第23章圖形的相似(原卷版+解析)

第23章圖形的相似一、單選題1．下列每組的兩個圖形不是位似圖形的是（）A． B． C． D．2．已知線段a，b，c，其中c是a和b的比例中項，a＝4，b＝9，則c=（）A．4 B．6 C．9 D．363．在比例尺為的交通地圖上，阜寧到鹽城的長度約為11.7cm，則它的實際長度約為（）A．0.585km B．5.85km C．58.5km D．585km4．若兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高線之比為3：1，則對應(yīng)角的平分線之比為（）A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．1：35．兩個三角形的相似比是，那么這兩個三角形的周長比是（）A． B． C． D．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是（）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不對7．如圖，在中，，，，，的平分線相交于點，過點作交于點，則的長為（）

A． B． C． D．8．如圖，在正方形ABCD中，G為CD的中點，連結(jié)AG并延長，交BC邊的延長線于點E，對角線BD交AG于點F，已知FG＝2，則線段AE的長是（）A．8 B．10 C．12 D．169．如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AC＝6，BD＝8，動點P從點B出發(fā)，沿著B→A→D在菱形ABCD的邊AB，AD上運動，運動到點D停止．點P′是點P關(guān)于BD的對稱點，連接PP'交BD于點M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面積為y，下列圖象能正確反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C．D．10．如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD與BE、AE分別交于點P、M．對于下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．線段，點為線段的黃金分割點（），則的長為______．12．如圖所示的兩個五邊形相似，則_____，______，_______，______．13．如圖AB∥CD∥EF，若，，則______．14．如圖，、交于點，，若，，，則__．15．如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，已知∠ADC＝∠ACB，AC＝8，AB＝12，則AD的長為_____．16．如圖，在中，．在其內(nèi)并排放入（不重疊）n個相同的小正方形紙片，使這些紙片的一邊都在上，首尾兩個正方形各有一個頂點D，E分別在上，則小正方形的邊長為____________（用含n的代數(shù)式表示）．17．在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），點P在y軸的正半軸上運動，若以點O、B、P為頂點的三角形與三角形ABC相似，則點P的坐標(biāo)為____．18．如圖，在中，，反比例函數(shù)的圖象與斜邊相交于點，且與邊相交于點．已知，則的面積為_____．

19．如圖，在△ABC中，點A1，B1，C1分別是AC，BC，AB的中點，連接A1C1，A1B1，四邊形A1B1BC1的面積記作S1：點A2，B2，C2分別是A1C，B1C，A1B1的中點，連接A2C2，A2B2，四邊形A2B2B1C2的面積記作S2……，按此規(guī)律進(jìn)行下去，若S△ABC＝a，則S2021＝___．20．如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點E是邊BC的中點，連接AE、DE，分別交BD、AC點P、Q，過點P作PF⊥AE交CB于點F，下列結(jié)論：①∠EAC＝∠EDB；②AP＝2PF；③若S△DQC＝，則AB＝8；④CE?EF＝EQ?DE．其中正確的結(jié)論有__．（填序號即可）三、解答題21．如圖，點在線段上，在的同側(cè)作等腰和等腰，與、分別交于點、．求證：（1）；（2）．22．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點M是邊DC上一動點（點M不與邊DC端點重合），點O在邊AD上，且OA=OM，作MN⊥MO，交BC于點N．設(shè)DM=x，OM=y．（1）求證：△OMD∽△MNC；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)x=2時，求△MNC的周長．23．如圖，已知在△ABC和△DAC中，∠B=∠DAC，∠D=115°，E，F(xiàn)分別為AB和BC上的點，且EF//AC，AE=AD，CF=AC．（1）求的度數(shù)；（2）若，，求的值．24．如圖1，在中，于點D，，點E為邊AD上一點，且，連接BE并延長，交AC于點F．（1）求證：；（2）過點A作交BF的延長線于點G，連接CG，如圖2．若，求證：四邊形ADCG是矩形．25．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，且，連接并延長AF，分別交BE于點G，交BC的延長線于點H．（1）求證：；（2）連接EH，若，求證．26．如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s，連接PQ，設(shè)運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：（1）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；（2）如果BP=PQ，求此時t的值．27．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有點，點，點，將沿x軸向右平移得到，連接，，當(dāng)取得最小值時，求點的坐標(biāo)．