專題15函數(shù)與幾何中的面積問題(原卷版+解析)

專題15函數(shù)與幾何中的面積問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】直接利用幾何面積公式求面積【題型二】割補法求面積二、最新?？碱}組練【題型一】直接利用幾何面積公式求面積【典例分析】在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線與x軸交于、兩點（點在點左側(cè)），與軸交于點，．(1)如圖1，求值；(2)如圖2，連接，點在第一象限的拋物線上，過點作軸于點，與交于點，連接，設(shè)點的橫坐標為，四邊形的面積為，求與的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，點在線段上，連接，點在的延長線上，點在軸上，連接，，交軸于點，點在線段上且，若，連接，求正切值．【提分秘籍】基本規(guī)律函數(shù)中，用坐標表示出幾何圖形的底邊長、高等要素，然后利用面積公式列出函數(shù)解析式，最后根據(jù)函數(shù)的增減性討論面積。【變式演練】1．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）中，，，點在直線上運動，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)當(dāng)點與點重合時，如圖，請直接寫出線段和線段的數(shù)量關(guān)系；(2)點在線段上不與點，重合時，請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若，，請直接寫出的面積．2．（2023春·廣東東莞·九年級?？计谥校┮阎猂t△OAB，，，斜邊，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，如題圖1，連接BC．(1)填空：________°；(2)如圖1，連接AC，作，垂足為P，求OP的長度；(3)如圖2，點M，N同時從點出發(fā)，在邊上運動，M沿路徑勻速運動，N沿路徑勻速運動，當(dāng)兩點相遇時運動停止，已知點M的運動速度為1.5單位/秒，點N的運動速度為1單位/秒，設(shè)運動時間為x秒，△OMN的面積為y，求當(dāng)x為何值時y取得最大值？最大值為多少？【題型二】割補法求面積【典例分析】（2023·廣東東莞·校考一模）如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，連接，．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在第四象限的拋物線上，若的面積為4時，求點P的坐標；(3)點M在拋物線上，當(dāng)時，求點M的橫坐標．【提分秘籍】基本規(guī)律針對不規(guī)則圖形的面積問題，通常采用割補法進行求解，一般方法為：過幾何圖形的某一頂點做坐標軸的平行線，對原有幾何圖形進行分割或者補的方式，構(gòu)造出我們常見的幾何圖形，例如構(gòu)造成三角形等。再利用坐標表示出構(gòu)造三角形的底和高，從而列出有關(guān)面積的函數(shù)解析式?！咀兪窖菥殹?．（2023·天津·統(tǒng)考一模）將一個直角三角形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點，．以點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，得到，點O，B的對應(yīng)點分別是C，D，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖①，當(dāng)點C落在邊上時，求點C的坐標；(2)如圖②，連接，點E，F(xiàn)分別是線段的中點，連接，，若線段的長為t，試用含t的式子表示線段的長度，并寫出t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，若的面積是S，當(dāng)時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，，交y軸于點C，且．(1)求該拋物線的解析式；(2)點P為直線下方拋物線上的一點，連接、、、，求四邊形的面積的最大值，以及此時點P的坐標；1．（2023·江蘇宿遷·沭陽縣懷文中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過、、三點，對稱軸與拋物線相交于點、與相交于點，與軸交于點，連接．(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點，使與的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．(3)拋物線上是否存在一點，使，若存在請直接寫出點的坐標___________；若不存在，說明理由．2．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸分別交于點、，與y軸交于點C．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)若點P是該二次函數(shù)圖象上的動點，且P在直線的上方，①如圖1，當(dāng)平分時，求點P的坐標；②如圖2，連接交BC于E點，設(shè)，求k的最大值．3．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖1，拋物線的圖像與x軸交于兩點.過點動點D從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿方向運動，設(shè)運動的時間為t秒.(1)求拋物線的表達式；(2)過D作交于點E，連接BE，當(dāng)時，求的面積；(3)如圖2，點在拋物線上.當(dāng)時，連接、、，在拋物線上是否存在點P，使得若存在，直接寫出此時直線與x軸的交點Q的坐標，若不存在，請簡要說明理由.4．