專題01勾股定理(五大類型)(題型專練)(原卷版+解析)

專題01勾股定理（五大類型）【題型1已知直角的兩邊長，求第三邊長】【題型2直接求直角三角形周長、面積和斜邊上的高等問題】【題型3等面積法求直角三角形斜邊上的高】【題型4作無理數(shù)的線段】【題型5勾股定理的證明】【題型1已知直角的兩邊長，求第三邊長】1．（2023春?禪城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，則AB邊的長度是（）A．3 B．4 C． D．2．（2023春?張北縣校級期中）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°且AB＝3，BC＝4，則AC＝（）A．5 B． C．5或 D．±5或3．（2023春?黃岡月考）直角三角形兩邊分別為5和12，則第三邊為（）A．13 B． C．13或 D．74．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分線，AD＝6，則BC的長度為（）A．6 B．8 C．12 D．165．（2022秋?晉江市期末）我國古代稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊為勾，另一條直角邊為股，斜邊為弦．若一勾股形中勾為9，股為12，則弦為（）A．21 B．15 C．13 D．126．（2022秋?內(nèi)江期末）如圖所示：求黑色部分（長方形）的面積為（）A．24 B．30 C．48 D．187．（2023?金水區(qū)開學(xué)）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME﹣7）的會徽，主體圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成，其中，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，則OA21的長為（）A．22 B． C．21 D．【題型2直接求直角三角形周長、面積和斜邊上的高等問題】8．（2022秋?榆樹市期末）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB、BC、AC為邊向外作正方形，若三個正方形的面積分別為225、400、S，則S的值為（）A．25 B．175 C．600 D．6259．（2022秋?沈丘縣期末）如圖，以Rt△ABC的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝50，則S1的值為（）A．10 B．15 C．20 D．2510．（2023春?大荔縣期末）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．若AD＝2，BC＝5，則AB2+CD2＝．11．（2023春?和平區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四邊形ADEC是正方形，則正方形ADEC的面積是（）?A．8 B．16 C．18 D．2012．（2023春?市北區(qū)期中）如圖，∠ACB＝90°，將Rt△ABC沿著射線BC方向平移5cm，得到△A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，則陰影部分的面積為（）A．14cm2 B．16cm2 C．18cm2 D．20cm213．（2022秋?兩江新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分線，則△CDE的周長是（）A．6 B．7 C．8 D．914．（2023春?銅仁市期末）如圖，若四個完全相同的小直角三角形按如圖方式全部放置在大直角三角形ABC的內(nèi)部，這四個小三角形的斜邊剛好相接在斜邊BC上，AB+AC＝7，BC＝5，則這四個小直角三角形的周長之和為．15．（2023春?德州期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，分別以AC，BC為底邊向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面積分別記為S1，S2，則S1+S2的值為．16．（2023春?微山縣期中）在如圖所示的圖形中，所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面積依次為5，7，20，則正方形B的面積是．?17．（2023春?昆明期中）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四邊形ABCD的面積．18．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）在四邊形ABCD中，∠DCB＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，，求四邊形ABCD的面積．19．（2022秋?蘇州期末）計算圖中四邊形ABCD的面積．20．（2022秋?張店區(qū)校級期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝4，CD是斜邊AB上高．（1）求△ABC的面積；（2）求斜邊AB；（3）求高CD．21．（2022秋?南宮市期末）如圖，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，AD⊥BC，且BD＝DE，連接AE．（1）若∠BAE＝44°，求∠C的度數(shù)．（2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周長．【題型3等面積法求直角三角形斜邊上的高】22．（2023春?西城區(qū)校級期中）直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和12，則斜邊上的高為（）A． B． C．6 D．1323．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC＝3，BC＝4，則CD的長為（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．524．（2023春?代縣月考）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，則邊BC的長為（）A．4 B．14 C．4或14 D．8或1425．（2022秋?榕城區(qū)期末）如圖是邊長為1的3×3的正方形網(wǎng)格，已知△ABC的三個頂點均在正方形格點上，則BC邊上的高是（）A． B． C．2 D．26．（2023春?長沙期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD為AB邊上的高．（1）求斜邊AB的長；（2）求CD的長．27．（2023春?靖西市期中）如圖，在Rt△ABC中，兩直角邊AC＝8，BC＝6．（1）求AB的長；（2）求斜邊上的高CD的長．28．（2022秋?南京期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于點D，AB＝17，AC＝10．（1）若CD＝6，則AD＝，BD＝；（2）若BC＝20，求CD的長．29．（2023春?福山區(qū)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求：（1）Rt△ABC的面積；（2）斜邊AB的長；（3）求AB邊上的高CD的長．