專題03正方形性質(zhì)與判定之八大考點(diǎn)(原卷版+解析)

專題03正方形性質(zhì)與判定之八大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一正方形性質(zhì)理解】 1【考點(diǎn)二根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度】 2【考點(diǎn)三根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】 4【考點(diǎn)四根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積】 8【考點(diǎn)五正方形的判定定理理解】 10【考點(diǎn)六添一條件使四邊形是正方形】 12【考點(diǎn)七證明四邊形是正方形】 13【考點(diǎn)八正方形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題】 17【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 23【典型例題】【考點(diǎn)一正方形性質(zhì)理解】例題：（2023春·黑龍江鶴崗·八年級(jí)?？计谥校┱叫尉哂卸庑尾痪哂械男再|(zhì)是（

）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相垂直平分C．四條邊相等 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角【變式訓(xùn)練】1．（2023春·四川自貢·八年級(jí)四川省榮縣中學(xué)校校考期中）矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線平分對(duì)角2．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．四個(gè)角都是直角 B．對(duì)角線相等C．四條邊相等 D．對(duì)角線互相平分【考點(diǎn)二根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度】例題：（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，則的大小為_(kāi)_____度．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊，則的度數(shù)是_______．2．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，連接CE，交BD于點(diǎn)F，若AB＝BF，則∠AEF＝_____°．【考點(diǎn)三根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】例題：（2023春·江蘇南通·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC．BD交于點(diǎn)O，E在BC上，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，△CEF的周長(zhǎng)為18，且CE＝5，則OF＝_________．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知：正方形的頂點(diǎn)A在矩形的邊上，矩形的頂點(diǎn)G在正方形的邊上，正方形的邊長(zhǎng)為4，的長(zhǎng)為5，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．2．（2023秋·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)景德鎮(zhèn)一中?？计谀┤鐖D，在正方形中，，P為邊的中點(diǎn)，Q為邊上一點(diǎn)，連接，，，若為等腰三角形，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【考點(diǎn)四根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積】例題：（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)是其中一個(gè)正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此時(shí)陰影部分的面積為_(kāi)_______cm22．（2023春·天津北辰·八年級(jí)校聯(lián)考期中）正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作的平行線，則圖中陰影部分的面積等于_____．

【考點(diǎn)五正方形的判定定理理解】例題：（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）滿足下列條件的四邊形是正方形的是（

）A．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形 B．對(duì)角線互相垂直的菱形C．對(duì)角線相等的矩形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形【變式訓(xùn)練】1．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）下列命題是真命題的是（

）A．四邊都相等的四邊形是正方形 B．一組鄰邊相等的矩形是正方形C．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形2．（2023春·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題是假命題的為（

）A．對(duì)角線相等的菱形是正方形B．對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形C．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形D．對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是正方形【考點(diǎn)六添一條件使四邊形是正方形】例題：（2023·黑龍江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，若，請(qǐng)你添加一個(gè)條件________，使四邊形是正方形（填一個(gè)即可）．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知四邊形為平行四邊形，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，要使四邊形為正方形，需要增加的一個(gè)條件：________．（只填一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可，不添加任何線段與字母）

2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加條件_____，則四邊形AEDF是矩形；若添加條件_____，則四邊形AEDF是菱形；若添加條件_____，則四邊形AEDF是正方形．【考點(diǎn)七證明四邊形是正方形】例題：（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，為角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：四邊形是正方形．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是角平分線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交外角的角平分線于點(diǎn)．(1)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023春·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，在矩形中，的平分線交對(duì)角線于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，，，垂足分別為E、F．

(1)求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作，若，，求四邊形的面積．【考點(diǎn)八正方形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題】例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，，交AC于點(diǎn)E，，交AB于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形AFDE是正方形；(2)若，求四邊形AFDE的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G是邊AC的三等分點(diǎn)．DF，EG的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，連接AH，CH，BF，BG．(1)求證：四邊形FBGH是菱形；(2)判斷四邊形ABCH的形狀，并證明你的結(jié)論；(3)若DF＝，求AB的長(zhǎng)．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．(1)如圖，求證：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝，CE＝2，求CG的長(zhǎng)；(3)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫(xiě)出∠EFC的度數(shù)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖推理中，空格①②③④處可以填上條件“對(duì)角線相等”的是（