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過、、三點，對稱軸與拋物線相交于點、與相交于點，與軸交于點，連接．(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點，使與的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．(3)拋物線上存在一點，使，請直接寫出點的坐標；5．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標系中，直線：與x軸交于點B，與y軸交于點A，點C是x軸負半軸上一點，過A、B、C三點的（圓心M落在第四象限）交y軸負半軸于點D，連接，已知．(1)（請用α的代數(shù)式表示），并求證：；(2)若，求點D的坐標；(3)如圖2，連接并延長，交于點F，交于點E，①若，求的長；②若，請直接寫出四邊形的面積．6．（2022·江蘇揚州·?？级＃?1)【嘗試探究】已知中，，點O是的中點，作，分別交于點P、Q，連接．①如圖1，若，試探索線段之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，試探索①中的結(jié)論在一般情況下是否仍然成立；(2)【解決問題】如圖3，已知中，，點O是的中點，過C、O兩點的圓分別交邊于點P、Q，連接，求面積的最大值．7．（2022·江蘇揚州·校考三模）如圖1，在一平面內(nèi)，線段，、是線段上兩點，且．點從點開始向終點運動，分別以，為邊在線段同側(cè)作等邊和等邊．(1)直接寫出和位置關(guān)系：___________；(2)如圖2，連接，，求證：；(3)如圖3，設(shè)的中點為，在點從點開始運動到終點的過程中，求點移動路徑的長；(4)如圖4，點、點分別是、的中點，求當(dāng)線段取得最小值時的面積．8．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）定義：若一個四邊形能被其中的一條對角線分割成兩個相似三角形，則稱這個四邊形為“師梅四邊形”，這條對角線稱為“師梅線”．我們熟知的平行四邊形就是“師梅四邊形”．(1)如圖1，平分，，．四邊形是被分割成的“師梅四邊形”，求長；(2)如圖2，平面直角坐標系中，A、B分別是x軸和y軸上的點，且，，若點C是直線在第一象限上的一點，且是四邊形的“師梅線”，求四邊形的面積．(3)如圖3，圓內(nèi)接四邊形中，點E是的中點，連接交于點F，連接，，①求證：四邊形是“師梅四邊形”；②若的面積為，求線段的長．專題15函數(shù)與幾何中的面積問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】直接利用幾何面積公式求面積【題型二】割補法求面積二、最新?？碱}組練【題型一】直接利用幾何面積公式求面積【典例分析】在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線與x軸交于、兩點（點在點左側(cè)），與軸交于點，．(1)如圖1，求值；(2)如圖2，連接，點在第一象限的拋物線上，過點作軸于點，與交于點，連接，設(shè)點的橫坐標為，四邊形的面積為，求與的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，點在線段上，連接，點在的延長線上，點在軸上，連接，，交軸于點，點在線段上且，若，連接，求正切值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）由二次函數(shù)解析式可求點的坐標，從而可求點的坐標，進而可求解；（2）由（1）可求點的坐標，可求，由即可求解；（3）過點作軸，交軸于，設(shè)，，可證，從而可證，、、、四點共圓，由此可證，設(shè)，可求出點的坐標，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，，，，，，，解得：．（2）解：由（1）得：，當(dāng)時，，解得：，（舍去），，，的橫坐標為，的橫坐標為，，．（3）解：如圖，過點作軸，交軸于，，，，解得：，，，，設(shè)，，，，，，軸，，，，，，，，，，、、、四點共圓，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，整理得：，解得：，(舍去)，當(dāng)時，，，，在中，，即：的正切值為．【提分秘籍】基本規(guī)律函數(shù)中，用坐標表示出幾何圖形的底邊長、高等要素，然后利用面積公式列出函數(shù)解析式，最后根據(jù)函數(shù)的增減性討論面積?！咀兪窖菥殹?．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）中，，，點在直線上運動，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)當(dāng)點與點重合時，如圖，請直接寫出線段和線段的數(shù)量關(guān)系；(2)點在線段上不與點，重合時，請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若，，請直接寫出的面積．【答案】(1)相等(2)；見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和已知條件證明四邊形是正方形，即可推導(dǎo)出；（2）作交于點，利用證明，推出，進而可得，再證，可得；（3）分兩種情況，一是點在線段上，二是點在線段的延長線上，結(jié)合（2）中結(jié)論，分別求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：由旋轉(zhuǎn)得，，當(dāng)點與點重合時，則，，，，，，，四邊形是平行四邊形，又，，四邊形是正方形，．（2）解：，理由如下：如圖，作交于點，則，，，，，，，，，，，，．（3）解：如圖，點在線段上，作交于點，交的延長線于點，由得，，，，，，，，，，；如圖，點在線段的延長線上，作交的延長線于點，交的延長線于點，，，，，，，，，，，，，，，綜上所述，的面為或．