（用含n的代數(shù)式表示）．09幾何大題綜合1．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）在中，，，D是邊上的中點，E是直線右側的一點，且，連接，過點D作的垂線交射線于點F．(1)點C到的距離為______；(2)如圖1，當點E在的外部時．①求證：；②如圖2，連接，當時，試探究與之間的數(shù)量關系；(3)若，請直接寫出的長．【答案】(1)(2)①見解析，②(3)或【分析】（1）連，直接求的長即可；（2）①設交于點，證明即可；②延長和交于點，連接，根據(jù)手拉手模型證明，，可得，，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得．（3）分E在上方和E在下方兩種情況，分別求得即可求出的長．【詳解】（1）解：連接，∵在中，，，D是邊上的中點，∴，，∴點C到的距離為，故答案為：；（2）解：①設交于點，∵，∴，∵，，∴，∵過點D作的垂線交射線于點F，∴，∴，∴，∴；②延長和交于點，連接，∵，，，∴，都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖，當E在上方時，過D作于H，∵，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴；如圖，當E在下方時，同理，，，則，綜上，或．【點睛】本題考查了等腰直角三角形性質，直角三角形性質，全等三角形判定和性質，勾股定理，三角函數(shù)定義等知識，屬于中考壓軸題，綜合性強，難度大，對學生要求很高；解題關鍵是熟練利用“手拉手模型”合理添加輔助線構造全等三角形．2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）在矩形中，點E為射線上一動點，連接．(1)當點E在邊上時，將沿翻折，使點B恰好落在對角線上點F處，交于點G．①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，當，且時，求的長．(2)在②所得矩形中，將矩形沿進行翻折，點C的對應點為，當點三點共線時，求的長．【答案】(1)①；②；(2)或．【分析】（1）①由矩形的性質和銳角三角函數(shù)定義得，再由折疊的性質得，則是等邊三角形，即可得出結論；②由折疊的性質得，，則，再證，即可解決問題；（2）分兩種情況，a、證，得，再由勾股定理得，即可解決問題；b、證，得，再由勾股定理等，即可得出結論．【詳解】（1）①∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴由折疊的性質得：，∴是等邊三角形，∴，∴；②由折疊的性質得：，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：（負值已舍去），即的長為；（2）當點三點共線時，分兩種情況：a、如圖3，由②可知，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，由折疊的性質得：，∴，∴，∴，∴，∴；b、如圖4，由折疊的性質得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴；綜上所述，的長為或．【點睛】本題主要考查了矩形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)定義、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質和折疊的性質，證明三角形全等和三角形相似是解題的關鍵．3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，在矩形中，．對角線相交于點O，點E，F(xiàn)分別在對角線上，，連結．(1)求線段的長和的度數(shù)．(2)當點F在點B處時，以為邊在右下方作等邊，連結．在點F運動過程中，點G也隨之運動．如圖2，過點F作的平行線交于點H．若設線段長為x，線段長為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出相應x的取值范圍．(3)若點F在直線上運動，以為邊作等邊．當點G恰好落在矩形的邊上時，求的長．【答案】(1)(2)(3)，19，，【分析】（1）由勾股定理求得長，結合已知和矩形的性質可求得的長，進而可證得為等邊三角形，即可得出的度數(shù)；（2）分類進行討論，當點G在線段上時，點O與點G重合，求得，當點G在線段下方時，即時，利用三角形相似和全等得出，當點G在線段上方時，即時，同理可求出；（3）分別討論G點在不同的邊上時的情況，①點G在邊上時，②點G在邊上時，③點G在邊上時，④點G在邊上時，利用三角形的全等和勾股定理即可得到答案．【詳解】（1）在中，，∴∵四邊形是矩形，∴∵，∴，∴∵，∴是等邊三角形，∴（2）當點G在線段上時，點O與點G重合，如圖1，即當點G在線段下方時，即時，如圖2∵，∴，∴也是等邊三角形∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴

當點G在線段上方時，即時，如圖3同理可得，∴，∴，∴，∴（3）當點F在的延長線和反向延長線上時，不存在符合條件的，所以點F在線段上①如圖4，點G在邊上時易證，∴，∴過點E作于點M在中，∴在中，，∴

②如圖5，點G在邊上時由（2）中得∵，∴，易得過點E作的延長線于點M在中，∴在中，，∴③如圖6，點G在邊上時過點E作于點M在中，∴在中，，∴法二：∵，即，此時，得，∴過點E作于點N，如圖7在中，∴在中，，∴④如圖8，點G在邊上時過點E作分別交于點J，I并連結易證，∴在中，，∴在中，，，∴在中，，∴綜上所述，，19，，2【點睛】本題考查了矩形的性質，一次函數(shù)的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質等知識點的應用，熟練掌握其性質，對各種情況合理分類討論是解決此問題的關鍵．4．（2023·浙江·模擬預測）已知E是正方形邊上任意一點，(1)將沿翻折至，①如圖1，若F點恰好在對角線上，，求的長．②如圖2，若點E是中點，若，射線與邊交于點G，求四邊形的面積．(2)如圖3，點Q是邊上任意一點，記與的交于點H，射線與射線交于點P，求證：．【答案】(1)①；②1(2)見解析【分析】（1）①由正方形的性質可得，設，根據(jù)折疊的性質表示出，再利用特殊角解直角三角形即可；②分別延長，交于點M，根據(jù)正方形的性質，折疊的性質及三角形的面積公式可求出，設，則，，利用勾股定理建立方程，求出，再根據(jù)四邊形的面積求解即可；（2）設，則，可得，根據(jù)正方形的性質，相似三角形的判定和性質可得，即可求解．【詳解】（1）①∵四邊形是正方形，∴，設，∵，∴，∵將沿翻折至，∴，∴，∴，即，解得，即；②分別延長，交于點M，∵四邊形是正方形，∴，∴∵點E是中點，∴，∴，，解得，∴，∵將沿翻折至，∴，∴，∴，∴，設，則，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，∴四邊形的面積；（2）設，則，∴，∵∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，即．【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，解直角三角形，折疊的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．5．（2023·浙江·模擬預測）點E、F分別為正方形邊、上一點，滿足，連結和．(1)求證：；(2)過點E作交于點M，垂足為點N．①判斷的形狀，并說明理由；②當M在邊上時，設，和的面積分別是和，求證：【答案】(1)證明見解析(2)①等腰三角形；證明見解析；②證明見解析．【分析】（1）先證明，，結合可得結論；（2）①如圖，過作于，則，四邊形為矩形，可得，證明，可得，從而可得結論；②為等腰三角形，，則，而，可得，可得，即，證明，可得，而，可得，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵正方形，∴，，∵，∴．（2）①如圖，過作于，∴，四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴為等腰三角形．②∵為等腰三角形，，∴，而，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，正方形的性質，矩形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)的應用，相似三角形的判定與性質，熟練的利用以上知識解題是關鍵．6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）【基礎鞏固】如圖1，在中，為上一點，連結，為上一點，連結，若，，求證：．（2）【嘗試應用】如圖2，在中，對角線、交于點，為上一點，連結，，，若，，求的長．（3）【拓展提升】如圖3，在菱形中，對角線、交于點，為中點，為上一點，連結、，，若，，求菱形的邊長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）菱形的邊長為【分析】（1）根據(jù)得出，，根據(jù)等角的補角相等得出，結合已知條件，即可證明；（2）證明，設，則．得出，則；（3）延長，，交于點．設，，則．證明，得出，由（）得，．得出，即可求解．【詳解】（1）解：，．．．（2）在平行四邊形中，，．．．，．，設，則．．解得，（舍去）．．（3）延長，，交于點．，設，，則．在平行四邊形中，，為的中點，，，．，即．．為的中點，為的中點，，．．，由（）得，．，即，，．，即菱形的邊長為．【點睛】本題考查了菱形的性質，相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）新定義：垂直于圖形的一邊且等分這個圖形面積的直線叫作圖形的等積垂分線，等積垂分線被該圖形截的線段叫做等積垂分線段．