）

A．①② B．①④ C．③④ D．②③2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，它是正方形 B．當(dāng)時(shí)，它是菱形C．當(dāng)時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)時(shí)，它是矩形3．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C．2 D．4．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖，在正方形中，點(diǎn)分別在邊上，且，連接，平分交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）“方勝”是中國(guó)古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊而成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線方向平移得到正方形，形成一個(gè)“方勝”圖案，則重疊部分的小正方形面積為（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，已知、為對(duì)角線，現(xiàn)有以下四個(gè)條件：①；②；③；④．從中選取兩個(gè)條件，可以判定為正方形的是_________．（寫(xiě)出一組即可）7．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，，則_______．8．（2023春·山東泰安·八年級(jí)肥城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于、，連接、．若，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．

9．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)次得到正方形，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是________．

10．（2023春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為邊上一點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

三、解答題11．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，已知，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：______，使得四邊形是正方形，不用說(shuō)明理由．12．（2023春·廣東汕頭·八年級(jí)汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，在?中，、分別為邊、的中點(diǎn)，是對(duì)角線，連接、．(1)求證：；(2)若，則四邊形是______形(3)在（2）的條件下，試探索等于多少度時(shí)，四邊形能成為正方形，并證明你的結(jié)論．13．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)C的直線，D為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交直線于E，垂足為F，連接、．(1)求證：；(2)當(dāng)D在中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；(3)若D為中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拇笮M足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．14．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E是邊上任意一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)D作交于F，垂足為G．

(1)求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．①求的度數(shù)；②直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系．15．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D①，點(diǎn)E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C），延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．

(1)試判斷四邊形的形狀，并證明你的判斷；(2)如圖①，若，證明：；(3)如圖②，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的周長(zhǎng).16．（2023春·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，四邊形為正方形，為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，以為鄰邊作矩形，連接．①求證：矩形是正方形；②若正方形的邊長(zhǎng)為6，，求正方形的面積．

專題03正方形性質(zhì)與判定之八大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一正方形性質(zhì)理解】 1【考點(diǎn)二根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度】 2【考點(diǎn)三根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】 4【考點(diǎn)四根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積】 8【考點(diǎn)五正方形的判定定理理解】 10【考點(diǎn)六添一條件使四邊形是正方形】 12【考點(diǎn)七證明四邊形是正方形】 13【考點(diǎn)八正方形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題】 17【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 23【典型例題】【考點(diǎn)一正方形性質(zhì)理解】例題：（2023春·黑龍江鶴崗·八年級(jí)?？计谥校┱叫尉哂卸庑尾痪哂械男再|(zhì)是（

