專題5角平分線四類常見輔助線的作法(原卷版+解析)

專題5角平分線四類常見輔助線的作法（原卷版）角平分線四大添加輔助線的方式類型一過角平分線上的點向角的一邊作垂線段典例1（2023春?普寧市校級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．（1）求∠ADC的度數(shù)．（2）若DE＝5，點F是AC上的動點，求DF的最小值．針對訓練1．（2022春?二七區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，若AB＝20，△ABD的面積為60，則CD長（）A．12 B．10 C．6 D．42．（2023?雁塔區(qū)校級開學）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝16，AD是△ABC的一條角平分線．若CD＝5，求△ABD的面積．3．（2023?惠州二模）如圖，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的長．4．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB于點E，并且AE=12（AB+AD），求∠ABC+∠5．（2023春?市北區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，則△AED的面積為41．類型二過角平分線上的點向角的兩邊作垂線段典例2（2023春?城關區(qū)校級期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如圖1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2，連接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面積．針對訓練1．（2023?河曲縣一模）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°2．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求證：BC＝CD．3．（2023春?石阡縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB，∠ABC的平分線l1，l2相交于點O．求證點O在∠BAC的平分線上；4．如圖，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AD＝AB，AC＝AE．（1）求證：△ACD≌△AEB；（2）試猜想：∠AFD和∠AFE的大小關系，試說明理由．

5．如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補．若∠MPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M，N兩點，請猜想PM與PN的數(shù)量關系并說明理由．6．已知，如圖，點B、C分別在射線OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面積等于△PCD的面積求證：OP平分∠AOD．類型三把垂直于角平分線的線段延長與角的另一邊相交典例3（2023秋?固始縣期末）已知如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求證CE=12針對訓練1．（2021秋?惠山區(qū)期末）如圖，已知△ABC的面積為12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點D，則△ADC的面積是（）A．10 B．8 C．6 D．4

2．如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸上，點B、D在y軸上，OA＝OB，點D的坐標為（0，4），過點B作BC⊥AD，交AD的延長線于點C，且2BC＝AD．（1）求BC的延長線與x軸的交點M的坐標；（2）求點D到AB的距離．類型四借助角平分線的對稱性構造全等（截長補短）典例4已知如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE是△ABC的角平分線，并且它們交于點O，（1）求：∠AOC的度數(shù)；（2）求證：AC＝AE+CD．針對訓練1．（2019秋?肥東縣期末）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線．（1）如圖1，∠C＝90°，∠B＝45°，點E在AB上，AE＝AC，請直接寫出圖中所有與BE相等的線段．（2）如圖2，∠C≠90°，如果∠C＝2∠B，求證：AB＝AC+CD．

2．如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB＝AC+CD．求證：∠C＝2∠B．3．（2017春?文登區(qū)期末）已知，在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求證：AD＝DC．（1）如圖1，小明利用圓規(guī)，添加輔助線進行證明，以點D為圓心，CD的長為半徑畫弧，交BC于點E，連接DE，小明的方法可行嗎？請說明理由；（2）請你用與小明不同的方法證明此題．

專題5角平分線四類常見輔助線的作法（解析版）角平分線四大添加輔助線的方式類型一過角平分線上的點向角的一邊作垂線段典例1（2023春?普寧市校級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．（1）求∠ADC的度數(shù)．（2）若DE＝5，點F是AC上的動點，求DF的最小值．【思路引領】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD，再利用外角的性質求解；（2）根據(jù)垂線段最短得到當DF⊥AC時，DF最小，再利用角平分線的性質求出DF＝DE＝5．【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD=1∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝85°；（2）∵點F是AC上的動點，∴當DF⊥AC時，DF最小，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝5．【總結提升】本題考查了三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，角平分線的性質，垂線段最短，三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握基本定理和知識．針對訓練1．（2022春?二七區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，若AB＝20，△ABD的面積為60，則CD長（）A．12 B．10 C．6 D．4【思路引領】過D點作DH⊥AB于H，如圖，先根據(jù)三角形面積公式計算出DH＝6，然后根據(jù)角平分線的性質得到CD的長．【解答】解：過D點作DH⊥AB于H，如圖，∵S△ABD=12DH?