【題型4作無理數(shù)的線段】30．如圖，正方形ABCD的頂點A，D在數(shù)軸上，且點A表示的數(shù)為﹣1，點D表示的數(shù)為0，用圓規(guī)在數(shù)軸上截取AE＝AC，則點E所表示的數(shù)為（）A．1 B．1﹣ C．﹣1 D．31．如圖所示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為．35．如圖所示，點C表示的數(shù)是．32．如圖，已知長方形的一邊在數(shù)軸上，寬為1，BA＝BC，寫出數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是．33．如圖，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是．34．如圖，在數(shù)軸上作出表示的點（不寫作法，要求保留作圖痕跡）．【題型5勾股定理的證明】35．（2023春?渝北區(qū)校級期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．36．（2021秋?海州區(qū)期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個直角三角形中邊長為12的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．148 B．100 C．196 D．14437．（2022春?河?xùn)|區(qū)期中）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形．如圖所示，如果大正方形的面積是100，小正方形的面積為20，那么每個直角三角形的周長為（）A．10+ B．10+ C．10+ D．2438．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b（a＞b），直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則用含S1，S2的代數(shù)式表示a2+b2正確的是（）A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S239．（2023?攀枝花二模）將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．40．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABD中，AC⊥BD于C，點E為AC上一點，連接BE、DE，DE的延長線交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求證：DF⊥AB；（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求證：a2+b2＝c2．41．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期中）用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個正方形，它是美麗的弦圖，其中四個直角三角形的直角邊長分別為a，b（a＜b），斜邊長為c．（1）結(jié)合圖①，求證：a2+b2＝c2；（2）如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長為48，OH＝6．求該圖形的面積．42.方圖”以驗證勾股定理，后世也稱“趙爽弦圖”．實際上，趙爽弦圖與完全平方公式有著密切的聯(lián)系．如圖是由8個全等的直角三角形拼成，其中直角邊分別為a，b，請回答以下問題：（1）如圖，正方形ABCD的面積為，正方形IJKL的面積為；（用含a，b的式子表示）（2）根據(jù)圖中正方形ABCD的面積及正方形IJKL的面積的關(guān)系，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2的等量關(guān)系為；（3）請通過運算證明上述等量關(guān)系；（4）記正方形ABCD，正方形EFGH，正方形IJKL的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝30，直角三角形AEH的面積為，則求（a﹣b）2的值．43．（2022秋?邗江區(qū)期末）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．（2）如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有個；（3）如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1、S2、S3的關(guān)系．

專題01勾股定理（五大類型）【題型1已知直角的兩邊長，求第三邊長】【題型2直接求直角三角形周長、面積和斜邊上的高等問題】【題型3等面積法求直角三角形斜邊上的高】【題型4作無理數(shù)的線段】【題型5勾股定理的證明】【題型1已知直角的兩邊長，求第三邊長】1．（2023春?禪城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，則AB邊的長度是（）A．3 B．4 C． D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4．故選：B．2．（2023春?張北縣校級期中）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°且AB＝3，BC＝4，則AC＝（）A．5 B． C．5或 D．±5或【答案】B【解答】解：∵∠A＝90°，∴BC是斜邊，∴＝＝．故選：B．3．（2023春?黃岡月考）直角三角形兩邊分別為5和12，則第三邊為（）A．13 B． C．13或 D．7【答案】C【解答】解：直角三角形兩邊分別為5和12，根據(jù)勾股定理可知，第三邊長為或，即第三邊長為13或，故選：C．4．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分線，AD＝6，則BC的長度為（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】D【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分線，AD＝6，∴BC＝2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+62＝102，解得BD＝8，∴BC＝16．故選：D．5．（2022秋?晉江市期末）我國古代稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊為勾，另一條直角邊為股，斜邊為弦．若一勾股形中勾為9，股為12，則弦為（）A．21 B．15 C．13 D．12【答案】B【解答】解：弦為：，故選：B．6．（2022秋?內(nèi)江期末）如圖所示：求黑色部分（長方形）的面積為（）A．24 B．30 C．48 D．18【答案】B【解答】解：根據(jù)勾股定理，得直角三角形的斜邊是＝10，則矩形的面積是10×3＝30．故選：B．7．（2023?金水區(qū)開學(xué)）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME﹣7）的會徽，主體圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成，其中，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，則OA21的長為（）A．