云南省昭通市市直中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

昭通市市直中學(xué)2024年秋季學(xué)期高二年級第一次月考數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷第1頁至第3頁，第Ⅱ卷第3頁至第6頁．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．在試題卷上作答無效．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．傾斜角為45°的直線方向向量是A．B．1，C．（1，-2）D．（1，1）2．已知集合，，則A．B．C．D．3．已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于A．B．C．1D．24．“”是“，”的A．必要非充分條件B．充分非必要條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件5．經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且傾斜角是直線的傾斜角的兩倍的直線方程為A．B．C．D．6．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A．B．C．D．7．2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實(shí)現(xiàn)時速350km自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小．如果用聲強(qiáng)I（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強(qiáng)級L（單位：dB）與聲強(qiáng)I的函數(shù)關(guān)系式為，其中為基準(zhǔn)聲強(qiáng)級，a為常數(shù)，當(dāng)聲強(qiáng)時，聲強(qiáng)級．下表為不同列車聲源在距離20m處的聲強(qiáng)級：聲源與聲源的距離（單位：m）聲強(qiáng)級范圍內(nèi)燃列車20[50，80]電力列車20[20，50]高速列車20{10}設(shè)在離內(nèi)燃列車、電力列車、高速列車20m處測得的實(shí)際聲強(qiáng)分別為，，，則下列結(jié)論正確的是A．B．C．D．8．已知函數(shù)f（x）的定義域是R，函數(shù)的圖象的對稱中心是（-1，0），若對任意的，且，都有成立，，則不等式的解集為A．（-∞，-1）∪（1，＋∞）B．（-1，1）C．（-∞，-1）∪（0，1）D．（-1，0）∪（1，＋∞）二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法中（其中i為虛數(shù)單位），正確的是A．B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為2C．若復(fù)數(shù)z滿足，則|z|的最大值為2D．若是關(guān)于x的方程的一個根，則10．若直線與圓C：交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A．當(dāng)時，B．的取值范圍為[-1，1]C．D．線段AB中點(diǎn)的軌跡長度為11．如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為4，M是側(cè)面ADD′A′上的一個動點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P在棱CC′上，且，則下列結(jié)論正確的有A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離為B．保持PM與BD′垂直時，點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡長度為C．若保持，則點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡長度為D．平面AD′P截正方體ABCD-A′B′C′D′所得截面為等腰梯形第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．若圓和關(guān)于直線l對稱，則l的方程是________．13．已知圓O的半徑為4，AB是圓O的一條直徑，C，D是圓O上的兩定點(diǎn)，且，點(diǎn)P為線段CD上一動點(diǎn)，則的取值范圍是________．14．類比高中函數(shù)的定義，引入虛數(shù)單位，自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱之為復(fù)變函數(shù)．已知復(fù)變函數(shù)，，．當(dāng)，方程：時，x＝________；當(dāng)時，若，f（x）的最小值為________．（第一空2分，第二空3分）四、解答題（共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．（本小題滿分13分）若圓C經(jīng)過點(diǎn)A（-1，1）和B（1，3），且圓心在x軸上，則：（1）求圓C的方程；（2）直線與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求線段EF的長度．16．（本小題滿分15分）已知函數(shù)，有意義時x的取值范圍為（-1，3），其中m，n為實(shí)數(shù)．（1）求m，n的值；（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f（x）的最大值．17．