第24章 圓 人教版數(shù)學(xué)九年級上冊單元測試卷(含答案)

第二十四章圓

一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分.每小題有四個選項(xiàng),其中只有一個選項(xiàng)符合題意)1.(2022·北京通州區(qū)期末)如圖,若OA⊥OB,則∠C=()A.22.5° B.67.5° C.90° D.45°(第1題)(第2題)2.(2022·江蘇鎮(zhèn)江潤州區(qū)段考改編)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為r的圓,若點(diǎn)A,B,C中至少有一個點(diǎn)在圓內(nèi),且至少有一個點(diǎn)在圓外,則r的值可以是()A.3 B.4 C.5 D.63.(2021·江蘇常熟期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-3,0),B(-1,2),C(3,2),則△ABC的外心的坐標(biāo)是()A.(1,-2) B.(0,0)C.(1,-1) D.(0,-1)(第3題)(第4題)4.(2021·山東壽光期中)如圖,若正方形ABCD的邊長為6,則其外接圓半徑OA與內(nèi)切圓半徑OE的比值為()A.3 B.2 C.2 D.35.(2022·湖北十堰期末)如圖,點(diǎn)A,B,C,D都在☉O上,OA⊥BC,∠OBC=40°,則∠ADC的度數(shù)為()A.40° B.30° C.25° D.50°6.(2022·浙江金華期中改編)如圖,☉O與正六邊形OABCDE的邊OA,OE分別交于點(diǎn)F,G,點(diǎn)M為劣弧FG的中點(diǎn).連接FM,GM,若FM=22,則☉O的半徑為()A.2 B.6 C.22 D.26(第6題)(第7題)7.(2022·浙江寧波江北區(qū)期末)如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是半圓上兩點(diǎn),連接CA,CD,AD.若∠ADC=120°,BC=1,則BC的長為()A.π3 B.π4 C.π8.(2022·江蘇鎮(zhèn)江期中)簡易直尺、含60°角的直角三角板和量角器如圖擺放(無重疊部分),A為三角板與直尺的交點(diǎn),B為量角器與直尺的接觸點(diǎn),C為量角器與三角板的接觸點(diǎn).若點(diǎn)A處刻度為4,點(diǎn)B處刻度為6,則該量角器的直徑長為()A.2 B.23 C.4 D.439.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AD∥BC,直線EF是☉O的切線,B是切點(diǎn).若∠C=80°,∠ADB=54°,則∠CBF=()A.45° B.46° C.54° D.60°10.如圖(1),AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C是半圓O上異于A,B的一點(diǎn),連接AC,BC.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→C→B以1cm/s的速度運(yùn)動到點(diǎn)B.圖(2)是點(diǎn)P運(yùn)動時,△PAB的面積y(cm2)隨時間x(s)變化的圖象,則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為()A.a+2 B.2 C.a+3 D.3二、填空題(共5小題,每小題3分,共15分)11.(2022·山東濟(jì)南天橋區(qū)期末)如圖,☉A,☉B(tài),☉C兩兩相離,且半徑都為2,則圖中陰影部分的面積之和為.(結(jié)果保留π)

(第11題)(第12題)12.(2022·江蘇蘇州姑蘇區(qū)期中)如圖,A,B,C,D為一個正多邊形的頂點(diǎn),O為正多邊形的中心,若∠ADB=18°,則這個正多邊形的邊數(shù)為.

13.(2022·河北唐山期末改編)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,過點(diǎn)A作直線EF,已知∠B=∠EAC,根據(jù)弦AB的位置變化,試探究直線EF與☉O的位置關(guān)系.甲:如圖(1),當(dāng)弦AB過點(diǎn)O時,EF與☉O相切;乙:如圖(2),當(dāng)弦AB不過點(diǎn)O時,EF也與☉O相切.你認(rèn)為的判斷正確.

14.新風(fēng)向關(guān)注數(shù)學(xué)文化在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題:“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?”用現(xiàn)代語言表述為:如圖,AB為☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,AE=1寸,CD=10寸,則直徑AB的長為寸.

(第14題)(第15題)15.如圖,已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形,以AB為直徑向正方形內(nèi)作半圓,P為半圓上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),當(dāng)PA=時,△PAD為等腰三角形.

三、解答題(共6小題,共55分)16.(7分)(2022·北京四中期中改編)某游樂園的摩天輪采用了國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu),如圖,摩天輪半徑為44m,中心O距離地面56m,勻速運(yùn)行一圈的時間為18min.由于受到周邊建筑物的影響,乘客與地面之間超過一定距離時,可視為最佳觀賞位置.已知在運(yùn)行的一圈里最佳觀賞時長為12min,求最佳觀賞位置與地面的最小距離(即BD的長).17.(8分)(2021·浙江溫州模擬)如圖,已知AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)M是☉O上一動點(diǎn),∠M=∠D,連接BC.(1)判斷BC與MD的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若MD恰好經(jīng)過圓心O,求∠D的度數(shù).18.(8分)(2022·山東臨沂期末)如圖,AB為☉O的直徑,AC,DC為弦,∠ACD=60°,P為AB延長線上的點(diǎn),連接PD,∠APD=30°.(1)求證:DP是☉O的切線.(2)若☉O的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.19.(10分)[與特殊平行四邊形綜合](2021·河南駐馬店二模)如圖,已知☉O的直徑AB=2,C是AB上一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),切線DC交AB的延長線于點(diǎn)D,連接AC,BC,OC.(1)請?zhí)砑右粋€條件使△BAC≌△ODC,并說明理由.(2)若點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為E.①當(dāng)AD=時,四邊形OCDE為正方形.