28．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線經(jīng)過B，C兩點，點P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，射線OP與線段BC交于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AC，當(dāng)∠OAC＋∠ODC＝180°時，求點P的坐標(biāo)；（3）過點B作BE⊥x軸交射線OP于點E，當(dāng)BDE為等腰三角形時，直接寫出點D的坐標(biāo)．第23章圖形的相似一、單選題1．下列每組的兩個圖形不是位似圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的概念對各選項逐一判斷，即可得出答案．【詳解】解：對應(yīng)頂點的連線相交于一點的兩個相似多邊形叫位似圖形．據(jù)此可得A、B、C三個圖形中的兩個圖形都是位似圖形；而D的對應(yīng)頂點的連線不能相交于一點，故不是位似圖形．故選：D．【點睛】本題考查了位似變換的知識，位似與相似既有聯(lián)系又有區(qū)別，相似僅要求兩個圖形形狀完全相同；而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對應(yīng)點的連線相交于一點．2．已知線段a，b，c，其中c是a和b的比例中項，a＝4，b＝9，則c=（）A．4 B．6 C．9 D．36【答案】B【分析】根據(jù)比例中項的概念，當(dāng)兩個比例內(nèi)項相同時，就叫比例中項，再列出比例式即可得出．【詳解】解：根據(jù)比例中項的概念，得，，又線段不能是負(fù)數(shù)，應(yīng)舍去，取，故選：B．【點睛】考查了比例中項的概念：解題的關(guān)鍵是當(dāng)兩個比例內(nèi)項相同時，就叫比例中項．這里注意線段不能是負(fù)數(shù)．3．在比例尺為的交通地圖上，阜寧到鹽城的長度約為11.7cm，則它的實際長度約為（）A．0.585km B．5.85km C．58.5km D．585km【答案】C【分析】由圖上距離與實際距離的比叫做比例尺建立等量關(guān)系，解這個一元一次方程就可以求出實際距離．【詳解】解：設(shè)這兩城市的實際距離是厘米，由題意得，，解得：，，故選：．【點睛】本題考查比例尺的定義，屬于基礎(chǔ)題型．4．若兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高線之比為3：1，則對應(yīng)角的平分線之比為（）A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．1：3【答案】C【分析】由相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可求得答案．【詳解】解：∵兩個相似三角形對應(yīng)高線之比是3：1，∴兩個相似三角形的相似比是3：1，∴它們對應(yīng)角的平分線之比為3：1．故選：C【點睛】本題主要了考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．5．兩個三角形的相似比是，那么這兩個三角形的周長比是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩個三角形的相似比是，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，即可求得答案．【詳解】解：∵兩個三角形的相似比是，∴這兩個三角形的周長比是：．故答案為：A．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意掌握相似三角形的周長的比等于相似比是關(guān)鍵．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是（）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不對【答案】B【詳解】思路引領(lǐng)：先依據(jù)勾股定理求得AB的長，然后依據(jù)翻折的性質(zhì)可知PF＝FC，故此點P在以F為圓心，以2為半徑的圓上，依據(jù)垂線段最短可知當(dāng)FP⊥AB時，點P到AB的距離最短，然后依據(jù)題意畫出圖形，最后，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．答案詳解：如圖所示：當(dāng)PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，由翻折的性質(zhì)可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂線段最短可知此時FD有最小值．又∵FP為定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故選：B．7．如圖，在中，，，，，的平分線相交于點，過點作交于點，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】延長FE交AB于點D，作EG⊥BC，作EH⊥AC，由可證四邊形BDEG是矩形，由角平分線可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，從而知四邊形BDEG是正方形，再證△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH，CG=CH，設(shè)BD=BG=x，則AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2，AD=4，再證△ADF∽△ABC可得，據(jù)此得出EF=DF-DE．