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱，，E是PC的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面EDB與平面PAD夾角的余弦值．18．（本小題滿分17分）第19屆亞運(yùn)會已于2023年9月23日至10月8日舉辦，該屆亞運(yùn)會共設(shè)40個競賽大項(xiàng)．其中首次增設(shè)了電子競技項(xiàng)目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊(duì)伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率．如圖，假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，淘汰賽制下會將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者組兩個隊(duì)伍對決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組．之前進(jìn)入到敗者組的兩個隊(duì)伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍，雙敗賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其他的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個賽制對強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制，假設(shè)四支隊(duì)伍分別為A、B、C、D，其中A對陣其他三個隊(duì)伍獲勝概率均為p，另外三支隊(duì)伍彼此之間對陣時獲勝概率均為．最初分組時AB同組，CD同組．（1）若，在淘汰賽賽制下，A、C獲得冠軍的概率分別為多少？（2）分別計(jì)算兩種賽制下A獲得冠軍的概率（用p表示）；（3）根據(jù)第2問的結(jié)果簡單分析一下雙敗賽制下對隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強(qiáng)者不公平”？19．（本小題滿分17分）如圖，樹人中學(xué)在即將投入使用的新校門旁修建了一條專門用于跑步的紅色跑道，跑道由三部分組成：第一部分為曲線段ABCQ，該曲線段可近似看作函數(shù)（，，）在區(qū)間[-4，0]上的圖象，圖象的最高點(diǎn)為C（-1，3）；第二部分為線段QD；第三部分可近似看作是以O(shè)為圓心，以2為半徑的扇形DOE，其圓心角為．（1）求曲線段ABCQ的解析式；（2）若新校門位于圖中的B點(diǎn)，其離AE的距離為1.5千米，一學(xué)生準(zhǔn)備從新校門筆直前往位于O點(diǎn)的立德樓，求該學(xué)生走過的路BO的長；（3）若點(diǎn)P在劣弧上（不含端點(diǎn)），點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在線段OE和線段OD上，，且軸．若梯形OMPN區(qū)域?yàn)閷W(xué)生的休息區(qū)域，記，設(shè)學(xué)生的休息區(qū)域OMPN的面積為S，求S的最大值及此時cos2θ的值．昭通市市直中學(xué)2024年秋季學(xué)期高二年級第一次月考數(shù)學(xué)參考答案第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）題號12345678答案DDCACDBD【解析】1．∵傾斜角為45°，∴直線的斜率為1，所以方向向量為（1，1），故選D．2．依題意，所以集合，則，A和B均錯誤；，C錯誤，D正確，故選D．3．∵，，共面，∴可設(shè)，即解得：，故選C．4．因?yàn)?，所以，，，即不能推出，，反之，由，可推出，故“”是“，”的必要不充分條件，故選A．5．由解得即所求方程的直線過點(diǎn)（-1，1），令直線的傾斜角為，則，顯然是銳角，因此所求方程的直線斜率，所以所求的直線方程為，即，故選C．6．，而，且，，所以，故，故選D．7．對于A：因?yàn)槁晱?qiáng)時，聲強(qiáng)級，所以，解得，故A錯誤；對于B：因?yàn)?，所以，即，故B正確；對于C：，所以，即，故C不正確；對于D，，所以，即，故D不正確，故選B．8．因?yàn)槭莊（x）向左平移1個單位長度得到，且函數(shù)的圖象的對稱中心是（-1，0），所以f（x）的圖象的對稱中心是（0，0），故f（x）是R上的奇函數(shù)，所以，對任意的，且，都有成立，所以，令，所以根據(jù)單調(diào)性的定義可得g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，由f（x）是R上的奇函數(shù)可得g（x）是（-∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函數(shù)，所以g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，當(dāng)時，不等式得到，矛盾；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化成，即，所以；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化成，，所以，綜上所述，不等式的解集為（-1，0）∪（1，＋∞），故選D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）題號91011答案BCACBCD【解析】9．