問題探究：(1)如圖1，等邊邊長為3，垂直于邊的等積垂分線段長度為______；(2)如圖2，在中，，，，求垂直于邊的等積垂分線段長度；(3)如圖3，在四邊形中，，，，求出它的等積垂分線段長．【答案】(1)(2)邊的等級垂分線段的長度為(3)四邊形的一條等積垂分線段的長為【分析】（1）過點A作，根據(jù)等邊三角形性質求解即可．（2）線段EF是垂直于BC邊的等積垂分線段，設，作，構建方程即可得到答案．（3）分兩種情況，作，設或作，設，構建方程即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示為垂直于邊的等積垂分線，∵是等邊三角形，，∴，∴，（2）解：如圖2中，線段是垂直于邊的等級垂分線段，設．作于．在中，∵，，，∴，，∵，∴，由題意：，∴，解得或（舍棄），∴邊的等積垂分線段的長度為．（3）①如圖3-1中，當線段是等積垂分線段時，設交于．作于．設．在中，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由，可得，，∴，∵四邊形的面積＝四邊形的面積，的面積＝的面積，∴的面積＝的面積，∴，解法（負根已經(jīng)舍棄），∴．②如圖3-2中，當線段是等積垂分線段時，設交于．作于．設，則，．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴由的面積＝的面積，∴，解得（負根已經(jīng)舍棄），∴．綜上所述，四邊形的一條等積垂分線段的長為．【點睛】本題考查了四邊形綜合題，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，理解題意，學會用分類討論的思想解決問題是關鍵．8．（2023·浙江寧波·?？家荒＃净A鞏固】（1）如圖，在中，，分別在，上，，求證：．【嘗試應用】（2）如圖2，在中，，，分別在，，上，四邊形為平行四邊形，，，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，平行四邊形的周長為，，分別在，上，四邊形為平行四邊形，，，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件，證明，根據(jù)相似三角形的性質即可得證；（2）根據(jù)平行四邊形的性質得出，證明，，結合（1）的結論代入數(shù)據(jù)即可求解；（3）延長，交于，，由（2）得：，設，，，，由（1）得：，故，進而得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∴（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，，∴設，∵，∵，∴，由（1）得：，∴，解得：（負值舍去），∴．（3）如圖，延長，交于，∵，四邊形是平行四邊形，由（2）得：，，∴，設，，，，∵，由（1）得：，則，則故，即∵，∴，∴，∵，∴，即，又，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．9．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）【問題初探】如圖1，是正方形的邊上一點，延長至點，使，連接，．求證：．（2）【問題再探】如圖2，，分別是正方形的邊，上一點，分別過點，作于點，于點，線段，相交于點．連接，，，，若．①求證：．②探究和的面積關系，并說明理由．（3）【問題延伸】如圖3，在正方形中，，分別是射線，上一點，【問題再探】中的其余條件不變，請直接判斷和的面積關系是否仍成立．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②，見解析；（3）成立【分析】（1）【問題初探】根據(jù)正方形的性質直接運用證明全等即可；（2）【問題再探】①根據(jù)第一小問的思路，延長至點，使，連接，證得，得到，，再結合正方形的性質以及已知條件證得，即可得到，從而證得結論；②通過設，，，，根據(jù)正方形的基本性質建立方程求出其基本關系，然后分別表示和的面積，從而求出數(shù)量關系即可；（3）【問題延伸】仿照第二問的求解過程，先證得全等三角形，并結合全等三角形的性質設未知數(shù)，然后列方程求解即可．【詳解】解：（1）【問題初探】∵四邊形為正方形，∴，，∴．在和中，∵∴．（2）【問題再探】①如答圖，延長至點，使，連接．由（1），得，∴，．∵在正方形中，，，∴，∴．在和中，∵∴，∴．又∵，∴．②，理由如下：設，，，．則由①，得，兩邊平方，得由②，得聯(lián)立③④，得．又∵，，∴；（3）【問題延伸】仍成立，理由如下：如圖，延長至點，使，連接，同（2）可證，以及，∴，設，，，，∴，則，由①，得，兩邊平方，得由②，得聯(lián)立③④，得．又∵，，∴；【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，勾股定理，以及正方形的基本性質等，掌握“半角”模型并熟練運用其證得基本的全等三角形，靈活運用勾股定理進行計算證明是解題關鍵．