【詳解】解：如圖，延長FE交AB于點D，作EG⊥BC于點G，作EH⊥AC于點H，∵EF//BC，∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四邊形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四邊形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵∴△DAE≌△HAE（AAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE（AAS），∴CG=CH，設(shè)BD=BG=x，則AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，∵，∴AH+CH=AC，即6-x+8-x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF//BC，∴△ADF∽△ABC，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在正方形ABCD中，G為CD的中點，連結(jié)AG并延長，交BC邊的延長線于點E，對角線BD交AG于點F，已知FG＝2，則線段AE的長是（）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出，進(jìn)而可得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∴∴，∴，又∵G為CD的中點∴∴，∴在和中，∴∴∴故答案為C【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長度是解題的關(guān)鍵．9．如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AC＝6，BD＝8，動點P從點B出發(fā)，沿著B→A→D在菱形ABCD的邊AB，AD上運動，運動到點D停止．點P′是點P關(guān)于BD的對稱點，連接PP'交BD于點M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面積為y，下列圖象能正確反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C．D．【答案】D【分析】由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，分兩種情況：①當(dāng)BM≤4時，先證明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△DPP′的面積y是關(guān)于x的二次函數(shù)，即可得出圖象的情形；②當(dāng)BM≥4時，y與x之間的函數(shù)圖象的形狀與①中的相同；即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，①當(dāng)BM≤4時，∵點P′與點P關(guān)于BD對稱，∴P′P⊥BD，∴P′P∥AC，∴△P′BP∽△CBA，∴，即，∴PP′=，∵DM=8-x，∴△DPP′的面積y=PP′?DM=×x（8-x）=-x2+6x；∴y與x之間的函數(shù)圖象是拋物線，開口向下，過（0，0）和（4，12）；②當(dāng)BM≥4時，如圖：同理△P′DP∽△CDA，∴，即，∴PP′=，∴△DPP′的面積y=PP′?DM=×（8-x）2=（8-x）2；∴y與x之間的函數(shù)圖象是拋物線，開口向上，過（4，12）和（8，0）；綜上所述：y與x之間的函數(shù)圖象大致為：故選：D．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算以及二次函數(shù)的運用；熟練掌握菱形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．10．如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD與BE、AE分別交于點P、M．對于下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠ADE=45°，即可證明；②由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三邊份數(shù)關(guān)系可證；③通過等積式倒推可知，證明△PME∽△AMD即可；④2CB2轉(zhuǎn)化為AC2，證明△ACP∽△MCA，問題可證．【詳解】解：∵△ABC和△ADE為等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ADE=45°，∴AC∥DE，故①正確；由已知：AC=AB，AD=AE，∴，∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAE=∠CAD，∴△BAE∽△CAD，故②正確；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA=∠CDA，∵∠PME=∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴，∴MP?MD=MA?ME，故③正確；由③MP?MD=MA?ME，∠PMA=∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD=∠AED=90°，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°，∴△CAP∽△CMA，∴AC2=CP?CM，∵AC=BC，∴2CB2=CP?CM，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判斷．在等積式和比例式的證明中應(yīng)注意應(yīng)用倒推的方法尋找相似三角形進(jìn)行證明，進(jìn)而得到答案．二、填空題11．線段，點為線段的黃金分割點（），則的長為______．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到，把代入計算即可．