第3章圓的基本性質(zhì)全章復(fù)習(xí)與測試(原卷版+解析)

第3章圓的基本性質(zhì)全章復(fù)習(xí)與測試【知識梳理】一．圓的認(rèn)識（1）圓的定義定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．二．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。箯蕉ɡ淼膽?yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．五．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）．幾何語言：若弦AB、CD交于點P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理）（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．八．點與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．九．確定圓的條件不在同一直線上的三點確定一個圓．注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．十．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．十一．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．（2）任何一個三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．十二．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．十三．弧長的計算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．十四．扇形面積的計算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．【考點剖析】一．垂徑定理（共3小題）1．（2022秋?西湖區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB交于點E．若BE＝10，CD＝8，則⊙O的半徑為（）A．3 B．4.2 C．5.8 D．62．（2022秋?鄞州區(qū)校級期末）如圖，在⊙O中半徑OC與弦AB垂直于點D，且AB＝8，OC＝5，則OD的長是（）A．1.5 B．2 C．3 D．43．（2023?龍灣區(qū)一模）如圖，點O為正方形ABCD的中心，以BC的中點H為圓心，HA為半徑畫弧交CB的延長線于點E．以BE為邊向上作正方形BEFG，過點A作AK⊥AE交CD于點K，取EK的中點M，連結(jié)MO．已知，則OM的長為（）A． B． C． D．3二．垂徑定理的應(yīng)用（共2小題）4．（2022秋?諸暨市期末）如圖為一座拱形橋示意圖，橋身AB（弦AB）長度為8，半徑OC垂直AB于點D，OD＝3，則橋拱高CD為（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.55．（2023?婺城區(qū)模擬）拋一個鐵球，在泥地上砸了一個直徑8cm，深2cm的坑，這個鐵球的直徑是（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共1小題）6．（2023?臨安區(qū)一模）如圖，已知A?C是直徑，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中點，則DE＝（）A．1 B．2 C．3 D．4四．圓周角定理（共4小題）7．（2023?義烏市模擬）如圖，以AB為直徑的半⊙O上有兩點D，E，ED與BA的延長線交于點C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，則∠C的度數(shù)是（）A．24° B．30° C．36° D．60°8．（2022秋?鄞州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以BD為直徑的⊙O，CA平分∠BCD，若四邊形ABCD的面積是30cm2，則AC＝cm．9．（2022秋?浦江縣期末）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，D為的中點，OD與AC交于點E．（1）證明：OD∥BC；（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度數(shù)；（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的長．10．（2022秋?越城區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，OD交⊙O于點D，點E在⊙O上．（1）若∠AOD＝54°，求∠DEB的度數(shù)；（2）若OC＝3，OA＝5，求弦AB的長．五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共3小題）11．（2022秋?海曙區(qū)期末）如圖，點A、B、C、D、E在⊙O上，的度數(shù)為60°，則∠B+∠D的度數(shù)是（）A．180° B．120° C．100° D．150°12．（2022秋?上城區(qū)期末）如圖，A，B，C，D是圓O上的點，AC＝BD，AC，BD分別交OD，OC于點N，M．求證：（1）∠1＝∠2；（2）ON＝OM．13．（2022秋?金華期末）如圖，點A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，問：（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）求弦BC的長．六．點與圓的位置關(guān)系（共4小題）14．（2022秋?溫州期末）已知⊙O的半徑為5，點P在⊙O內(nèi)，則OP的長可能是（）A．7 B．6 C．5 D．415．（2022秋?金華期末）已知點P到圓心O的距離為3cm，點P在⊙O內(nèi)，則⊙O的半徑R的取值范圍是（）A．R＞3 B．R＜3 C．0＜R＜3 D．R≥316．（2022秋?寧波期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，點D在邊BC上，CD＝6，以點D為圓心作⊙D，其半徑長為r，要使點A恰在⊙D外，點B在⊙D內(nèi)，則r的取值范圍是（）A．8＜r＜10 B．6＜r＜8 C．6＜r＜10 D．2＜r＜1417．（2022秋?杭州期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．以點C為圓心，4為半徑畫圓，則（）A．點A在圓上 B．點A在圓外 C．點B在圓上 D．點B在圓外七．正多邊形和圓（共4小題）18．（2023?杭州二模）如圖，在正五邊形ABCDE中，若BP＝1，則PE＝（）A．2 B． C． D．+119．（2022秋?慈溪市期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，正六邊形的周長是12，則⊙O的半徑是（）A．1 B． C．2 D．20．（2022秋?余姚市期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點M在上，則∠CME的度數(shù)為（）A．36° B．45° C．60° D．75°21．（2023?上虞區(qū)模擬）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF中，M是邊BC的中點，連結(jié)FM交AE于點N，則△FEN的面積為（）A． B． C． D．八．弧長的計算（共6小題）22．（2023?金東區(qū)一模）如圖，在4×4的方格中（共有16個小方格），每個小方格都是邊長為1的正方形，O，A，B分別是小正方形的頂點，則扇形OAB的弧長等于（）A．2π B．π C．2π D．π23．（2023?溫州二模）一個扇形的半徑為10，圓心角是120°，該扇形的弧長是．24．（2023?甌海區(qū)模擬）如圖，為了美化校園，學(xué)校在一塊靠墻角的空地上建造了一個扇形花圃，扇形的圓心角∠AOB＝120°，半徑為9m，則扇形的弧長是m．25．（2023?武義縣一模）如圖，小聰探索發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三角板中30°角的頂點A在⊙O上移動，三角板的兩邊與⊙O相交于點P，Q時，的長度保持不變．