第4講二次函數(shù)(題型精講)(原卷版+解析)

第4講二次函數(shù)目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測試第三部分：典型例題剖析題型一：二次函數(shù)的定義題型二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型三：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型四：二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系題型五：一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷題型六：反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷題型七：兩個(gè)二次函數(shù)圖象綜合判斷題型八：二次函數(shù)的對(duì)稱性問題題型九：求二次函數(shù)解析式題型十：二次函數(shù)平移問題題型十一：二次函數(shù)最值問題題型十二：二次函數(shù)與一元二次方程題型十三：二次函數(shù)與不等式題型十四：實(shí)際問題與二次函數(shù)題型十五：二次函數(shù)綜合第四部分：中考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的定義一般地，形如（、、是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)解析式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：（、、是常數(shù)，）；②頂點(diǎn)式：（，，是常數(shù)，），其中為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：（），該拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，．知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)（）的圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（、、是常數(shù)，）圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．簡記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小．簡記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最大值，知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)（）圖象與系數(shù)的關(guān)系字母的符號(hào)圖象的特征開口向上開口向下（，同號(hào)）對(duì)稱軸在軸左側(cè)（，異號(hào)）對(duì)稱軸在軸右側(cè)圖象過原點(diǎn)與軸正半軸相交與軸負(fù)半軸相交知識(shí)點(diǎn)五：二次函數(shù)圖象變換（左加，右減，上加，下減）平移方式（）一般式頂點(diǎn)式向左平移個(gè)單位向右平移個(gè)單位向上平移個(gè)單位向下平移個(gè)單位知識(shí)點(diǎn)六：二次函數(shù)與方程的關(guān)系與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)無交點(diǎn)對(duì)稱軸韋達(dá)定理；知識(shí)點(diǎn)七：二次函數(shù)與不等式的關(guān)系圖象與軸交點(diǎn)2個(gè)1個(gè)無的解集情況或取任意實(shí)數(shù)的解集情況無解無解第二部分：課前自我評(píng)估測試1．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）將拋物線向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是（）A． B． C． D．2．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)翠苑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（

）A．y=3x B．y=x2+（3-x）xC．y=（x-1）2 D．y=ax2+bx+c3．（2023春·廣東揭陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下表：x－3－2－1…456x2－bx－5135－1…－1513確定方程x2－bx－5＝0的解的取值范圍是（

）A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜54．（2023春·云南昆明·九年級(jí)昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校校考期中）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是___________．5．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)翠苑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么m的值為______6．（2023春·天津和平·九年級(jí)天津一中校考階段練習(xí)）將二次函數(shù)化為的形式，則____________．第三部分：典型例題剖析題型一：二次函數(shù)的定義典型例題例題1．（2023春·湖北恩施·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是A． B． C． D．例題2．（2023春·山東臨沂·九年級(jí)臨沂沂州實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為______．例題3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）有下列函數(shù)：①；②；③；④．其中是的二次函數(shù)有_____．（填序號(hào)）例題4．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)為何值時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)；(2)當(dāng)為何值時(shí)，此函數(shù)是正比例函數(shù)．同類題型歸類練1．（2022春·廣東江門·九年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇街校顷P(guān)于的二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)中，a的取值范圍是_____．3．（2022春·北京西城·九年級(jí)?？计谥校┮阎顷P(guān)于的二次函數(shù)，那么的值為______．4．（2022春·廣東江門·九年級(jí)?？计谥校┮阎瘮?shù)為二次函數(shù)，則的值為______．題型二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)典型例題例題1．（2022春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期末）將拋物線先向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．例題2．（2022春·天津河北·九年級(jí)天津二中期末）已知拋物線（，，為常數(shù)），，，是拋物線上三點(diǎn)，則，，由小到大依序排列為（

）A． B． C． D．例題3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，直線與拋物線在自變量取值范圍內(nèi)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是__．例題4．（2022春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______；(2)該函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為______；(3)用五點(diǎn)法畫函數(shù)圖象：…………(4)將該拋物線繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后所得拋物線的表達(dá)式為______．同類題型歸類練1．（2022春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則函數(shù)中的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022春·廣東東莞·九年級(jí)期中）關(guān)于拋物線的圖象，下列結(jié)論正確的是（）A．對(duì)稱軸是直線 B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大C．與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)是3．（2022春·江蘇南京·九年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，在函數(shù)的圖像上，試確定，，的大小關(guān)系是______．4．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為_________．題型三：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)典型例題例題1．（2022春·遼寧沈陽·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象上三點(diǎn)、、，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．例題3．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，與軸正半軸相交．下列結(jié)論：①；②；③若點(diǎn)，，都在二次函數(shù)的圖象上，則；④關(guān)于的一元二次方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論是_____（填寫序號(hào)）．例題4．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：(1)寫出方程的兩個(gè)根；(2)寫出方程時(shí)的取值范圍；(3)寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍；(4)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．同類題型歸類練1．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③若為任意實(shí)數(shù)，則有；④若圖象經(jīng)過點(diǎn)，方程的兩根為，，則．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．（2022春·江蘇連云港·九年級(jí)階段練習(xí)）拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表，則下列說法中正確的有（）個(gè)①當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．②拋物線的對(duì)稱軸為直線．③當(dāng)時(shí)，．④方程一個(gè)正數(shù)解滿足．A．1 B．2 C．3 D．43．（2022春·安徽淮北·九年級(jí)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為，下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④4．（2022春·江蘇南京·九年級(jí)南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖像如圖所示，其對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中，正確的是___________．題型四：二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系典型例題例題1．（2022春·北京海淀·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，此函數(shù)的圖象可以是（

）A．．B．．C．．D．例題2．（2022春·山東德州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③例題3．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示是二次函數(shù)圖像的一部分，圖像過點(diǎn)，二次函數(shù)圖像對(duì)稱軸為直線，給出五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④方程的根為，；⑤當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大．其中正確結(jié)論有________________同類題型歸類練1．（2022春·安徽滁州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線如圖所示，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022春·北京·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，是二次函數(shù)圖象的一部分，其對(duì)稱軸為，且過點(diǎn)，下列說法：①；②；③；④若是拋物線上兩點(diǎn)，則．其中說法正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④3．（2022春·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，與軸交于，兩點(diǎn)．若，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型五：一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·河南南陽·九年級(jí)南陽市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限例題2．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）函數(shù)數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．例題3．（2022春·河南濮陽·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的部分函數(shù)圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A． B． C．D．例題4．（2022·山東泰安·?？级＃┤鐖D所示，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸下方且橫坐標(biāo)等于3，則下列結(jié)論：①；②；③；④的解集為中正確的結(jié)論是______（只填寫序號(hào)）．同類題型歸類練1．（2022春·湖南長沙·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象大致為（）A． B． C． D．2．（2022春·廣西欽州·九年級(jí)?？计谥校┖瘮?shù)與(是常數(shù)，且)在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是(