【詳解】解：線段，點是線段的黃金分割點，，故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．12．如圖所示的兩個五邊形相似，則_____，______，_______，______．【答案】34.546【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，得到比例式，計算即可．【詳解】解：∵兩個五邊形相似，∴，，，，解得，a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6．【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．13．如圖AB∥CD∥EF，若，，則______．【答案】【分析】利用平行線分線段成比例定理得到＝，求出BD即可．【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∵DF＝5，∴BD＝，∴BD＝DF+BD＝5+＝，故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是理解三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．14．如圖，、交于點，，若，，，則__．【答案】2【分析】由AB∥DE，即可證得△ABC∽△ECD，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得CE的長．【詳解】解：，，，，，，，解得：．故答案為：2【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15．如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，已知∠ADC＝∠ACB，AC＝8，AB＝12，則AD的長為_____．【答案】【分析】只要證明△ADC∽△ACB，可得，即，由此即可解決問題．【詳解】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴，∴，∵AC＝8，AB＝12，∴．故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．16．如圖，在中，．在其內(nèi)并排放入（不重疊）n個相同的小正方形紙片，使這些紙片的一邊都在上，首尾兩個正方形各有一個頂點D，E分別在上，則小正方形的邊長為____________（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】作CF⊥AB，交DE于點H，利用面積法求出CF的長，證明△DEC∽△ABC，則CH:CF=DE:AB，進(jìn)而即可求得【詳解】作CF⊥AB，交DE于點H，連接依題意，CF=∵CH⊥DE，CF⊥AB∴CH:CF=DE:AB設(shè)小正方形的邊長為,則∴（-x）：=nx：5解得x=故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．17．在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），點P在y軸的正半軸上運動，若以點O、B、P為頂點的三角形與三角形ABC相似，則點P的坐標(biāo)為____．【答案】（0，）或（0，）．【分析】利用點A、B、C的坐標(biāo)特征得到∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，設(shè)P點坐標(biāo)為（0，t），由∠POB＝∠ACB，推出當(dāng)時，△OPB∽△CBA，即；當(dāng)時，△OPB∽△CAB，即，分別求出t的值，從而得到點P的坐標(biāo).【詳解】∵B（1，0）、A（3，﹣3）、C（3，0），∴∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，設(shè)P點坐標(biāo)為（0，t），∵∠POB＝∠ACB＝90°，∴當(dāng)時，△OPB∽△CBA，即，解得t＝±，此時P點坐標(biāo)為（0，），當(dāng)時，△OPB∽△CAB，即，解得t＝±，此時P點坐標(biāo)為（0，），綜上所述，若以O(shè)、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，則點P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）．故答案為（0，）或（0，）．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)比例線段列出方程是解題的關(guān)鍵.18．如圖，在中，，反比例函數(shù)的圖象與斜邊相交于點，且與邊相交于點．已知，則的面積為_____．

【答案】【分析】過點C作CE⊥OB于點E，設(shè)出C，D的坐標(biāo)，求出△OBD和△OCE的面積，利用平行線的性質(zhì)得出△OEC～△OAB，利用相似三角形的性質(zhì)求出△OAB的面積，用△OAB的面積減去△OBD的面積，結(jié)論可得．【詳解】解：過點C作CE⊥OB于點E，如圖：設(shè)D（a，b），C（m，n），∵C，D在第二象限，∴a＜0，b＞0，m＜0，n＞0．∴OB=﹣a，BD=b，OE=﹣m，CE=n．∵C，D在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，∴ab=mn=﹣2．∴，．∵CE⊥OB，AB⊥OB，∴CE∥AB．∴△OCE～△OAB．∴．∵OC=2AC，∴．∴．∴．∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)的特征，利用點的坐標(biāo)表示相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在△ABC中，點A1，B1，C1分別是AC，BC，AB的中點，連接A1C1，A1B1，四邊形A1B1BC1的面積記作S1：點A2，B2，C2分別是A1C，B1C，A1B1的中點，連接A2C2，A2B2，四邊形A2B2B1C2的面積記作S2……，按此規(guī)律進(jìn)行下去，若S△ABC＝a，則S2021＝___．