10．（2023·浙江杭州·杭州育才中學校考一模）如圖，在矩形中，對角線和交與點O，點M在邊上，交對角線與點E，．(1)求證：；(2)設；①若，，求的值；②若，求的值．【答案】(1)見解析(2)①，②【分析】（1）利用矩形對角線相等可得，利用可得，即可證明；（2）①由即可求出；②由可得，得到，再證明，得到，即可得到，最后根據(jù)求解即可．【詳解】（1）∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①∵，∴，∵，∴，∴，即，解得；②連接，∵，∴，∴，∴，∵∴，∴∴，∴，∴，，∵，∴，【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例等知識，根據(jù)平行線得到是解題的關鍵．11．（2023·浙江寧波·?？家荒＃?）特殊發(fā)現(xiàn)如圖1，正方形與正方形的頂點重合，、分別在、邊上，連接，則有：①

；

②直線與直線所夾的銳角等于度；（2）理解運用將圖1中的正方形繞點逆時針旋轉，連接、，①

如圖2，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若、、三點在同一直線上，且過邊的中點，，直接寫出的長；（3）拓展延伸如圖4，點是正方形的邊上一動點（不與、重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點，連接，若，則的值是否是定值？請說明理由．【答案】（1）①；②；（2）①（1）中的結論仍然成立，理由見解析；②；（3）的值是定值，定值為，理由見解析【分析】（1）①連接，利用正方形的性質和等腰直角三角形的性質即可得到；②連接利用等腰直角三角形的性質解答即可；（2）①連接，利用正方形的性質，等腰直角三角形的性質和相似三角形的判定與性質解答即可；②連接，利用正方形的性質，全等三角形的判定與性質即勾股定理即可得到；（3）過點作于點，連接，，，與交于點，利用折疊的性質，正方形的性質，等腰三角形的三線合一性，等腰直角三角形的性質和相似三角形的判定與性質解答即可．【詳解】解：①連接，如圖，∵四邊形和四邊形和四邊形是正方形，∴，∴三點在一條直線上，∵，，∴和為等腰直角三角形，∴，，∴，∴；②∵三點在一條直線上，，∴直線和直線所夾的銳角等于，故答案為：；（2）①（1）中的結論仍然成立，理由如下：連接，，如圖，∵四邊形和四邊形為正方形，∴，，∴和為等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴；延長，交于點，交于點，∵，∴，∵，∴，∴，即直線與直線所夾的銳角等于，∴（1）中的結論仍然成立；②如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵邊的中點為，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，∴；故答案為：．（3）的值是定值，定值為3，理由如下：過點作于點，連接，，，與交于點，如圖，∵四邊形為正方形，∴，由折疊的性質可得：，，，．∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，，∴．由（2）①的結論可得：，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的值是定值，定值為．【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，折疊的性質，三角形的內角和定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵．12．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）如圖1，在矩形中，，，動點P從點C出發(fā)，以1個單位每秒速度，沿線段運動，同時，動點Q從點B出C發(fā)，以2個單位每秒速度，沿射線運動，當點P到達點D時，點P，Q同時停止運動，設運動時間為t秒．(1)請用含t的代數(shù)式表示線段的長．(2)如圖2，與交于點M，當時，求與的面積之比．(3)在點P，Q的整個運動過程中，直線上是否存在點E，使以為直角邊的，與以點P，Q，C三點為頂點的三角形相似？若不存在，說明理由；若存在，求t的值．【答案】(1)或；(2)(3)或或．【分析】（1）分兩種情況：當在上時，，當在的延長線上時，；（2）如圖，過作于，過作于，證明，，，可得，則，同理可得：，由，可得，解得：，可得，，再利用面積公式計算即可；（3）由以為直角邊的，與以點P，Q，C三點為頂點的三角形相似，分根據(jù)分兩種情況：當在上，當在的延長線上，再畫出圖形求解即可．