）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相垂直平分 C．四條邊相等 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角【答案】A【分析】根據(jù)菱形和正方形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：菱形的對(duì)角線互相垂直，四條邊相等，對(duì)角線平分一組對(duì)角，而正方形是特殊的菱形，所以這三個(gè)性質(zhì)正方形也具有，故BCD不符合題意；正方形的對(duì)角線相等，而菱形的對(duì)角線不相等，故A符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形和正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·四川自貢·八年級(jí)四川省榮縣中學(xué)校校考期中）矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線平分對(duì)角【答案】B【分析】利用特殊四邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A．菱形的對(duì)角線不一定相等，故不符合題意；B．矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相平分，故符合題意；C．矩形的對(duì)角線不一定互相垂直，故不符合題意；D．矩形的對(duì)角線不一定平分對(duì)角，故不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了特殊四邊形的性質(zhì)，正確掌握特殊四邊形對(duì)角線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．四個(gè)角都是直角 B．對(duì)角線相等C．四條邊相等 D．對(duì)角線互相平分【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：矩形的性質(zhì)，兩組對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線相等且相互平分，四個(gè)角都相等且都是直角；正方形的性質(zhì)，四邊都相等且兩組對(duì)邊相互平行，對(duì)角線相等且相互平分，四個(gè)角都相等且都是直角，∴正方形的四條都相等，是矩形沒(méi)有的，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度】例題：（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，則的大小為_(kāi)_____度．【答案】65【分析】由三角形的外角性質(zhì)可知：要求，只要求，由正方形的軸對(duì)稱性質(zhì)可知：，即可求出．【詳解】解：四邊形是正方形，具有關(guān)于對(duì)角線所在直線對(duì)稱的對(duì)稱性，，，，又是的外角，，故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題綜合考查正方形的對(duì)稱性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用正方形的對(duì)稱性快速得出結(jié)論．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊，則的度數(shù)是_______．【答案】45°##度【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得，，可求，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，，∴，∴．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，連接CE，交BD于點(diǎn)F，若AB＝BF，則∠AEF＝_____°．【答案】112.5【分析】由題意可得AB=BC，ADBC，∠ABD=∠CBD=45°，則BF=BC，∠BFC=∠BCF==67.5°，根據(jù)AD∥BC，可得∠DEF=67.5°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得出答案．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，ADBC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AB＝BF，∴BF＝BC，∴∠BFC＝∠BCF＝＝67.5°，∵ADBC，∴∠BCF＝∠DEF＝67.5°，∴∠AEF＝180°﹣∠DEF＝112.5°．故答案為：112.5．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】例題：（2023春·江蘇南通·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC．BD交于點(diǎn)O，E在BC上，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，△CEF的周長(zhǎng)為18，且CE＝5，則OF＝_________．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)正方形對(duì)角線交點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)及F為DE的中點(diǎn)可得是的中位線，是的中位線，在根據(jù)正方形的性質(zhì)得，可得和為直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)利用△CEF的周長(zhǎng)為18可求出，再利用勾股定理即可求得，則利用中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，正方形ABCD的對(duì)角線AC．BD交于點(diǎn)O，且F為DE的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，又四邊形是正方形，，和為直角三角形，，又△CEF的周長(zhǎng)為18，且CE＝5，，，，，，，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵熟練掌握中位線性質(zhì)及直角三角形斜邊的中線性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知：正方形的頂點(diǎn)A在矩形的邊上，矩形的頂點(diǎn)G在正方形的邊上，正方形的邊長(zhǎng)為4，的長(zhǎng)為5，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，從而得到，即可求出，即可得到答案.【詳解】解：連接，∵四邊形是正方形，四邊形是矩形，∴，，，，，∵正方形的邊長(zhǎng)為4，的長(zhǎng)為5，∴，∴，∴，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，，解得：，∴，故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接輔助線．2．（2023秋·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)景德鎮(zhèn)一中?？计谀┤鐖D，在正方形中，，P為邊的中點(diǎn)，Q為邊上一點(diǎn)，連接，，，若為等腰三角形，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2或4或【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，再分情況討論．【詳解】在正方形中，，P為邊的中點(diǎn)，∴，．①如圖1，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；②如圖2，當(dāng)時(shí),

，∴；③如圖3，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，∴，解得，綜上所述，的長(zhǎng)為2或4或【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積】例題：（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)是其中一個(gè)正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____．【答案】【分析】連接、，證明，得到，再由，代值求解即可得到答案．【詳解】解：連接、，如圖所示：，，是正方形，為正方形的中心，，，在和中，，，，，故答案是：4．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形得到陰影部分的面積等于的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此時(shí)陰影部分的面積為_(kāi)_______cm2【答案】13.5//【分析】將邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得陰影部分是矩形，且可求陰影部分的長(zhǎng)和寬，則面積能求出．【詳解】∵將邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，∴由平移的性質(zhì)可得陰影部分是矩形，∵根據(jù)題意得：陰影部分的寬為6-3=3（cm），長(zhǎng)為6-1.5=4.5（cm），∴S陰影部分=3×4.5=13.5（cm2），故答案為13.5cm2．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是理解圖形變化的所表達(dá)的意義．2．（2023春·天津北辰·八年級(jí)校聯(lián)考期中）正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作的平行線，則圖中陰影部分的面積等于_____．

【答案】【分析】根據(jù)題意，可知四邊形，四邊形是正方形，由此即可將陰影部分的面積轉(zhuǎn)換為正方形面積的一半．【詳解】解：如圖所示，

∵四邊形是正方形，，，∴四邊形，四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，∴陰影部分的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形，求不規(guī)則圖形的面積的綜合，理解題意，掌握正方形的性質(zhì)，不規(guī)則圖形的面積計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五正方形的判定定理理解】例題：（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）滿足下列條件的四邊形是正方形的是（

