第24章相似三角形單元綜合檢測(重點)(原卷版+解析)

第24章相似三角形單元綜合檢測（重點）一、單選題1．下列各組中的四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．2．下列命題中，錯誤的是（

）A．兩個含有角的等腰三角形一定相似 B．兩個矩形一定相似C．兩個等邊三角形一定相似 D．兩個正方形一定相似3．如果和都不為零，且，那么下列比例中正確的是（

）A． B． C． D．4．如果點是線段的黃金分割點且，那么下列結論錯誤的為（

）A． B．是和的比例中項C． D．5．如圖，在中，點D是在邊上一點，且，，，那么等于（

）A． B． C． D．6．根據下列條件，能判定和相似的個數是（）（1），，，；（2），，，，，；（3），，，，，；（4），，，，，．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．如圖，直線，直線和分別與相交于A、B、C和D、E、F，若，則下列各式中，正確的是（

）

A． B． C． D．8．如圖，已知點D、E分別在的邊、上，，，那么等于（

）A． B． C． D．9．如圖，已知正方形的頂點D、E在的邊上，點G、F分別在邊上，如果，的面積是32，那么這個正方形的邊長是（

）A．4 B．8 C． D．10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，點E在BC上，點F在AB上，將梯形ABCD沿直線EF翻折，使得點B與點D重合．如果，那么的值是（）A． B． C． D．二、填空題11．已知，那么．12．兩個相似三角形的對應邊上的中線之比，則這兩個三角形面積之比為．13．．14．在的地圖上，若兩地圖上的距離為，則兩地的實際距離為．15．已知P點為線段的黃金分割點，，且，則16．如圖，在中，點D、E、F分別在邊、、上，，，如果，那么的值是．17．如圖，G是的重心，延長交于點D，延長交于點E，P、Q分別是和的重心，長為6，則的長為．18．在中，1，以為邊在外作等邊，設點E、F分別是和的重心，則兩重心E與F之間的距離是．

三、解答題19．已知線段a、b滿足，且．(1)求a、b的值；(2)若線段x是線段a、b的比例中項，求x的值．20．如圖，已知直線，直線和被、、所截．若，，．(1)求、的長；(2)如果，，求的長．21．如圖，在中，點D在邊上，，E是的中點．(1)求證：；(2)設，，用向量、表示向量．22．如圖，，于點，，，且，求：

(1)的長；(2)．23．如圖，已知四邊形是菱形，兩對角線和相交于點O，過點D作，垂足為點H，和交于點E，聯(lián)結并延長交邊于點G．求證：

(1)；(2)．24．已知一次函數的圖像與坐標軸交于A、B點（如圖），AE平分∠BAO，交x軸于點E．(1)求點B的坐標；(2)求直線AE的表達式；(3)過點B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積．25．在中，，點P在線段上，，交于點D，過點B作，垂足為E，交的延長線于點F．(1)如果，①如圖1當點P與點C重合時，求證：；②如圖，當點在線段上，且不與點、點重合時，問：①中的“”仍成立嗎?請說明你的理由；(2)如果，如圖11，已知(n為常數)，當點P在線段上，且不與點B、點C重合時，請?zhí)骄康闹?用含n的式子表示)，并寫出你的探究過程．

第24章相似三角形單元綜合檢測（重點）一、單選題1．下列各組中的四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【解析】解：A、∵，∴四條線段不成比例，不符合題意；B、∵，∴四條線段不成比例，不符合題意；C、∵，∴四條線段成比例，不符合題意；D、∵，∴四條線段成比例，符合題意；故選：D．【點睛】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．2．下列命題中，錯誤的是（

）A．兩個含有角的等腰三角形一定相似 B．兩個矩形一定相似C．兩個等邊三角形一定相似 D．兩個正方形一定相似【答案】B【分析】利用相似圖形的定義分別判斷即可得到答案．【解析】解：A．兩個含有角的等腰三角形一定相似，說法正確，不符合題意，選項錯誤；B．兩個矩形一定相似，對應角相等，但對應邊不成比例，故兩個矩形不一定相似，說法錯誤，符合題意，選項正確；C．兩個等邊三角形一定相似，說法正確，不符合題意，選項錯誤；D．兩個正方形一定相似，說法正確，不符合題意，選項錯誤，故選B．【點睛】本題考查了相似圖形的定義，熟練掌握相似多邊形對應角相等，對應邊成比例是解題關鍵．3．如果和都不為零，且，那么下列比例中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據逆用比例的基本性質，將乘積式化成比例式，逐個判定即可．【解析】解：A、∵，∴，故此選項錯誤，不符合題意；B、∵，∴，故此選項正確，符合題意；C、∵，∴，故此選項錯誤，不符合題意；D、∵，∴，故此選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查比例的基本性質，熟練掌握根據比例的基本性質，將乘積式化成比例式是解題的關鍵．4．如果點是線段的黃金分割點且，那么下列結論錯誤的為（