【詳解】（1）解：當在上時，，當在的延長線上時，；（2）如圖，過作于，過作于，∵矩形中，，，∴，，，∴，則，同理可得：，∵，∴，解得：，∴，，∴與的面積之比為：；（3）∵以為直角邊的，與以點P，Q，C三點為頂點的三角形相似，∴，∴當，則，∴，此時四邊形為矩形，∴，∴，當時，，此時，∴，，此時，∵，∴，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗符合題意；如圖，當時，∴∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得：；而，經(jīng)檢驗不符合題意；舍去；當，重合，，重合，滿足，此時此時，綜上：或或．【點睛】本題考查的是矩形的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)的應用，清晰的分類討論是解本題的關鍵．13．（2023·浙江溫州·模擬預測）閱讀材料：如圖，在中，，分別是邊，的中點，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長到點，使，連接，證明，再證四邊形是平行四邊形即得證．(1)類比遷移：如圖，是的中線，交于點，交于點，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖，延長至點，使，連接，…請根據(jù)小明的思路完成證明過程．(2)方法運用：如圖，在等邊中，是射線上一動點（點在點的右側），連接．把線段繞點逆時針旋轉得到線段．是線段的中點，連接，．①請你判斷線段與的數(shù)量關系，并給出證明；②若，，請直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)①，見解析；②2或4【分析】（1）延長至，使，連接，證明（），由全等三角形的性質可得出，，則可得出結論；（2）①延長至點，使，連接、，先證（），得，，則，再證（），得，，然后證是等邊三角形，即可得出結論；②分兩種情況，當為的中位線時，，可求出答案；當不是的中位線時，連接，取的中點，連接，過點作，過點作于點，過點作于點，證明（），得出，則可得出答案．【詳解】（1）證明：延長至，使，連接，在和中，，∴（），∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①解：線段與的數(shù)量關系為：，證明如下：延長至點，使，連接、，如圖所示：∵點為的中點，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∵線段繞點逆時針旋轉得到線段，∴，，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∴是等邊三角形，∴；②解：的長為或．當為的中位線時，，∴為的中點，∴，∴，如圖，當不是的中位線時，連接，取的中點，連接，過點作，過點作于點，過點作于點，∵為等腰三角形，，∴，∴，，∵，∴，∵為的中點，為的中點，∴是的中位線，∴，，∴，∴，，∴，，∵，∴（），∴，∴，即，∴，即，綜上所述，的長為或．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、三角形中位線定理的證明、旋轉的性質、含角的直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．14．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【基礎鞏固】（1）如圖1，于點B，于點C，交于點，求證∶．【嘗試應用】（2）如圖2，在矩形中，是上的一點，作交于點，，若，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，菱形的邊長為為上的一點，作交于點，交于點，且，求的長．【答案】（1）見解析（2）（3）【分析】（1）證明即可得出結論；（2）先證明，得，再設，則，，即，解之即可求出x值，再把x值代入比例式中即可求解；（3）連接交于M，交于O，根據(jù)菱形性質和解直角，求得，，再證明，得，從而得，繼而求得，然后證明，得到，則，即可求得，，從而求得，則可求得，，，證明得，即，則，最后由求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（2）∵矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設，則，，∴，解得：，（不符合題意，舍去），∴；（3）連接交于M，交于O，∵菱形，∴，∴，∴，設，，由勾股定理，得，解得：，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵菱形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，即，∴，∴，，∵菱形，∴，∴，∴，即，∴，∴．【點睛】本題考查矩形的性質，菱形的性質，相似三角形的判定與性質，解直角三角形，勾股定理等知識，屬四邊形綜合題目，難度較大，為中考壓軸題目．15．