2．（2023春·廣東東莞·九年級?？计谥校┮阎猂t△OAB，，，斜邊，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，如題圖1，連接BC．(1)填空：________°；(2)如圖1，連接AC，作，垂足為P，求OP的長度；(3)如圖2，點M，N同時從點出發(fā)，在邊上運動，M沿路徑勻速運動，N沿路徑勻速運動，當(dāng)兩點相遇時運動停止，已知點M的運動速度為1.5單位/秒，點N的運動速度為1單位/秒，設(shè)運動時間為x秒，△OMN的面積為y，求當(dāng)x為何值時y取得最大值？最大值為多少？【答案】(1)(2)(3)當(dāng)時，最大值為【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，則是等邊三角形，即可求解；（2）證明是等邊三角形，，而，，故，，即可求解；（3）分、、三種情況，利用面積公式求解即可．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，是等邊三角形，．故答案為：60；（2）解：如圖1，，，，，由旋轉(zhuǎn)得：是等邊三角形，，，，，，；（3）解：①當(dāng)時，在上運動，在上運動，如圖2，過點作且交于點．則，，．，當(dāng)時，取最大值，最大值為；②當(dāng)時，在上運動，在上運動，如圖3，作于，則，，當(dāng)時，取最大值，最大值為；③當(dāng)時，、都在上運動，作于．則，，；當(dāng)時，取最大值，最大值為，，當(dāng)時，取最大值，最大值為．【題型二】割補法求面積【典例分析】（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，連接，．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在第四象限的拋物線上，若的面積為4時，求點P的坐標；(3)點M在拋物線上，當(dāng)時，求點M的橫坐標．【答案】(1)(2)點P的坐標為(3)或【分析】（1）將、代入，列方程組并且解該方程組求出、的值，即可得到拋物線的解析式為；（2）先求得，則，再求得直線的解析式為，作軸于點，交于點，設(shè)，則，所以，可求得，由，得，解方程求出的值即可；（3）取點中，連接，則，，可證明，得，再證明，則，即可證明，再分兩種情況討論，一是點在軸的上方，則，可求得直線的解析式為，進而求得直線的解析式為，將其與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，即可求出此時點的橫坐標；二是點在軸的下方，可求得直線的解析式為，將其與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，即可求出此時點的橫坐標．【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點和點，，解得，拋物線的解析式為．（2）拋物線，當(dāng)時，則，解得，（不符合題得，舍去），，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，如圖1，作軸于點，交于點，設(shè)，，則，，，，，解得，點的坐標為．（3）如圖2，取點中，連接，則，，，，，，，，，，當(dāng)點在軸的上方，設(shè)交軸于點，，，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，由，得，解得，（不符合題意，舍去），點的橫坐標為；當(dāng)點在軸的下方，設(shè)交軸于點，直線，當(dāng)時，，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，由，得，解得，（不符合題意，舍去），點的橫坐標為，綜上所述，點的橫坐標為或．【提分秘籍】基本規(guī)律針對不規(guī)則圖形的面積問題，通常采用割補法進行求解，一般方法為：過幾何圖形的某一頂點做坐標軸的平行線，對原有幾何圖形進行分割或者補的方式，構(gòu)造出我們常見的幾何圖形，例如構(gòu)造成三角形等。再利用坐標表示出構(gòu)造三角形的底和高，從而列出有關(guān)面積的函數(shù)解析式?！咀兪窖菥殹?．（2023·天津·統(tǒng)考一模）將一個直角三角形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點，．以點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，得到，點O，B的對應(yīng)點分別是C，D，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖①，當(dāng)點C落在邊上時，求點C的坐標；(2)如圖②，連接，點E，F(xiàn)分別是線段的中點，連接，，若線段的長為t，試用含t的式子表示線段的長度，并寫出t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，若的面積是S，當(dāng)時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點作軸于點，根據(jù)已知條件得出，是等邊三角形，在中，勾股定理得出，即可求解；（2）在中，，根據(jù)勾股定理即可得出，由，進而即可求解；（3）證明，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明得出，根據(jù)三角形面積公式求得出，進而根據(jù)，分別求得的范圍，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作軸于點，∵點，點，點，，∴∴∴，∴，∵旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C落在邊上時，則，∴是等邊三角形∴∴在中，,∴；（2）解：∵旋轉(zhuǎn)∴，∵是的中點，，∴，，∴在中，，∴，∵∴∴（3）解：如圖所示，∵∴∴，∴∴又∵，分別是線段的中點，∴∴∵∴∴又∵∴，當(dāng)時，由①可得∴此時,當(dāng)時,隨著角度的增大而增大，∴當(dāng)時，如圖所示，過點作軸于點，∵，∴∴，∴，即最大值為,∴∴．