專題14分式的運算-原卷版+解析

專題14分式的運算【思維導(dǎo)圖】◎考點題型1分式的乘法分式的乘法法則:分式乘分式,用分子的積作積的分子,分母的積作積的分母.用式子表示為：.例．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；變式1．（2022秋·天津濱海新·八年級?？计谀?）（2）變式2．（2022秋·北京東城·八年級東直門中學(xué)?？计谥校┯嬎悖鹤兪?．（2022秋·上?！て吣昙壭？计谥校┯嬎?，◎考點題型2分式的除法分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用式子表示為：.例．（2023秋·廣東肇慶·八年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．變式1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）計算：．變式2．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）化簡：．變式3．（2022秋·福建廈門·八年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)(2)◎考點題型3分式的乘方分式的乘方法則：分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示為：例．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．變式1．（2022秋·北京通州·八年級統(tǒng)考期中）計算：．變式2．（2019秋·上?！て吣昙壣虾Ｊ醒影渤跫壷袑W(xué)?？计谀┳兪?．（2019秋·天津和平·八年級統(tǒng)考期末）計算（1）；（2）◎考點題型4分式的乘除乘方混合運算例．（2022秋·湖南岳陽·八年級?？计谥校┯嬎阆铝懈魇剑?1)；(2)變式1．（2023秋·天津·八年級統(tǒng)考期末）計算(1)；(2)先化簡，再求值：，其中．變式2．（2022秋·天津和平·八年級天津一中校考期末）計算：(1)(2)變式3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：．◎考點題型5分式的同分母相加減分式加減法的法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減.用式子表示是：.例．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）化簡：．變式1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：．變式2．（2022秋·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）計算：變式3．（2022秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)(2)◎考點題型6分式的異分母相加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.用式子表示是：.例．（2022秋·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）已知：，計算下列各式（結(jié)果用含x，y的代數(shù)式表示）(1)(2)變式1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）化簡：．變式2．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）化簡：(1)(2)（）變式3．（2022秋·山東淄博·八年級周村二中?？茧A段練習(xí)）計算(1)；(2)．◎考點題型7整式與分式相加減例．（2021春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）計算（1）

（2）變式1．（2021·陜西·九年級專題練習(xí)）計算變式2．（2021秋·河南三門峽·八年級統(tǒng)考期末）計算：（1）（用公式計算）（2）變式3．（2019·重慶九龍坡·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（1）

（2）◎考點題型8分式的加減混合運算例．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）計算(1)；(2)；(3)．變式1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）已知，為實數(shù)，且，，，試確定、的大小關(guān)系．變式2．（2020秋·全國·七年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，將代入求值．變式3．（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谥校┯嬎慊蚧啠?）

