海南省海口市?？谥袑W(xué)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題（A卷）

2023年海南省海口中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷（A卷）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A． B． C．3 D．52．（5分）已知集合，，則（）A． B． C． D．3．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A． B． C．1 D．74．（5分）函數(shù)的大致圖象為（）A． B． C． D．5．（5分）將數(shù)據(jù)1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)刪去兩個(gè)數(shù)，則所剩下的三個(gè)數(shù)的平均數(shù)大于5的概率為（）A． B． C． D．6．（5分）設(shè)，，夾角為，則等于（）A．37 B．13 C． D．7．（5分）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為，弧的長(zhǎng)度是弧長(zhǎng)度的2倍，，則該曲池的體積為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分）（多選）9．（5分）某市經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展取得階段性成效，為深入了解該區(qū)的發(fā)展情況，現(xiàn)對(duì)該區(qū)兩企業(yè)進(jìn)行連續(xù)11個(gè)月的調(diào)研，得到兩企業(yè)這11個(gè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)折線圖（如圖所示），下列說(shuō)法正確的是（）A．這11個(gè)月甲企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)的平均數(shù)超過(guò)B．這11個(gè)月的乙企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)的第70百分位數(shù)小于C．這11個(gè)月的甲企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)較乙企業(yè)更穩(wěn)定D．在這11個(gè)月中任選2個(gè)月，則這2個(gè)月乙企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)都小于的概率為（多選）10．（5分）若，則（）A． B． C． D．（多選）11．（5分）已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A．B．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C．在上單調(diào)遞減D．將的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象（多選）12．（5分）如圖，在正方體中，以下結(jié)論正確的是（）A．平面B．平面C．異面直線與所成的角為D．直線與平面所成角的正弦值為三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上）13．（5分）展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．14．（5分）已知圓的方程為，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為_(kāi)_________．15．（5分）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為該雙曲線上一點(diǎn)且，若，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_________．16．（5分）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則的值為_(kāi)_________；的解集為_(kāi)_________．四、解答題（本題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（10分）在中，角、、的對(duì)邊分別為，，且滿(mǎn)足．（1）求角的值；（2）若，，求的面積．18．（12分）已知數(shù)列對(duì)任意的都滿(mǎn)足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（12分）如圖，四棱錐中，底面，底面為矩形，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：面；（2）求到平面的距離．20．（12分）已知橢圓的離心率為，且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線（不過(guò)原點(diǎn)）與交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．21．（12分）垃圾是人類(lèi)日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污染性，所以需要無(wú)害化、減量化處理．某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個(gè)縣城的人口（單位：萬(wàn)人）和該縣年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸），并計(jì)算得，，，，．（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；（2）求關(guān)于的線性回歸方程；（3）某科研機(jī)構(gòu)研發(fā)了兩款垃圾處理機(jī)器，如表是以往兩款垃圾處理機(jī)器的使用年限（整年）統(tǒng)計(jì)表：使用年限臺(tái)數(shù)款式1年2年3年4年5年甲款520151050乙款152010550某環(huán)保機(jī)構(gòu)若考慮購(gòu)買(mǎi)其中一款垃圾處理器，以使用年限的頻率估計(jì)概率．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，該機(jī)構(gòu)選擇購(gòu)買(mǎi)哪一款垃圾處理機(jī)器，才能使用更長(zhǎng)久？參考公式：相關(guān)系數(shù)．對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．22．（12分）已知函數(shù)．（I）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（III）求證：“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．2023年海南省?？谥袑W(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷（A卷）參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：，則．故選：B．2．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合并集的定義，即可求解．【解答】解：，，則．故選：C．3．【答案】D【分析】由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值，再利用兩角和的正切公式求得的值．【解答】解：平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊過(guò)點(diǎn)，則，故選：D．4．【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性以及特殊值以及變化趨勢(shì)判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：函數(shù)，，函數(shù)是奇函數(shù)，排除A；時(shí)，，排除B；時(shí)，，排除D，故選：C．5．【答案】C【分析】計(jì)算出所有的隨機(jī)刪去兩個(gè)數(shù)的方法，再求出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5的刪去方法，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案．【解答】解：從5個(gè)數(shù)中隨機(jī)刪去兩個(gè)數(shù)有，，，，，，，，，共10種方法，要使剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5，刪去的兩個(gè)數(shù)可以是，，，共有4種，所以剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5的概率為．故選：C．6．【答案】D【分析】利用向量的數(shù)量積公式得出結(jié)論．【解答】解：由題意，．故選：D．7．【答案】B【分析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，然后根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性建立不等式組，由此即可求解．【解答】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則需滿(mǎn)足，解得，所以實(shí)數(shù)的范圍為，則滿(mǎn)足范圍的選項(xiàng)是選項(xiàng)B，故選：B．8．【答案】A【分析】根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式可知弧所在圓和弧所在圓的半徑之間關(guān)系為，結(jié)合可求得，，再根據(jù)柱體的體積計(jì)算公式，采用切割的方式可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，因?yàn)榛〉拈L(zhǎng)度是弧長(zhǎng)度的2倍，所以，即，又，則，，所以該曲池的體積，故選：A．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分）9．【答案】AC【分析】根據(jù)折線圖估算，對(duì)于B項(xiàng)把月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)從小到大排列，由求解；對(duì)于D項(xiàng)用古典概型的概率公式求解．