)A．B．C．D．3．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A．B．C．D．4．（2022春·湖南永州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A． B．C． D．題型六：反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)，是反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．例題2．（2022秋·廣東湛江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像為（

）A． B． C．D．例題3．（2022春·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在同一平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．例題4．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）B．C．D．同類題型歸類練1．（2022春·浙江舟山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖像是（

）A． B．C．D．2．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A． B．C． D．3．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（

）B．C．D．4．（2022秋·九年級(jí)單元測試）根據(jù)如圖所示的二次函數(shù)的圖象，判斷反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象大致是（

）B．C．D．題型七：兩個(gè)二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于軸的直線分別交拋物線（）和拋物線（）于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．例題2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，其關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線為：，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線沿軸向右平移得到拋物線，拋物線與軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)和點(diǎn)（在的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，如果滿足與相似，請(qǐng)求出平移后拋物線的表達(dá)式．同類題型歸類練1．（2022秋·四川成都·九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線y1＝（x-h）2＋k與交于點(diǎn)A，分別交y軸于點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正確結(jié)論是：①；②點(diǎn)（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，則p＜n＜m；③y1≥y2，則x≤1；④PQ＝．A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④2．（2022春·江蘇蘇州·九年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，函數(shù)y＝ax2＋b與y＝bx2＋ax的圖象可能是()A． B． C．D．題型八：二次函數(shù)的對(duì)稱性問題典型例題例題1．（2022春·江蘇無錫·九年級(jí)江蘇省天一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)和在二次函數(shù)圖象上，則拋物線的對(duì)稱軸是直線（

）A． B． C． D．例題2．（2022春·遼寧沈陽·九年級(jí)沈陽市雨田實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末）已知二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表．同學(xué)們討論得出了下列結(jié)論：①拋物線的開口向上；②拋物線的對(duì)稱軸為直線；③當(dāng)時(shí)，；④是方程的一個(gè)根．其中正確的結(jié)論有（

）…0135……70…A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例題3．（2022春·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽縣懷文中學(xué)校考期中）如圖，函數(shù)（，，為常數(shù)，且）經(jīng)過點(diǎn)、，且，下列結(jié)論：①；②﹔③若點(diǎn)，在拋物線上，則；④，必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中結(jié)論正確的有___________．（填序號(hào)）例題4．（2022春·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)，，在二次函數(shù)圖象上．(1)寫出此二次函數(shù)的對(duì)稱軸______，并求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)關(guān)于的一元二次方程的根為_____；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_____．同類題型歸類練1．（2022秋·河北承德·九年級(jí)承德市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，則下列結(jié)論：①；②拋物線的對(duì)稱軸是直線；③，；④與兩點(diǎn)間的距離為．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022春·北京西城·九年級(jí)北京十四中?？计谥校佄锞€，對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)，則的值為___________．3．（2022春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，，，是拋物線上的點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是______（用“”連接）．4．（2022春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若，為拋物線上兩點(diǎn)，則h的值為___________．題型九：求二次函數(shù)解析式典型例題例題1．（2022春·吉林長春·九年級(jí)期末）已知，二次函數(shù)的圖象如圖所示，二次函數(shù)與軸交于，，(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．例題2．（2022春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)．求此拋物線的解析式例題3．（2022春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求這個(gè)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（配方法）同類題型歸類練1．（2022春·遼寧大連·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，，(1)此二次函數(shù)的解析式；(2)它的頂點(diǎn)坐標(biāo)．2．（2022春·陜西渭南·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)（其中為常數(shù)）．(1)該函數(shù)的圖像與軸的公共點(diǎn)有_________個(gè)；(2)若該函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸是，頂點(diǎn)為點(diǎn)A，求此時(shí)函數(shù)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)．3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝ax2＋c過點(diǎn)（﹣2，2），（4，5），過定點(diǎn)F（0，2）的直線l；y＝kx＋2與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的判斷．題型十：二次函數(shù)平移問題典型例題例題1．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）將拋物線先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．例題2．（2022春·北京·九年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校期末）將拋物線先向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度，所得拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．例題3．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖像向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移2單位，得到的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______________．例題4．（2022·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且對(duì)稱軸是直線，該拋物線的解析式是__________．該拋物線經(jīng)過平移得到拋物線，請(qǐng)描述平移過程_________．同類題型歸類練1．（2022春·陜西渭南·九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)C，將該二次函數(shù)圖象向右平移m個(gè)單位長度后，也經(jīng)過點(diǎn)C，則m的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）將拋物線經(jīng)過怎樣平移變換得到（

）A．向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位 B．向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位C．向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位 D．向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位3．（2022春·遼寧葫蘆島·九年級(jí)期中）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，若將x軸向上平移2個(gè)單位長度，將y軸向左平移3個(gè)單位長度，則該拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)表達(dá)式為______．4．（2022春·江蘇南京·九年級(jí)南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)（是常數(shù)）．(1)求證：不論為何值，該函數(shù)圖像與軸沒有公共點(diǎn)；(2)把該函數(shù)的圖像沿軸向下平移___________個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)的圖像與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？題型十一：二次函數(shù)最值問題典型例題例題1．（2022春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┒魏瘮?shù)的最小值為（）A．2 B．0 C． D．例題2．（2022春·山西忻州·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，則的值為______．例題3．（2022春·吉林長春·九年級(jí)吉林省實(shí)驗(yàn)期末）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的最大值為1，則的值為______．例題4．（2022春·山東青島·九年級(jí)青島三十九中期末）“互聯(lián)網(wǎng)＋”時(shí)代，網(wǎng)上購物備受消費(fèi)者青睞．某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條40元，當(dāng)售價(jià)為每條90元時(shí)，每月可銷售50條．為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價(jià)措施．據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價(jià)每降1元，則每月可多銷售5條．設(shè)每條褲子的售價(jià)為元（售價(jià)不低于40元），每月的銷售量為條．(1)直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式；(2)該網(wǎng)店每月獲得的利潤為元，當(dāng)銷售單價(jià)多少元時(shí)，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？(3)該網(wǎng)店店主為了保證捐款后每月利潤4420元，且讓消費(fèi)者得到最大的實(shí)惠，該如何確定休閑褲的銷售單價(jià)？同類題型歸類練1．（2022春·河北滄州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)（