（2）◎考點題型9分式加減的實際應(yīng)用例．（2022秋·天津和平·八年級天津市第二南開中學(xué)?？计谀┤鐖D，大正方形的邊長均為，圖（1）中白色小正方形的邊長為，圖（2）中白色長方形的寬為，設(shè)，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式1．（2021春·八年級課時練習(xí)）一項工程，甲單獨做完成，乙單獨做完成，甲?乙兩人一起完成這項工程需要多長時間？變式2．（2021春·八年級課時練習(xí)）臨近春節(jié)，甲廠決定包租一輛車送員工返鄉(xiāng)過年，租金為3000元．出發(fā)時，乙廠有3名同鄉(xiāng)員工也隨車返鄉(xiāng)（車費自付），總?cè)藬?shù)達(dá)到x名．如果包車租金不變，那么甲廠為每位員工平均每人支付車費可比原來少多少元？變式3．（2021春·八年級課時練習(xí)）某蓄水池裝有A，B兩個進(jìn)水管，每小時可分別進(jìn)水，．若單獨開放A進(jìn)水管，可將該水池注滿．如果A，B兩根水管同時開放，那么能提前多長時間將該蓄水池注滿？◎考點題型10分式的加減乘除混合運算例．（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）計算：(1)(2)變式1．（2022春·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）先化簡后再求值：，其中變式2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：(1)；(2)．變式3．（2023秋·山西大同·八年級大同市第二中學(xué)校?？计谀?）計算：；（2）化簡：．◎考點題型11分式的化簡求值例．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┫然?，再求值：．其中．變式1．（2023·湖南婁底·?？家荒＃┫然?，然后從，，，中選一個合適的數(shù)代入求值．變式2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，其中，取一個合適的整數(shù)代入求值．變式3．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，請選擇一個你喜歡的數(shù)值代入求值．專題14分式的運算【思維導(dǎo)圖】◎考點題型1分式的乘法分式的乘法法則:分式乘分式,用分子的積作積的分子,分母的積作積的分母.用式子表示為：.例．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）首先把分子分母分解因式，然后再約分后相乘即可；（2）第一個分式的分母,然后再約分即可；【詳解】（1）原式；（2）原式；【點睛】本題考查了分式的乘法，熟練掌握因式分解方法是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·天津濱海新·八年級?？计谀?）（2）【答案】(1)；(2)【分析】(1)首先分解各因式，再進(jìn)行分式的約分運算，即可求得結(jié)果；(2)首先進(jìn)行通分運算，再進(jìn)行約分運算，即可求得結(jié)果．【詳解】解：(1)(2)【點睛】本題考查了分式的化簡及加法運算，熟練掌握和運用分式化簡及加法運算的方法是解決本題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·北京東城·八年級東直門中學(xué)?？计谥校┯嬎悖骸敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)分式的乘法法則計算即可．【詳解】【點睛】本題考查了分式的乘法，熟練掌握分式乘法的法則是解題關(guān)鍵．變式3．（2022秋·上?！て吣昙壭？计谥校┯嬎?，【答案】【分析】根式分式的乘法運算法則，將分子分母的式子進(jìn)行因式分解，然后約分即可．【詳解】解：．【點睛】題目主要考查分式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．◎考點題型2分式的除法分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用式子表示為：.例．（2023秋·廣東肇慶·八年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】將除法變成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．【詳解】解：當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的除法運算，能正確根據(jù)分式的運算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．變式1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）計算：．【答案】【分析】先算乘方，然后再進(jìn)行分式的除法運算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查分式的除法，熟練掌握分式的除法運算是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）化簡：．【答案】【分析】根據(jù)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，把分子分母因式分解后進(jìn)行約分計算即可；【詳解】解：原式＝【點睛】本題考查了分式的除法運算，掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022秋·福建廈門·八年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分式的乘法進(jìn)行計算即可求解．（2）根據(jù)分式的除法進(jìn)行計算即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題考查了分式的乘法，掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．◎考點題型3分式的乘方分式的乘方法則：分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示為：例．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)分式的乘法進(jìn)行計算即可求解；（2）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，根據(jù)分式的乘法運算進(jìn)行計算即可求解；（3）根據(jù)分式的乘方運算進(jìn)行計算即可求解．【詳解】（1）；（2）；（3）【點睛】本題考查了分式的乘除法以及分式的乘方運算，掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·北京通州·八年級統(tǒng)考期中）計算：．【答案】【分析】先算乘方，再把除法轉(zhuǎn)為乘法，最后約分即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查分式的乘方、除法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．變式2．（2019秋·上?！て吣昙壣虾Ｊ醒影渤跫壷袑W(xué)?？计谀敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)分式的乘除混合運算法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義、分式的乘方法則計算即可．【詳解】原式===．【點睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、分式的乘除法混合運算、分式的乘方．掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．變式3．（2019秋·天津和平·八年級統(tǒng)考期末）計算（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)對式子進(jìn)行計算即可；（2）先將分母因式分解找出公分母，然后通分計算即可.【詳解】（1）==；（2）===.【點睛】本題主要考查了分式之間的化簡運算，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.◎考點題型4分式的乘除乘方混合運算例．（2022秋·湖南岳陽·八年級?？计谥校┯嬎阆铝懈魇剑?1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）分子因式分解，除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，約分化簡即可求解；（2）先乘方，再約分化簡即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查分式的乘除法，掌握分式乘除法的運算法則是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023秋·天津·八年級統(tǒng)考期末）計算(1)；(2)先化簡，再求值：，其中．【答案】(1)(2)；【分析】（1）先算乘方，再根據(jù)分式乘除混合運算法則進(jìn)行計算即可；（2）先根據(jù)分式混合運算法則進(jìn)行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】（1）解：；（2）解：，把代入得：原式．【點睛】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準(zhǔn)確計算．變式2．（2022秋·天津和平·八年級天津一中?？计谀┯嬎悖?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先計算乘方，再計算除法即可；（2）先按分式除法法則計算，再按分式減法法則計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題考查分式混合運算，熟練掌握分式運算法則是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：．【答案】【分析】原式先算乘方，再算乘除即可求出值．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了含乘方的分式乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．◎考點題型5分式的同分母相加減分式加減法的法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減.用式子表示是：.例．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）化簡：．【答案】1【分析】利用分式的加減法的法則進(jìn)行運算即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查分式的加減法，解答的關(guān)鍵是對運算法則的掌握．變式1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：．【答案】【分析】根據(jù)同分母分式的減法運算進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：【點睛】本題考查了同分母分式的減法運算，掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）計算：【答案】【分析】根據(jù)同分母分式的加減法計算即可．【詳解】解：原式==