若⊙O的半徑為3cm，則的長為cm．26．（2023?秀洲區(qū)校級二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為3，∠B＝140°，則弧AC的長為．27．（2023?海曙區(qū)一模）某個圓錐的側(cè)面展開圖形是一個半徑為6cm，圓心角為120°的扇形，則這個圓錐的底面半徑為cm．九．扇形面積的計算（共5小題）28．（2022秋?杭州期末）若扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的面積為（）A．2π B．4π C．12π D．24π29．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知一個扇形的面積是24π，弧長是2π，則這個扇形的半徑為（）A．24 B．22 C．12 D．630．（2022秋?鄞州區(qū)期末）如圖，扇形AOB圓心角為直角，OA＝10，點C在上，以O(shè)A，CA為鄰邊構(gòu)造?ACDO，邊CD交OB于點E，若OE＝8，則圖中兩塊陰影部分的面積和為（）A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣6431．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB垂直，垂足為點E，連接OC并延長交⊙O于點F，∠CDB＝30°，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．32．（2023?永嘉縣二模）一扇形面積是3π，半徑為3，則該扇形圓心角度數(shù)是．一十．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共8小題）33．（2022秋?仙居縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點E落在線段AB上，則B、D兩點間的距離為（）A． B． C．6 D．34．（2023?桐鄉(xiāng)市一模）如圖，在△ABC中，AB＝BC，D為AB的中點，將線段AD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到AE，使AE∥BC，連接ED，EB分別交AC于點M，N．若AC＝10，則MN的長為（）A． B． C． D．35．（2022秋?鄞州區(qū)校級期末）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α得到△ADE，點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上，且A，B，E三點在同一條直線上，若∠C＝36°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是（）A．82° B．83° C．84° D．85°36．（2023?紹興模擬）如圖，△A'B'C是將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點B'落在邊AB上時得到的，邊AC與A'B'交于點D，若∠A＝28°，∠B＝63°，則∠A'DA＝．37．（2023?拱墅區(qū)校級三模）如圖，直線a∥b，△AOB的邊OB在直線b上，∠AOB＝55°，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)75°至△A1OB1，邊A1O交直線a于點C，則∠1＝°．38．（2023?拱墅區(qū)校級二模）在△ABC中，∠ABC＜90°，將△ABC在平面內(nèi)繞點B順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角不超過180°），得到△DBE，其中點A的對應(yīng)點為點D，連接CE，CE∥AB．（1）如圖1，試猜想∠ABC與∠BEC之間滿足的等量關(guān)系，并給出證明；（2）如圖2，若點D在邊BC上，DC＝4，AC＝2，求AB的長．39．（2023?玉環(huán)市二模）如圖，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AED，點B的對應(yīng)點是點E，連接CD，若AE⊥CD，則旋轉(zhuǎn)角是（）A．25° B．30° C．45° D．50°40．（2023?甌海區(qū)模擬）如圖，點E是邊長為8的正方形ABCD的邊CD上一動點，連接AE，將線段AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°到線段EF，連接AF，BF，AF交邊BC于點G，連接EG，當(dāng)AF+BF取最小值時，線段EG的長為（）A．8 B．7 C．9 D．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）已知⊙O的半徑為3，點P在⊙O外，則OP的長可以是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（3分）如圖所示，一圓弧過方格的格點A、B、C，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點A的坐標(biāo)為（﹣2，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）3．（3分）如圖為一條圓柱形排水管的橫截面，已知圓心O到水面的距離OC是3dm，水面寬AB是8dm，排水管的截面的直徑是（）A．16dm B．10dm C．8dm D．6dm4．（3分）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，則∠AOB的度數(shù)是（）A．83° B．84° C．86° D．87°5．（3分）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為2：4：7，則∠B的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．80° D．40°6．（3分）如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點，且OM＝3，則⊙O的半徑等于（）A． B．4 C．5 D．67．（3分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都相等，△ABC的三個頂點A、B、C都在格點上，若格點D在△ABC外接圓上，則圖中符合條件的格點D有（）（點D與點A、B、C均不重合）．A．3個 B．4個 C．5個 D．6個8．（3分）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為（1，1）、（3，2），將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A'B'C'，則B'點的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（0，3）9．（3分）如圖，∠DCE的頂點C在量角器外圈的160°刻度處時，點D，E所在位置對應(yīng)的刻度分別為外圈90°和30°，則∠DCE的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．45° D．60°10．（3分）如圖，⊙O的半徑為2，定點P在⊙O上，動點A，B也在⊙O上，且滿足∠APB＝30°，C為PB的中點，則點A，B在圓上運(yùn)動的過程中，線段AC的最大值為（）A．1+ B．+2 C．2﹣2 D．1+二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）11．（4分）如圖，在⊙O中，弦AB＝1.8cm，圓周角∠ACB＝30°，則⊙O的直徑等于cm．12．（4分）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點M，OM＝3，BM＝2，則CD的長為．13．（4分）如圖，AB是⊙O的弦，AB＝6，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB＝45°．若點M，N分別是AB，BC的中點，則MN長的最大值是．14．（4分）如圖，已知扇形AOB，∠AOB＝120°，半徑OA＝4，點E在弧AB上一動點（E與A、B不重合），過點E作EC⊥OA于點C，ED⊥OB于點D，連接CD，則△CDE面積的最大值為．