22 B． C．21 D．【答案】D【解答】解：∵OA1＝1，OA2＝＝，OA3＝＝，..．，∴OAn＝，∴OA21＝，故選：D．【題型2直接求直角三角形周長、面積和斜邊上的高等問題】8．（2022秋?榆樹市期末）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB、BC、AC為邊向外作正方形，若三個正方形的面積分別為225、400、S，則S的值為（）A．25 B．175 C．600 D．625【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴225+400＝S，∴S＝625．故選：D．9．（2022秋?沈丘縣期末）如圖，以Rt△ABC的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝50，則S1的值為（）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【解答】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴S3+S2＝S1，∵S1+S2+S3＝50，∴2S1＝50，∴S1＝25，故選：D．10．（2023春?大荔縣期末）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．若AD＝2，BC＝5，則AB2+CD2＝29．【答案】29．【解答】解：由題意知BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，根據(jù)勾股定理得，OA2+OD2＝AD2＝22＝4，OB2+OC2＝BC2＝52＝25，∴OA2+OD2+OB2+OC2＝4+25＝29，根據(jù)勾股定理得，OA2+OB2＝AB2，OC2+OD2＝CD2，∴AB2+CD2＝29，故答案為：29．11．（2023春?和平區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四邊形ADEC是正方形，則正方形ADEC的面積是（）?A．8 B．16 C．18 D．20【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，∵四邊形ADEC是正方形，∴S正方形ADEC＝AC2＝20．故選：D．12．（2023春?市北區(qū)期中）如圖，∠ACB＝90°，將Rt△ABC沿著射線BC方向平移5cm，得到△A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，則陰影部分的面積為（）A．14cm2 B．16cm2 C．18cm2 D．20cm2【答案】A【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝5（cm），∵AA′＝BB′＝5cm，∴CB′＝BB′﹣BC＝5﹣3＝2（cm），∴陰影部分的面積＝（AA′+CB′）?AC＝（5+2）×4＝14（cm2）．故選：A．13．（2022秋?兩江新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分線，則△CDE的周長是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解答】解：∵∠A＝90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的角平分線，∴AD＝DE，在Rt△BAD和Rt△BED中，，∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL），∴BA＝BE＝3，∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝5﹣3＝2，AC＝＝＝4，∴△CDE的周長＝DE+DC+CE＝AD+DC+CE＝AC+CE＝4+2＝6．故選：A．14．（2023春?銅仁市期末）如圖，若四個完全相同的小直角三角形按如圖方式全部放置在大直角三角形ABC的內(nèi)部，這四個小三角形的斜邊剛好相接在斜邊BC上，AB+AC＝7，BC＝5，則這四個小直角三角形的周長之和為12．【答案】12．【解答】解：如圖，把小直角三角形的直角邊分別平移到直角三角形ABC的邊上，∴四個小直角三角形的直角邊的和等于直角三角形ABC的兩直角邊的和，∴這四個小直角三角形的周長之和＝AB+AC+BC＝7+5＝12．故答案為：12．15．（2023春?德州期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，分別以AC，BC為底邊向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面積分別記為S1，S2，則S1+S2的值為50．【答案】50．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝102＝100，∵分別以AC，BC為底邊向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面積分別記為S1，S2，∴S1+S2＝＝＝50，故答案為：50．16．（2023春?微山縣期中）在如圖所示的圖形中，所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面積依次為5，7，20，則正方形B的面積是8．?【答案】8．【解答】解：由題意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、C、D的面積依次為5、7、20，∴S正方形B+5＝20﹣7，∴S正方形B＝8．故答案為：8．17．（2023春?昆明期中）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四邊形ABCD的面積．【答案】+24．【解答】解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，∴AC＝2AB＝6，由勾股定理得：BC＝＝＝3，∵AC2+CD2＝62+82＝100，AD2＝102＝100，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ACD的面積＝×3×3+×6×8＝+24．18．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）在四邊形ABCD中，∠DCB＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，，求四邊形ABCD的面積．【答案】．【解答】解：延長AD，與BC的延長線于點E，∵∠DCB＝135°，∠ADC＝90°，∴∠DCE＝45°，∠EDC＝90°，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴DE＝DC，∵BC＝1，，∴DE＝，∴CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝1+2＝3，∵∠B＝90°，∠E＝45°，∴∠A＝∠E＝45°，∴AB＝BE＝3，∴S四邊形ABCD＝S△EAB﹣S△EDC＝＝＝＝．19．（2022秋?蘇州期末）計算圖中四邊形ABCD的面積．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，在直角△ACD中，由勾股定理知：AC2＝CD2﹣AD2＝132﹣122＝52．