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，對角線，相交于點O，E為的中點，將繞點D順時針旋轉α（）得到.(1)求的面積.(2)旋轉過程中，是否存在α使得與的面積相等？若存在，求出α的值，若不存在，請說明理由.(3)旋轉過程中，當所在直線經(jīng)過點B時，求的長.【答案】(1)4(2)存在，或(3)或【分析】（1）由題意易得，，，然后問題可求解；（2）由題意可分當在上方時和當在下方時，然后分類求解即可；（3）由題意可分當射線經(jīng)過點B時和如圖3，當射線經(jīng)過點B時，然后根據(jù)相似三角形的性質與判定及勾股定理可進行求解．【詳解】（1）解：在矩形中，，∵E為的中點，∴，，，∴；（2）解：存在，理由如下：當時，則有，①如圖1，當在上方時，

∵，，∴即；②如圖2，當在下方時，此時，點與點C重合，∴；綜上所述，α的值為或；（3）解：①如圖2，當射線經(jīng)過點B時，∵，，∴，又∵，，∴；②如圖3，當射線經(jīng)過點B時，記與的交點為F，作于點G.∵，在和中，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴∴，設，則，可列方程，解得，∴，∵，∴，由得，∴；綜上所述，的長為或．【點睛】本題主要考查矩形的性質、勾股定理旋轉的性質及相似三角形的性質與判定，熟練掌握矩形的性質、勾股定理旋轉的性質及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．16．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形，E為對角線上一點．[建立模型]（1）如圖1，連結．求證：．[模型應用]（2）如圖2，F(xiàn)是DE延長線上一點，，交于點G．①判斷的形狀，并說明理由．②若G為的中點，且，求的長．[模型遷移]（3）F是延長線上一點，，交射線于點G，且，．求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）①等腰三角形，理由見解析；②；（3）【分析】（1）證明，進而結論得證；（2）①由，可得，則，由，可得，即，進而可判斷的形狀；②如圖2，過作于，過作的延長線于，，，，，由，可得，求的值，在中，由勾股定理得，求解即可；（3）解：如圖3，連接交于，過作于，由題意，設，則，在中，由勾股定理得，則，由菱形的性質得，，，由，，可得，即，設，則，在中，由勾股定理得，即，解得，則，由，求解得的值，由求的值，根據(jù)求的值，進而可得的值．【詳解】（1）證明：由菱形的性質可知，，，在和中，∵，∴，∴；（2）①∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．②如圖2，過作于，過作的延長線于，由題意知，，，∴，，，∴，∵是等腰三角形，∴，∴，∵，∴，解得，在中，由勾股定理得，∴的長為；（3）解：如圖3，連接交于，過作于，由題意，設，則，在中，由勾股定理得，∴，由菱形的性質得，，，∵，，∴，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得，即，解得，即，∵，即，解得，∵，

∴，∴，∴，，∴，∴的值為．【點睛】本題考查了菱形的性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，正切，余弦，全等三角形的判定與性質等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．17．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）[證明體驗]如圖1，在中，D為邊上一點，連接，若，求證：．（2）在中，，，D為邊上一動點，連接，E為中點，連接．①[思考探究]如圖2，當時，求的長．②[拓展延伸]如圖3，當時，求的長．【答案】（1）證明見解析，（2）①．②【分析】（1）證明，即可得證；（2）①取中點F，連接，則為的中位線，證明，得到，列式計算即可；②取中點，連接，過點E作，垂足為G，證明，得到，進行計算即可．【詳解】（1）證明∵，∴，∴，∴．（2）①取中點F，連接，∵，∴，，∵E為中點，∴為的中位線，∴，，∴，∵，∴，∴，∴設，則，∴解得，（舍去），∴．②取中點，連接，過點E作，垂足為G，設，∵為的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，又∵，．∴，解得，（舍去）．∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，三角形的中位線定理，勾股定理，解一元二次方程．解題的關鍵是添加輔助線，構造三角形的中位線，證明三角形相似．18．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，是銳角中邊上的高，將沿所在的直線翻折得到，將沿所在的直線翻折得到，延長相交于點P．