2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十：尺規(guī)作圖(原卷版+解析)

2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十：尺規(guī)作圖典例分析例1（2022福建中考）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求的值．專題過關(guān)1.（2022貴港中考）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作，使．

2.（2022重慶中考A卷）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明遇到了一個(gè)問題：在矩形中，是邊上的一點(diǎn)，試說明的面積與矩形的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過點(diǎn)作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為（只保留作圖?跡）．在和中，∵，∴．又，∴__________________①∵，∴__________________②又__________________③∴．同理可得__________________④∴．3．（2022廣州中考）（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)O作AC的垂線，交劣弧于點(diǎn)D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，求點(diǎn)O到AC的距離及sin∠ACD的值．4.（2022沈陽中考）如圖，在中，AD是的角平分線，分別以點(diǎn)A，D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN，分別交AB，AD，AC于點(diǎn)E，O，F(xiàn)，連接DE，DF．（1）由作圖可知，直線MN是線段AD的______．（2）求證：四邊形AEDF是菱形．5.（2022山西中考）如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線．（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)E，交邊BC于點(diǎn)F（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母），（2）猜想與證明：試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．6.（2022赤峰中考）如圖，已知中，，，．（1）作的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，連接，求的周長．7.（2022無錫中考）如圖，△ABC為銳角三角形．

（1）請?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點(diǎn)D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為．（如需畫草圖，請使用試卷中的圖2）8.（2022河南中考）如圖，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的下方，平分，交軸于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）（3）線段與（2）中所作的垂直平分線相交于點(diǎn)，連接．求證：．9.（2022北部灣中考）如圖，在中，BD是它的一條對角線，（1）求證：；（2）尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）連接BE，若，求的度數(shù)．10.（2022蘭州中考）綜合與實(shí)踐問題情境：我國東周到漢代一些出土實(shí)物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎范、芯組成的（如圖1），它的端面是圓形，如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動(dòng)，直到，在圓上標(biāo)記A，B，C三點(diǎn)；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A，B點(diǎn)上，“矩”的另一條邊與圓的交點(diǎn)標(biāo)記為D點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，連接AD，BC相交于點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，鏈接AD，BC相較于點(diǎn)O，即O為圓心．（1）問題解決：請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點(diǎn)A，B，C在上，，且，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點(diǎn)A，B，C在上，，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）拓展探究：小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點(diǎn)時(shí)存在誤差，用平時(shí)學(xué)的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點(diǎn)A，B，C是上任意三點(diǎn)，請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確定圓心的理由：______________________________．11.（2022黔東南中考）（1）請?jiān)趫D中作出的外接圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與的延長線交于點(diǎn)．①求證：；②若，，求的半徑．12.（2022陜西中考）問題提出（1）如圖1，是等邊的中線，點(diǎn)P在的延長線上，且，則的度數(shù)為__________．問題探究（2）如圖2，在中，．過點(diǎn)A作，且，過點(diǎn)P作直線，分別交于點(diǎn)O、E，求四邊形的面積．問題解決（3）如圖3，現(xiàn)有一塊型板材，為鈍角，．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)型部件，并要求．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點(diǎn)C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，連接；②作的垂直平分線l，與于點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，以長為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)P，連接，得．請問，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？請證明你的結(jié)論．13.（2022永州中考）如圖，是平行四邊形的對角線，平分，交于點(diǎn)．（1）請用尺規(guī)作的角平分線，交于點(diǎn)（要求保留作圖痕跡，不寫作法，在確認(rèn)答案后，請用黑色筆將作圖痕跡再填涂一次）；（2）根據(jù)圖形猜想四邊形為平行四邊形，請將下面的證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∵_(dá)_____（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵平分，平分，∴，∴∴______（______）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形是平行四邊形∴∴四邊形為平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）．14.（2022陜西中考）如圖，已知是的一個(gè)外角．請用尺規(guī)作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）15.（2022綏化中考）已知：．（1）尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出內(nèi)切圓的圓心O；（只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）如果的周長為14，內(nèi)切圓的半徑為1.3，求的面積．16.（2022青島中考）已知：，．求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在內(nèi)部，且．17.（2022臺州中考）如圖，在中，，以為直徑的⊙與交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若⊙與相切，求的度數(shù)；（3）用無刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧的中點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡）18.（2022揚(yáng)州中考）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形；【問題再解】如圖3，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）19.（2022泰州中考）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).