則在直角△ABC中，由勾股定理知：AB2＝AC2﹣BC2＝52﹣42＝32．所以AB＝3．所以S四邊形ABCD的＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+＝+＝6+30＝36．即四邊形ABCD的面積是36．20．（2022秋?張店區(qū)校級期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝4，CD是斜邊AB上高．（1）求△ABC的面積；（2）求斜邊AB；（3）求高CD．【答案】（1）6；（2）5；（3）．【解答】解：（1）△ABC的面積＝×AC×BC＝×3×4＝6．故△ABC的面積是6；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5；（3）∵×AC×BC＝×CD×AB，∴×3×4＝×5×CD，解得CD＝．故高CD的長為．21．（2022秋?南宮市期末）如圖，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，AD⊥BC，且BD＝DE，連接AE．（1）若∠BAE＝44°，求∠C的度數(shù)．（2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周長．【答案】（1）34°；（2）17cm．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EF垂直平分AC，BD＝DE，∴AE＝AB＝EC，∴∠CAE＝∠C，∵∠BAE＝44°，∴，∴．（2）由（1）知：EC＝AE＝AB，∵DE＝BD．∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周長為AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝2DC+AC＝2×5+7＝17（cm）．答：△ABC的周長為17cm．【題型3等面積法求直角三角形斜邊上的高】22．（2023春?西城區(qū)校級期中）直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和12，則斜邊上的高為（）A． B． C．6 D．13【答案】A【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊的長分別為5，12，∴斜邊為＝13，∵三角形的面積＝×5×12＝×13h（h為斜邊上的高），∴h＝．故選：A．23．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC＝3，BC＝4，則CD的長為（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝＝2.4，故選：A．24．（2023春?代縣月考）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，則邊BC的長為（）A．4 B．14 C．4或14 D．8或14【答案】C【解答】解：（1）如圖，銳角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，則BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，則CD＝9，故BC的長為BD+DC＝9+5＝14；（2）鈍角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，則BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，則CD＝9，故BC的長為DC﹣BD＝9﹣5＝4．綜上可得BC的長為14或4．故選：C．25．（2022秋?榕城區(qū)期末）如圖是邊長為1的3×3的正方形網(wǎng)格，已知△ABC的三個頂點均在正方形格點上，則BC邊上的高是（）A． B． C．2 D．【答案】A【解答】解：∵AB＝，AC＝，BC＝，∴AB2+AC2＝BC2＝10，∴△ABC是直角三角形，設(shè)BC邊上的高為h，則S，∴h＝＝，即BC邊上的高是，故選：A．26．（2023春?長沙期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD為AB邊上的高．（1）求斜邊AB的長；（2）求CD的長．【答案】（1）10；（2）4.8．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10；（2）∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，∴6×8＝10×CD，∴CD＝4.8．27．（2023春?靖西市期中）如圖，在Rt△ABC中，兩直角邊AC＝8，BC＝6．（1）求AB的長；（2）求斜邊上的高CD的長．【答案】（1）10；（2）．【解答】解：（1）由勾股定理得：；（2）Rt△ABC中，∵CD為斜邊AB上的高，∴△ABC的面積＝，∴AB×CD＝AC×BC，∴．28．（2022秋?南京期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于點D，AB＝17，AC＝10．（1）若CD＝6，則AD＝8，BD＝15；（2）若BC＝20，求CD的長．【答案】（1）8，15；（2）CD＝．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝17，AC＝10，CD＝6，∴AD＝＝＝8，∴BD＝＝＝15．故答案為：8，15；（2）設(shè)CD＝x，則BD＝20﹣x，∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，解得x＝，∴CD＝．29．（2023春?福山區(qū)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求：（1）Rt△ABC的面積；（2）斜邊AB的長；（3）求AB邊上的高CD的長．【答案】（1）4；（2）2；（3）．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴Rt△ABC的面積＝AC?BC＝（）（）＝4；（2）∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴AB＝＝＝2；（3）∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，∴CD＝＝＝，故AB邊上的高CD的長為．【題型4作無理數(shù)的線段】30．如圖，正方形ABCD的頂點A，D在數(shù)軸上，且點A表示的數(shù)為﹣1，點D表示的數(shù)為0，用圓規(guī)在數(shù)軸上截取AE＝AC，則點E所表示的數(shù)為（）A．1 B．1﹣ C．﹣1 D．【答案】C【解答】解：由題意得，AC＝＝，∴AE＝AC＝，∴點E表示的數(shù)是﹣1+＝﹣1，故選：C．31．如圖所示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：由勾股定理，得圖中直角三角形的斜邊長為＝，∴數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為﹣1．故答案為：﹣1．35．如圖所示，點C表示的數(shù)是．【答案】．【解答】解：根據(jù)勾股定理得：AB＝，AD＝，∴OC＝，故答案為：．32．如圖，已知長方形的一邊在數(shù)軸上，寬為1，BA＝BC，寫出數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵BC＝＝，則AB＝BC＝，∵A在原點右側(cè)．