(1)如圖1，若，求證：四邊形為正方形；(2)如圖2，若，當是等腰三角形時，求的度數(shù)；(3)如圖3，連結，分別交于點G、H，連結交于點M，若，①求_________度；②若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)或(3)①；②【分析】(1)根據(jù)折疊的性質知而，由此可證得四邊形是矩形；而，所以四邊形是正方形；(2)利用翻折先求出，再對等腰三角形進行分類討論即可求得答案；(3)①利用利用等腰三角形求出，然后即可得解；②利用相似三角形的判定和性質證明求出，然后利用面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵，且和分別是由和翻折得到∴，∴四邊形為矩形又∵，∴四邊形為正方形．（2）設，則，∴，而∵是等腰三角形∴當時，∴當時，∴當時，∴∴為或（3）①由(1)知∴∴故答案為：；②∵，∴∴又∵，∴∴∴∴，∵，∴，∴即，∴∴【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了翻折變換，相似三角形的判定和性質，等腰三角形性質等知識，正確尋找相似三角形，對等腰三角形進行正確的分類討論是解題關鍵，屬于中考常考題型．19．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A的坐標為，直線經(jīng)過點、．將四邊形繞點O按順時針方向旋轉α度得到四邊形，此時直線、直線分別與直線相交于點P、Q．(1)四邊形的形狀是，當時，的值是；(2)①如圖2，當四邊形的頂點落在y軸正半軸上時，求的值；②如圖3，當四邊形的頂點落在直線上時，求的面積；(3)在四邊形旋轉過程中，當時，是否存在這樣的點P和點Q，使得，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)矩形，(2)①；②(3)存在點P1（﹣9﹣，6），P2（，6），使BP＝BQ．【分析】（1）根據(jù)“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”即可得出四邊形是矩形．當時，可知，（2）①利用相似三角形的性質，求得的比，求得；求得進而得出答案；②根據(jù)勾股定理求得的長，再根據(jù)三角形的面積公式進行計算．（3）構造全等三角形和直角三角形，運用勾股定理求得的長，進一步求得坐標．【詳解】（1）解：∵O為坐標原點，點，直線經(jīng)過點、，∴，，所以四邊形是矩形；當時，P與C重合，如圖所示：根據(jù)題意．故答案為：矩形；；（2）解：①圖2中，∵，，∴．∴，即，∴，．同理，∴，即，∴，．∴，②圖3，在和中，，∴．∴．設，在中，，解得．∴．（3）解：存在這樣的點P和點Q，使．點P的坐標是，．過點Q作于H，連接，則，∵，，∴．設，∵，∴，如圖4，當點P在點B左側時，，在中，，解得，（不符實際，舍去）．∴，∴．如圖5，當點P在點B右側時，∴，．在中，，解得．∴，∴，綜上可知，存在點P，使，點P的坐標是，．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，也考查了等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判斷與性質．20．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【基礎鞏固】(1)如圖1，四邊形中，平分，．求證：；【遷移運用】(2)如圖2，在（1）的條件下，取的中點E，連接交于點F，若，，求的長；【解決問題】(3)如圖3，四邊形中，，，在上取點E，使得，恰有．若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）證明，得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質得出，，根據(jù)平行線的判定得出，證明，得出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出；（3）連接，，證明，得出，證明，設，根據(jù)勾股定理得出，列出方程，求出x的值，再根據(jù)四邊形面積等于兩個三角形面積和求出結果即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．（2）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵E是的中點，∴，∵，∴．（3）解：如圖，連接，，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，設，根據(jù)勾股定理得：，∴，解得（負值舍去），∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，四邊形內角和，勾股定理，等腰三角形的性質，三角形相似的判定和性質，平行線的判定，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．