A選項(xiàng)，，，，，而，A錯誤；B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故虛部為2，B正確；C選項(xiàng)，若復(fù)數(shù)z滿足，則z的軌跡為復(fù)平面內(nèi)，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓，此圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，最大值為2，即（0，2）到原點(diǎn)距離，故|z|的最大值為2，C正確；D選項(xiàng)，若是關(guān)于x的方程的一個根，為方程另一個根，故，D不正確，故選BC．10．由題意可知：圓C：的圓心為C（1，1），半徑為，且直線過定點(diǎn)O（0，0），如圖1，設(shè)線段AB中點(diǎn)為M．對于選項(xiàng)A：當(dāng)時，則直線為，即，圓心C（1，1）到直線的距離為，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，因?yàn)辄c(diǎn)A，B不重合，所以，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)M滿足，如圖2，設(shè)OC的中點(diǎn)為N，圓C與x，y分別切于點(diǎn)E，F(xiàn)，可知圓N過點(diǎn)E，F(xiàn)，且，可知點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)C為直徑的半圓（除去E，F(xiàn)），所以軌跡長為，故D錯誤，故選AC．11．對于A，將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，連接AP，如圖1，則，故A錯誤；對于B，如圖2，∵，，∴，又，，，∴，，∴，同理可得，，．∴．∴過點(diǎn)P作交CD交于G，過G作交AD交于F，由，可得，，，∴，同理可得，，，則．設(shè)平面PEF交平面ADD′A′于EF，則M的運(yùn)動軌跡為線段EF，由點(diǎn)P在棱CC′上，且，可得，，∴，故B正確；對于C，若，則M在以P為球心，為半徑的球面上，過點(diǎn)P作，則，此時．∴點(diǎn)M在以Q為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為．點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡長度，故C正確；對于D，如圖3，延長DC，D′P交于點(diǎn)H，連接AH交BC于I，連接PI，∴平面AD′P被正方體ABCD-A′B′C′D′截得的截面為AIPD′．，∴，，∴，∴，∴，且，∴截面AIPD′為梯形，，∴截面AIPD′為等腰梯形，故D正確，故選BCD．第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）題號121314答案[-12，0]；-2【解析】12．的圓心為A（0，0），半徑為1，，圓心為B（-2，2），半徑為1，兩圓的半徑相等，故圓和關(guān)于線段AB的中垂線對稱，設(shè)直線AB：，將B（-2，2）代入，，解得，故線段AB的中垂線的斜率為1，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為D（-1，1），故線段AB的中垂線方程為，即，綜上，l的方程為．13．如圖，O為圓心，連接OP，則．因?yàn)辄c(diǎn)P在線段CD上且，則圓心到直線CD的距離，所以，所以，則，即的取值范圍是[-12，0]．14．（1）由題意得，整理得，．（2）當(dāng)時，，設(shè)，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以f（x）的最小值為-2．四、解答題（共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．（本小題滿分13分）解：（1）因?yàn)锳（-1，1）和B（1，3），線段AB的中點(diǎn)為（0，2），且，則AB的垂直平分線方程為，由圓的性質(zhì)可知，圓心在該直線上，又已知圓心在x軸上，令，得，故圓心為C（2，0），半徑，則圓C的方程為．（2）如圖，由圓心（2，0）到直線的距離，．故線段EF的長度為．16．（本小題滿分15分）解：（1）因?yàn)橛幸饬x時x的取值范圍為（-1，3），所以的解集為（-1，3），所以-1和3是方程的兩根．由韋達(dá)定理可得解得（2）由（1）知，，令，，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，在（-1，1]上單調(diào)遞增，在[1，3）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在（-1，1]上單調(diào)遞增，在[1，3）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，f（x）取得最大值2．17．（本小題滿分15分）（1）證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，所以，，，所以．（2）解：如圖，以向量，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，D（0，0，0），B（1，2，0），E（0，1，1），則，，設(shè)平面EDB的法向量，則令，，，所以平面EDB的法向量，平面PAD的一個法向量為，設(shè)平面EDB和平面PAD的夾角為，則，所以平面EDB和平面PAD的夾角的余弦值為．18．（本小題滿分17分）解：（1）A獲得冠軍：AB組A獲勝，再由A與CD組勝者決賽并勝出，A獲得冠軍的概率為，C獲得冠軍：CD組C獲勝，再由C與AB組勝者決賽并勝出，C獲得冠軍的概率為．（2）淘汰賽賽制下，A獲得冠軍的概率為，“雙敗賽制”賽制下，討論A進(jìn)入勝者組、敗者組兩種情況，當(dāng)A進(jìn)入勝者組，若在勝者組A失敗，后兩局都勝，方可得冠軍；若在勝者組A勝利，后一局（與敗者組