則點A所表示的數(shù)是﹣1．故答案為：﹣1．33．如圖，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是﹣．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵OC＝3，BC＝1，∴BO＝＝＝，∵OA＝OB，∴OA＝，∴數(shù)軸上點A表示的數(shù)是﹣；故答案為：﹣．34．如圖，在數(shù)軸上作出表示的點（不寫作法，要求保留作圖痕跡）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：所畫圖形如下所示，其中點A即為所求；．【題型5勾股定理的證明】35．（2023春?渝北區(qū)校級期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、大正方形的面積為：c2；也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A選項能證明勾股定理；B、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B選項能證明勾股定理；C、梯形的面積為：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2個直角三角形和一個等腰直角三角形組成，則其面積為：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C選項能證明勾股定理；D、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是2個矩形和2個小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D選項不能證明勾股定理．故選：D．36．（2021秋?海州區(qū)期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個直角三角形中邊長為12的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．148 B．100 C．196 D．144【答案】A【解答】解：設(shè)將CA延長到點D，連接BD，根據(jù)題意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴這個風(fēng)車的外圍周長是37×4＝148．故選：A．37．（2022春?河?xùn)|區(qū)期中）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形．如圖所示，如果大正方形的面積是100，小正方形的面積為20，那么每個直角三角形的周長為（）A．10+ B．10+ C．10+ D．24【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得：c2＝a2+b2＝100，4×ab＝100﹣20＝80，即2ab＝80，則（a+b）2＝a2+2ab+b2＝100+80＝180，∴每個直角三角形的周長為10+＝10+6，故選：A．38．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b（a＞b），直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則用含S1，S2的代數(shù)式表示a2+b2正確的是（）A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S2【答案】D【解答】解：∵直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，∴，（a﹣b）2＝S2，∴ab＝2S1，a2﹣2ab+b2＝S2，∴，∴a2+b2＝S2+4S1故選：D．39．（2023?攀枝花二模）將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．【答案】證明過程見解答．【解答】證明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，∴＝，∴＝，∴a2+b2＝c2．40．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABD中，AC⊥BD于C，點E為AC上一點，連接BE、DE，DE的延長線交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求證：DF⊥AB；（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求證：a2+b2＝c2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC與Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝?c?DF﹣?c?EF＝?c?（DF﹣EF）＝?c?DE＝c2，∴a2+b2＝c2．41．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期中）用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個正方形，它是美麗的弦圖，其中四個直角三角形的直角邊長分別為a，b（a＜b），斜邊長為c．（1）結(jié)合圖①，求證：a2+b2＝c2；（2）如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長為48，OH＝6．求該圖形的面積．【答案】（1）見解析；（2）96．【解答】（1）證明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，S小正方形＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab，即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，∴a2+b2＝c2；（2）解：∵AB+BC＝48÷4＝12，設(shè)AH＝BC＝x，則AB＝12﹣x，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OH2+OG2＝GH2，即62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴S＝×6×8×4＝96．42.方圖”以驗證勾股定理，后世也稱“趙爽弦圖”．實際上，趙爽弦圖與完全平方公式有著密切的聯(lián)系．如圖是由8個全等的直角三角形拼成，其中直角邊分別為a，b，請回答以下問題：（1）如圖，正方形ABCD的面積為（a+b）2，正方形IJKL的面積為（a﹣b）2；（用含a，b的式子表示）（2）根據(jù)圖中正方形ABCD的面積及正方形IJKL的面積的關(guān)系，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2的等量關(guān)系為（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；（3）請通過運算證明上述等量關(guān)系；（4）記正方形ABCD，正方形EFGH，正方形IJKL的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝30，直角三角形AEH的面積為，則