2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，，交y軸于點C，且．(1)求該拋物線的解析式；(2)點P為直線下方拋物線上的一點，連接、、、，求四邊形的面積的最大值，以及此時點P的坐標；【答案】(1)(2)；【分析】（1）用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)，得出當(dāng)面積最大時，的面積最大，求出直線的解析式為，過點P作軸交于點Q，設(shè)，則，當(dāng)最大時，面積最大，得出，當(dāng)時，取最大值，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，將點，，代入，得，解得，∴；（2）解：∵，∴當(dāng)面積最大時，的面積最大，設(shè)的直線解析式，∴，解得，∴，過點P作軸交于點Q，設(shè)，則，∴當(dāng)最大時，面積最大，∴，∵，，當(dāng)時，取最大值，∴，∵，，，∴，∴．1．（2023·江蘇宿遷·沭陽縣懷文中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過、、三點，對稱軸與拋物線相交于點、與相交于點，與軸交于點，連接．(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點，使與的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．(3)拋物線上是否存在一點，使，若存在請直接寫出點的坐標___________；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，或(3)存在，或【分析】(1)設(shè)拋物線，代入點確定a值即可得解．(2)過點E作，直線與拋物線的交點就是所求．(3)根據(jù)軸，得到即，結(jié)合條件，得到，繼而得到．設(shè)直線與y軸正半軸交點為M，負半軸交點為N，根據(jù)題意，，分別確定M，N的坐標，繼而確定直線的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得解．【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過、、三點，∴設(shè)拋物線，代入點得，解得，∴拋物線解析式為．（2）存在點Q，滿足與的面積相等，理由如下：∵，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，故直線解析式為；∵、，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，故直線解析式為；∴當(dāng)時，，∴；∵與的面積相等，∴點Q在過點E且平行直線的直線上，過點E作，設(shè)直線的解析式為，∴∴，∴直線的解析式為，∴，解得，∴或．（3）∵、，∴；∵軸，∴即，∵，∴，∴．設(shè)直線與y軸正半軸交點為M，負半軸交點為N，根據(jù)題意，，∴∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，故直線解析式為，∴，解得（舍去），∴．設(shè)直線的解析式為，∴，解得，故直線解析式為，∴，解得（舍去），∴．故答案為：，或．2．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸分別交于點、，與y軸交于點C．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)若點P是該二次函數(shù)圖象上的動點，且P在直線的上方，①如圖1，當(dāng)平分時，求點P的坐標；②如圖2，連接交BC于E點，設(shè)，求k的最大值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）作軸，在上截取，則，證明，可證平分，求出的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立即可求出點P的坐標；（3）作，交于點N，證明，結(jié)合，可求出，則當(dāng)取得最大值時，k值最大，設(shè)，求出直線的解析式，可得，進而可求出結(jié)論．【詳解】（1）把、代入，得，∴，∴；（2）①令中，得，∴．作軸，在上截取，則，連接交拋物線于點P，則P滿足．∵，，∴，∵軸，∴．∵，，∴，∴，即平分．設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，∵解得（舍去），．當(dāng)時，，∴；②作，交于點N，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴當(dāng)取得最大值時，k值最大．設(shè)，∵，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，則M為，∴∴當(dāng)時，有最大值，∴k有最大值．3．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖1，拋物線的圖像與x軸交于兩點.過點動點D從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿方向運動，設(shè)運動的時間為t秒.(1)求拋物線的表達式；(2)過D作交于點E，連接BE，當(dāng)時，求的面積；(3)如圖2，點在拋物線上.