【答案】【分析】先根據(jù)三角形中位線定理和相似三角形的性質(zhì)得到，從而得到，，進(jìn)而得到，由此求解即可．【詳解】解：∵點A1，B1，C1分別是AC，BC，AB的中點，∴A1C1，A1B1是三角形ABC的中位線，∴A1B1∥AB，，∴，∴，∴同理可得，∴，同理可得，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，正確得出面積的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點E是邊BC的中點，連接AE、DE，分別交BD、AC點P、Q，過點P作PF⊥AE交CB于點F，下列結(jié)論：①∠EAC＝∠EDB；②AP＝2PF；③若S△DQC＝，則AB＝8；④CE?EF＝EQ?DE．其中正確的結(jié)論有__．（填序號即可）【答案】①②④．【分析】由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠AEB=∠DEC=45°，由外角的性質(zhì)可求∠EAC=∠EDB，可判斷①；通過證明△ADP∽△EBP，可得，可判斷②；通過證明△ADQ∽△CEQ，可得=2，可得AQ=2QC，由三角形的面積公式可求AB=4，可判斷③，由“SAS”可證△ABE≌△DCE，可得AE=DE，由相似三角形的性質(zhì)可求PE=EQ，通過證明△PEF∽△CDE，可得，可判斷④，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠BCD=90°，AD∥BC，∴∠OBC=∠OCB，∵BC=2AB，點E是邊BC的中點，∴BE=EC=AB=CD，∴∠AEB=∠DEC=45°，∵∠AEB=∠ACB=∠EAC，∠DEC=∠DBC+∠BDE，∴∠EAC=∠EDB，故①正確；∵PF⊥AE，∴∠PFE=∠PEF=45°，∴PE=PF，∵AD∥BC，∴△ADP∽△EBP，∴，∴AP=2PE=2PF，故②正確；∵AD∥BC，∴△ADQ∽△CEQ，∴=2，∴AQ=2QC，∵S△DQC=，∴S△ADC=16，∴×AD×DC=16，∴DC=4，∴AB=4，故③錯誤，∵AB=BE，DC=CE，∠ABE=∠DCE=90，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴AE=DE，∵△ADP∽△EBP，△ADQ∽△CEQ，∴，，∴，∴，∴PE=EQ，∵∠AEB=∠DEC=45°，∠EPF=∠ECD=90°，∴△PEF∽△CDE，∴，∴CE?EF=EQ?DE．故④正確；故答案為：①②④．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．如圖，點在線段上，在的同側(cè)作等腰和等腰，與、分別交于點、．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由題意可得，，，即可證；（2）由，可得，即可證，進(jìn)而可證．【詳解】證明：（1）等腰和等腰，，，，，，，，，且，∴（2）∵，且∴，【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，熟練運用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵．22．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點M是邊DC上一動點（點M不與邊DC端點重合），點O在邊AD上，且OA=OM，作MN⊥MO，交BC于點N．設(shè)DM=x，OM=y．（1）求證：△OMD∽△MNC；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)x=2時，求△MNC的周長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）16【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出∠DOM=∠CMN，根據(jù)相似三角形的判定方法可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得出（8-y）2+x2=y2，則可得出答案；（3）當(dāng)x=2時，求出y=，由相似三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DMO+∠DOM=90°，又∵∠DMO+∠OMN+∠CMN=180°，∠OMN=90°，∴∠DMO+∠CMN=90°，∴∠DOM=∠CMN，∴△OMD∽△MNC；（2）在Rt△OMD中，DM=x，OM=y，OD=AD-OA=8-OM=8-y，由勾股定理得，（8-y）2+x2=y2，∴y=；（3）當(dāng)x=2時，y=，∵OA=OM，∴△OMD的周長=OD+OA+DM=AD+DM=x+8=2+8=10，OD=8-y=8-=，∵△MNC∽△OMD，∴△MNC的周長：△OMD的周長=MC：OD，即△MNC的周長：10=（8-2）：，∴△MNC的周長=16．【點睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，證明△OMD∽△MNC是解題的關(guān)鍵．23．如圖，已知在△ABC和△DAC中，∠B=∠DAC，∠D=115°，E，F(xiàn)分別為AB和BC上的點，且EF//AC，AE=AD，CF=AC．（1）求的度數(shù)；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例可得，從而得出，可證△ABC∽△DAC，得出答案；（2）由（1）相似可求出AC=6，根據(jù)EF∥AC，可得．