15．（4分）如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC，若AB＝1cm，∠BCD＝22.5°，則⊙O的半徑為cm．16．（4分）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，若BE＝2，則EF的長為．三．解答題（共9小題，滿分66分）17．（5分）如圖，在四邊形ABCD中，請用尺規(guī)作圖法在BC上找一點E，使得點E到AD、CD的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）18．（6分）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點A、B、C．請完成下列填空：①請在圖中確定并點出該圓弧所在圓心D點的位置，圓心D坐標(biāo)；②⊙D的半徑＝（結(jié)果保留根號）；③的長為．19．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC＝8，E為的中點，OE交BC于D，連接AD，DE＝2．（1）求⊙O的半徑；（2）求線段AD的長．20．（6分）如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，P是△ABC內(nèi)一點，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP'重合，如果AP＝3，求P'P2的值．21．（9分）如圖，AB經(jīng)過圓心O，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠B＝3∠BAC，求∠ADC的度數(shù)．22．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的半圓O分別交BC，AC于點D，E，連接DE，OD．（1）求證：．（2）當(dāng)，的度數(shù)之比為4：5時，求四邊形ABDE四個內(nèi)角的度數(shù)．23．（8分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．（1）求∠BAC的度數(shù)．（2）求∠BAD的度數(shù)．24．（8分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點E，F(xiàn)．求證：＝．25．（10分）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，連接BD，BC平分∠ABD．（1）求證：∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，求的長．

第3章圓的基本性質(zhì)全章復(fù)習(xí)與測試【知識梳理】一．圓的認(rèn)識（1）圓的定義定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．二．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。箯蕉ɡ淼膽?yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．五．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）．幾何語言：若弦AB、CD交于點P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理）（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．八．點與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．九．確定圓的條件不在同一直線上的三點確定一個圓．注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．十．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．十一．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．（2）任何一個三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．十二．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．十三．弧長的計算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．十四．扇形面積的計算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．【考點剖析】一．垂徑定理（共3小題）1．（2022秋?西湖區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB交于點E．若BE＝10，CD＝8，則⊙O的半徑為（）A．3 B．4.2 C．5.8 D．6【分析】連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝10﹣R，根據(jù)垂徑定理得出CE＝DE＝4，根據(jù)勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．【解答】解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝10﹣R，∵CD⊥AB，AB過圓心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，解得：R＝5.8，即⊙O的半徑長是5.8，故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵．2．（2022秋?鄞州區(qū)校級期末）如圖，在⊙O中半徑OC與弦AB垂直于點D，且AB＝8，OC＝5，則OD的長是（）A．1.5 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)垂徑定可得AD＝AB＝4，再由勾股定理即可求解．【解答】解：∵半徑OC與弦AB垂直于點D，AB＝8，∴AD＝AB＝4，∠ADO＝90°，∵OA＝OC＝5，∴OD＝＝3．故選：C．【點評】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023?龍灣區(qū)一模）如圖，點O為正方形ABCD的中心，以BC的中點H為圓心，HA為半徑畫弧交CB的延長線于點E．以BE為邊向上作正方形BEFG，過點A作AK⊥AE交CD于點K，取EK的中點M，連結(jié)MO．已知，則OM的長為（）A． B． C． D．3【分析】連接AC，AM，AH，CM，證明△EAB≌△KAD，推出AE＝AK，BE＝DK，利用勾股定理求得AH的長，再先后得到DK、CK、EK的長，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得MA＝MC＝EK＝，利用等腰三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【解答】解：連接AC，AM，AH，CM，∵點O為正方形ABCD的中心，∴點O在線段AC上，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABE＝90°，∵AK⊥AE，即∠EAK＝∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠KAD，∴ΔEAB≌ΔKAD（ASA），∴AE＝AK，BE＝DK，∵，點H為BC的中點，∴AB＝CD＝BC＝2+2，BH＝+1，∴AH＝＝＝AB＝5+，∵HA＝HE，∴DK＝BE＝HE＝BH＝4，∴CK＝CD﹣DK＝2+2﹣4＝2﹣2，∴CE＝BE+BC＝4+2+2＝2+6，∴EK＝＝＝，∵點M是EK的中點，且∠EAK＝ECK＝90°，∴MA＝MC＝EK＝2，∵點O為AC的中點，且AC＝＝BC＝+，∴OM⊥AC，OC＝AC＝+，由勾股定理得：OM2＝CM2﹣OC2，即OM2＝（2）2﹣（+）2，解得：OM＝（負(fù)值已舍），故選：A．【點評】本題考查了垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．二．垂徑定理的應(yīng)用（共2小題）4．（2022秋?