）A．有最大值、最小值，分別是3，0B．最大值是4，無最小值C．最小值是，最大值是3D．最小值是，最大值是42．（2022春·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其最小值為，最大值為3，則的最大值是___________．3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)，且，時(shí)，y的最小值為，最大值為，則的值為．4．（2022春·遼寧大連·九年級(jí)大連市第79中學(xué)階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)A在x軸上，且，與一次函數(shù)的圖象交于y軸上一點(diǎn)B和另一交點(diǎn)C.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D為線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸，垂足為E，交F拋物線于點(diǎn)F，請(qǐng)求出線段的最大值.題型十二：二次函數(shù)與一元二次方程典型例題例題1．（2022春·新疆昌吉·九年級(jí)新疆昌吉回族自治州第二中學(xué)期末）拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0例題2．（2022春·北京房山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．例題3．（2022春·安徽合肥·九年級(jí)?？计谥校┮阎獟佄锞€與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，______．例題4．（2022春·遼寧大連·九年級(jí)期末）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線交軸、兩點(diǎn)，求的長同類題型歸類練1．（2022春·福建福州·九年級(jí)閩清天儒中學(xué)階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2022春·廣東東莞·九年級(jí)期中）如圖，一元二次方程的解為_____________3．（2022春·遼寧大連·九年級(jí)期末）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知方程的解是________．4．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程的解是__．題型十三：二次函數(shù)與不等式典型例題例題1．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程為的根為則關(guān)于的一元二次不等式的解集為（）A．或 B． C． D．例題2．（2022春·北京·八年級(jí)人大附中校考期中）拋物線與直線交于兩點(diǎn)，關(guān)于的不等式的解集是（）A．或 B．或 C． D．例題3．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),，．現(xiàn)有四個(gè)推斷：①拋物線開口向下；②當(dāng)時(shí)，取最大值；③當(dāng)時(shí)．關(guān)于的一元二次方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④直線經(jīng)過點(diǎn),，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；其中推斷正確的是（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④例題4．（2022春·山西大同·九年級(jí)大同一中階段練習(xí)）閱讀理解：我們學(xué)習(xí)過二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，可以借助二次函數(shù)的圖象，研究一元二次方程的根．那么我們能否借助二次函數(shù)的圖象研究一元二次不等式的解集？例如，圖1：與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是，．此時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，；觀察圖象可以知道：在軸上方的圖象所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，此時(shí)對(duì)應(yīng)的的取值范圍是或；所以不等式的解集為：或；類比上述所了解的內(nèi)容，相信你一定能夠解決如下的問題：(1)的解集是：________________________．(2)圖2是把的圖象沿軸翻折而形成的圖象，求此二次函數(shù)的解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，并根據(jù)圖象求出的解集．同類題型歸類練1．（2022春·江蘇鹽城·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（）A．或 B．或 C． D．2．（2022春·四川自貢·九年級(jí)四川省榮縣中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x013y353下列結(jié)論：①，②當(dāng)時(shí)，y的值隨x的增大而減??；③是方程的一個(gè)根；④當(dāng)時(shí)，，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．（2022春·湖北黃岡·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線分別交坐標(biāo)軸于，，，則的解是________．4．（2022春·新疆烏魯木齊·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)、、坐標(biāo)；(2)若直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，直接寫出不等式的解集．題型十四：實(shí)際問題與二次函數(shù)典型例題例題1．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)的關(guān)系式為，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨仁?m時(shí)，這時(shí)水面寬度為（）A．﹣10m B．m C．m D．m例題2．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）東海體育用品商場為了推銷某一運(yùn)動(dòng)服，先做了市場調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表：賣出價(jià)格（元/件）50515253…銷售量（件）500490480470…(1)以作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作為縱坐標(biāo)，把表中的數(shù)據(jù)，在圖中的直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，觀察連接各點(diǎn)所得的圖形，判斷與的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果這種運(yùn)動(dòng)服的買入價(jià)為每件40元，試求銷售利潤（元）與賣出價(jià)格（元/件）的函數(shù)關(guān)系式（銷售利潤銷售收入買入支出）；(3)在（2）的條件下，當(dāng)賣出價(jià)為多少時(shí)，能獲得最大利潤？例題3．（2022春·山東青島·九年級(jí)期末）某著名索拉橋，在橋頭立柱兩側(cè)拉著鋼索，以其中一根立柱為軸，以橋面為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示，左側(cè)鋼索近似于直線，底端在遠(yuǎn)離立柱200米的橋面上的處固定，處離橋面100米．右側(cè)鋼索近似于拋物線，該拋物線最低處離立柱300米，離橋面10米．(1)求出拋物線和直線的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫自變量的取值范圍）(2)現(xiàn)要在左右兩條鋼索上各加一條豎直鋼索和進(jìn)行加固，要求它們的水平距離相距200米，請(qǐng)問這兩條豎直鋼索和加在何處，使得它們的高度之和最??？高度之和最小是多少？例題4．（2022春·北京東城·九年級(jí)北京二中期末）第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)已于2022年在北京成功舉辦，跳臺(tái)滑雪是北京冬奧會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，近些年來冰雪運(yùn)動(dòng)也得到了蓬勃發(fā)展．如圖是某跳臺(tái)滑雪場地的截面示意圖．平臺(tái)長1米（即），平臺(tái)距地面18米．以地面所在直線為軸，過點(diǎn)垂直于地面的直線為軸，取1米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，已知滑道對(duì)應(yīng)的函數(shù)為．運(yùn)動(dòng)員（看成點(diǎn)）在方向獲得速度米/秒后，從處向右下飛向滑道，點(diǎn)是下落過程中的某位置（忽略空氣阻力）．設(shè)運(yùn)動(dòng)員飛出時(shí)間為秒，運(yùn)動(dòng)員與點(diǎn)的豎直距離為米，運(yùn)動(dòng)員與點(diǎn)的水平距離為米，經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明：，．(1)求滑道對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)，時(shí)，通過計(jì)算判斷運(yùn)動(dòng)員此時(shí)是否已落在滑道上；(3)在試跳中，運(yùn)動(dòng)員從處飛出，運(yùn)動(dòng)員甲飛出的路徑近似看做函數(shù)圖像的一部分，著陸時(shí)水平距離為，運(yùn)動(dòng)員乙飛出的路徑近似看做函數(shù)圖像的一部分，著陸時(shí)水平距離為，則______（填“＞”“＝”或“＜”）．同類題型歸類練1．（2022春·天津·九年級(jí)天津市第五十五中學(xué)期末）進(jìn)入夏季后，某電器商場為減少庫存，對(duì)電熱取暖器連續(xù)進(jìn)行兩次降價(jià)．若設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是，降價(jià)后的價(jià)格為元，原價(jià)為元，則y與之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．2．（2022春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期末）飛機(jī)著陸后滑行的距離（單位：m）關(guān)于滑行時(shí)間（單位：s）的函數(shù)解析式是，在飛機(jī)著陸滑行中，最后10s滑行的距離是___________m．3．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）近年來，電動(dòng)車駕駛安全越來越被重視．某商店銷售頭盔，每個(gè)進(jìn)價(jià)50元．經(jīng)市場調(diào)研，當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，每月可銷售300個(gè)；售價(jià)每增加1元，銷售量將減少10個(gè)．為了提高銷售量，當(dāng)售價(jià)為80元時(shí)，啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨，此時(shí)售價(jià)每增加1元，需支付給主播300元．物價(jià)局對(duì)此頭盔規(guī)定：售價(jià)最高不超過110元．如圖中的折線表示該品牌頭盔的銷售量y（單位：個(gè)）與售價(jià)x（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系．