21．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）正方形的邊長為8，點E是其邊上的一點，以為對角線作矩形（點A、H、E、G按順時針排列），且．(1)如圖1，若與交于點M，當時，求證：平分；(2)當點G落在正方形的邊上時，求的長；(3)當點E在上運動時，連接，求的最大值．【答案】(1)見解析(2)或(3)的最大值為【分析】（1）證明，得出，根據(jù)四邊形為矩形，得出，證明，得出，即可證明結論；（2）分兩種情況討論：當點E在上，在上時，當點在上，點G與點D重合時，分別畫出圖形，求出的長即可；（3）過點G作于M，延長交于點N，設，，則，根據(jù)，得出，求出，證明，得出，根據(jù)，求出，根據(jù)勾股定理得出求出，得出，求出最大值即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，，，∴，即，∵，，，∴，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：當點E在上，在上時，如圖所示：∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴，∴，∴，即,∴，∴，∴，∴，∴，∴；當點在上，點G與點D重合時，如圖所示：∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，∴，∴；綜上分析可知，或．（3）解：過點G作于M，延長交于點N，如圖所示：則，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，，，設，，則，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，∴，∵，∴當時，取最大值，且最大值為．【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質，正方形的性質，解直角三角形，三角形相似的判定和性質，求二次函數(shù)的最大值，勾股定理，解題的關鍵是理解題意，畫出相應的圖形，用函數(shù)知識解決幾何問題．22．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，，．點D是直線上一動點．過點D作，滿足點E在上方，，以、為鄰邊作．(1)求的長以及點C到的距離；(2)設線段與邊交于點M，線段與邊交于點N．當時，求的長；(3)連接，沿直線分割，當分割的兩部分可以拼成一個不重疊無縫隙的三角形時，求的長．【答案】(1)；點C到的距離為(2)(3)的長為【分析】（1）運用勾股定理得，運用三角形面積的不變性，計算點C到的距離．（2）過點N作于點G，交于點H，根據(jù)平行四邊形的性質，結合已知得到時，運用等角的三角函數(shù)值相等，確定，設，則，于是．根據(jù)建立等式計算即可．（3）分與相交和兩種情況，運用勾股定理，三角函數(shù)，三角全等計算即可．【詳解】（1）∵，，∴．設點C到的距離為h，根據(jù)題意，得，∴，解得，故點C到的距離為．（2）過點N作于點G，交于點H，∵，，，，∴，∴．∵，，∴，∴，，∴，∴，，，∴．∵，，∴，∵，設，則，∴．∵四邊形是矩形，∴．∵，∴，解得．∴．（3）當與底邊的高重合時，∵，，∴，，∴，∴，故只需將繞點D順時針旋轉就拼成一個不重疊無縫隙的三角形，∵，，∴，∴．∵，∴．設，則，∴，解得，故；當經(jīng)過的中點M時，延長交于點N，∵，，∴，，∴，∴，∴，故只需將繞點M逆時針旋轉就拼成一個不重疊無縫隙的三角形，過點C作于點G，∵，，∴，∴．∴，解得．∵，∴．設，則，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，解得，故；當與重合時，延長二線交于點M，∵，，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，故只需將繞點N逆時針旋轉就拼成一個不重疊無縫隙的三角形，

故；當，且當經(jīng)過的中點M時，延長交于點N，∵，，∴，，∴，，∴，，∴，故只需將繞點M逆時針旋轉就拼成一個不重疊無縫隙的三角形，過點C作于點G，∵，，∴，∴．∴，解得．∵，∴．∴，∴，解得；綜上所述，的長或或或．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形全等的判定和性質，平行四邊形的性質，直角三角形的性質，銳角三角函數(shù)，旋轉和中心對稱，熟練掌握三角函數(shù)，勾股定理，三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．23．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖1，在矩形中，，．，分別是，上的動點，且滿足，是射線上一點，，設，．(1)求y關于x的函數(shù)表達式．(2)當中有一條