諸暨市期末）如圖為一座拱形橋示意圖，橋身AB（弦AB）長度為8，半徑OC垂直AB于點D，OD＝3，則橋拱高CD為（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【分析】根據(jù)垂徑定理、勾股定理進(jìn)行計算即可．【解答】解：連接OA，∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝4，在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA＝＝5＝OC，∴CD＝OC﹣OD＝2，故選：C．【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理是正確解答的前提．5．（2023?婺城區(qū)模擬）拋一個鐵球，在泥地上砸了一個直徑8cm，深2cm的坑，這個鐵球的直徑是（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm【分析】根據(jù)題意畫出草圖，建立數(shù)學(xué)模型．根據(jù)勾股定理和垂徑定理求解．【解答】解：設(shè)該鉛球的半徑是rcm．在由鉛球的半徑、小坑的半徑即半弦和弦心距組成的直角三角形中，根據(jù)勾股定理，得r2＝（r﹣2）2+16，解得r＝5，故2r＝10．故選：B．【點評】此題主要考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，能夠從實際問題中抽象出幾何圖形，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理以及垂徑定理進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共1小題）6．（2023?臨安區(qū)一模）如圖，已知A?C是直徑，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中點，則DE＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】連接OB，得到∠BOD＝∠COD，由等腰三角形的性質(zhì)，得到OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，由勾股定理求出AB長，即可求出OE長，得到DC的長．【解答】解：連接OB，∵D是弧BC的中點，∴∠BOD＝∠COD，∵OB＝OD，∴OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，∵AC是圓的直徑，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10，∴OB＝AC＝5，∴OE＝＝＝3，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．故選：B．【點評】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，勾股定理，關(guān)鍵是連接OB構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理解決問題．四．圓周角定理（共4小題）7．（2023?義烏市模擬）如圖，以AB為直徑的半⊙O上有兩點D，E，ED與BA的延長線交于點C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，則∠C的度數(shù)是（）A．24° B．30° C．36° D．60°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)計算，得到答案．【解答】解：∵OE＝OD，DC＝OE，∴DC＝DO，∴∠C＝∠DOC，∴∠ODE＝2∠C，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠OED＝2∠C，∵∠BOE＝∠C+∠OED，∴∠C+2∠C＝72°，解得，∠C＝24°，故選：A．【點評】本題考查的是圓周角定理、三角形的外角的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?鄞州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以BD為直徑的⊙O，CA平分∠BCD，若四邊形ABCD的面積是30cm2，則AC＝cm．【分析】過點A作AE⊥AC，交CD的延長線于點E，證明△ABC≌△ADE從而得到△ACE的面積等于四邊形ABCD的面積，證明△ACE為等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積公式即可求出AC．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥AC，交CD的延長線于點E，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∵CA平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AB＝AD，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE．∵AE⊥AC，∴∠CAE＝90°，又∵∠ACE＝45°∴AC＝AE∵∠BAD＝90°，∠CAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE．在△ABC與△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴S△ABC＝S△ADE，∴S△ACE＝SABCD＝30，∴，∴．故答案為：2．【點評】本題主要考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為△ACE的面積．9．（2022秋?浦江縣期末）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，D為的中點，OD與AC交于點E．（1）證明：OD∥BC；（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度數(shù)；（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的長．【分析】（1）根據(jù)D為的中點，可得OD⊥AC，再由直徑隨對的圓周角是直角得到BC⊥AC，即可求證；（2）根據(jù)D為的中點，可得OD⊥AC，，則∠AOD＝∠COD，再由平行線的性質(zhì)求出∠AOD＝∠B＝70°，即可利用圓周角定理求解；（3）根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)垂徑定理可得AE＝CE，然后根據(jù)三角形中位線定理可得OE的長，即可求解．【解答】（1）證明：∵D為的中點，∴，∴OD⊥AC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴OD∥BC；（2）解：如圖所示，連接OC，∵D為的中點，∴OD⊥AC，，∴∠AOD＝∠COD∵OD∥BC∵∠AOD＝∠B＝70°，∴；（3）解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝4，AC＝3，∴，OA＝OD＝2，∵D為的中點，∴AE＝CE，∵OA＝OB，∴，∴．【點評】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，平行線的性質(zhì)與判定等知識，熟練掌握圓周角定理，垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?越城區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，OD交⊙O于點D，點E在⊙O上．（1）若∠AOD＝54°，求∠DEB的度數(shù)；（2）若OC＝3，OA＝5，求弦AB的長．【分析】（1）欲求∠DEB，又已知一圓心角，可利用圓周角與圓心角的關(guān)系求解；（2）利用垂徑定理可以得到AC＝BC＝AB＝4，從而得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵OD⊥AB，∴＝，∴∠DEB＝∠AOD＝×54°＝27°．（2）∵OC＝3，OA＝5，∴AC＝4，∵OD⊥AB，∴＝＝，∴AC＝BC＝AB＝4，∴AB＝8．【點評】此題考查了圓周角與圓心角定理以及垂徑定理，熟練掌握垂徑定理得出AC＝CB＝4是解題關(guān)鍵．五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共3小題）11．