重要幾何模型12-4三垂直模型【原卷版+解析】

第十二章重要幾何模型4三垂直模型1三垂直模型的基本圖象①由?ABE??BCD，推出AE=ED+CD;②由?ABE??BCD，推出AB=EC+CD;③由?ABE??BCD，推出BC=AB+CD.2拓展模型若A,P,B三點在一條直線上，∠A=∠B=∠CPD=α，則?APC??BDP.【題型1】基本模型【典題1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別過點B，C作過點A的直線的垂線BD，CE，垂足為D，E．若BD＝4cm，CE＝3cm，求DE的長．【典題2】如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點D、E、F分別在AB,BC,AC上，且BE=CF，AD+EC=AB【鞏固練習】1.一天課間，頑皮的小明同學拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長為()A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm2.如圖，在△ABC中AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于．3.已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．BE、AD分別與過點C的直線垂直，且垂足分別為D，E．學習完第十二章后，張老師首先讓同學們完成問題1：如圖1，若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的長；然后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點C旋轉到△ABC的外部，BE、AD與直線CE的垂直關系不變，如圖2，猜想AD、DE、BE三者的數(shù)量關系，并給予證明．4.如圖，在△ABC中，AB＝BC．(1)如圖①所示，直線NM過點B，AM⊥MN于點M，CN⊥MN于點N，且∠ABC＝90°．求證：MN＝AM+CN．(2)如圖②所示，直線MN過點B，AM交MN于點M，CN交MN于點N，且∠AMB＝∠ABC＝∠BNC，則MN＝AM+CN是否成立？請說明理由．【題型2】模型變式綜合練習【典題1】(1)嘗試探究：如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AF是過點A的一條直線，且B，C在AE的同側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則圖中與線段AD相等的線段是；DE與BD、CE的數(shù)量關系為．(2)類比延伸：如圖②，∠ABC＝90°，BA＝BC，點A，B的坐標分別是(﹣2，0)，(0，3)，求點C的坐標．(3)拓展遷移：在(2)的條件下，在坐標平面內找一點P(不與點C重合)，使△PAB與△ABC全等．直接寫出點P的坐標．【鞏固練習】1.問題背景：(1)如圖①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E，請直接寫出BD、CE、DE的數(shù)量關系．拓展延伸：(2)如圖②，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC請寫出DE、BD、CE三條線段的數(shù)量關系，并說明理由．實際應用：(3)如圖③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C的坐標為(﹣2，0)，點A的坐標為(﹣6，3)，求B點的坐標．2.如圖，線段AB＝6，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點，以AP為邊做正方形APCD，且點C、D與點B在AP兩側，在線段DP上取一點E，使得∠EAP＝∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F(點F與點A、B不重合)．(1)求證：△AEP≌△CEP；(2)判斷CF與AB的位置關系，并說明理由；(3)△AEF的周長是否為定值，若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．1.如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于()A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm2.如圖，一個等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處(∠O＝90°)，若OA＝50cm，OB＝28cm，則點C離地面的距離是cm．3.一個等腰直角三角板如圖擱置在兩柜之間，且點D，C，E在同一直線上，已知稍高的柜高AD為80cm，兩柜距離DE為140cm．求稍矮的柜高BE．4.如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,BE=CF,E為BC邊上的一點，以E為頂點作∠AEF，∠AEF的一邊交AC5.探究：如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥m于點D，CE⊥m于點E，求證：△ABD≌△CAE．應用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．求出DE、BD和CE的關系．拓展：如圖①中，若DE＝10．梯形BCED的面積．6.觀察猜想：(1)如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三點在同一條直線上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為點D，E，則線段AD，DE，BE三者之間的數(shù)量關系是；類比探究：(2)如圖2，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三點在同一條直線上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，線段AD，DE，BE三者之間的數(shù)量關系有變化嗎？請說明理由；拓展延伸：(3)如圖3，若將(1)中的條件改為：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三點在同一條直線上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，α為任意鈍角，那么(1)中你的結論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．7.如圖，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，現(xiàn)將該三角形放置在平面直角坐標系中，點B坐標為(0，2)，點C坐標為(6，0)．(1)過點A作AD⊥x軸，求OD的長及點A的坐標；(2)連接OA，若P為坐標平面內不同于點A的點，且以O、P、C為頂點的三角形與△OAC全等，請直接寫出滿足條件的點P的坐標；(3)已知OA＝10，試探究在x軸上是否存在點Q，使△OAQ是以OA為腰的等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