=【點睛】本題考查同分母分式的加減，解題關(guān)鍵是掌握分式加減法法則．變式3．（2022秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用完全平方公式以及單項式乘多項式的法則計算，然后合并同類項即可；（2）利用同分母的分式加減法法則進(jìn)行計算即可．(1)解：（x-2y）2+2x（x+y）=x2-4xy+4y2+2x2+2xy=3x2-2xy+4y2；(2)解：=．【點睛】本題考查了分式的加減法，單項式乘多項式，完全平方公式，一定要注意分式運算的結(jié)果，必須化成最簡分式或整式．◎考點題型6分式的異分母相加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.用式子表示是：.例．（2022秋·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）已知：，計算下列各式（結(jié)果用含x，y的代數(shù)式表示）(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式的法則進(jìn)行運算；（2）根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行運算即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵∴；（2）解：∵∴．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，分式的減法運算，熟記多項式乘以多項式的法則是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）化簡：．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式等將分式進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：【點睛】本題考查了分式化簡和完全平方公式，正確的計算是解決本題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）化簡：(1)(2)（）【答案】(1)；(2)【分析】（1）先通分化為同分母分式加減法，進(jìn)而即可求解；（2）先算括號里分式的減法，再把除法化為乘法，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：=====；（2）解：===.【點睛】本題主要考查分式的混合運算，熟練掌握通分和約分以及分式的混合運算法則是關(guān)鍵．變式3．（2022秋·山東淄博·八年級周村二中?？茧A段練習(xí)）計算(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)分式的加減運算法則即可求出答案．（2）根據(jù)分式的乘除運算法則以及加減運算法則即可求出答案．【詳解】（1）原式＝＝＝．（2）原式＝＝＝．【點睛】本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是運用分式的加減運算法則以及乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．◎考點題型7整式與分式相加減例．（2021春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）計算（1）

（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）運用同分母分式加法法則進(jìn)行計算即可；（2）運用異分母分式加法法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（1）=（2）．【點睛】本題考查了分式的加減運算，熟練掌握運算法則是解答此題的關(guān)鍵．變式1．（2021·陜西·九年級專題練習(xí)）計算【答案】a【分析】根據(jù)分式的減法和乘法可以解答本題.【詳解】原式===a【點睛】本題考查分式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運算的計算方法.變式2．（2021秋·河南三門峽·八年級統(tǒng)考期末）計算：（1）（用公式計算）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）把看作一個整體，把式子變形為，再利用平方差公式計算即可，最后利用完全平方公式展開即可．（2）把看成分母是1的分式進(jìn)行通分，然后計算同分母的分式即可．【詳解】解：（1）=．（2）．【點睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式以及分式的加減運算．對于括號里含有3項的式子，可把兩個括號中完全相同的項看成一個整體，當(dāng)作一項去使用．分式的加減應(yīng)該先通分，化為同分母的分式再加減．變式3．（2019·重慶九龍坡·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（1）

（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先去括號然后再合并同類項即可；（2）先將括號里面的分式進(jìn)行通分，然后進(jìn)行分式加減即可.【詳解】（1）（2）【點睛】此題主要考查整式以及分式的混合運算，熟練掌握，即可解題.◎考點題型8分式的加減混合運算例．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）計算(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）分式的分母相同，直接相減進(jìn)行計算；（2）分式的公分母為，先通分，在進(jìn)行計算；（3）直接進(jìn)行通分，在進(jìn)行計算．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題主要考查了分式的加減，找公分母，通分是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）已知，為實數(shù)，且，，，試確定、的大小關(guān)系．【答案】【分析】求出M-N的值，并把ab=1代入即可．【詳解】解：，所以．【點睛】本題考查了分式的加減混合運算，在解題時要注意先對分式進(jìn)行化簡，再代入求值即可．變式2．（2020秋·全國·七年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，將代入求值．【答案】，【分析】先根據(jù)分式的加減法法則化簡，然后設(shè)a=3k，b=2k，代入化簡結(jié)果計算即可．【詳解】解：原式＝=＝，∵，∴設(shè)a=3k，b=2k，∴原式==．【點睛】本題考查了分式的加減運算，同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減．分式運算的結(jié)果要化為最簡分式或者整式．變式3．（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谥校┯嬎慊蚧啠?）