）A．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形 B．對(duì)角線互相垂直的菱形C．對(duì)角線相等的矩形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形【答案】A【分析】根據(jù)正方形的判定方法即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)，對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故選項(xiàng)正確，符合題意；選項(xiàng)，對(duì)角線互相垂直的長(zhǎng)方形是正方形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)，對(duì)角線相等的菱形是正方形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)，對(duì)角線互相垂直平分的長(zhǎng)方形是正方形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的判定，掌握“對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形”，“對(duì)角線相等的菱形是正方形”，“對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形”的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）下列命題是真命題的是（

）A．四邊都相等的四邊形是正方形 B．一組鄰邊相等的矩形是正方形C．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【答案】B【分析】根據(jù)正方形的判定方法，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、四邊都相等的四邊形是菱形，原命題是假命題，不符合題意；B、一組鄰邊相等的矩形是正方形，是真命題，符合題意；C、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，原命題是假命題，不符合題意；D、對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形不一定是正方形，原命題是假命題，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查判斷命題的真假．熟練掌握正方形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題是假命題的為（

）A．對(duì)角線相等的菱形是正方形B．對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形C．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形D．對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是正方形【答案】D【分析】根據(jù)正方形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．對(duì)角線相等的菱形是正方形，故A是真命題，不符合題意；B．對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，故B是真命題，不符合題意；C．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故C是真命題，不符合題意；D．對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故D是假命題，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的判定．【考點(diǎn)六添一條件使四邊形是正方形】例題：（2023·黑龍江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，若，請(qǐng)你添加一個(gè)條件________，使四邊形是正方形（填一個(gè)即可）．

【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)正方形的判定方法進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵在平行四邊形中，，∴平行四邊形為矩形，添加條件可以利用對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，得出四邊形是正方形；添加或或或，利用一組鄰邊相等的矩形為正方形，得出四邊形是正方形．故答案為：．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知四邊形為平行四邊形，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，要使四邊形為正方形，需要增加的一個(gè)條件：________．（只填一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可，不添加任何線段與字母）

【答案】且（答案不唯一）【分析】根據(jù)正方形是特殊的平行四邊形，只需要增加正方形所特有的性質(zhì)即可．【詳解】∵四邊形為平行四邊形，∴當(dāng)且時(shí)，四邊形為正方形，故答案為∶且（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的判定，掌握正方形是特殊的平行四邊形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加條件_____，則四邊形AEDF是矩形；若添加條件_____，則四邊形AEDF是菱形；若添加條件_____，則四邊形AEDF是正方形．【答案】∠BAC＝90°AD平分∠BAC∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一）【分析】先利用平行四邊形的判定方法得到四邊形AEDF為平行四邊形，然后根據(jù)矩形、菱形和正方形的判定方法添加條件．【詳解】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∴當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，四邊形AEDF是矩形；當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，四邊形AEDF是菱形；∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四邊形AEDF是正方形．,∠BAC＝90°，故答案為∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定：先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七證明四邊形是正方形】例題：（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，為角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：四邊形是正方形．【答案】見(jiàn)解析【分析】先證明四邊形是矩形，再由角平分線的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論．【詳解】是角平分線，，，，，，四邊形是矩形，又，四邊形是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定方法、矩形的判定方法、角平分線的性質(zhì)；熟練掌握正方形的判定方法，證明四邊形是矩形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是角平分線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交外角的角平分線于點(diǎn)．(1)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)四邊形是矩形，理由見(jiàn)解析(2)當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，四邊形是正方形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三線合一得出，根據(jù)是角平分線，是外角的角平分線得出，進(jìn)而可得，根據(jù)題意得，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論添加鄰邊相等，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，理由如下：∵在中，，是角平分線，∴，，∵是外角的角平分線∴∴又，即，則∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形；（2）當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，四邊形是正方形，理由如下：∵四邊形是矩形；∴當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，即是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定，矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形、矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，在矩形中，的平分線交對(duì)角線于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，，，垂足分別為E、F．