(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨后，當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，該商家獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？4．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)?？计谀┤鐖D是進(jìn)行小球平拋實(shí)驗(yàn)的截面示意圖，平臺(tái)距軸（水平）分米，與軸交于點(diǎn)，且分米．小球（看成點(diǎn)）在方向獲得速度分米/秒后，從處向右下飛向x軸，點(diǎn)是下落路線的某位置，忽略空氣阻力，實(shí)驗(yàn)表明：的豎直距離（分米）與飛出時(shí)間（秒）的平方成正比，且時(shí)，，的水平距離是分米，在x軸上垂直豎立一根高桿，且分米．(1)用含的代數(shù)式表示______；(2)設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則①用含的代數(shù)式表示的橫坐標(biāo)______，縱坐標(biāo)_____；并求與的關(guān)系式（不寫的取值范圍）；②當(dāng)時(shí)，求小球與點(diǎn)的水平距離．(3)要保證小球飛到高桿上方時(shí)，小球與高桿頂部的距離恰為分米，已知分米/秒，直接寫出高桿與y軸的距離的取值范圍．題型十五：二次函數(shù)綜合典型例題例題1．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列關(guān)于二次函數(shù)（其中是自變量）的結(jié)論：①該拋物線的對(duì)稱軸為；②若時(shí)，隨的增大而減小，則；③若，則的解集為或；④該拋物線經(jīng)過不同兩點(diǎn)，，那么該拋物線的頂點(diǎn)一定不可能在函數(shù)的圖像上．其中結(jié)論正確的有____________（填序號(hào)）．例題2．（2022春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)連接，，拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例題3．（2022春·山東日照·九年級(jí)日照市新營中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式和直線的解析式；(2)如圖①，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著方向以個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著方向以個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，與相似．(3)如圖②，動(dòng)點(diǎn)在直線上方，且在拋物線上，求出的最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．例題4．（2022·重慶合川·九年級(jí)重慶市合川中學(xué)期末）已知拋物線的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，有一動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)連接，則的最大面積為______；(2)當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)______．同類題型歸類練1．（2022春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．(1)求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖，過點(diǎn)A的直線l：與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)時(shí)，求m的值．2．（2022春·廣東東莞·九年級(jí)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)A；點(diǎn)F在y軸上，直線與y軸交于點(diǎn)H．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線交于點(diǎn)M，求證：；(3)當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2022春·陜西渭南·九年級(jí)期末）如圖，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，C，與x軸交于另一點(diǎn)B．(1)求拋物線的解析式；(2)若D是拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），且，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．4．（2022春·新疆昌吉·九年級(jí)新疆昌吉回族自治州第二中學(xué)期末）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與拋物線相交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求直線和拋物線的函數(shù)解析式；(2)在y軸上有一點(diǎn)P，若，求點(diǎn)P坐標(biāo)；第四部分：中考真題感悟1．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，有以下結(jié)論：①；②若t為任意實(shí)數(shù)，則有；③當(dāng)圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，方程的兩根為，（），則，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為，且經(jīng)過點(diǎn)（-1，0）．下列結(jié)論：①3a+b=0；②若點(diǎn)，（3，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，則y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，所得函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．5．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）在北京冬奧會(huì)自由式滑雪大跳臺(tái)比賽中，我國選手谷愛凌的精彩表現(xiàn)讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺(tái)滑出后的運(yùn)動(dòng)路線是一條拋物線，設(shè)她與跳臺(tái)邊緣的水平距離為xm，與跳臺(tái)底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），當(dāng)她與跳臺(tái)邊緣的水平距離為_____m時(shí)，豎直高度達(dá)到最大值．6．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）如圖是二次函數(shù)的圖像，該函數(shù)的最小值是__________．7．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。渲姓_的結(jié)論有___________．（填寫代表正確結(jié)論的序號(hào)）8．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．(1)求該拋物線的解析式；(2)連接BC，CD，BD，P為BD的中點(diǎn)，連接CP，則線段CP的長是______．注：拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．9．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P，連結(jié)，，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．第4講二次函數(shù)目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測試第三部分：典型例題剖析題型一：二次函數(shù)的定義題型二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型三：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型四：二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系題型五：一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷題型六：反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷題型七：兩個(gè)二次函數(shù)圖象綜合判斷題型八：二次函數(shù)的對(duì)稱性問題題型九：求二次函數(shù)解析式題型十：二次函數(shù)平移問題題型十一：二次函數(shù)最值問題題型十二：二次函數(shù)與一元二次方程題型十三：二次函數(shù)與不等式題型十四：實(shí)際問題與二次函數(shù)題型十五：二次函數(shù)綜合第四部分：中考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的定義一般地，形如（、、是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)解析式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：（、、是常數(shù)，）；②頂點(diǎn)式：（，，是常數(shù)，），其中為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：（），該拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，．知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)（）的圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（、、是常數(shù)，）圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．簡記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最大值，知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)（）圖象與系數(shù)的關(guān)系字母的符號(hào)圖象的特征開口向上開口向下（，同號(hào)）對(duì)稱軸在軸左側(cè)（，異號(hào)）對(duì)稱軸在軸右側(cè)圖象過原點(diǎn)與軸正半軸相交與軸負(fù)半軸相交知識(shí)點(diǎn)五：二次函數(shù)圖象變換（左加，右減，上加，下減）平移方式（）一般式頂點(diǎn)式向左平移個(gè)單位向右平移個(gè)單位向上平移個(gè)單位向下平移個(gè)單位知識(shí)點(diǎn)六：二次函數(shù)與方程的關(guān)系與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)無交點(diǎn)對(duì)稱軸韋達(dá)定理；知識(shí)點(diǎn)七：二次函數(shù)與不等式的關(guān)系圖象與軸交點(diǎn)2個(gè)1個(gè)無的解集情況或取任意實(shí)數(shù)的解集情況無解無解第二部分：課前自我評(píng)估測試1．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）將拋物線向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵拋物線向上平移3個(gè)單位，∴平移后的解析式為：．故選：A．2．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)翠苑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（

