北京市朝陽區(qū)青苗國際學(xué)校常營學(xué)區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題

2024—2025學(xué)年第一學(xué)期階段性測(cè)試試卷命題人：王恩廣審題人：王恩廣科目：高二數(shù)學(xué)姓名（中文）：_班級(jí)（中文）：高二班成績:考試說明：本考試為筆試，時(shí)間為90分鐘；備注：本試卷共3大題，共2頁，滿分100分，請(qǐng)作答所有問題。一、單選題（共10小題；共40分）1.12a A.-52 C.-522.如圖，在底面為正方形的平行六面體ABCD-A?B?C?D? A.0個(gè) B.3個(gè) C.7個(gè) D.9個(gè)3.已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么∣a A.13 B.13 C.2 D.54.在平面直角坐標(biāo)系中，斜率為3的直線傾斜角為?? A.30° B.60° C.905.已知A4,8，B2,4，C3,y三點(diǎn)共線，則y A.4 B.5 C.6 D.76.下列命題正確的是?? A.若a=1,-2,-1，b= B.若a=1,-2,-1，b= C.若a=1,-2,2，b= D.若a=1,-2,2，b=7.已知A1,0,0，B0,1,0，C0,0,1，則下列向量是平面ABC A.-1,1,1 B. C.-33,-38.如圖，在四面體OABC中，G是BC的中點(diǎn)，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c A.a-12b-19.已知A，B，C，D，E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B，C不共線，則“存在實(shí)數(shù)x，y，使得DE=xAB+yAC”是 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知三點(diǎn)A2,2，B3,1，C-1,-1，則過點(diǎn)A的直線l與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)（公共點(diǎn)包含端點(diǎn)），直線l的斜率k A.-1,1 B. C.-1,1 D.二、填空題（共6小題；共30分）11.已知空間三點(diǎn)A1,1,1，B-1,0,4，C2,-2,3，則AB與CA12.已知點(diǎn)A2,-5,-1，B-1,-4,-2，Cλ+3,-3,μ13.已知向量a=1,-1,0，b=1,0,2，若a+kb與b14.已知兩點(diǎn)A-3,3，B3,-1，則直線15.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)P在線段D1E 16.如圖，在棱長都相等的四面體SABC中，給出如下三個(gè)命題： ①異面直線AB與SC所成的角為60° ②BC與平面SAB所成角的余弦值為33 ③二面角S-BC-A的余弦值為三、解答題（共4小題；共30分）17.已知空間中三點(diǎn)A-2,0,2，B-1,1,2，C-3,0,4（1）求向量a與向量b的夾角的余弦值；（2）若ka+b與ka-218.已知A3,3，B-4,2，（1）求直線AB和AC的斜率；（2）若點(diǎn)D在線段BC（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)，求直線AD的斜率的變化范圍．19.如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1 （1）求直線BD1與平面BDE（2）求平面BD1E與平面（3）求點(diǎn)F到平面BDE的距離．20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD （1）求證：AM⊥（2）求平面ABCD與平面APM所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)D到平面APM的距離.答案一單選題1.C2.C【解析】向量模相等即向量的長度相等．根據(jù)平行六面體的性質(zhì)可知，與向量AA?模相等的向量為A?A，BB?，B?B，CC?，C?C故選C．3.B【解析】a+3b2=a24.B【解析】設(shè)此直線的傾斜角為θ，θ∈因?yàn)閠anθ所以θ=5.C【解析】方法一：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以直線AB與直線BC斜率相等，因?yàn)閗AB所以kAB所以y=6方法二：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AB∥因?yàn)锳B-2,-4，所以-2所以y=66.A【解析】A選項(xiàng)：若a=1,-2,-1，b=-2,4,2，則a=-B選項(xiàng)：若a=1,-2,-1，b=-2,4,2，則a?bC選項(xiàng)：若a=1,-2,2，b=2,-4,1，則不存在m使得a=mbD選項(xiàng)：若a=1,-2,2，b=2,-4,1，則a?b=2+8+2=12≠07.C8.B【解析】AC=OC-所以AG=故選：B．9.B【解析】若DE∥平面ABC，則DE，AB，故存在x，y使得DE=若存在x，y使得DE=則DE，AB，AC共面，則DE∥平面ABC或所以“存在x，y使得DE=xAB+yAC10.B【解析】如圖，過A作AD⊥x軸，交x軸于因?yàn)槿c(diǎn)A2,2，B3,1，直線AC的斜率kAC直線AB的斜率kAB所以結(jié)合圖象，得：直線l的斜率kl的取值范圍是-∞二填空題11.120【解析】因?yàn)锳B=-2,-1,3所以cosAB又因?yàn)?°所以AB,12.-13.-【解析】因?yàn)閍=1,-1,0，所以a+因?yàn)閍+kb與所以a+所以1+kk=-14.515.2【解析】如圖所示，過P作PQ⊥則PQ⊥平面ABCD，所以所以P到CC1的距離即為CQ當(dāng)P在線段ED1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，距離的最小值為C到線段DE所以最小值為△CDE中DE邊上的高，其長度為2×116.②③三解答題17.（1）因?yàn)閍=1,1,0，所以a?又a=12所以cosa即向量a與向量b的夾角的余弦值為-10

（2）（方法1）因?yàn)閗a+b且ka+b與所以k-所以k=2或k所以當(dāng)ka+b與ka-2b互相垂直時(shí)，實(shí)數(shù)k的值為（方法2）由（1）知a=2，b=所以ka得k=2或k所以當(dāng)ka+b與ka-2b互相垂直時(shí)，實(shí)數(shù)k的值為18.（1）由斜率公式可得直線AB的斜率kAB=2-3-4-3=17

（2）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，直線AD的斜率由KAB增大到KAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是19.（1）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z則D0,0,0，B1,1,0，D10,0,2，C0,1,0可得BD1=-1,-1,2設(shè)平面BDE的法向量為n=x,y,z，則取x=1，可得y=-1，z=1，所以設(shè)直線BD1與平面BDE所成的角為則sinα即直線BD1與平面BDE所成角的正弦值為

（2）因?yàn)锽D1=設(shè)平面BD1E的法向量為則m?BD1=0,m?BE=0,即-所以m=設(shè)平面BD1E與平面BDE的夾角為則cosθ即平面BD1E與平面BDE的夾角的余弦值為

（3）由（1）知，平面BDE的一個(gè)法向量為n=又由DF=所以點(diǎn)F到平面BDE的距離d=即點(diǎn)F到平面BDE的距離為3320.（1）（方法一綜合法）因?yàn)镻D⊥面ABCD所以PD⊥在矩形ABCD中，ADAB所以△ABD所以∠ABD則∠AOB所以BD⊥又因?yàn)锽D∩所以AM⊥（方法二坐標(biāo)法）因?yàn)镻D⊥所以PD⊥AD，又因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，AD⊥以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)B2則A22,0,0，M所以AM=-2,2,0，所以AM?所以AM⊥因?yàn)镻D⊥平面ABCD所以AM⊥又因?yàn)锽D∩所以AM⊥

（2）（方法一）由（Ⅰ）可知AP=-2平面ABCD的一個(gè)法向量為m=設(shè)平面APM的法向量為n=x,y取x=2得到則平面ABCD與APM所成角的余弦值為cos?（方法二綜合法）由因?yàn)锳