【詳解】解：（1）∵EF∥AC，∴，∵AE=AD，CF=AC，∴，∵∠B=∠DAC，∴△ABC∽△DAC，∴∠BAC=∠D=115°；（2）∵△ABC∽△DAC，∴，∴AC2＝BC?CD＝8×=36，∵AC＞0，∴AC=6，∴CF=6，∵EF∥AC，∴．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ABC∽△DAC是解題的關(guān)鍵．24．如圖1，在中，于點D，，點E為邊AD上一點，且，連接BE并延長，交AC于點F．（1）求證：；（2）過點A作交BF的延長線于點G，連接CG，如圖2．若，求證：四邊形ADCG是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）先證，得，又因為，可證；（2）先證，得，又因為，利用邊與邊的關(guān)系，得，又因為，可證得四邊形ADCG是平行四邊形，又因為，四邊形ADCG是矩形．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵，，∴．∴．∵，∴．（2）證明：∵，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴四邊形ADCG是平行四邊形，∵，∴四邊形ADCG是矩形．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等的判定和性質(zhì)、平行四邊形、矩形的判定，能利用相似和全等找到邊與邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，且，連接并延長AF，分別交BE于點G，交BC的延長線于點H．（1）求證：；（2）連接EH，若，求證．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由“”可證，可得，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）過點作于，可證四邊形是矩形，可得，通過證明，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴，，在和中，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）如圖，過點E作于M，∵，，∴，∵，，∴四邊形ABME是矩形，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用相關(guān)圖形的性質(zhì)與判定是解決本題的關(guān)鍵．26．如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s，連接PQ，設(shè)運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：（1）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；（2）如果BP=PQ，求此時t的值．【答案】（1）不存在，見解析；（2）【分析】（1）假設(shè)存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，據(jù)此得出一元二次方程；由于此一元二次方程的判別式小于0，則可以得出結(jié)論：不存在這樣的某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；（2）由相似三角形的性質(zhì)求得PD、QD的長，再在Rt△PQD中，由勾股定理求得PQ的長，依題意列出方程即可求解．【詳解】（1）由題意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，BC=(cm)，如圖所示，過P點作PD⊥AC于點D，∴PD∥BC，∴△APD△ABC，∴，即，解得PD=6?t，∴△AQP的面積S=PD×AQ=6t?t2，假設(shè)存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，則有S△AQP=S△ABC，∵△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，∴S△ABC=AC?BC=24，∴S△AQP=12，而S△AQP=6t?t2，∴6t?t2=12，化簡得：t2-5t+10=0，∵△=（-5）2-4×1×10=-15＜0，∴此方程無解，∴不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；（2）∵，∴△APD△ABC，∴，即，∴．又，，∴．在中，由勾股定理，得，．化簡，得，解得，，∵，不符合題意，舍去，∴．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解一元二次方程以及相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形以及直角三角形，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例以及勾股定理進(jìn)行列式求解．27．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有點，點，點，將沿x軸向右平移得到，連接，，當(dāng)取得最小值時，求點的坐標(biāo)．【答案】【分析】方法1：過點A作軸，并使，由平行的性質(zhì)可以得到，即可利用“SAS”證明得到，則，即可得到當(dāng)點B，，在同一條直線上時，最小，再只需要證明得到，由此求解即可；方法2：將點沿射線AE方向平移AE線段長得點M，則點M的坐標(biāo)為，連接BM，易證四邊形是平行四邊形，則，作點M關(guān)于直線的對稱點，連接，則點坐標(biāo)為，當(dāng)點B，，在同一條直線上時，最小，然后求出直線的解析式即可求解；方法3：設(shè)，則由平移的性質(zhì)可得，點，點，由兩點距離公式可得：，可將看成坐標(biāo)平面中x軸上一動點到定點和的距離之和，由此利用將軍飲馬模型進(jìn)行求解即可得到答案；【詳解】方法1如圖1所示，過點A作軸，并使．由平移的性質(zhì)可得∥，=，∴，∴，又