第十二章重要幾何模型4三垂直模型1三垂直模型的基本圖象①由?ABE??BCD，推出AE=ED+CD;②由?ABE??BCD，推出AB=EC+CD;③由?ABE??BCD，推出BC=AB+CD.2拓展模型若A,P,B三點在一條直線上，∠A=∠B=∠CPD=α，則?APC??BDP.【題型1】基本模型【典題1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別過點B，C作過點A的直線的垂線BD，CE，垂足為D，E．若BD＝4cm，CE＝3cm，求DE的長．解析∵BD⊥AD，CE⊥AE，∴∠D＝∠E＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中&∠D∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE，BD＝AE，∵BD＝4cm，CE＝3cm，∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7cm．【典題2】如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點D、E、F分別在AB,BC,AC上，且BE=CF，AD+EC=解析(1)證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵AB=AD+BD，AB=AD+EC，∴BD=EC．

在△DBE和△ECF中，&BE=CF&∠B=∠C,&BD=EC，∴△DBE≌△ECF(SAS)

∴DE=EF，

(2)解：∵∠A=40°，∴∠【鞏固練習】1.一天課間，頑皮的小明同學拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長為()A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm答案C解析由題意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，在△ACD和△CBE中&∠ADC∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故選：C．2.如圖，在△ABC中AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于．答案3解析∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中&∠BAD∴△ABD≌△DCE(AAS)，∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3．故答案為：3．3.已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．BE、AD分別與過點C的直線垂直，且垂足分別為D，E．學習完第十二章后，張老師首先讓同學們完成問題1：如圖1，若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的長；然后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點C旋轉到△ABC的外部，BE、AD與直線CE的垂直關系不變，如圖2，猜想AD、DE、BE三者的數(shù)量關系，并給予證明．答案DE＝AD+BE解析如圖1，∵∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°＝∠ACD+∠CAD，∴∠BCE＝∠CAD，在△ACD和△CBE中&∠BEC∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD＝CE＝2.5cm，BE＝CD，∵DE＝1.7cm，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8cm，∴BE的長為0.8cm；如圖2，DE＝AD+BE，理由如下：∵∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°＝∠ACD+∠CAD，∴∠BCE＝∠CAD，在△ACD和△CBE中&∠BEC∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD＝CE，BE＝CD，∴DE＝AD+BE．4.如圖，在△ABC中，AB＝BC．(1)如圖①所示，直線NM過點B，AM⊥MN于點M，CN⊥MN于點N，且∠ABC＝90°．求證：MN＝AM+CN．(2)如圖②所示，直線MN過點B，AM交MN于點M，CN交MN于點N，且∠AMB＝∠ABC＝∠BNC，則MN＝AM+CN是否成立？請說明理由．答案(1)略(2)(1)中的結論成立解析證明：(1)∵AM⊥MN于M，CN⊥MN于點N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB+∠ABM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠NBC＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∵在△ABM和△BCN中&∠AMB∴△ABM≌△BCN(AAS)，∴AM＝BN，BM＝CN，∴MN＝BM+BN＝AM+CN；(2)(1)中的結論成立，理由如下：設∠AMB＝∠ABC＝∠BNC＝α，∴∠ABM+∠BAM＝∠ABM+∠CBN＝180°﹣α，∴∠BAM＝∠CBN，在△ABM和△BCN中&∴△ABM≌△BCN(AAS)，∴AM＝BN，BM＝CN，∴MN＝BN+BM＝AM+CN．【題型2】模型變式綜合練習【典題1】(1)嘗試探究：如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AF是過點A的一條直線，且B，C在AE的同側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則圖中與線段AD相等的線段是；DE與BD、CE的數(shù)量關系為．(2)類比延伸：如圖②，∠ABC＝90°，BA＝BC，點A，B的坐標分別是(﹣2，0)，(0，3)，求點C的坐標．(3)拓展遷移：在(2)的條件下，在坐標平面內找一點P(不與點C重合)，使△PAB與△ABC全等．直接寫出點P的坐標．解析(1)∵∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE，∴∠DAB＝90°﹣∠EAC＝∠ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝CE+DB，故答案為：CE；DE＝CE+DB；(2)如圖，過C作CD⊥y軸于D，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°﹣∠ABO＝∠BAO，∵∠CDB＝∠BOA＝90°，AB＝BC，∴△AOB≌△BDC(AAS)，∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝2，∴OD＝OB+BD＝5，∴C(﹣3，5)；(3)存在．