）A．y=3x B．y=x2+（3-x）xC．y=（x-1）2 D．y=ax2+bx+c【答案】C【詳解】A．，是一次函數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．，是一次函數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．，是二次函數(shù)，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D．，當(dāng)時(shí)，是一次函數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．故選：C．3．（2023春·廣東揭陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下表：x－3－2－1…456x2－bx－5135－1…－1513確定方程x2－bx－5＝0的解的取值范圍是（

）A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5【答案】A【詳解】解：由表格可知：當(dāng)x＝－2時(shí)，x2－bx－5＝5，當(dāng)x＝－1時(shí)，x2－bx－5＝－1，∴關(guān)于x的一元二次方程x2－bx－5=0的一個(gè)解x的范圍是－2＜x＜－1，同理，另一個(gè)解的范圍是：4＜x＜5綜上，方程x2－bx－5＝0的解的取值范圍是：－2＜x＜－1或4＜x＜5故選A．4．（2023春·云南昆明·九年級(jí)昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校?？计谥校佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)是___________．【答案】【詳解】拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：．5．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)翠苑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么m的值為______【答案】2【詳解】解：是y關(guān)于x的二次函數(shù)，且，解得，故答案為：．6．（2023春·天津和平·九年級(jí)天津一中?？茧A段練習(xí)）將二次函數(shù)化為的形式，則____________．【答案】【詳解】解：===故答案為：．第三部分：典型例題剖析題型一：二次函數(shù)的定義典型例題例題1．（2023春·湖北恩施·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】D【詳解】A.是一次函數(shù)；