∴DH=2×60∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝6．故選：C．【總結提升】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．2．（2023?雁塔區(qū)校級開學）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝16，AD是△ABC的一條角平分線．若CD＝5，求△ABD的面積．【思路引領】根據(jù)角平分線的性質得DE＝CD，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【解答】解：作DE⊥AB于點E，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，CD＝5，∴DE＝CD＝5，∵AB＝16，∴△ABD的面積為12【總結提升】本題考查角平分線的性質，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．3．（2023?惠州二模）如圖，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的長．【思路引領】（1）過C點作CF⊥AB，交AB的延長線于點F．由AAS證明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，結論得證；（2）證明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB．【解答】（1）證明：過C點作CF⊥AB，交AB的延長線于點F．∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE與△CBF中，∠D=∠CBF∠DEC=∠CFB∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB；（2）解：由（1）可得BF＝DE＝4，在Rt△ACE和Rt△ACF中，CE=CFAC=AC∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF＝10，∴AB＝AF﹣BF＝6．【總結提升】本題考查了角平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，關鍵是作出輔助線構造全等三角形．4．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB于點E，并且AE=12（AB+AD），求∠ABC+∠【思路引領】延長AD過C作CF垂直AD于F，由“AAS”可證△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由條件AE=12（AB+AD），可證BE＝DF，由“SAS”可證△CDF≌△CEB，可得∠ABC＝∠【解答】解：過C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AF，∴∠DFC＝∠CEA＝90°，在△AFC和△AEC中，∠DFC=∠AEC∠FAC=∠EAC∴△AFC≌△AEC（AAS），∴AF＝AE，CF＝CE，∵AE=12（AB+∴2AE＝AB+AD，又∵AD＝AF﹣DF，AB＝AE+BE，AF＝AE，∴2AE＝AE+BE+AE﹣DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CEB中，DF=BE∠DFC=∠CEB∴△CDF≌△CEB（SAS），∴∠ABC＝∠CDF，∵∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°．【總結提升】本題考查了全等三角形的判斷和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．5．（2023春?市北區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，則△AED的面積為41．【思路引領】作DM⊥AC，垂足為M，先證明△ADF≌△ADM，△DFE≌△DMG，由此推出S△ADM＝S△ADF＝S△ADG﹣S△EFD＝45.5，從而得出S△AED＝S△ADF﹣S△EFD＝41．【解答】解：作DM⊥AC，垂足為M，如圖，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM，∵AD＝AD，DF＝DM，∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL），∵DE＝DG，DF＝DM，∴Rt△DFE≌Rt△DMG（HL），∴S△ADM＝S△ADF＝S△ADG﹣S△EFD＝50﹣4.5＝45.5，∴S△AED＝S△ADF﹣S△EFD＝45.5﹣4.5＝41．故答案為：41．【總結提升】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．證明△ADF≌△ADM，△DFE≌△DMG是解此題的關鍵．類型二過角平分線上的點向角的兩邊作垂線段典例2（2023春?城關區(qū)校級期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如圖1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2，連接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面積．【思路引領】（1）先根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算∠BDC的度數(shù)；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如圖2，根據(jù)角平分線的性質得到DH＝DE＝DF＝2，然后根據(jù)三角形面積公式計算△ADC的面積．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如圖2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝1，∴△ADC的面積=12DF?AC【總結提升】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．針對訓練1．（2023?河曲縣一模）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【思路引領】根據(jù)外角與內(nèi)角性質得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案【解答】解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PAPM=PF∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故選：C．【總結提升】此題主要考查了角平分線的性質以及三角形外角的性質和直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線的性質得出PM＝PN＝PF是解決問題的關鍵．2．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求證：BC＝CD．