高中數(shù)學(xué) 第三章 概率能力強(qiáng)化提升 新人教A版必修3

第三章綜合素能檢測(cè)時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．下列事件：①如果a，b是實(shí)數(shù)，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北風(fēng)；③當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x2≥0；④一個(gè)電影院某天的上座率超過(guò)50%.其中是隨機(jī)事件的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)[答案]B[解析]由隨機(jī)事件的概念得：①③是必然事件，②④是隨機(jī)事件．2．下列試驗(yàn)是古典概型的是()A．從裝有大小完全相同的紅、綠、黑各一球的袋子中任意取出一球，觀察球的顏色B．在適宜條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽C．連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察出現(xiàn)正面、反面、一正面一反面的次數(shù)D．從一組直徑為(120±0.3)mm的零件中取出一個(gè)，測(cè)量它的直徑[答案]A[解析]根據(jù)古典概型具有有限性和等可能性進(jìn)行判斷．3．(～·吉林油田一中月考)紅、黑、藍(lán)、白4張牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A．對(duì)立事件B．不可能事件C．互斥事件但不是對(duì)立事件D．以上答案都不對(duì)[答案]C[解析]記事件A＝“甲分得紅牌”，記事件B＝“乙分得紅牌”，它們不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以是互斥事件，但事件A和事件B也可能都不發(fā)生，所以他們不是對(duì)立事件，故選C.4．(～·甘肅嘉峪關(guān)一中高一月考)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.則事件“抽到的是二等品或三等品”的概率為()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3[答案]D[解析]由題意知事件A、B、C互為互斥事件，記事件D＝“抽到的是二等品或三等品”，則P(D)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3，故選D.5．(～·內(nèi)蒙古巴市一中高一月考)甲乙兩人下棋，和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率是eq\f(1,3)，則甲不輸?shù)母怕适?)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[答案]D[解析]記事件A＝“乙獲勝”，記事件B＝“甲不輸”，由題意知：事件A與事件B為對(duì)立事件，P(A)＝eq\f(1,3)，所以P(B)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故選D.6．某人向一個(gè)半徑為6的圓形標(biāo)靶射擊，假設(shè)他每次射擊必定會(huì)中靶，且射中靶內(nèi)各點(diǎn)是隨機(jī)的，則此人射擊中靶點(diǎn)與靶心的距離小于2的概率為()A.eq\f(1,13) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)[答案]B[解析]此人射擊擊中靶點(diǎn)與靶心的距離小于2的概率為eq\f(π×22,π×62)＝eq\f(1,9).7．(～·河北邯鄲市一模)某人睡午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，則他等待時(shí)間不多于15分鐘的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)[答案]B[解析]該人在0～60分鐘內(nèi)任意時(shí)刻醒來(lái)是等可能的，且電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)，記事件A＝“等待時(shí)間不多于15分鐘”，則滿足事件A的區(qū)域?yàn)椋篬45,60]，所以P(A)＝eq\f(15,60)＝eq\f(1,4)，故選B.8．(～·長(zhǎng)樂(lè)七中一模)在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則這兩個(gè)實(shí)數(shù)的和大于eq\f(1,3)的概率為()A.eq\f(17,18) B.eq\f(7,9)C.eq\f(2,9) D.eq\f(1,18)[答案]A[解析]在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)分別為x，y，則0＜x＜1,0＜y＜1，則區(qū)域M＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1}為如圖所示的正方形區(qū)域，記事件A＝“x＋y＞eq\f(1,3)”，則其所表示區(qū)域?yàn)閳D中陰影響部分．所以P(A)＝eq\f(S陰影,SM)＝eq\f(1－\f(1,2)×\f(1,3)×\f(1,3),1×1)＝eq\f(17,18).9．(～·遼寧省沈陽(yáng)鐵路實(shí)施中學(xué)第一次月考)下課后教室里最后科學(xué)實(shí)驗(yàn)剩下2位男同學(xué)和2位女同學(xué)，四位同學(xué)先后離開，則第二位走的是男同學(xué)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)[答案]A[解析]設(shè)2位男同學(xué)分別用a，b表示，2位女同學(xué)分別用c，d表示，則可用樹狀圖將四位同學(xué)先后離開教室的所有可能結(jié)果表示為如圖所示的形式．共24種．記事件A＝“第二位走的是男同學(xué)”，則事件A所含基本事件個(gè)數(shù)為12個(gè)，所以P(A)＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2)，故選A.10．