）A． B．是和的比例中項C． D．【答案】C【分析】根據黃金分割的概念進行判斷即可．【解析】解：點是線段的黃金分割點且，是和的比例中項，，，故選項A、、不符合題意，選項C符合題意，故選：C．【點睛】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．5．如圖，在中，點D是在邊上一點，且，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，求得的值，然后結合平面向量的三角形法則求得的值．【解析】解：∵，∴．∵，∴．又，∴．故選：D．【點睛】此題考查了平面向量的知識，解此題的關鍵是注意平面向量的三角形法則與數形結合思想的應用．6．根據下列條件，能判定和相似的個數是（）（1），，，；（2），，，，，；（3），，，，，；（4），，，，，．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據兩三角形相似的判定定理，對各選項依次判斷即可．【解析】解：（1）和中，，，，，∴，∴和不相似；（2）和中，∵，，但與不一定相等，∴和不相似；（3）∵，，，∴，∴和不相似；（4）∵，，，∴，∴和相似；綜上，只有（4）相似，故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理：（1）兩角對應相等的兩個三角形相似．（2）兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．（3）三邊對應成比例的兩個三角形相似．熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．7．如圖，直線，直線和分別與相交于A、B、C和D、E、F，若，則下列各式中，正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平行線分線段成比例定理得出，然后代入數值即可得到結論．【解析】解：∵直線，∴，∵，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，注意：一組平行線截兩條直線，所截的線段對應成比例．8．如圖，已知點D、E分別在的邊、上，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意得，與是同高，故底之比等于，從而得出面積之比．【解析】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵和的高相同，∴，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，高相等的兩個三角形的面積之比等于底之比是解題的關鍵．9．如圖，已知正方形的頂點D、E在的邊上，點G、F分別在邊上，如果，的面積是32，那么這個正方形的邊長是（

）A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】過點A作于H，交于M，如圖，先利用三角形面積公式計算出，設正方形的邊長為x，則，再證明，則根據相似三角形的性質得方程，然后解關于x的方程即可．【解析】解：如圖，過點A作于H，交于M，∵的面積是32，，∴，∴，設正方形的邊長為x，則，∵，∴，∴，，解得∶，即這個正方形的邊長是4．故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質及正方形的性質，添加合適的輔助線是解題的關鍵．10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，點E在BC上，點F在AB上，將梯形ABCD沿直線EF翻折，使得點B與點D重合．如果，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵EF是點B、D的對稱軸，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵=，∴設AD=1，BC=4，過A作AG⊥BC于G，∴四邊形AGED是矩形，∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5，∴AB=CD==，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°，∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故選B．二、填空題11．已知，那么．【答案】【分析】根據比例的性質即可求出答案．【解析】解：，，；故答案為：．【點睛】本題考查比例的基本性質，熟練掌握比例的基本性質是解題的關鍵．12．兩個相似三角形的對應邊上的中線之比，則這兩個三角形面積之比為．【答案】/【分析】根據相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比，相似三角形的面積之比等于相似比的平方進行解答即可．【解析】兩個相似三角形的對應邊上的中線之比，兩個相似三角形的相似比為，兩個相似三角形的面積之比為，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的性質，相似三角形的周長之比等于相似比，相似三角形的面積之比等于相似比的平方，熟練掌握其性質是解題的關鍵．13．．【答案】0【分析】根據即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，故答案為：0【點睛】此題考查了向量，熟練掌握互為相反向量的和為0是解題的關鍵．14．在的地圖上，若兩地圖上的距離為，則兩地的實際距離為．【答案】【分析】根據比例尺圖上距離實際距離進行求解即可．【解析】解：由題意得，兩地的實際距離為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺圖上距離實際距離是解題的關鍵．15．已知P點為線段的黃金分割點，，且，則【答案】/【分析】如圖，點P是線段上的黃金分割點，，則，再代入數據計算即可．【解析】解：如圖，點P是線段上的黃金分割點，且，，，解得．故答案為：．【點睛】本題考查的是線段的黃金分割點，掌握“線段的黃金分割點的定義”是解題的關鍵．16．如圖，在中，點D、E、F分別在邊、、上，，，如果，那么的值是．【答案】【分析】根據得到，根據比例的性質可得，再根據，即可得到答案；【解析】解：∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線截線段對應成比例，解題的關鍵是根據比例性質求得．17．如圖，G是的重心，延長交于點D，延長交于點E，P、Q分別是和的重心，長為6，則的長為．【答案】1【分析】連接，延長交于F點，連接，由G是的重心，可證是的中位線，從而可求出的長．利用三角形重心的定義和性質得到，，再證明得到即可．【解析】解：連接，延長交于F點，連接，如圖，