（2022秋?海曙區(qū)期末）如圖，點A、B、C、D、E在⊙O上，的度數(shù)為60°，則∠B+∠D的度數(shù)是（）A．180° B．120° C．100° D．150°【分析】連接AB、DE，先求得∠ABE＝∠ADE＝30°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，即可求得∠EBC+∠ADC＝150°．【解答】解：連接AB、DE，則∠ABE＝∠ADE，∵的度數(shù)為60°，∴∠ABE＝∠ADE＝30°，∵點A、B、C、D在⊙O上，∴四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，∴∠EBC+∠ADC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣30°＝150°．解法二：連接DE，利用四邊形BCDE是圓內(nèi)接四邊形，解決問題即可．故選：D．【點評】本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?上城區(qū)期末）如圖，A，B，C，D是圓O上的點，AC＝BD，AC，BD分別交OD，OC于點N，M．求證：（1）∠1＝∠2；（2）ON＝OM．【分析】（1）由AC＝BD得到＝，推出∠AOC＝∠DOB，而∠1+∠DOC＝∠2+∠DOC，即可證明問題；（2）由條件可以證明△AON≌△BOM（ASA），即可證明OM＝ON．【解答】（1）證明：∵AC＝BD，∴＝，∴∠AOC＝∠DOB，∴∠1+∠DOC＝∠2+∠DOC，∴∠1＝∠2；（2）∵OA＝OC＝OD＝OB，∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠A＝∠B，∵∠1＝∠2，OA＝OB，∴△AON≌△BOM（ASA），∴OM＝ON．【點評】本題考查圓心角，弧，弦的關(guān)系，圓周角定理，三角形全等，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?金華期末）如圖，點A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，問：（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）求弦BC的長．【分析】（1）由OA⊥BC于H，先根據(jù)垂徑定理得到BH＝CH，，再利用圓周角定理得到∠AOB＝60°；（2）在Rt△OBH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出BH，從而得到BC的長．【解答】解：（1）如圖，∵OA⊥BC于H，∴BH＝CH，，∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°；（2）在Rt△OBH中，OH＝OB＝1，∴BH＝OH＝，∴BC＝2BH＝2．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．六．點與圓的位置關(guān)系（共4小題）14．（2022秋?溫州期末）已知⊙O的半徑為5，點P在⊙O內(nèi)，則OP的長可能是（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】根據(jù)點在圓內(nèi)，點到圓心的距離小于圓的半徑進(jìn)行判斷．【解答】解：∵⊙O的半徑為5，點P在⊙O內(nèi)，∴OP＜5．故選：D．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．15．（2022秋?金華期末）已知點P到圓心O的距離為3cm，點P在⊙O內(nèi)，則⊙O的半徑R的取值范圍是（）A．R＞3 B．R＜3 C．0＜R＜3 D．R≥3【分析】點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r，點P在圓上?d＝r，點P在圓內(nèi)?d＜r，由此即可判斷．【解答】解：∵點P到圓心O的距離為d＝3cm，點P在⊙O內(nèi)，∴d＜R，∴⊙O的半徑R的取值范圍是R＞3，故選：A．【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是掌握點與圓的位置關(guān)系的判定方法．16．（2022秋?寧波期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，點D在邊BC上，CD＝6，以點D為圓心作⊙D，其半徑長為r，要使點A恰在⊙D外，點B在⊙D內(nèi)，則r的取值范圍是（）A．8＜r＜10 B．6＜r＜8 C．6＜r＜10 D．2＜r＜14【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，進(jìn)而得出BD的長，由點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CD＝6，則BD＝BC﹣CD＝14﹣6＝8，，∵點A恰在⊙D外，點B在⊙D內(nèi)，∴8＜r＜10．故選：A．【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握點與圓的三種位置關(guān)系，如設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內(nèi)?d＜r．17．（2022秋?杭州期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．以點C為圓心，4為半徑畫圓，則（）A．點A在圓上 B．點A在圓外 C．點B在圓上 D．點B在圓外【分析】由r和CA，CB的大小關(guān)系即可判斷點A和點B與⊙C的位置關(guān)系．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．∴BC＝＝＝4，∵r＝4，AC＝3＜4，BC＝4，∴可得點A在⊙C內(nèi)，點B在⊙C上．故選：C．【點評】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d＝r時，點在圓上，當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．七．正多邊形和圓（共4小題）18．（2023?杭州二模）如圖，在正五邊形ABCDE中，若BP＝1，則PE＝（）?A．2 B． C． D．+1【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)得出PE2＝BP?（BP+PE），代入求解即可．【解答】解：∵正五邊形ABCDE的對角線AC、BE相交于點P，∴∠ABC＝∠BAE＝108°，∵AB＝AC＝AE，∴∠ABP＝∠AEP＝∠BAP＝∠BCP＝＝36°，∵∠PAE＝108°﹣36°＝72°，∠APE＝36°+36°＝72°，∴∠PAE＝∠APE，∴AE＝PE，∵∠APB＝∠BAE＝108°，∠ABP＝∠EBA＝36°，∴△ABP∽△EBA，∴＝，∴AB2＝AP?BE，即PE2＝BP?（BP+PE），∴PE2＝1×（1+PE），解得PE＝（取正值），故選：B．【點評】本題考查正多邊形和圓，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程，掌握正多邊形和圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提．19．（2022秋?慈溪市期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，正六邊形的周長是12，則⊙O的半徑是（）A．1 B． C．2 D．【分析】連接OB，OC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得⊙O的半徑，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：連接OB，OC，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝OC＝BC，∵正六邊形的周長是12，∴BC＝2，∴⊙O的半徑是2．故選：C．【點評】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正六邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．20．（2022秋?