為了調(diào)查某廠2000名工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量，產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，頻率分布直方圖如圖所示．工廠規(guī)定從生產(chǎn)低于20件產(chǎn)品的工人中隨機(jī)地選取2位工人進(jìn)行培訓(xùn)，則這2位工人不在同一組的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(7,15)C.eq\f(8,15) D.eq\f(13,15)[答案]C[解析]根據(jù)頻率分布直方圖可知產(chǎn)品件數(shù)在[10,15)，[15,20)內(nèi)的人數(shù)分別為5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)在[10,15)內(nèi)的2人分別是A，B，設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)在[15,20)內(nèi)的4人分別為C，D，E，F(xiàn)，則從生產(chǎn)低于20件產(chǎn)品的工人中隨機(jī)地選取2位工人的結(jié)果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．2位工人不在同一組的結(jié)果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，共8種．則選取這2人不在同一組的概率為eq\f(8,15).11．如圖的矩形長(zhǎng)為5、寬為2，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，則我們可以估計(jì)出陰影部分的面積為()A.eq\f(23,5) B.eq\f(23,50)C．10 D．不能估計(jì)[答案]A[解析]利用幾何概型的概率計(jì)算公式，得eq\f(138,300)×(2×5)＝eq\f(23,5).12．設(shè)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a與b，確定平面上一個(gè)點(diǎn)P(a，b)，記“點(diǎn)P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為()A．3 B．4C．2和5 D．3和4[答案]D[解析]點(diǎn)P(a，b)共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)6種情況，得x＋y分別等于2,3,4,3,4,5，所以出現(xiàn)3與4的概率最大，故n為3或4.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．在區(qū)間[－2,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈[0,1]的概率為________．[答案]eq\f(1,4)[解析]x∈[0,1]的概率為eq\f(1－0,2－－2)＝eq\f(1,4).14．(·江蘇高考)從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率是________．[答案]eq\f(1,3)[解析]1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，所有可能的取法有6種，滿足“其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍”的所有可能的結(jié)果有(1,2)，(2,4)共2種取法，所以“其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍”的概率是eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).15．為了測(cè)算如圖的陰影部分的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn)．已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此，可估計(jì)陰影部分的面積是________．[答案]9[解析]設(shè)陰影部分的面積為S，向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲1個(gè)點(diǎn)，落在陰影部分的概率的估計(jì)值是eq\f(200,800)＝eq\f(1,4)，則eq\f(S,S正方形)＝eq\f(1,4)，又正方形的面積是36，則S＝eq\f(1,4)×36＝9.16．(～·遼寧省撫順月考)有五根細(xì)木棒，長(zhǎng)度分別為1,3,5,7,9(cm)．從中任取三根，能搭成三角形的概率是[答案]eq\f(3,10)[解析]該試驗(yàn)所有可能結(jié)果為：(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)共10種，記事件A＝“三根細(xì)木棒能搭成三角形”，則事件A所含的基本事件為：(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)共3種，所以P(A)＝eq\f(3,10).三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(～·遼寧模擬)某種日用品上市以后供不應(yīng)求，為滿足更多的消費(fèi)者，某商場(chǎng)在銷售的過(guò)程中要求購(gòu)買這種產(chǎn)品的顧客必須參加如下活動(dòng)：搖動(dòng)如右圖所示的游戲轉(zhuǎn)盤(上面扇形的圓心角都相等)，按照指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字購(gòu)買商品的件數(shù)，每人只能參加一次這個(gè)活動(dòng)．(1)某顧客參加活動(dòng)，求購(gòu)買到不少于5件該產(chǎn)品的概率；(2)甲、乙兩位顧客參加活動(dòng)，求購(gòu)買該產(chǎn)品件數(shù)之和為10的概率．