(1)求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作，若，，求四邊形的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)6【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，即可證明矩形是正方形；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，推出，得到，進(jìn)而得到，再證明四邊形是平行四邊形，利用底高即可求出四邊形的面積．【詳解】（1）證明：四邊形矩形，，，，，四邊形是矩形，平分，，矩形是正方形；（2）解：四邊形矩形，，，平分，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形和正方形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)八正方形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題】例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，，交AC于點(diǎn)E，，交AB于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形AFDE是正方形；(2)若，求四邊形AFDE的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題目條件可得四邊形AFDE為平行四邊形，進(jìn)而可通過(guò)角平分線證明其鄰邊相等，再加上一個(gè)90°角，即可說(shuō)明是正方形，（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)先求出邊長(zhǎng)，即可得面積．【詳解】（1）證明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD．∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD．∴∠EDA＝∠EAD．∴AE＝DE．∴四邊形AFDE是菱形．∵∠BAC＝90°，∴四邊形AFDE是正方形．（2）解：∵四邊形AFDE是正方形，AD＝，∴AF＝DF＝DE＝AE＝．∴四邊形AFDE的面積為2×2＝4．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定及性質(zhì)，熟練掌握正方形的幾種判定方法及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G是邊AC的三等分點(diǎn)．DF，EG的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，連接AH，CH，BF，BG．(1)求證：四邊形FBGH是菱形；(2)判斷四邊形ABCH的形狀，并證明你的結(jié)論；(3)若DF＝，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)四邊形ABCH是正方形，理由見(jiàn)解析(3)AB=6．【分析】（1）由DF是△ABG的中位線，則DF∥BG，同理EG∥BF，得四邊形FBGH為平行四邊形，再利用SAS證明△ABF≌△CBG，得BF=BG，從而證明結(jié)論；（2）連接BH交AC于點(diǎn)O，由（1）知，四邊形ABCH是菱形，再根據(jù)AB=CB，可知四邊形ABCH是正方形；（3）由菱形的性質(zhì)可知FH=BG=2，則DH=DF+FH=+2=3，設(shè)AD=x，則AB=2x，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn)，∴AF=FG=GC，又∵D為AB中點(diǎn)，∴DF是△ABG的中位線，∴DF∥BG，同理EG∥BF，∴四邊形FBGH為平行四邊形，∵∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BAF=∠BCG=45°，在△ABF和△CBG中，∴△ABF≌△CBG（SAS），∴BF=BG，∴四邊形FBGH是菱形；（2）解：四邊形ABCH是正方形，理由如下：如圖，連接BH交AC于點(diǎn)O，∵四邊形FBGH是菱形，∴OF=OG，OB=OH，F(xiàn)G⊥BH，由（1）得AF=CG，∴OF+AF=OG+CG，即OA=OC，∴四邊形ABCH是菱形，又∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCH是正方形；（3）解：∵DF是△ABG的中位線，∴BG=2DF=2，又∵四邊形FBGH是菱形，∴FH=BG=2，∴DH=DF+FH=+2=3，∵四邊形ABCH是正方形，∴AH=AB，∠DAH=90°，∴AD2+AH2=DH2，設(shè)AD=x，則AB=AH=2x，則x2+（2x）2=（3）2，解得：x1=3，x2=-3（舍），∴AB=2x=6．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了三角形中位線定理，菱形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．(1)如圖，求證：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝，CE＝2，求CG的長(zhǎng)；(3)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫(xiě)出∠EFC的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)或【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；（2）通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問(wèn)題．（3）分兩種情形結(jié)合正方形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：如下圖所示：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如圖2：在Rt△ABC中AC＝AB＝，∵EC＝2，∴AE＝CE，∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，∴；（3）①如圖3：當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如圖4：當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，綜上所述，∠EFC＝130°或40°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)條件結(jié)合圖形去解題是關(guān)鍵.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖推理中，空格①②③④處可以填上條件“對(duì)角線相等”的是（