（1）如圖①，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；（2）在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（3）如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.20．（2022常州中考）（10分）現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)O是圓心，直徑AB的長是12cm，C是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合），連接AC、BC．（1）沿AC、BC剪下△ABC，則△ABC是直角三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；（2）分別取半圓弧上的點(diǎn)E、F和直徑AB上的點(diǎn)G、H．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長為6cm的菱形．請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個(gè)符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（3）經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點(diǎn)C，一定存在線段AC上的點(diǎn)M、線段BC上的點(diǎn)N和直徑AB上的點(diǎn)P、Q，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長為4cm的菱形．小明的猜想是否正確？請說明理由．21.（2022武威中考）中國清朝末期的幾何作圖教科書《最新中學(xué)教科書用器畫》由國人自編（圖1），書中記載了大量幾何作圖題，所有內(nèi)容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：原文釋義甲乙丙為定直角．以乙為圓心，以任何半徑作丁戊??；以丁為圓心，以乙丁為半徑畫弧得交點(diǎn)己；再以戊為圓心，仍以原半徑畫弧得交點(diǎn)庚；乙與己及庚相連作線．如圖2，為直角．以點(diǎn)為圓心，以任意長為半徑畫弧，交射線，分別于點(diǎn)，；以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧與交于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，仍以長為半徑畫弧與交于點(diǎn)；作射線，．（1）根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）根據(jù)（1）完成的圖，直接寫出，，的大小關(guān)系．2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十：尺規(guī)作圖典例分析例1（2022福建中考）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求的值．【答案】（1）作圖見解析（2）【解析】【分析】（1）先過點(diǎn)A作BD的垂線，進(jìn)而找出半徑，即可作出圖形；（2）根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進(jìn)而得出四邊形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解，再判定，根據(jù)，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值為．【小問1詳解】解：如圖所示，⊙A即為所求作：【小問2詳解】解：根據(jù)題意，作出圖形如下：設(shè)，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF與⊙A相切于點(diǎn)G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又，∴四邊形AEFG是正方形，∴，在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，∴，在Rt△ABE中，，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，AB＝CD，∴，又，∴，∴，∴，在Rt△ADE中，，即，∴，即，∵，∴，即tan∠ADB的值為．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線段長建立方程是解決問題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1.（2022貴港中考）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作，使．

【答案】見解析【解析】【分析】作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；過點(diǎn)A作l的垂線；在l上截?。蛔?；即可得到．【詳解】解：如圖所示：為所求．