余姚市期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點M在上，則∠CME的度數(shù)為（）A．36° B．45° C．60° D．75°【分析】連接OC，OD，OE，由正六邊形的性質(zhì)得出∠COE＝120°，由圓周角定理即可求解．【解答】解：如圖：連接OC，OD，OE，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴．故選：C．【點評】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由圓周角定理求出∠COE＝120°是解決問題的關(guān)鍵．21．（2023?上虞區(qū)模擬）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF中，M是邊BC的中點，連結(jié)FM交AE于點N，則△FEN的面積為（）A． B． C． D．【分析】連接AD、BF，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得出GH是三角形BFM的中位線，進(jìn)而得到GH＝BM＝BC＝，由正六邊形的性質(zhì)可求出AG，BF，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，得出＝＝，進(jìn)而得出＝，求出三角形ABF的面積即可．【解答】解：如圖，連接BF，AD交于G，AD交FM于H，由正六邊形的對稱性可知，ADBF，F(xiàn)G＝BG，AD∥BC∥EF，∴FH＝HM，∴GH是△BFM的中位線，∴GH＝BM＝BC＝，∵點M是BC的中點，∴BM＝CM＝1，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF＝120°，∠ABF＝∠AFB＝30°，∴AG＝AB＝1，BG＝AB＝，∴AH＝AG+GH＝，∵AD∥EF，∴△ANH∽△EHF，∴＝＝，∴＝，∴S△AEF＝S△ABF＝BF?AG＝，∴S△EFN＝，故選：A．【點評】此題考查的是正多邊形和圓，正六邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提，求出AN：NE＝3：4是解決問題的關(guān)鍵．八．弧長的計算（共6小題）22．（2023?金東區(qū)一模）如圖，在4×4的方格中（共有16個小方格），每個小方格都是邊長為1的正方形，O，A，B分別是小正方形的頂點，則扇形OAB的弧長等于（）A．2π B．π C．2π D．π【分析】由題目給出的圖形可知△AOB為等腰直角三角形，求出扇形的半徑及圓心角的弧度數(shù)，然后直接代入弧長公式求解．【解答】解：∵每個小方格都是邊長為1的正方形，∴由圖可知，，且OA＝2．由弧長公式可得：扇形OAB的弧長等于＝＝．故選：B．【點評】本題考查了弧長公式，考查了學(xué)生的讀圖能力，是基礎(chǔ)的計算題．23．（2023?溫州二模）一個扇形的半徑為10，圓心角是120°，該扇形的弧長是．【分析】直接利用弧長公式計算即可．【解答】解：扇形的弧長＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了弧長的計算，解答本題的關(guān)鍵是熟練記憶弧長的計算公式．24．（2023?甌海區(qū)模擬）如圖，為了美化校園，學(xué)校在一塊靠墻角的空地上建造了一個扇形花圃，扇形的圓心角∠AOB＝120°，半徑為9m，則扇形的弧長是6πm．【分析】直接利用弧長公式求解即可．【解答】解：l＝＝6π，故答案為：6π．【點評】本題考查了弧長的求法，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式．25．（2023?武義縣一模）如圖，小聰探索發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三角板中30°角的頂點A在⊙O上移動，三角板的兩邊與⊙O相交于點P，Q時，的長度保持不變．若⊙O的半徑為3cm，則的長為πcm．【分析】連接OP，OQ，根據(jù)圓周角定理求出∠POQ＝60°，再根據(jù)弧長公式即可求解．【解答】解：連接OP，OQ，∵∠PAQ＝30°，∴∠POQ＝60°，∵⊙O的半徑為3cm，∴PQ弧長為：＝π，故答案為：π．【點評】本題主要考查了圓周角定理和弧長公式，解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半，弧長公式．26．（2023?秀洲區(qū)校級二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為3，∠B＝140°，則弧AC的長為π．【分析】連接AO，OC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠D＝40°，由圓周角定理得到∠AOC＝80°，根據(jù)弧長的公式即可得到結(jié)論．【解答】解：連接AO，OC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠B＝140°，∴∠D＝40°，∴∠AOC＝80°，∴的長＝＝π，故答案為π．【點評】本題考查的是弧長的計算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．27．（2023?海曙區(qū)一模）某個圓錐的側(cè)面展開圖形是一個半徑為6cm，圓心角為120°的扇形，則這個圓錐的底面半徑為2cm．【分析】把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解．【解答】解：設(shè)此圓錐的底面半徑為r，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得，2πr＝，r＝2cm．【點評】主要考查了圓錐側(cè)面展開扇形與底面圓之間的關(guān)系，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．九．扇形面積的計算（共5小題）28．（2022秋?杭州期末）若扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的面積為（）A．2π B．4π C．12π D．24π【分析】根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行計算即可．【解答】解：∵扇形的半徑為6，圓心角為120°，∴扇形的面積是：＝12π．故選：C．【點評】本題考查了扇形面積的計算．熟記公式是解題的關(guān)鍵．29．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知一個扇形的面積是24π，弧長是2π，則這個扇形的半徑為（）A．24 B．22 C．12 D．6【分析】扇形面積公式為，直接代值計算即可．【解答】解：，即，解得r＝24．故選：A．【點評】此題考查扇形的面積公式，＝，解題關(guān)鍵是在不同已知條件下挑選合適的公式進(jìn)行求解．30．（2022秋?鄞州區(qū)期末）如圖，扇形AOB圓心角為直角，OA＝10，點C在上，以O(shè)A，CA為鄰邊構(gòu)造?ACDO，邊CD交OB于點E，若OE＝8，則圖中兩塊陰影部分的面積和為（）A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64【分析】連接OC．利用勾股定理求出EC，根據(jù)S陰＝S扇形AOB﹣S梯形AOEC，計算即可．【解答】解：連接OC．∵四邊形OACD是平行四邊形，∴OA∥CD，∴∠OEC+∠EOA＝180°，∵∠AOB＝90°，∴∠OEC＝90°，∴EC＝＝＝6，∴S陰＝S扇形AOB﹣S梯形OECA＝﹣×（6+10）×8＝25π﹣64．故選：C．【點評】本題考查扇形的面積的計算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握割補(bǔ)法求陰影部分的面積．31．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB垂直，垂足為點E，連接OC并延長交⊙O于點F，∠CDB＝30°，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【分析】連接OD，首先證明△OBD是等邊三角形，證明∠COB＝∠BOD＝60°，求出OC即可解決問題．【解答】解：如圖，連接OD．∵AB⊥CD，∴，∵∠CDB＝30°，∴∠B＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠DOB＝60°，∵AB⊥CD，∴，∴∠COB＝∠AOF＝60°，∵，∴OE＝1，OC＝2，∴S陰＝S扇形OAF﹣S△AOF＝﹣×22＝﹣．