B.，是三次函數(shù)；

C.=2x+1，是一次函數(shù)；

D.，是二次函數(shù).故選D例題2．（2023春·山東臨沂·九年級(jí)臨沂沂州實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為______．【答案】1【詳解】解：函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，且，解得，故答案為：1．例題3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）有下列函數(shù)：①；②；③；④．其中是的二次函數(shù)有_____．（填序號(hào)）【答案】②③④【詳解】解：y是x的二次函數(shù)的是②；③；④．故答案為：②③④．例題4．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)為何值時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)；(2)當(dāng)為何值時(shí)，此函數(shù)是正比例函數(shù)．【答案】(1)時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)；(2)或或2，此函數(shù)是正比例函數(shù)．【詳解】（1）解：由題意得：且，解得：，∴當(dāng)時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)；（2）解：由題意得：且，或，且，解得：或或2，當(dāng)時(shí)或或2，此函數(shù)是正比例函數(shù)．同類題型歸類練1．（2022春·廣東江門·九年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇街?，是關(guān)于的二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：A、，是一次函數(shù)，故A不符合題意；B、，是二次函數(shù)，故B符合題意；C、，不是二次函數(shù)，故C不符合題意；D、，欠缺這個(gè)條件，所以不是二次函數(shù)，故D不符合題意；故選：B．2．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)中，a的取值范圍是_____．【答案】【詳解】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，，解得：．故答案為：．3．（2022春·北京西城·九年級(jí)?？计谥校┮阎顷P(guān)于的二次函數(shù)，那么的值為______．【答案】【詳解】解：∵為二次函數(shù)，∴，∴，故．故答案為：．4．（2022春·廣東江門·九年級(jí)校考期中）已知函數(shù)為二次函數(shù)，則的值為______．【答案】【詳解】解：依題意，得解得故答案為題型二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)典型例題例題1．（2022春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期末）將拋物線先向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，把點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴平移后得到的拋物線解析式為．故選：B．例題2．（2022春·天津河北·九年級(jí)天津二中期末）已知拋物線（，，為常數(shù)），，，是拋物線上三點(diǎn)，則，，由小到大依序排列為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵，，∴拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)，隨的增大而增大，∵關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，且，∴．故選：A．例題3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，直線與拋物線在自變量取值范圍內(nèi)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是__．【答案】##【詳解】解：∵拋物線，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，令，則，令，則，解得：，，∴拋物線與軸的交點(diǎn)為和，與軸交點(diǎn)為，∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線的圖象如圖所示：由圖象知：當(dāng)時(shí)，直線與拋物線在內(nèi)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．故答案為：．例題4．（2022春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______；(2)該函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為______；(3)用五點(diǎn)法畫函數(shù)圖象：…………(4)將該拋物線繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后所得拋物線的表達(dá)式為______．【答案】(1)(2)、(3)見解析(4)【詳解】（1）∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；故答案為；（2）令，即，解得或1，故答案為、；（3）令，則，故拋物線和y軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，x…01…y…00…將表格數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線畫出如下函數(shù)圖象：（4）旋轉(zhuǎn)后只是拋物線開口向下了，即，故拋物線的表達(dá)式為，故答案為；同類題型歸類練1．（2022春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則函數(shù)中的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，因?yàn)?，所以拋物線開口向下，所以當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，而時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，所以．故選：B．2．（2022春·廣東東莞·九年級(jí)期中）關(guān)于拋物線的圖象，下列結(jié)論正確的是（）A．對(duì)稱軸是直線 B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大C．與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)是【答案】B【詳解】解：∵二次函數(shù)中，，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故A，D選項(xiàng)不正確，B選項(xiàng)正確；令，，即拋物線與軸交于點(diǎn)，故C選項(xiàng)不正確．故選：B．3．（2022春·江蘇南京·九年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，在函數(shù)的圖像上，試確定，，的大小關(guān)系是______．【答案】##【詳解】解：∵∴對(duì)稱軸為直線，開口方向向上∴A點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為1，B點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為2，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為3∵，∴，故答案為．4．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為_________．【答案】2或【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，且開口向下，①時(shí)，取得最大值，∴，解得，∵，∴；②時(shí)，取得最大值，，解得，綜上所述，或時(shí)，二次函數(shù)有最大值．故答案為：2或．題型三：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)典型例題例題1．（2022春·遼寧沈陽·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)，判定，故A錯(cuò)誤，不符合題意；拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，故B錯(cuò)誤，不符合題意；設(shè)拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，所以即；故C錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，因?yàn)閽佄锞€開口向下，對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，所以．故D正確，符合題意；故選D．例題2．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象上三點(diǎn)、、，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴二次函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸是直線，即在對(duì)稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，∵三點(diǎn)、、在二次函數(shù)圖象上，∴C點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在二次函數(shù)圖象上，∵，∴，故選：D．例題3．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，與軸正半軸相交．下列結(jié)論：①；②；③若點(diǎn)，，都在二次函數(shù)的圖象上，則；④關(guān)于的一元二次方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論是_____（填寫序號(hào)）．【答案】①③④【詳解】∵拋物線與y軸正半軸相交，與x軸交點(diǎn)在y軸兩側(cè)，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)時(shí)，，所以①正確．∵拋物線經(jīng)過，，，∴拋物線對(duì)稱軸在與之間，∴.∵，∴，即，②錯(cuò)誤．∵，，，∴點(diǎn)距離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)，點(diǎn)距離對(duì)稱軸最近，∴，③正確．由圖象可得拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，④正確．故答案為：①③④．例題4．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：(1)寫出方程的兩個(gè)根；(2)寫出方程時(shí)的取值范圍；(3)寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍；(4)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)1和3(2)或(3)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小(4)【詳解】（1）解：由圖象可知，圖象與x軸交于和點(diǎn)，則方程的兩個(gè)根為1和3；（2）解：由圖象可知當(dāng)或時(shí)，不等式；（3）解：由圖象可知，的圖象的對(duì)稱軸為，開口向下，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；（4）解：由圖象可知，二次函數(shù)的最大值為2，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k必須小于的最大值，則．同類題型歸類練1．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③若為任意實(shí)數(shù)，則有；④若圖象經(jīng)過點(diǎn)，方程的兩根為，，則．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【詳解】解：由圖象可知：，，，∴，∴，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴，故②正確；∵時(shí)，有最大值，∴（m為任意實(shí)數(shù)），∴，∴，故③錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，方程的兩根為：，，∴二次函數(shù)與直線的一個(gè)交點(diǎn)為，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴二次函數(shù)與直線的一個(gè)交點(diǎn)為，即，，∴，故④正確．∴正確的是②④；故選：C．2．（2022春·江蘇連云港·九年級(jí)階段練習(xí)）拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表，則下列說法中正確的有（）個(gè)①當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。趻佄锞€的對(duì)稱軸為直線．③當(dāng)時(shí)，．④方程一個(gè)正數(shù)解滿足．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：①由表格看出，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故①的說法正確；②由表格看出，這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸為直線，故②的說法錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相同，即，故③的說法錯(cuò)誤；④方程的解異號(hào)，其中正數(shù)解滿足，負(fù)數(shù)解滿足，故④的說法正確．故選：B．3．（2022春·安徽淮北·九年級(jí)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為，下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④【答案】C【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為，∴，則；故①錯(cuò)誤；，故②正確；∵圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)，∴，故③正確；∵當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)取到最大值，∴，故④正確；故選：C．4．（2022春·江蘇南京·九年級(jí)南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖像如圖所示，其對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中，正確的是___________．【答案】②③④⑤【詳解】解：由圖像可知，當(dāng)時(shí)，，，，則①不正確；當(dāng)時(shí)，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則；②正確；時(shí)，，即；③正確；對(duì)稱軸，∴，④正確；時(shí)，．故⑤正確；故答案為：②③④⑤．題型四：二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系典型例題例題1．（2022春·北京海淀·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，此函數(shù)的圖象可以是（

）A．．B．．C．．D．【答案】D【詳解】解：由得，∴圖象開口向下，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，且圖象與y軸交于負(fù)半軸，故B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；故選：D．例題2．（2022春·山東德州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③【答案】B【詳解】解：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，∴，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∴，故選項(xiàng)②正確；∵拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，故選項(xiàng)③正確；∵拋物線開口向下，∴，∵對(duì)稱軸為，∴異號(hào)，即，∵圖象與坐標(biāo)相交于軸正半軸，∴，∴，故選項(xiàng)④錯(cuò)誤；∴正確結(jié)論的序號(hào)為②③．故選：B．例題3．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示是二次函數(shù)圖像的一部分，圖像過點(diǎn)，二次函數(shù)圖像對(duì)稱軸為直線，給出五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④方程的根為，；⑤當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大．其中正確結(jié)論有________________【答案】①④⑤【詳解】∵拋物線的開口向下，∴，∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴，∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴，∴，故①正確；當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；∵對(duì)稱軸為，與x軸交于點(diǎn)，∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，故④正確；由圖像得時(shí)，y隨著x的增大而增大，故⑤正確；故答案為：①④⑤．同類題型歸類練1．（2022春·安徽滁州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知拋物線如圖所示，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：∵拋物線的開口方向向下，∴，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，∴，∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，∴，∴，∵，∴．綜上，．故選：B．2．（2022春·北京·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，是二次函數(shù)圖象的一部分，其對(duì)稱軸為，且過點(diǎn)，下列說法：①；②；③；④若是拋物線上兩點(diǎn)，則．其中說法正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【答案】C【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，∴，②正確．∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，∴，∴，①正確．∵拋物線經(jīng)過，對(duì)稱軸為直線，∴拋物線經(jīng)過，∴時(shí)，，③錯(cuò)誤．∵拋物線對(duì)稱軸為直線，拋物線開口向上，∴時(shí)，y隨x增大而減小，∵，∴，④正確．故選：C．3．（2022春·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，與軸交于，兩點(diǎn)．若，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【詳解】解：根據(jù)拋物線的圖像性質(zhì)，結(jié)論①：∵對(duì)稱軸，，∴，故結(jié)論①錯(cuò)誤；結(jié)論②：當(dāng)時(shí)，即，且函數(shù)有最小值，∴，∵結(jié)論②的左邊，，∴，∴結(jié)論②錯(cuò)誤；結(jié)論③：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值為，∵，，，則，∴，故結(jié)論③正確；結(jié)論④：∵圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，即，故結(jié)論④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的有③，故選：．題型五：一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·河南南陽·九年級(jí)南陽市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】D【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)關(guān)系式可知該二次函數(shù)頂點(diǎn)為，由圖像可知該二次函數(shù)頂點(diǎn)在第四象限一次函數(shù)圖像經(jīng)過二、三、四象限故答案為：D例題2．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）函數(shù)數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：∵一次函數(shù)和二次函數(shù)都經(jīng)過y軸上的，∴兩個(gè)函數(shù)圖象交于y軸上的同一點(diǎn)，排除A；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)經(jīng)過一、三象限，排除B；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過二、四象限，排除C；故選：D．例題3．（2022春·河南濮陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的部分函數(shù)圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A． B． C．D．【答案】B【詳解】解：∵二次函數(shù)的部分函數(shù)圖象開口向上，∴，∵二次函數(shù)的部分函數(shù)圖象頂點(diǎn)在x軸下方，開口向上，∴二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，∴一次函數(shù)的圖象位于第一，二，三象限，由二次函數(shù)的部分函數(shù)圖象可知，點(diǎn)在x軸上方，∴，∴的圖象位于第一，三象限，據(jù)此可知，符合題意的是B，故選：B．例題4．（2022·山東泰安·?？级＃┤鐖D所示，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸下方且橫坐標(biāo)等于3，則下列結(jié)論：①；②；③；④的解集為中正確的結(jié)論是______（只填寫序號(hào)）．【答案】①②③④【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，而拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于0，即，所以①正確；∵對(duì)稱軸為，∴，∴，又，∴，即，所以②正確；∵時(shí)，二次函數(shù)有最大值，∴，∴，所以③正確；∵直線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)等于3，由圖象可知，在C、D之間，即時(shí)，，∴的解集為，即的解集為，所以④正確．故答案為：①②③④．同類題型歸類練1．（2022春·湖南長沙·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由一次函數(shù)解析式可知一次函數(shù)與y軸交于正半軸，四個(gè)選項(xiàng)中只有D選項(xiàng)符合題意，故選D．2．（2022春·廣西欽州·九年級(jí)校考期中）函數(shù)與(是常數(shù)，且)在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是(