[解析](1)設(shè)“購(gòu)買到不少于5件該產(chǎn)品”為事件A，則P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).(2)設(shè)“甲、乙兩位顧客參加活動(dòng)，購(gòu)買該產(chǎn)品數(shù)之和為10”為事件B，甲、乙購(gòu)買產(chǎn)品數(shù)的情況共有12×12＝144種，則事件B包含(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，共9種情況，故P(B)＝eq\f(9,144)＝eq\f(1,16).18．(本小題滿分12分)甲、乙兩人玩一種游戲，每次由甲、乙各出1到5根手指頭，若和為偶數(shù)則算甲贏，否則算乙贏．(1)若以A表示“和為6”的事件，求P(A)；(2)現(xiàn)連玩三次，以B表示“甲至少贏一次”的事件，C表示“乙至少贏兩次”的事件，則B與C是否為互斥事件？試說(shuō)明理由；(3)這種游戲規(guī)則公平嗎？試說(shuō)明理由．[解析](1)令x，y分別表示甲、乙出的手指數(shù)，則基本事件空間可表示為S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*,1≤x≤5,1≤y≤5}．因?yàn)镾中點(diǎn)的總數(shù)為5×5＝25，所以基本事件總數(shù)n＝25.事件A包含的基本事件為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5個(gè)，所以P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B與C不是互斥事件，如“甲贏一次，乙贏兩次”的事件中，事件B與C是同時(shí)發(fā)生的．(3)由(1)知，和為偶數(shù)的基本事件數(shù)為13，即甲贏的概率為eq\f(13,25)，乙贏的概率為eq\f(12,25)，所以這種游戲規(guī)則不公平．19．(本小題滿分12分)(～·北京海淀模擬)某園林局對(duì)1000株樹木的生長(zhǎng)情況進(jìn)行調(diào)查，其中槐樹600株，銀杏樹400株．現(xiàn)用分層抽樣方法從這1000株樹中隨機(jī)抽取100株，其中銀杏樹樹干周長(zhǎng)(單位：cm)的抽查結(jié)果如下表：樹干周長(zhǎng)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)株數(shù)418x6(1)求x的值；(2)若已知樹干周長(zhǎng)在30～40cm之間的4株銀杏樹中有1株患有蟲害，現(xiàn)要對(duì)這4株樹逐一進(jìn)行排查直至找出患蟲害的樹木為止．求排查的樹木恰好為2株的概率．[解析](1)因?yàn)橛梅謱映闃臃椒◤倪@1000株樹木中隨機(jī)抽取100株，所以應(yīng)該抽取銀杏樹100×eq\f(400,1000)＝40(株)，故4＋18＋x＋6＝40，所以x＝12.(2)記這4株樹為樹1，樹2，樹3，樹4，不妨設(shè)樹4就是那株患蟲害的樹．設(shè)“恰好在排查到第二株時(shí)發(fā)現(xiàn)樹4”為事件A基本事件空間為Ω＝{(樹1，樹2)，(樹1，樹3)，(樹1，樹4)，(樹2，樹1)，(樹2，樹3)，(樹2，樹4)，(樹3，樹1)，(樹3，樹2)，(樹3，樹4)，(樹4，樹1)，(樹4，樹2)，(樹4，樹3)，}共12個(gè)基本事件，其中事件A中包含的基本事件有(樹1，樹4)，(樹2，樹4)，(樹3，樹4)，共3個(gè)，所以恰好在排查到第二株時(shí)發(fā)現(xiàn)患蟲害樹的概率為P(A)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).20．(本小題滿分12分)(～·山東聊城市水城中學(xué)高一3月調(diào)研)將一枚骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，(1)求點(diǎn)數(shù)之和是5的概率；(2)設(shè)a，b分別是將一枚骰子先后拋擲兩次向上的點(diǎn)數(shù)，求等式2a－b[解](1)該試驗(yàn)所有可能的結(jié)果為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，基本事件總數(shù)為36，記事件A＝“點(diǎn)數(shù)之和是5”，則事件A，所含的基本事件為：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，基本事件總數(shù)為4，所以P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).(2)要使等式2a－b＝1成立，則須a－b＝0，即先后拋擲兩次向上的點(diǎn)數(shù)相等，記事件B＝“向上的點(diǎn)數(shù)相等”，則事件B所含的基本事件為：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，基本事件總數(shù)為6，所以P(B)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).21．(本小題滿分12分)(～·北京市通州區(qū)高三期末)已知甲袋中有1只白球、2一只紅球，乙袋中有2只白球、2只紅球，現(xiàn)從兩袋中各取一球．(1)兩球顏色相同的概率；(2)至少有一個(gè)白球的概率，[解析]設(shè)甲袋中1只白球記為a1,2只紅球記為b1，b2；乙袋中2只白球記為a2，a3,2只紅球記為b3，b4.所以“從兩袋中各取一球”包含基本事件(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b3)，(a1，b4)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，b3)，(b2，b4)，共有12種．(1)設(shè)A表示“從兩袋中各取一球，兩球顏色相同”，所以事件A包含基本事件(a1，a2)，(a1，a3)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，共有6種．所以P(A)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(2)設(shè)B表示“從兩袋中各取一袋，至少有一個(gè)白球”，所