①當△ABC≌ABP時，過P作PE⊥y軸于E，如圖：∵△ABC≌ABP，∴BC＝BP，∠ABC＝∠ABP＝90°，∴∠ABC+∠ABP＝180°，∴C、B、P共線，∴∠CBD＝∠EBP，又∠CDB＝∠PEB＝90°，∴△CDB≌△PEB(AAS)，∴PE＝CD＝3，BE＝BD＝2，∴OE＝OB﹣BE＝1，∴P(3，1)，②當△ABC≌△BAP時，過P作x軸平行線，過A作y軸平行線交于F，如圖：∵△ABC≌△BAP，∴∠ABC＝∠BAP＝90°，BC＝AP，∴BC∥AP，∴∠DBC＝∠BGA＝∠FAP，∵∠CDB＝∠PFA＝90°，∴△CDB≌△PFA(AAS)，∴AF＝BD＝2，PF＝CD＝3，∴P(1，﹣2)，③當△ABC≌△APC時，過P作PH⊥x軸于H，如圖：∵△ABC≌△APC，∴AB＝AP，∠BAC＝∠PAC＝45°，∴∠PAB＝90°，∴∠PAH＝90°﹣∠BAO＝∠ABO＝90°﹣∠CBD＝∠BCD，∵AB＝BC，∴BC＝AP，而∠PHA＝∠CDB＝90°，∴△PHA≌△BDC(AAS)，∴PH＝BD＝2，AH＝CD＝3，∴P(﹣5，2)，綜上所述，P的坐標為：(3，1)或(1，?2)或(?5，2)．【鞏固練習】1.問題背景：(1)如圖①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E，請直接寫出BD、CE、DE的數(shù)量關系．拓展延伸：(2)如圖②，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC請寫出DE、BD、CE三條線段的數(shù)量關系，并說明理由．實際應用：(3)如圖③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C的坐標為(﹣2，0)，點A的坐標為(﹣6，3)，求B點的坐標．答案(1)BD+CE＝DE(2)BD+CE＝DE(3)(1，4)解析(1)BD+CE＝DE，理由如下：∵BD⊥AD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中&∠ADB∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；(2)BD+CE＝DE，理由如下：在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD，∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD，∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中&∠BDA∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；(3)如圖③，過A作AE⊥x軸于點E，過BBF⊥x軸于點F，∵點C的坐標為(﹣2，0)，點A的坐標為(﹣6，3)，∴OC＝2，OE＝6，AE＝3，∴CE＝OE﹣OC＝6﹣2＝4，由(1)可知，△AEC≌△CFB(AAS)，∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝4，∴OF＝CF﹣OC＝3﹣2＝1，∴點B的坐標為(1，4)．2.如圖，線段AB＝6，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點，以AP為邊做正方形APCD，且點C、D與點B在AP兩側，在線段DP上取一點E，使得∠EAP＝∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F(點F與點A、B不重合)．(1)求證：△AEP≌△CEP；(2)判斷CF與AB的位置關系，并說明理由；(3)△AEF的周長是否為定值，若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．答案(1)略(2)CF⊥AB(3)△AEF的周長是定值解析(1)證明：如圖，∵四邊形APCD是正方形，∴AP＝AD＝CP＝CD，∠PAD＝∠PCD＝90°，∴∠APD＝∠ADP＝45°，∠CPD＝∠CDP＝45°，∴∠APE＝∠CPE，∴PE＝PE，∴△AEP≌△CEP(SAS)．(2)解：CF⊥AB，理由如下：如圖，設CF交PA于點H，∵∠EAP＝∠BAP，∠EAP＝∠ECP，∴∠BAP＝∠ECP，即∠FAH＝∠PCH，∵∠AHF＝∠CHP，∠CPH＝90°，∴∠FAH+∠AHF＝∠PCH+∠CHP＝90°，∴∠AFH＝90°，∴CF⊥AB．(3)解：△AEF的周長是定值，如圖，作CI⊥BG于點I，∵BG⊥AB，∴∠BFC＝∠B＝∠BIC＝90°，∴四邊形BFCI是矩形，∴CI＝FB，CF＝BI，∴∠B＝∠PIC＝90°，∠APB＝90°﹣∠CPI＝∠PCI，AP＝PC，∴△APB≌△CPI(AAS)，∴PB＝CI，AB＝PI，∴FB＝PB，∵AE＝CE，∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝CF+AF＝BI+AF，∵BI＝PI+PB，∴AE+EF+AF＝PI+PB+AF＝AB+FB+AF＝AB+AB＝2AB＝2×6＝12，∴△AEF的周長是定值，這個定值是12．1.如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于()A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm答案B解析∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵在Rt△ABC與Rt△CDE中&∠B∴Rt△ABC≌Rt△CDE(AAS)，∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，故選：B．2.如圖，一個等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處(∠O＝90°)，若OA＝50cm，OB＝28cm，則點C離地面的距離是cm．答案28解析如圖，過點C作CD⊥OB于點D，∵∠O＝∠ABC＝∠BDC＝90°，∴∠1＝∠2(同角的余角相等)．在△AOB與△BDC中&∠O∴△AOB≌△BDC(AAS)．∴OB＝CD＝28cm．故答案是：28．3.一個等腰直角三角板如圖擱置在兩柜之間，且點D，C，E在同一直線上，已知稍高的柜高AD為80cm，兩柜距離DE為140cm．求稍矮的柜高BE．答案60cm解析由題意得：∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中&∠ADC∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD＝CE，DC＝BE，∵AD＝80cm，∴CE＝80cm，∵DE＝140cm，∴DC＝60cm，∴BE＝60cm．4.如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,BE=CF,E為BC邊上的一點，以E為頂點作∠AEF，∠AEF的一邊交答案AC解析AC=EC，理由如下：

∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，

∵∠B+∠BAE=∠AEC=∠AEF+∠CEF，∠AEF=∠B，

∴∠BAE=∠5.探究：如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥m于點D，CE⊥m于點E，求證：△ABD≌△CAE．應用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．求出DE、BD和CE的關系．拓展：如圖①中，若DE＝10．梯形BCED的面積．答案DE＝BD+CE，50解析證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中&∠BDA∴△ADB≌△CEA(AAS)；探究：解：設∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中&∠BDA∴△ABD≌△CAE(AAS)；∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；拓展：解：由探究知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝CE+BD，∵DE＝10，∴BD+CE＝10，∴S故答案為：50．6.觀察猜想：(1)如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三點在同一條直線上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為點D，E，則線段AD，DE，BE三者之間的數(shù)量關系是；類比探究：(2)如圖2，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三點在同一條直線上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，線段AD，DE，BE三者之間的數(shù)量關系有變化嗎？請說明理由；拓展延伸：(3)如圖3，若將(1)中的條件改為：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三點在同一條直線上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，α為任意鈍角，那么(1)中你的結論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．答案(1)DE＝AD+BE(2)AD＝BE+DE(3)(1)中的結論還成立解析(1)結論：DE＝AD+BE，理由：如圖1中，∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°，∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中&∠E∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴BE＝DC，CE＝AD，∴DE＝CE+DE＝AD+BE．故答案為：DE＝AD+BE；(2)結論：AD＝BE+DE．理由：如圖2中，