)A．B．C．D．【答案】C【詳解】解：A．由一次函數(shù)的圖像可知，由拋物線圖像可知，開口向下，，但是一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)和二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，不是同一點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．由一次函數(shù)的圖像可知，由拋物線圖像可知，開口向下，，兩者相矛盾，故B選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．由一次函數(shù)的圖像可知，由拋物線圖像可知，開口向上，，且兩函數(shù)相交軸于同一點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確，符合題意；D．由一次函數(shù)的圖像可知，由拋物線圖像可知，開口向上，兩者相矛盾，故D選項(xiàng)不正確，不符合題意．故選：C．3．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像開口向下，∴，∵，∴，∵拋物線與y軸相交于正半軸，∴，∴直線經(jīng)過一、二、四象限，由圖像可知，當(dāng)x=1時(shí)，，∴，∴反比例函數(shù)的圖像必在二、四象限，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確；故選：C．4．（2022春·湖南永州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴，或，，當(dāng)，時(shí)，拋物線的圖象開口向上，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，直線的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故選項(xiàng)A、B不符合題意；當(dāng)，時(shí)，拋物線的圖象開口向下，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，直線的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，故選項(xiàng)C不符合題意、選項(xiàng)D符合題意；故選：D．題型六：反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)，是反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)，在一、三象限，而二次函數(shù)開口向上，與軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，都不符；當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)，在二、四象限，而二次函數(shù)開口向下，與軸交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，A符合．由已知，k＞0：它們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中的圖象大致是A．故選A．例題2．（2022秋·廣東湛江·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像為（

）A． B． C．D．【答案】C【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像開口向下，對(duì)稱軸在y軸右邊，與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，∴a<0，，c<0，∴b＞0，∴一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，選項(xiàng)C符合題意．故選：C例題3．（2022春·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在同一平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：當(dāng)k>0時(shí)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，并且二次函數(shù)的圖象與y軸交于負(fù)半軸，則A選項(xiàng)不符合題意，C選項(xiàng)符合題意；當(dāng)k<0時(shí)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，并且二次函數(shù)的圖象與y軸交于正半軸，則B、D選項(xiàng)均不符合題意．故選：C．例題4．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）B．C．D．【答案】D【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第一和第三象限內(nèi)，∴b>0，若a<0，則->0，所以二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，故A、B、C、D選項(xiàng)全不符合；當(dāng)a>0，則-<0時(shí)，所以二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，故只有C、D兩選項(xiàng)可能符合題意，由C、D兩選圖象知，c<0，又∵a>0，則-a<0，當(dāng)c<0,a>0時(shí)，一次函數(shù)y=cx-a圖象經(jīng)過第二、第三、第四象限，故只有D選項(xiàng)符合題意．故選：D．同類題型歸類練1．（2022春·浙江舟山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖像是（

）A． B．C．D．【答案】D【詳解】解：當(dāng)k＞0時(shí)，二次函數(shù)的圖像開口向下，頂點(diǎn)在y軸的正半軸；反比例函數(shù)圖像在第一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，二次函數(shù)的圖像開口向上，頂點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸；反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，故選項(xiàng)D正確；故選：D．2．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由圖象可知：圖象開口向下，對(duì)稱軸位于y軸左側(cè)，與y軸正半軸交于一點(diǎn)，∴∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；又∵當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸下方，即此時(shí)，∴∴反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限．故只有C選項(xiàng)符合題意．故選C．3．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（

）B．C．D．【答案】A【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口方向向上，∴a＞0，即－a＜0，又∵對(duì)稱軸為直線x＝－＜0，∴b＞0，∵與y軸的負(fù)半軸相交，∴c＜0，∴y＝－ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，只有A選項(xiàng)圖象符合．故選：A．4．（2022秋·九年級(jí)單元測試）根據(jù)如圖所示的二次函數(shù)的圖象，判斷反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象大致是（