注：（1）作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；（2）過點(diǎn)A作l的垂線；（3）在l上截??；（4）作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型.2.（2022重慶中考A卷）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明遇到了一個(gè)問題：在矩形中，是邊上的一點(diǎn)，試說明的面積與矩形的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過點(diǎn)作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為（只保留作圖?跡）．在和中，∵，∴．又，∴__________________①∵，∴__________________②又__________________③∴．同理可得__________________④∴．【答案】、、、【解析】【分析】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，分別利用AAS證得，，利用全等三角形的面積相等即可求解．【詳解】證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為（只保留作圖?跡）．如圖所示，在和中，∵，∴．又，∴①∵，∴②又③∴．同理可得④∴．故答案為：、、、【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．3．（2022廣州中考）（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)O作AC的垂線，交劣弧于點(diǎn)D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，求點(diǎn)O到AC的距離及sin∠ACD的值．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖，作線段AC的垂直平分線即可；（2）根據(jù)垂徑定理、勾股定理可求出直徑AB＝10，AE＝EC＝3，由三角形中位線定理可求出OE，即點(diǎn)O到AC的距離，在直角三角形CDE中，求出DE，由勾股定理求出CD，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出答案．【解答】解：（1）分別以A、C為圓心，大于AC為半徑畫弧，在AC的兩側(cè)分別相交于P、Q兩點(diǎn)，畫直線PQ交劣弧于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，即作線段AC的垂直平分線即可；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．∴AB＝＝10，∵OD⊥AC，∴AE＝CE，又∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位線，∴OE＝BC＝4，即點(diǎn)O到AC的距離為4，∵DE＝OD﹣CE＝5﹣4＝1，CE＝AC＝3，∴CD＝＝＝，∴sin∠ACD＝＝＝．【點(diǎn)評】本題考查尺規(guī)作圖，直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形中位線定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形的中位線定理是解決問題的前提．4.（2022沈陽中考）如圖，在中，AD是的角平分線，分別以點(diǎn)A，D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN，分別交AB，AD，AC于點(diǎn)E，O，F(xiàn)，連接DE，DF．（1）由作圖可知，直線MN是線段AD的______．（2）求證：四邊形AEDF是菱形．【答案】（1）垂直平分線（2）見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖可直接得出答案；（2）由題意易得，然后可證，則有OF=OE，進(jìn)而問題可求證．【小問1詳解】解：由題意得：直線MN是線段AD的垂直平分線；故答案為：垂直平分線；【小問2詳解】證明：∵直線MN是線段AD的垂直平分線，∴，∵AD是的角平分線，∴，∵AO=AO，∴（ASA），∴OF=OE，∵AO=DO，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵，∴四邊形AEDF菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)與判定及菱形的判定，熟練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)與判定及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．5.（2022山西中考）如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線．（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)E，交邊BC于點(diǎn)F（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母），（2）猜想與證明：試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）作圖見解析（2），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的尺規(guī)作圖的畫法，分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)作直線即可得到線段AC的垂直平分線．（2）利用矩形及垂直平分線的性質(zhì)，可以證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：如圖，【小問2詳解】解：．證明如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴．∴．∵EF為AC的垂直平分線，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線尺規(guī)作圖的畫法、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．6.（2022赤峰中考）如圖，已知中，，，．（1）作的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，連接，求的周長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用基本作圖，作BC的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、；（2）根據(jù)平行線分線段成比例計(jì)算即可．【小問1詳解】如圖所示，點(diǎn)D、H即為所求

【小問2詳解】在（1）的條件下，,∵，∴DH∥AC，∴∴，解得∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖中的作垂直平分線、平行線分段成比例、垂直平分線的性質(zhì)，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．7.（2022無錫中考）如圖，△ABC為銳角三角形．

（1）請?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點(diǎn)D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為．（如需畫草圖，請使用試卷中的圖2）【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線的性質(zhì)作，即可找出點(diǎn)D；（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出AE、BE、CE、AD的長，求出梯形的面積即可．【小問1詳解】解：如圖，