【思路引領】過點C作CE⊥AB交AB的延長線于E，作CF⊥AD于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CE＝CF，根據(jù)同角的補角相等求出∠D＝∠CBE，然后利用“角角邊”證明△BCE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可．【解答】證明：如圖，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于E，作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴CE＝CF，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝∠CBE，在△BCE和△DCF中，∠D=∠CBE∠E=∠CFD=90°∴△BCE≌△DCF（AAS），∴BC＝CD．【總結提升】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質以及三角形全等的判定方法是解題的關鍵．3．（2023春?石阡縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB，∠ABC的平分線l1，l2相交于點O．求證點O在∠BAC的平分線上；【思路引領】過點O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F，根據(jù)角平分線的性質得到OD＝OE，即可證明點O在∠BAC的平分線上；【解答】證明：過點O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F．∵∠ACB、∠ABC的平分線l1、l2相交于點O，∴OD＝OF，OE＝OF，∴OD＝OE，∴點O在∠BAC的平分線上；【總結提升】本題主要考查了角平分線的性質與判定，三線合一定理，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．4．如圖，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AD＝AB，AC＝AE．（1）求證：△ACD≌△AEB；（2）試猜想：∠AFD和∠AFE的大小關系，試說明理由．【思路引領】（1）求出∠DAC＝∠BAE，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質得出兩三角形面積相等和DC＝BE，根據(jù)面積公式求出AM＝AN，根據(jù)角平分線性質得出即可．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAB+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△ACD和△AEB中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△ACD≌△AEB（SAS）；（2）∠AFD＝∠AFE，理由是：過A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，∵△ACD≌△AEB，∴S△ACD＝S△ABE，DC＝BE，∴12DC×AM=12BE∴AM＝AN，∴∠AFD＝∠AFE．【總結提升】本題考查了全等三角形的性質和判定，角平分線性質的應用，解此題的關鍵是推出△ACD≌△AEB，注意：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．5．如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補．若∠MPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M，N兩點，請猜想PM與PN的數(shù)量關系并說明理由．【思路引領】當PM⊥OA時，由四邊形內(nèi)角和為360°可得PN⊥OB，結合角平分線的性質可得PM、PN的關系；當PM與OA不垂直時，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據(jù)角平分線的性質可得PE＝PF，結合OP＝OP即可證明Rt△POE≌Rt△POF．根據(jù)圖中各角的數(shù)量關系可得∠MPE＝∠NPF；接下來，證明△PEM≌△PFN即可得到結論，據(jù)此解答．【解答】解：猜想PM、PN的數(shù)量關系是PM＝PN．理由：①當PM⊥OA時，在四邊形OMPN中易得PN⊥OB．又點P在∠AOB的平分線上，∴PM＝PN．②當PM與OA不垂直時，如圖，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°．∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN．∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF．在△PEM和△PFN中，∠MPE＝∠NPF，PE＝PF，∠PEM＝∠PFN，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PM＝PN．【總結提升】本題側重考查全等三角形的題目，需結合全等三角形的判定與性質等知識解答．6．已知，如圖，點B、C分別在射線OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面積等于△PCD的面積求證：OP平分∠AOD．【思路引領】作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，根據(jù)三角形的面積公式得到PE＝PF，根據(jù)角平分線的判定定理證明即可．【解答】證明：作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，∵△PAB的面積等于△PCD的面積，AB＝CD，∴PE＝PF，∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥CD，∴OP平分∠AOD．【總結提升】本題考查的是角平分線的判定定理，掌握到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上是解題的關鍵．類型三把垂直于角平分線的線段延長與角的另一邊相交典例3（2023秋?固始縣期末）已知如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求證CE=12【思路引領】分別延長CE、BA，它們交于F點，由BE平分∠ABC，CE⊥BE，得到△BCF為等腰三角形，F(xiàn)C＝2EC；易證得Rt△≌Rt△ACF，則根據(jù)全等三角形的性質，BD＝CF，即可得到結論．【解答】證明：分別延長CE、BA，它們交于F點，如圖：∵BE平分∠ABC，CE⊥BE，∴△BCF為等腰三角形，F(xiàn)C＝2EC，∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴∠2＝∠3，而AB＝AC，∴Rt△ABD≌Rt△ACF，∴BD＝CF，∴CE=12【總結提升】本題考查了等腰三角形的判定與性質．