【解答】解：顯然甲企業(yè)大部分月份位于以上，故利潤(rùn)增長(zhǎng)均數(shù)大于，A正確；乙企業(yè)潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)按從小到大排列分別是2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10，又因?yàn)椋詮男〉酱笈帕械牡?個(gè)月份，即7月份是第70百分位，從折線圖可知，7月份利潤(rùn)增長(zhǎng)均數(shù)大于，故B錯(cuò)誤；根據(jù)折線圖，可知甲企業(yè)的數(shù)據(jù)更集中，所以甲企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)較乙企業(yè)更穩(wěn)定，故C正確；（2個(gè)月乙企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)都小于），故D錯(cuò)誤．故選：AC．10．【答案】ABD【分析】直接根據(jù)不等式的性質(zhì)依次判斷即可．【解答】解：，成立，A對(duì)，，B對(duì)，，，C錯(cuò)誤，，可得以及均為正數(shù)，且不相等，，故選：ABD．11．【答案】AB【分析】由已知利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的周期公式即可求解得的值，即可判斷；利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可判斷；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；利用三角函數(shù)的圖象變換即可判斷．【解答】解：因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，解得，故A正確，所以，由于，所以點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故B正確，當(dāng)，可得，函數(shù)不是單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤，將的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，故D錯(cuò)誤．故選：AB12．【答案】ABD【分析】根據(jù)正方體的特征和性質(zhì)，線面平行、線面垂直的判定、異面直線所成的角和直線與平面所成的角，逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可求解．【解答】解：對(duì)于A：在正方體中，，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B：連接，易知，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，故B正確；對(duì)于C：易知直線平面，所以，所以異面直線與所成的角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：連接，易知平面，所以直線與平面所成的角為，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為，故D正確．故選：ABD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上）13．【答案】．【分析】求得二項(xiàng)式展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式，再令的指數(shù)為0，計(jì)算可得所求值．【解答】解：的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，令，解得，，故答案為：．14．【答案】或．【分析】根據(jù)題意，分析點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，由此分切線斜率是否存在2種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓的方程為，即，對(duì)于點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即，則有，解得，所以切線方程為，若直線斜率不存在，直線方程為，滿(mǎn)足題意，綜上過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為或．故答案為：或．15．【答案】【分析】由雙曲線的定義及余弦定理計(jì)算可得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)椋杂呻p曲線的定義知，，故，．在中，由余弦定理得，化簡(jiǎn)整理得到，故．故答案為：．16．【答案】；．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和，可得，的值，即可得出答案；根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，列出關(guān)于的不等式，即可得出答案．【解答】解：函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，，即，且，，，即為定義在上的奇函數(shù)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，，即，，解得，即不等式得解集為，故答案為：；．四、解答題（本題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．【答案】（1）（2）．【分析】（1）先用正弦定理邊化角，再逆用兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；（2）利用余弦定理求出邊，然后代入三角形面積公式計(jì)算．【解答】解：（1）由，根據(jù)正弦定理有，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以．?），，或（舍），．18．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）由，可得由此能求出通項(xiàng)公式．（2）由，利用錯(cuò)位相減法能求出的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）數(shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，又當(dāng)時(shí)，可得，滿(mǎn)足上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2），的前項(xiàng)和：①，②，①﹣②，得：，．19．【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，證明，，利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論；（2）利用等體積方法求出到平面的距離．【解答】（1）證明：底面，底面為矩形，易知，，兩兩垂直．分別以，，所在的直線為，，軸，建系如圖，則根據(jù)題意可得：，，，，，，．，，．，，，，又，面；（2）解：設(shè)到平面的距離為．由（1）可知．底面，底面為矩形，，，，分別為，的中點(diǎn)，，，，．，，，即到平面的距離為．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意可得出，，再利用，，的關(guān)系求出，進(jìn)而求解；（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，由弦長(zhǎng)公式可得，點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)到直線的距離，再計(jì)算的面積，利用基本不等式，即可得出答案．【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以，，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線，，，聯(lián)立，得，，所以，即或，則，，故，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為．21．【答案】（1）與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合．（2）．（3）該縣城選擇購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)乙款垃圾處理機(jī)器更劃算．【分析】（1）求出相關(guān)系數(shù)，即可判斷與之間的線性相關(guān)關(guān)系，是否可用線性回歸模型進(jìn)行擬合．（2）求出回歸直線方程的系數(shù)，得到回歸直線方程即可．（3）求出以頻率估計(jì)概率，甲款使用年限（單位：年）的分布列，求出期望．乙款垃圾處理機(jī)器使用年限（單位：年）的分布列，求出期望，即可推出該機(jī)構(gòu)選擇購(gòu)買(mǎi)哪一款垃圾處理機(jī)器，才能使用更長(zhǎng)久．【解答】解：（1）由題意知相關(guān)系數(shù)，因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)接近1，所以與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合．（2）由題意可得，，，所以．（3）以頻率估計(jì)概率，甲款垃圾處理機(jī)器使用年限（單位：年）的分布列為12340.10.40.30.2（年）乙款垃圾處理機(jī)器使用年限（單位：年）的分布列為：12340.30.40.20.1（年）因?yàn)?，所以該縣城選擇購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)乙款垃圾處理機(jī)器更劃算．22．【答案】（I）；（II）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值為；（III）證明見(jiàn)解析．【分析】（I）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得切線方程；（II）求導(dǎo)，分類(lèi)討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可求得在區(qū)間上的最小值；（III）求導(dǎo)，先證明充分性，當(dāng)時(shí)，可得恒成立，因此可得在區(qū)間上單調(diào)遞增；再證明非必要性，顯然，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此為非必要條件．【解答】解：（I）當(dāng)時(shí)，，，故，又因?yàn)椋试谔幍那芯€為，化簡(jiǎn)