∴點(diǎn)D為所求點(diǎn)．【小問2詳解】解：過點(diǎn)A作AE垂直于BC，垂足為E，

∵，，∴，∵，∴，，∴，∵∠DAC＝∠ACB，∴，四邊形ABCD是梯形，∴，∴四邊形AECD是矩形，∴，∴四邊形ABCD的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求線段的長，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．8.（2022河南中考）如圖，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的下方，平分，交軸于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）（3）線段與（2）中所作的垂直平分線相交于點(diǎn)，連接．求證：．【答案】（1）（2）圖見解析部分（3）證明見解析【解析】【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可得出答案；（2）利用基本作圖作線段的垂直平分線即可；（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義可得到，然后利用平行線的判定即可得證.【小問1詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：；【小問2詳解】如圖，直線即為所作；【小問3詳解】證明：如圖，∵直線是線段的垂直平分線，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—基本作圖，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義等知識．解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．9.（2022北部灣中考）如圖，在中，BD是它的一條對角線，（1）求證：；（2）尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）連接BE，若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）50°【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，可利用“SSS”證明三角形全等；（2）根據(jù)垂直平分線的作法即可解答；（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】四邊形ABCD平行四邊形，，，【小問2詳解】如圖，EF即為所求；【小問3詳解】BD的垂直平分線為EF，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10.（2022蘭州中考）綜合與實(shí)踐問題情境：我國東周到漢代一些出土實(shí)物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎范、芯組成的（如圖1），它的端面是圓形，如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動(dòng)，直到，在圓上標(biāo)記A，B，C三點(diǎn)；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A，B點(diǎn)上，“矩”的另一條邊與圓的交點(diǎn)標(biāo)記為D點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，連接AD，BC相交于點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，鏈接AD，BC相較于點(diǎn)O，即O為圓心．（1）問題解決：請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點(diǎn)A，B，C在上，，且，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點(diǎn)A，B，C在上，，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）拓展探究：小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點(diǎn)時(shí)存在誤差，用平時(shí)學(xué)的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點(diǎn)A，B，C是上任意三點(diǎn)，請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確定圓心的理由：______________________________．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，即可；（2）作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，即可；（3）作AB的垂直平分線DE，作AC的垂直平分線MN，DE交MN于O，即可，則垂徑定理得出確定圓心的理由即可．【小問1詳解】解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心．作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，∵∠CAB=∠ABC=90°，∴BC、AD是圓的直徑，∴點(diǎn)O是圓的圓心．小問2詳解】解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心．作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，∵∠CAB=∠ABC=90°，∴BC、AD是圓的直徑，∴點(diǎn)O是圓的圓心．【小問3詳解】解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心．作AB的垂直平分線DE，作AC的垂直平分線MN，DE交MN于O，∵DE垂直平分AB，∴DE經(jīng)過圓心，即圓心必在直線DE上，∵M(jìn)N垂直平分AC，∴MN經(jīng)過圓心，即圓心必在直線MN上，∴DE與MN的交點(diǎn)O是圓心．確定圓心的理由：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理的推論，垂徑定理的推論，尺規(guī)作線段垂直平分線，熟練掌握直角的圓周角所對的弦是直徑是解題的關(guān)鍵．11.（2022黔東南中考）（1）請?jiān)趫D中作出的外接圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與的延長線交于點(diǎn)．①求證：；②若，，求的半徑．【答案】（1）見詳解（2）①見詳解②5【解析】【分析】（1）做AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，以O(shè)B為半徑，以O(shè)為圓心做圓即可得到的外接圓；（2）①證明即可證明，從而證得；②證明，根據(jù)得正切求得EC，再根據(jù)勾股定理求得AE．【詳解】（1）如下圖所示∵的外接圓的圓心為任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)，半徑為交點(diǎn)到任意頂點(diǎn)的距離，∴做AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，以O(shè)B為半徑，以O(shè)為圓心做圓即可得到的外接圓；（2）①如下圖所示，連接OC、OB∵BD是的切線∴∵是對應(yīng)的圓周角，是對應(yīng)的圓心角∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)∴∴∴∴∴②如下圖所示，連接CE∵與是對應(yīng)的圓周角∴∵是的直徑∴∴∴∵∴∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本體考查圓、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓和直角三角形的相關(guān)知識．12.（2022陜西中考）問題提出（1）如圖1，是等邊的中線，點(diǎn)P在的延長線上，且，則的度數(shù)為__________．問題探究（2）如圖2，在中，．過點(diǎn)A作，且，過點(diǎn)P作直線，分別交于點(diǎn)O、E，求四邊形的面積．問題解決（3）如圖3，現(xiàn)有一塊型板材，為鈍角，．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)型部件，并要求．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點(diǎn)C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，連接；②作的垂直平分線l，與于點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，以長為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)P，連接，得．請問，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？請證明你的結(jié)論．【答案】（1）（2）（3）符合要求，理由見解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和，先求出即可；（2）連接．先證明出四邊形是菱形．利用菱形的性質(zhì)得出，由，得出．根據(jù)，得，，即可求出，再求出，利用即可求解；（3）由作法，知，根據(jù)，得出．以為邊，作正方形，連接．得出．根據(jù)l是的垂直平分線，證明出為等邊三角形，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：，，，，解得：，，，故答案為：；【小問2詳解】解：如圖1，連接．圖1∵，∴四邊形是菱形．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．【小問3詳解】解：符合要求．由作法，知．∵，∴．如圖2，以為邊，作正方形，連接．圖2∴．∵l是的垂直平分線，∴l(xiāng)是的垂直平分線．∴．∴為等邊三角形．∴，∴，∴．∴裁得型部件符合要求．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、菱形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、正方形、垂直平分線，解題的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用以上知識點(diǎn)進(jìn)行求解，涉及知識點(diǎn)較多，題目較難．13.（2022永州中考）如圖，是平行四邊形的對角線，平分，交于點(diǎn)．（1）請用尺規(guī)作的角平分線，交于點(diǎn)（要求保留作圖痕跡，不寫作法，在確認(rèn)答案后，請用黑色筆將作圖痕跡再填涂一次）；（2）根據(jù)圖形猜想四邊形為平行四邊形，請將下面的證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∵_(dá)_____（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵平分，平分，∴，∴∴______（______）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形是平行四邊形∴∴四邊形為平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）．【答案】（1）詳見解析（2）∠DBC；BF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