∵G是的重心，∴D、E分別是的中點，∴是的中位線，∴．∵P點是的重心，∴F點為的中點，，∵Q點是的重心，∴點Q在中線上，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質．三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為．18．在中，1，以為邊在外作等邊，設點E、F分別是和的重心，則兩重心E與F之間的距離是．

【答案】/【分析】如圖：取中點O，連接．根據含30度角的直角三角形的性質求出，利用勾股定理得出，根據等邊三角形的性質得出，，那么，利用勾股定理求出．然后證明，得出．【解析】解：如圖：取中點O，連接在中，，∴AC=2BC=2，AB==，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴BD==．∵點E、F分別是和的重心，∴，又∵，∴，∴，∴．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、含30度角的直角三角形的性質、等邊三角形的性質、三角形重心的定義與性質等知識點，掌握重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解題的關鍵．三、解答題19．已知線段a、b滿足，且．(1)求a、b的值；(2)若線段x是線段a、b的比例中項，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據可得，再代入計算即可得；（2）根據比例中項的定義求解即可得．【解析】（1）解：，，，，解得，則．（2）解：線段是線段、的比例中項，，即，解得或（不符合題意，舍去），則的值為．【點睛】本題主要考查了比例線段和比例中項，屬于基礎題，熟記定義是解題關鍵．20．如圖，已知直線，直線和被、、所截．若，，．(1)求、的長；(2)如果，，求的長．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據平行線間線段成比例即可求出答案；（2）如圖，先將平移經過A點，把線段分成和兩部分求解即可．【解析】（1）∵直線，∴，∵，，，∴，∴．∴長為，長為．（2）如圖，將直線向左平移到直線交于H點，交于G點，∵，，，∴，又，∴，∴，∵，，∴,∴，∴，∴的長為．【點睛】本題考查平行線間線段成比例定理，熟練掌握線段中的比例關系是解題關鍵．21．如圖，在中，點D在邊上，，E是的中點．(1)求證：；(2)設，，用向量、表示向量．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據題目條件，證明，即可求證；（2）利用平面向量線性運算的三角形法則即可求解．【解析】（1）∵E是的中點，∴，∴,又,∴，∴（2）∵，，∴，∵∴，∴，∴【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質以及平面向量的線性運算，解題關鍵是找出相似三角形．22．如圖，，于點，，，且，求：

(1)的長；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據已知條件證明，根據相似三角形的性質即可求解；（2）根據已知得出，根據（1）的結論得出，，即可求解．【解析】（1）解：，，，，，，，，又，，，．，，；（2），，，，又，，則，．【總結】本題考查相似三角形的性質及判定，直角三角形的性質等知識，證明是解題的關鍵．23．如圖，已知四邊形是菱形，兩對角線和相交于點O，過點D作，垂足為點H，和交于點E，聯(lián)結并延長交邊于點G．求證：

(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先判斷出，進而判斷出，得出，再用等角的余角相等判斷出，即可得出結論；（2）先判斷出，進而判斷出，得出．【解析】（1）證明：是菱形的對角線，，點是菱形的兩條對角線的交點，，，，，，在中，，，，，，，∵，∴；（2）證明：由（1）知，，是菱形的對角線，，，，，，，，，，，．【點睛】此題主要考查了菱形的性質，相似三角形的判定和性質，同角的余角相等，判斷出是解本題的關鍵．24．已知一次函數的圖像與坐標軸交于A、B點（如圖），AE平分∠BAO，交x軸于點E．(1)求點B的坐標；(2)求直線AE的表達式；(3)過點B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積．【答案】(1)B（8，0）(2)直線AE的表達式為y=-2x+6(3)△OFB為等腰三角形，S△OBF=8【分析】（1）將代入直線的表達式中求出值，此題得解；（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征求出點的坐標，結合勾股定理可求出的長度，再利用角平分線的性質以及等面積法即可求出點的坐標，根據點、的坐標利用待定系數法即可求出直線的表達式；（3）過點作軸于點，由可得出，根據相似三角形的性質可得出、的長度，同理可得出，根據相似三角形的性質可得出、的長度，結合即可得出，由此可得出為等腰三角形，再根據三角形的面積公式可得出的面積．【解析】（1）解：當時，，點的坐標為；（2）解：當時，，點的坐標為，，，，平分，交軸于點，到軸距離與到直線的距離相等都等于長，即，，點的坐標為，設直線的表達式為，將、代入，