故選：B．【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．32．（2023?永嘉縣二模）一扇形面積是3π，半徑為3，則該扇形圓心角度數(shù)是120°．【分析】設(shè)扇形圓心角的度數(shù)為n°，然后根據(jù)扇形的面積公式得到3π＝，解關(guān)于n的方程即可得到n的值．【解答】解：設(shè)扇形圓心角的度數(shù)為n°，∴3π＝，∴n＝120．即扇形圓心角度數(shù)為120°．故答案為120°．【點評】本題考查了扇形的面積公式：S＝（n為圓心角的度數(shù)，R為半徑）．一十．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共8小題）33．（2022秋?仙居縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點E落在線段AB上，則B、D兩點間的距離為（）A． B． C．6 D．【分析】首先利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DE和AE的長，最后利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴DE＝BC＝6，AE＝AC＝8，在△ABC中，∠C＝90°，∴AB＝＝10，∴BE＝2，在Rt△BDE中，由勾股定理得，BD＝＝2，故選：D．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（2023?桐鄉(xiāng)市一模）如圖，在△ABC中，AB＝BC，D為AB的中點，將線段AD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到AE，使AE∥BC，連接ED，EB分別交AC于點M，N．若AC＝10，則MN的長為（）A． B． C． D．【分析】取BN的中點F，連接DF，證明△ENA∽△BNC，求得，，推出DF是△BAN的中位線，得到，再證明△EMN∽△EDF，據(jù)此即可求解．【解答】解：取BN的中點F，連接DF，∵AB＝BC，D為AB的中點，∴，∵AE∥BC，∴∠EAN＝∠C，∠ENA＝∠BNC，∴△ENA∽△BNC，∴，∴，，∵D為AB的中點，∴，DF∥AN，∵M(jìn)N∥DF，，∴△EMN∽△EDF，∴，∴，故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．35．（2022秋?鄞州區(qū)校級期末）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α得到△ADE，點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上，且A，B，E三點在同一條直線上，若∠C＝36°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是（）A．82° B．83° C．84° D．85°【分析】根據(jù)△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，可得∠ADB＝∠B＝∠ADE，設(shè)∠B＝x，則∠ADB＝∠ADE＝x，在△BDE中，得x+36°+2x＝180°，可解得∠ADB＝∠ADE＝∠B＝48°，從而α＝84°．【解答】解：∵△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴∠E＝∠C＝36°，∠BAD＝∠CAE＝α，∠ADE＝∠B，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝∠ADE，設(shè)∠B＝x，則∠ADB＝∠ADE＝x，∴∠BDE＝2x，∵A，B，E在同一直線上，在△BDE中，∠B+∠E+∠BDE＝180°，∴x+36°+2x＝180°，解得x＝48°，∴∠ADB＝∠ADE＝∠B＝48°，在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣2x＝84°，∴α＝84°，故選：C．【點評】本題考查三角形的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能熟練應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理．36．（2023?紹興模擬）如圖，△A'B'C是將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點B'落在邊AB上時得到的，邊AC與A'B'交于點D，若∠A＝28°，∠B＝63°，則∠A'DA＝82°．【分析】由三角形內(nèi)角和得∠ACB＝89°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CB'D＝63°，CB＝CB'，則∠CB'B＝∠B＝63°，再由三角形內(nèi)角和定理得到∠BCB'＝54°，即可得到∠B'CD＝35°，利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等即可得到答案．【解答】解：∵∠A＝28°，∠B＝63°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝89°，∵，△A'B'C是將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點B'落在邊AB上時得到的，∴∠CB'D＝∠B＝63°，CB＝CB'，∴∠CB'B＝∠B＝63°，∴∠BCB'＝180°﹣∠CB'B﹣∠B＝54°，∴∠B'CD＝∠ACB﹣∠B'CB＝35°，∴∠A'DA＝∠B'DC＝180°﹣∠B'CD﹣∠CB'D＝82°．故答案為：82°．【點評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，充分利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．37．（2023?拱墅區(qū)校級三模）如圖，直線a∥b，△AOB的邊OB在直線b上，∠AOB＝55°，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)75°至△A1OB1，邊A1O交直線a于點C，則∠1＝50°．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)75°至△A1OB1，∴∠A1OB1＝∠AOB＝55°，∠AOA1＝75°，∴∠A1OD＝180°﹣55°﹣75°＝50°，∵直線a∥b，∴∠1＝∠A1OD＝50°，故答案為：50．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．38．（2023?拱墅區(qū)校級二模）在△ABC中，∠ABC＜90°，將△ABC在平面內(nèi)繞點B順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角不超過180°），得到△DBE，其中點A的對應(yīng)點為點D，連接CE，CE∥AB．（1）如圖1，試猜想∠ABC與∠BEC之間滿足的等量關(guān)系，并給出證明；（2）如圖2，若點D在邊BC上，DC＝4，AC＝2，求AB的長．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝BE，可得∠BCE＝∠BEC，由平行線的性質(zhì)可得∠ABC＝∠BCE＝∠BEC；（2）過點D作DF⊥CE于點E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝DE＝2，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，可證△BCE是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可求CF的長，由勾股定理可求EF的長，可得CE＝BC＝10，即可得BD＝AB的長．