當(dāng)時，連接、、，在拋物線上是否存在點P，使得若存在，直接寫出此時直線與x軸的交點Q的坐標，若不存在，請簡要說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）先求出直線的解析式，然后得出，再利用即可得出答案；（3）當(dāng)在右側(cè)和在左側(cè)兩種情況加以分析即可；【詳解】（1）解：（1）將，代入得，解得：∴（2）∵，設(shè)直線的解析式為：∴，解得：∴直線AC的解析式為：當(dāng)時，，則當(dāng)時，當(dāng)，∴∵∴∴∴（3）當(dāng)在右側(cè)時，過C作軸于H，如圖：∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即平分，∴，∵當(dāng)時，則∴∴∴此時直線與x軸的交點Q的坐標為②當(dāng)在左側(cè)時，作Q關(guān)于直線的對稱點M，作直線交拋物線于P，由對稱性知此時，直線與x軸交點Q'是滿足條件的點，如圖：設(shè)，∵，∴∴或∴由，得直線解析式為令得，則，∴∴直線與x軸的交點Q的坐標為或4．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過、、三點，對稱軸與拋物線相交于點、與相交于點，與軸交于點，連接．(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點，使與的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．(3)拋物線上存在一點，使，請直接寫出點的坐標；【答案】(1)(2)存在，，(3)或【分析】（1）把三點坐標代入函數(shù)式，列式求得，，的值，即求出解析式；（2）由等底等高的兩個三角形的面積相等，可求點的坐標．（3）分兩種情況討論，由銳角三角函數(shù)可求的長，可求點坐標，可得解析式，聯(lián)立方程組可求點坐標；【詳解】（1）把，，三點代入拋物線解析式，解得：，該拋物線的解析式為；（2）存在，由，則頂點，對稱軸為直線，∴，∴，，∵，，∴直線解析式為，∴點，∵，，∴直線解析式為，如圖，過點作，交拋物線于，此時與的面積相等，∵，點坐標，直線解析式為，∴解析式為:，聯(lián)立方程組可得：，解得：或，∴點的坐標為，，（3）存在，由，則頂點，對稱軸為直線，，，，，，直線解析式為，點，，，，，若點在直線的上方時，，，，，，，，，，點，直線解析式為：，聯(lián)立方程組可得：，解得：或，點的坐標為，；若點在直線的下方時，由對稱性可得：點，直線解析式為：，聯(lián)立方程組可得：，解得：或，點的坐標為，，綜上所述：點的坐標為，或，；5．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標系中，直線：與x軸交于點B，與y軸交于點A，點C是x軸負半軸上一點，過A、B、C三點的（圓心M落在第四象限）交y軸負半軸于點D，連接，已知．(1)（請用α的代數(shù)式表示），并求證：；(2)若，求點D的坐標；(3)如圖2，連接并延長，交于點F，交于點E，①若，求的長；②若，請直接寫出四邊形的面積．【答案】(1)，證明見解析；(2)(3)①4②【分析】（1）利用圓周角定理和直角三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)題意先確定A、B的坐標，再運用勾股定理求得，即可得出點D的坐標；（3）①如圖2，連接，可證得，得出，再得出，再證明，利用相似三角形性質(zhì)和勾股定理即可求得答案；②設(shè)，，則，又，由，可求得，即，再得出，運用勾股定理建立方程求解即可得出，即可得出的值，再利用，求，利用，即可求得答案．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）解：如圖1，若，直線的解析式為，當(dāng)時，，點A的坐標是，當(dāng)時，即，，點B的坐標是，，，在中，，，，∴點D的坐標是；（3）解：①如圖2，連接，，，是的直徑，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，；②，，設(shè)，其中，由①知：，，設(shè)，則，又，，，，，，，，由（1）知：，，在中，，，解得：，，，，，，即，，，．6．（2022·江蘇揚州·?？级＃?1)【嘗試探究】已知中，，點O是的中點，作，分別交于點P、Q，連接．①如圖1，若，試探索線段之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，試探索①中的結(jié)論在一般情況下是否仍然成立；(2)【解決問題】如圖3，已知中，，點O是的中點，過C、O兩點的圓分別交邊于點P、Q，連接，求面積的最大值．【答案】(1)①；②，在一般情況下仍然成立，過程見解析(2)當(dāng)時，有最大值，即面積的最大值為【分析】（1）①證明，求出，同理求出，勾股定理即可求出；②延長至D，使，連接、，證明四邊形是平行四邊形，得出，在中，由勾股定理得：，即可得答案；（2）連接OP、OQ，則，由（2）知，，設(shè)，推出，求出，代入，用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可．【詳解】（1）解：①連接，是等腰直角三角形，點O是的中點，，，，，，，，，，；②仍然成立，如下圖，延長至D，使，連接、，互相平分，四邊形是平行四邊形，，，，，垂直平分，，；（2）如下圖，連接OP、OQ，，過C、O兩點的圓分別交于點P、Q，是圓的直徑，，由（2）知，，設(shè)，則，，，，，∴當(dāng)時，有最大值，即面積的最大值為．7．（2022·江蘇揚州·?？既＃┤鐖D1，在一平面內(nèi)，線段，、是線段上兩點，且．點從點開始向終點運動，分別以，為邊在線段同側(cè)作等邊和等邊．(1)直接寫出和位置關(guān)系：___________；(2)如圖2，連接，，求證：；(3)如圖3，設(shè)的中點為，在點從點開始運動到終點的過程中，求點移動路徑的長；(4)如圖4，點、點分別是、的中點，求當(dāng)線段取得最小值時的面積．【答案】(1)互相平行；(2)見解析；(3)；(4)【分析】（1）由可知；（2）通過證明即可；（3）分別過作的垂線構(gòu)造直角梯形，點為直角