（2）【答案】（1）；（2）-【分析】（1）先算分式的加法，再進(jìn)行約分，即可求解；（2）先把除法化為乘法，再進(jìn)行約分，即可求解．【詳解】（1）原式===；

（2）原式==．【點睛】本題主要考查分式的加減法和乘除法，掌握分式的加減乘除運算法則以及分式的約分，是解題的關(guān)鍵．◎考點題型9分式加減的實際應(yīng)用例．（2022秋·天津和平·八年級天津市第二南開中學(xué)?？计谀┤鐖D，大正方形的邊長均為，圖（1）中白色小正方形的邊長為，圖（2）中白色長方形的寬為，設(shè)，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形和長方形的面積分別求得陰影部分的面積，代入，根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：圖（1）的陰影部分的面積為：，圖（2）的陰影部分的面積為：，，，，故選：B．【點睛】本題考查了分式的應(yīng)用，分別求得陰影部分面積，掌握分式的中是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021春·八年級課時練習(xí)）一項工程，甲單獨做完成，乙單獨做完成，甲?乙兩人一起完成這項工程需要多長時間？【答案】【分析】先表示出甲乙的工作效率，然后用單位1除以他們的工作效率之得到他們一起完成這項工程需要的時間．【詳解】解：根據(jù)題意得甲的工作效率為，乙的工作效率為，所以甲、乙兩人一起完成這項工程所需時間為．【點睛】本題考查了列代數(shù)式（分式）：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．變式2．（2021春·八年級課時練習(xí)）臨近春節(jié)，甲廠決定包租一輛車送員工返鄉(xiāng)過年，租金為3000元．出發(fā)時，乙廠有3名同鄉(xiāng)員工也隨車返鄉(xiāng)（車費自付），總?cè)藬?shù)達(dá)到x名．如果包車租金不變，那么甲廠為每位員工平均每人支付車費可比原來少多少元？【答案】元．【分析】甲廠員工原來支付元，乙廠有3名同鄉(xiāng)員工也隨車返鄉(xiāng)后甲廠員工支付元，根據(jù)題意做減法即可．【詳解】解：由題意可得：甲廠員工原來支付元，乙廠有3名同鄉(xiāng)員工也隨車返鄉(xiāng)后甲廠員工支付元，甲廠為員工支付的人均車費可比原來少元．【點睛】此題主要考查了列代數(shù)式，正確表示出平均每人分擔(dān)的車費數(shù)是解題關(guān)鍵．變式3．（2021春·八年級課時練習(xí)）某蓄水池裝有A，B兩個進(jìn)水管，每小時可分別進(jìn)水，．若單獨開放A進(jìn)水管，可將該水池注滿．如果A，B兩根水管同時開放，那么能提前多長時間將該蓄水池注滿？【答案】【分析】根據(jù)工作總量工作時間工作效率，可求蓄水池的容積，根據(jù)工作時間工作總量工作效率，可求、兩個水管同時開放，將該蓄水池注滿需要的時間，再用單獨開放進(jìn)水管需要的時間減去該時間即可求解．【詳解】解：蓄水池的容積為，、兩個水管同時開放，將該蓄水池注滿需要的時間為，提前的時間為．故能提前長時間將該蓄水池注滿．【點睛】考查了列代數(shù)式（分式），解題的關(guān)鍵是熟練掌握工作時間、工作總量和工作效率之間的關(guān)系．◎考點題型10分式的加減乘除混合運算例．（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)整式的乘法運算去括號，然后計算加減法即可；（2）將分式中的分子分母因式分解，然后計算即可．【詳解】（1）解：（2）解：．【點睛】本題主要考查整式的乘法及加減運算，分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．變式1．（2022春·福建龍巖·九年級校考階段練習(xí)）先化簡后再求值：，其中【答案】，【分析】先算出括號里面的式子，再根據(jù)分式的除法法則算出最簡分式，最后將的值代入最簡分式計算即可．【詳解】解：將代入中可得原式【點睛】本題考查了分式的混合運算，對分式的分母分子因式分解是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案