）B．C．D．【答案】A【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可知a＞0，c＜0，由對(duì)稱軸x0，可知b＜0，所以反比例函數(shù)y的圖象在一、三象限，一次函數(shù)y＝bx+c經(jīng)過二、三、四象限．故選：A．題型七：兩個(gè)二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于軸的直線分別交拋物線（）和拋物線（）于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)A（m，m2），則B（m，m2），∵AC∥x軸交拋物線y＝x2于點(diǎn)C，BD∥x軸交拋物線y＝x2于點(diǎn)D，∴C（2m，m2），D（m，m2），∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，.故選C．例題2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，其關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線為：，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線沿軸向右平移得到拋物線，拋物線與軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)和點(diǎn)（在的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，如果滿足與相似，請(qǐng)求出平移后拋物線的表達(dá)式．【答案】（1）的解析式為；（2）平移后拋物線的表達(dá)式為或.【詳解】解：（1）拋物線和拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，且：，：，經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，把點(diǎn)和點(diǎn)代入：可得：，解得：，：；（2）設(shè)拋物線沿軸向右平移個(gè)單位得到拋物線，：，的解析式可以表示為：，拋物線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)，且在的右側(cè)，，拋物線與軸交于點(diǎn)，，∵A（-3，0），C（0，3），∴△AOC為等腰直角三角形，∴當(dāng)△AOC和△DOQ相似時(shí)，△DOQ為等腰直角三角形，∴OQ=OD，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸正半軸上時(shí)，OQ=OD=OA=OC，∴，解得：a=0（舍）或2，此時(shí)：；當(dāng)點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸時(shí)，OD=OQ，則，解得：a=-1（舍）或4，此時(shí)：；綜上：平移后拋物線W3的表達(dá)式為：或.同類題型歸類練1．（2022秋·四川成都·九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線y1＝（x-h）2＋k與交于點(diǎn)A，分別交y軸于點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正確結(jié)論是：①；②點(diǎn)（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，則p＜n＜m；③y1≥y2，則x≤1；④PQ＝．A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④【答案】A【詳解】解∶根據(jù)題意得：拋物線y1＝（x-h）2＋k與的對(duì)稱軸分別為直線和，如圖，設(shè)直線和分別交BC于點(diǎn)M、N，則MN=h+3，∴AM=BM，AN=CN，∴，∵BC=10，∴MN=5，∴h+3=5，∴h=2，∵點(diǎn)B（3，3），∴3＝（3-2）2＋k，解得：，∴，∵BC∥x軸，∴點(diǎn)A、C的縱坐標(biāo)為3，令，則，解得：，∴點(diǎn)A（1，3），把點(diǎn)A（1，3）代入，得：，解得：，故①錯(cuò)誤；∵，且對(duì)稱軸為直線x=2，∴當(dāng)x＞2時(shí)，y1隨x的增大而增大；當(dāng)x＜2時(shí)，y1隨x的增大而減小，∵，∴，∵點(diǎn)（，p）關(guān)于對(duì)稱軸x=2的對(duì)稱點(diǎn)為，∴p＜n＜m，故②正確；∵，∴，∵y1≥y2，∴，整理得：，解得：或，故③錯(cuò)誤；∵，，當(dāng)x=0時(shí)，，，∴點(diǎn)，∴，故④正確；∴正確的有②④．故選：A2．（2022春·江蘇蘇州·九年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，函數(shù)y＝ax2＋b與y＝bx2＋ax的圖象可能是()A． B． C．D．【答案】D【詳解】解：A、兩個(gè)函數(shù)的開口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸是y軸，與y軸交于正半軸，第二個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、兩個(gè)函數(shù)的開口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸是y軸，與y軸交于負(fù)半軸，第二個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、D、兩個(gè)函數(shù)一個(gè)開口向上，一個(gè)開口向下，那么a，b異號(hào)，可得第二個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，故C錯(cuò)誤，D正確．故選D．題型八：二次函數(shù)的對(duì)稱性問題典型例題例題1．（2022春·江蘇無錫·九年級(jí)江蘇省天一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)和在二次函數(shù)圖象上，則拋物線的對(duì)稱軸是直線（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵點(diǎn)和在二次函數(shù)圖象上，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，故選D．例題2．（2022春·遼寧沈陽·九年級(jí)沈陽市雨田實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末）已知二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表．同學(xué)們討論得出了下列結(jié)論：①拋物線的開口向上；②拋物線的對(duì)稱軸為直線；③當(dāng)時(shí)，；④是方程的一個(gè)根．其中正確的結(jié)論有（

）…0135……70…A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】解：∵時(shí)，，時(shí)，，∴函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大，故拋物線的開口向上，故①正確，符合題意；②錯(cuò)誤，不合題意；∵當(dāng)時(shí)，，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，則時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，故③正確，符合題意；∵由表格知，當(dāng)時(shí)，，即，則是方程的一個(gè)根，故④正確，符合題意．故選：C．例題3．（2022春·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽縣懷文中學(xué)?？计谥校┤鐖D，函數(shù)（，，為常數(shù)，且）經(jīng)過點(diǎn)、，且，下列結(jié)論：①；②﹔③若點(diǎn)，在拋物線上，則；④，必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中結(jié)論正確的有___________．（填序號(hào)）【答案】②④##④②【詳解】解：解：拋物線開口向上，，拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，，，①錯(cuò)誤；函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)、，對(duì)稱軸，，，，②正確；點(diǎn)，到對(duì)稱軸的距離比點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)，，③錯(cuò)誤由圖像可得：函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，④正確，故答案為：②④．例題4．（2022春·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)，，在二次函數(shù)圖象上．(1)寫出此二次函數(shù)的對(duì)稱軸______，并求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)關(guān)于的一元二次方程的根為_____；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_____．【答案】(1)直線，(2)(3)【詳解】（1）解：由題意得二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，代入A、B、C坐標(biāo)得，∴，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：∵二次函數(shù)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線，∴二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴關(guān)于x的一元二次方程即的根為；（3）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，故答案為：．同類題型歸類練1．（2022秋·河北承德·九年級(jí)承德市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，則下列結(jié)論：①；②拋物線的對(duì)稱軸是直線；③，；④與兩點(diǎn)間的距離為．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，，∴對(duì)稱軸為直線，故結(jié)論正確；把代入，可得：，∴，故結(jié)論正確；，解得：，故結(jié)論錯(cuò)誤；∵，故結(jié)論正確，綜上所述，正確的結(jié)論為：，共有個(gè)．故選：C2．（2022春·北京西城·九年級(jí)北京十四中校考期中）拋物線，對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)，則的值為___________．【答案】【詳解】∵對(duì)稱軸為直線，∴和的函數(shù)值相同，即，故答案為：．3．（2022春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，，，是拋物線上的點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是______（用“”連接）．【答案】【詳解】解∶∵，是拋物線上的點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵，∴拋物線上的