【解答】解：（1）∠ABC＝∠BEC理由如下：∵旋轉(zhuǎn)∴BE＝BC∴∠BCE＝∠BEC∵CE∥AB∴∠ABC＝∠BCE∴∠ABC＝∠BEC（2）如圖，過點D作DF⊥CE于點F，∵旋轉(zhuǎn)∴AC＝DE＝2，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD∴∠BEC＝∠BCE，∵CE∥AB∴∠BCE＝∠ABC∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE∴△BCE是等邊三角形∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE，∴∠CDF＝30°∴CF＝CD＝2，DF＝CF＝2在Rt△DEF中，EF＝＝＝8∴CE＝EF+CF＝10＝BC∴BD＝BC﹣CD＝10﹣4＝6＝AB【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．39．（2023?玉環(huán)市二模）如圖，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AED，點B的對應(yīng)點是點E，連接CD，若AE⊥CD，則旋轉(zhuǎn)角是（）A．25° B．30° C．45° D．50°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝25°，求出∠DAE＝∠CAE＝25°，再求出∠DAC的度數(shù)即可．【解答】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△AED，∠BAC＝25°∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝25°，∵AE⊥CD，AD＝AC，∴∠DAE＝∠CAE＝25°，∴∠DAC＝25°+25°＝50°，即旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是50°，故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能求出∠DAE＝∠CAE＝25°是解此題的關(guān)鍵．40．（2023?甌海區(qū)模擬）如圖，點E是邊長為8的正方形ABCD的邊CD上一動點，連接AE，將線段AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°到線段EF，連接AF，BF，AF交邊BC于點G，連接EG，當(dāng)AF+BF取最小值時，線段EG的長為（）A．8 B．7 C．9 D．【分析】過點F作FP⊥CD交DC的延長線于點P，作直線CF，首先證明△PEF≌△DAE，得PF＝DE，PE＝AD，再證明點F在∠BCP的平分線上，作點B關(guān)于直線CF的對稱點M，連接AM交直線CF于點F，此時，AF+BF最小，設(shè)DE＝x，由圖1知，PE＝PC＝DE＝x，則PM＝CM﹣PC＝8﹣x，由△MPF∽△MCG，得到對應(yīng)邊成比例即可求出x的值，再利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：如圖，過點F作FP⊥CD交DC的延長線于點P，作直線CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∴∠D＝∠EPF＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，AE＝FE，∠AEF＝90°，∴∠AED+∠PEF＝90°，∴∠PEF＝∠DAE，在△PEF與△DAE中，，∴△PEF≌△DAE（AAS），∴PF＝DE，PE＝AD，∴PE＝CD，∴PE﹣CE＝CD﹣CE，∴PC＝DE，∵FP⊥CD，∴∠PCF＝45°，∴點F在∠BCP的平分線上，如圖2，作點B關(guān)于直線CF的對稱點M，連接AM交直線CF于點F，此時，AF+BF最小，∵點B關(guān)于直線CF的對稱點M，，∴△BFC≌△MFC（ASA），∴CM＝BC＝AB＝8，∵AB∥CD，∴四邊形ABMC為平行四邊形，∴BG＝CG＝＝4，設(shè)DE＝x，由圖1知，PE＝PC＝DE＝x，∴PM＝CM﹣PC＝8﹣x，∵∠BCM＝∠FPM＝90°，∴PF∥BC，∴△MPF∽△MCG，∴，即，解得：x＝，∴CE＝CD﹣DE＝8﹣＝，∴EG＝＝，故選：D．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的識圖能力．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）已知⊙O的半徑為3，點P在⊙O外，則OP的長可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由⊙O的半徑及點P在⊙O外，可得出OP的長大于3，再對照四個選項即可得出結(jié)論．【解答】解：∵⊙O的半徑為3，點P在⊙O外，∴OP的長大于3．故選：D．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，牢記“①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內(nèi)?d＜r”是解題的關(guān)鍵．2．（3分）如圖所示，一圓弧過方格的格點A、B、C，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點A的坐標(biāo)為（﹣2，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【分析】連接AB、AC，作出AB、AC的垂直平分線，其交點即為圓心．【解答】解：如圖所示，∵AW＝1，WH＝3，∴AH＝＝；∵BQ＝3，QH＝1，∴BH＝＝；∴AH＝BH，同理，AD＝BD，所以GH為線段AB的垂直平分線，易得EF為線段AC的垂直平分線，H為圓的兩條弦的垂直平分線的交點，則BH＝AH＝HC，H為圓心．則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（﹣1，1）．故選：C．【點評】根據(jù)線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等，找到圓的半徑，半徑的交點即為圓心．3．（3分）如圖為一條圓柱形排水管的橫截面，已知圓心O到水面的距離OC是3dm，水面寬AB是8dm，排水管的截面的直徑是（）A．16dm B．10dm C．8dm D．6dm【分析】連接OA，由垂徑定理得出AC＝AB，∠OCA＝90°，由勾股定理求出OA，即可得出排水管的截面的直徑．【解答】解：連接OA，由垂徑定理得出AC＝AB＝4dm，∠OCA＝90°，在Rt△OCA中，OA＝＝5dm，5×2＝10dm．故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理求出OA是解決問題的關(guān)鍵．4．（3分）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，則∠AOB的度數(shù)是（）A．83° B．84° C．86° D．87°【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝43°，∴∠AOB＝2∠ACB＝86°，故選：C．【點評】本題考查了圓周角定理，能根據(jù)圓周角定理得出∠AOB＝2∠ACB是解此題的關(guān)鍵．5．（3分）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為2：4：7，則∠B的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．80° D．40°【分析】設(shè)∠A的度數(shù)為2x，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)∠A的度數(shù)為2x，則∠B、∠C的度數(shù)分別為4x、7x，由題意得：2x+7x＝180°，解得：x＝20°，則∠B＝4x＝80°，故選：C．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點，且OM＝3，則⊙O的半徑等于（）A． B．4 C．5 D．6【分析】如圖，連接OA．根據(jù)垂徑定理，求得AM．再根據(jù)勾股定理，再求得半徑OA．【解答】解：如圖，連接OA．∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點，∴AM＝＝4，OM⊥AB．在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∴OA＝＝5．∴⊙O的半徑等于5．故選：C．【點評】本題主要考查垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都相等，△ABC的三個頂點A、