特別是底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一．也考查了三角形全等的判定與性質．針對訓練1．（2021秋?惠山區(qū)期末）如圖，已知△ABC的面積為12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點D，則△ADC的面積是（）A．10 B．8 C．6 D．4【思路引領】延長BD交AC于點E，則可知△ABE為等腰三角形，則S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC=12S△【解答】解：如圖，延長BD交AC于點E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EADAD=AD∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC=12S△ABC故選：C．【總結提升】本題考查了等腰三角形的性質和判定的應用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解題的關鍵．2．如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸上，點B、D在y軸上，OA＝OB，點D的坐標為（0，4），過點B作BC⊥AD，交AD的延長線于點C，且2BC＝AD．（1）求BC的延長線與x軸的交點M的坐標；（2）求點D到AB的距離．【思路引領】（1）過點D作DN⊥AB于點N，延長BC與x軸交于點M，根據(jù)等角的余角相等求出∠MBO＝∠DAO，然后利用“角邊角”證明△BOM和△AOD全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OM＝OD，即可得到結論；（2）根據(jù)全等三角形的性質得到BM＝AD，然后求出MC＝BC，再利用“邊角邊”證明△ACM和△ACB全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠MAC＝∠BAC，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DN＝OD．【解答】證明：（1）過點D作DN⊥AB于點N，延長BC與x軸交于點M，∵BC⊥AD，∴∠MBO+∠BDC＝90°，又∵∠ADO+∠DAO＝90°，∠BDC＝∠ADO，∴∠MBO＝∠DAO，在△BOM和△AOD中，∠MBO=∠DAOOA=OB∴△BOM≌△AOD（ASA），∴OM＝OD＝4，∴M（﹣4，0）；（2）∵△BOM≌△AOD，∴BM＝AD＝2BC，∴MC＝BC，在△ACM和△ACB中，MC=BC∠ACM=∠ACB=90°∴△ACM≌△ACB（SAS），∴∠MAC＝∠BAC，∴DN＝OD＝4，故點D到AB的距離是4．【總結提升】本題考查了全等三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．類型四借助角平分線的對稱性構造全等（截長補短）典例4已知如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE是△ABC的角平分線，并且它們交于點O，（1）求：∠AOC的度數(shù)；（2）求證：AC＝AE+CD．【思路引領】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OAC+∠OCA，然后在△AOC中，利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解；（2）在AC上截取AF＝AE，利用“邊角邊”證明△AOE和△AOF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠AOF＝∠AOE，根據(jù)鄰補角的定義求出∠AOE＝60°，再求出∠COF＝60°，然后求出∠COD＝∠COF，然后利用“角邊角”證明△COD和△COF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF＝CD，再根據(jù)AC＝AF+CF整理即可得證．【解答】（1）解：∵∠B＝60°，∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵AD、CE是△ABC的角平分線，∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠ACB）在△AOC中，∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣60°＝120°；（2）證明：如圖，在AC上截取AF＝AE，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠OAE＝∠OAF，在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAF∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOF＝∠AOE，∵∠AOE＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠AOF＝60°，∵∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝120°﹣60°＝60°，∠COD＝∠AOE＝60°，∴∠COD＝∠COF，∵CE是△ABC的平分線，∴∠OCD＝∠OCF，在△COD和△COF中，∠COD=∠COFCO=CO∴△COD≌△COF（ASA），∴CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AE+CD．【總結提升】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，（1）整體思想的利用是解題的關鍵，（2）作輔助線并根據(jù)角的度數(shù)是60°得到相等的角是解題的關鍵．針對訓練1．（2019秋?肥東縣期末）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線．（1）如圖1，∠C＝90°，∠B＝45°，點E在邊AB上，AE＝AC，請直接寫出圖中所有與BE相等的線段．（2）如圖2，∠C≠90°，如果∠C＝2∠B，求證：AB＝AC+CD．【思路引領】（1）先寫出圖中所有與BE相等的線段，再根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定和性質即可說明有與BE相等的線段成立的條件；（2）仿照（1）中的方法，可以證明AB＝AC+CD．【解答】解：（1）與BE相等的線段是DE和DC，理由：∵AD為△ABC的角平分線，∴∠CAD＝∠EAD，在△AED和△ACD中AE=AC∠EAD=∠CAD∴△AED≌△ACD（SAS），∴DE＝DC，∠DEA＝∠C＝90°，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴BE＝DE＝DC，即與BE相等的線段是DE和DC；（2）在AB上截取AE＝AC，連接DE，∵AD為△ABC的角平分線，∴∠CAD＝∠EAD，在△AED和△ACD中AE=AC∠EAD=∠CAD∴△AED≌△ACD（SAS）