）

A．①② B．①④ C．③④ D．②③【答案】D【分析】根據(jù)矩形的判定定理，正方形的判定定理即可求解．【詳解】解：∵對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，對(duì)角線相等的菱形是正方形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟練掌握矩形的判定定理，正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，它是正方形 B．當(dāng)時(shí)，它是菱形C．當(dāng)時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)時(shí)，它是矩形【答案】A【分析】根據(jù)正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，它是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形），不一定是正方形，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、當(dāng)時(shí)，它是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形），則此項(xiàng)正確，不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，它是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形），則此項(xiàng)正確，不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，它是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形），則此項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定，熟練掌握特殊四邊形的判定是解題關(guān)鍵．3．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，求出，，得出，根據(jù)等腰三角形的判定，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，，∴，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)，得出．4．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖，在正方形中，點(diǎn)分別在邊上，且，連接，平分交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定可得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到，最后根據(jù)角平分線的定義即可解答．【詳解】解：∵在正方形中，∴，，∴在和中，，∴，∴，∵,∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）“方勝”是中國(guó)古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊而成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線方向平移得到正方形，形成一個(gè)“方勝”圖案，則重疊部分的小正方形面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)平移的性質(zhì)，得出，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出小正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)正方形的面積公式，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，∴，，∴，∵正方形沿對(duì)角線方向平移得到正方形，∴，∴，∴小正方形的邊長(zhǎng)為：，∴小正方形面積為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、平移的性質(zhì)、二次根式的混合運(yùn)算，解本題的關(guān)鍵在充分利用數(shù)形結(jié)合思想，并熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．二、填空題6．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，已知、為對(duì)角線，現(xiàn)有以下四個(gè)條件：①；②；③；④．從中選取兩個(gè)條件，可以判定為正方形的是_________．（寫(xiě)出一組即可）【答案】①③或①④或②③或②④【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定作出選擇即可．【詳解】①③：∵在中，，∴四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形），又∵，∴四邊形ABCD是正方形（對(duì)角線互相垂直矩形是正方形）；①④：∵在中，，∴四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形），又∵，∴四邊形ABCD是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）；②③：∵在中，，∴四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形），又∵，∴四邊形ABCD是正方形（對(duì)角線垂直的矩形是正方形）；②④：∵在中，，∴四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形），又∵，∴四邊形ABCD是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）；故答案為：①③或①④或②③或②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊平行四邊形的判定，熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，，則_______．【答案】【分析】證明，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)可得，，在和中，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．8．（2023春·山東泰安·八年級(jí)肥城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于、，連接、．若，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．

【答案】【分析】根據(jù)對(duì)稱性得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】作于，交于．

則有四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，∴，，，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明．9．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)次得到正方形，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是________．

【答案】【分析】根據(jù)圖形可知：點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，相當(dāng)于將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律次一循環(huán)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，相當(dāng)于將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，，，，，發(fā)現(xiàn)是次一循環(huán)，則，的坐標(biāo)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變化，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法．10．（2023春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為邊上一點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【答案】2【分析】由題意證明，所以，則是等腰直角三角形，即可得到；過(guò)點(diǎn)F作，求出，得到，推出是等腰直角三角形，則．【詳解】解：在正方形中，和為對(duì)角線，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，過(guò)點(diǎn)F作，如圖，

∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，含的直角三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定等相關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是得出是等腰直角三角形．三、解答題11．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，已知，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：______，使得四邊形是正方形，不用說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)（答案不唯一）【分析】（1）四邊形是平行四邊形，則，由，得到四邊形是平行四邊形，由得到，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)矩形成為一個(gè)正方形的條件添加即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形；（2），理由是：∵四邊形是矩形，，∴四邊形是正方形．故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的判定、正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定、正方形的判定是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·廣東汕頭·八年級(jí)汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在?中，、分別為邊、的中點(diǎn)，是對(duì)角線，連接、．(1)求證：；(2)若，則四邊形是______形(3)在（2）的條件下，試探索等于多少度時(shí)，四邊形能成為正方形，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)菱(3)當(dāng)時(shí)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到，由菱形的判定可得出結(jié)論；（3）證出，由正方形的判定可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，、分別為邊、的中點(diǎn)，，又，四邊形是平行四邊形，；（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形．理由：，為的中點(diǎn)，，又四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形；故答案為：菱；（3）解：當(dāng)時(shí)，四邊形能成為正方形．證明：，，，是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，，又四邊形是菱形，四邊形是正方形．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)C的直線，D為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交直線于E，垂足為F，連接、．(1)求證