【解析】【分析】（1）根據(jù)作角平分線的步驟作平分即可；（2）結(jié)合圖形和已有步驟合理填寫即可；【小問1詳解】解：如圖，根據(jù)角平分線的作圖步驟，得到DE，即為所求；【小問2詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∵．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.又∵平分，平分，∴，∴．∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形是平行四邊形．∴，∴四邊形為平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．14.（2022陜西中考）如圖，已知是的一個(gè)外角．請用尺規(guī)作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【解析】【分析】作的角平分線即可．【詳解】解：如圖，射線即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．15.（2022綏化中考）已知：．（1）尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出內(nèi)切圓的圓心O；（只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）如果的周長為14，內(nèi)切圓的半徑為1.3，求的面積．【答案】（1）作圖見詳解（2）9.1【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知角平分線的交點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，故只要作出兩個(gè)角的角平分線即可；（2）利用割補(bǔ)法，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，這樣將△ABC分成三個(gè)小三角形，這三個(gè)小三角形分別以△ABC的三邊為底，高為內(nèi)切圓的半徑，利用提取公因式可將周長代入，進(jìn)而求出三角形的面積．【小問1詳解】解：如下圖所示，O為所求作點(diǎn)，【小問2詳解】解：如圖所示，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵內(nèi)切圓的半徑為1.3，∴OD=OF=OE=1.3，∵三角形ABC的周長為14，∴AB+BC+AC=14，則故三角形ABC的面積為9.1．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓，角平分線的性質(zhì)，割補(bǔ)法求幾何圖形的面積，能夠?qū)⒔瞧椒志€的性質(zhì)與三角形的內(nèi)切圓相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．16.（2022青島中考）已知：，．求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在內(nèi)部，且．【答案】見解析【解析】【分析】分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于BC長的一半為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，然后再以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB、BC于點(diǎn)M、N，以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN長一半為半徑畫弧，交于一點(diǎn)Q，連接BQ，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求：【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．17.（2022臺州中考）如圖，在中，，以為直徑的⊙與交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若⊙與相切，求的度數(shù)；（3）用無刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧的中點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】（1）證明見詳解（2）（3）作圖見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的三線合一即可證明；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解；（3）根據(jù)等弧所對的圓周角相等，可知可以作出AD的垂直平分線，的角平分線，的角平分線等方法均可得到結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴．【小問2詳解】∵與相切，∴，又∵，∴．【小問3詳解】如下圖，點(diǎn)就是所要作的的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、切線的性質(zhì)、以及尺規(guī)作圖、等弧所對的圓周角相等，理解圓的相關(guān)知識并掌握基本的尺規(guī)作圖方法是解題的關(guān)鍵．18.（2022揚(yáng)州中考）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形；【問題再解】如圖3，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【答案】見解析【解析】【分析】【初步嘗試】如圖1，作∠AOB的角平分線所在直線即為所求；【問題聯(lián)想】如圖2，先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；【問題再解】如圖3先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點(diǎn)為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形所交的圓弧即為所求．【詳解】【初步嘗試】如圖所示，作∠AOB的角平分線所在直線OP即為所求；【問題聯(lián)想】如圖，先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；【問題再解】如圖，先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點(diǎn)為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形所交的圓弧CD即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，扇形的面積等知識，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，掌握基本作圖方法．19.（2022泰州中考）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).

（1）如圖①，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；（2）在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（3）如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）2（2）圖見詳解（3）直線BC與⊙F相切，理由見詳解【解析】【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解；（2）作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長線于點(diǎn)R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后問題可求解．【小問1詳解】解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；【小問2詳解】解：作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；如圖所示：點(diǎn)F即為所求，