②當(dāng)∠CDB=°時,四邊形ACDE為菱形.

20.(10分)新風(fēng)向探究性試題如圖,已知AB是☉O的直徑,BC與☉O相切于點(diǎn)B,CD與☉O相切于點(diǎn)D,連接AD,OC.(1)求證:AD∥OC.(2)小聰與小明在做這個題目的時候,對∠CDA+∠AOC的值進(jìn)行了探究:小聰說,∠CDA+∠AOC的值是一個固定值;小明說,∠CDA+∠AOC的值隨∠A的度數(shù)的變化而變化.若∠CDA+∠AOC的值為y,∠A的度數(shù)為x,你認(rèn)為他們之中誰的說法正確?若小聰?shù)恼f法正確,請求出y;若小明的說法正確,請求出y與x之間的關(guān)系.21.(12分)新風(fēng)向探究性試題【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理:如圖(1),AB和BC是☉O的兩條弦(即折線ABC是☉O的一條折弦),BC>AB,M是ABC的中點(diǎn),則從點(diǎn)M向BC作垂線,垂足D是折弦ABC的中點(diǎn),即CD=AB+BD.下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=AB+BD的過程.圖(1)圖(2)圖(3)圖(4)證明:如圖(2),在CD上截取CG=AB,連接MA,MB,MC和MG.∵M(jìn)是ABC的中點(diǎn),∴MA=MC.①∵∠A=∠C,②∴△MAB≌△MCG,∴MB=MG.又MD⊥BC,∴BD=DG,∴CD=CG+DG=AB+BD,即CD=AB+BD.根據(jù)證明過程,分別寫出步驟①,②的理由:①.②.

【理解運(yùn)用】在圖(1)中,若AB=4,BC=6,則BD=.

【變式探究】如圖(3),AB,BC是☉O的兩條弦,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),MD⊥BC于點(diǎn)D,請寫出CD,DB,BA之間存在的數(shù)量關(guān)系:.

【實(shí)踐應(yīng)用】如圖(4),△ABC內(nèi)接于☉O,BC是☉O的直徑,點(diǎn)D為圓周上一動點(diǎn),滿足∠DAC=45°.若AB=6,☉O的半徑為5,求AD的長.第二十四章圓·B卷1.D∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠C=12∠AOB=45°.2.B連接BD,由勾股定理可得BD=AB2+AD2=42+323.A如圖,∵三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等,∴線段BC,AB的垂直平分線的交點(diǎn)即為外心P,由圖可知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-2).

4.B由題意結(jié)合題圖可知,內(nèi)切圓直徑等于正方形邊長,則OE=3.由正方形的性質(zhì)可得OA=32,則OAOE=3235.C∵OA⊥BC,∴AC=AB.∵∠OBC=40°,∴∠AOB=50°,∴∠ADC=12∠AOB=12×50°=6.C連接OM,由題意知∠FOG=120°.∵點(diǎn)M為劣弧FG的中點(diǎn),∴∠FOM=60°.∵OM=OF,∴△OFM是等邊三角形,∴OM=OF=FM=22,則☉O的半徑為22,故選C.7.A如圖,連接OC.∵∠ADC=120°,∴∠ABC=60°.∵OB=OC,∴△OBC為等邊三角形,∴∠COB=60°,OB=OC=BC=1,∴BC的長=60π·1180=8.D如圖,添加點(diǎn)D,連接OA,OB,由題意得AB=6-4=2,∵∠CAD=60°,∴∠BAC=120°.∵AB與半圓O相切于點(diǎn)B,AC與半圓O相切于C,∴∠BAO=60°,∠AOB=30°,∴OA=2AB=4,∴OB=OA2-AB2=42-29.B如圖,連接OD,OB,則∠BOD=2∠C=160°.∵OB=OD,∴∠OBD=180°-160°2=10°.∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∴∠A=180°-∠C=100°.∵AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,∴∠ABC=80°.在△ABD中,∠ADB=54°,∴∠ABD=180°-54°-100°=26°,∴∠OBC=80°-26°-10°=44°.∵EF是☉O的切線,∴∠OBF=90°,∴∠CBF=90°-∠OBC=90°-44°=46°.故選B∵AD∥BC,∴∠ADB+∠BDC+∠C=180°.∵∠C=80°,∠ADB=54°,∴∠BDC=46°.∵∠CBF是弦切角,∴∠CBF=∠BDC=46°.(弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半,等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù))10.A從題圖(2)看,當(dāng)x=a時,y取得最大值a,此時點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C處,即AC=a.∵∠ACB=90°,∴y=12×AC×BC=12BC×a=a,解得BC=2.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B處時,y=0,即AC+BC=OD,∵AC+BC=a+2,∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a+11.2π因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°,所以陰影部分的面積之和等于半徑為2的半圓的面積,為2π.12.10如圖,連接OA,OB,由題意知點(diǎn)A,B,C,D在以點(diǎn)O為圓心,OA的長為半徑的同一個圓上.∵∠ADB=18°,∴∠AOB=2∠ADB=36°,∴這個正多邊形的邊數(shù)=360°÷36°=10.13.甲、乙題圖(1)中,∵AB是☉O的直徑,∴∠C=90°,∴∠B+∠CAB=90°.∵∠EAC=∠B,∴∠EAC+∠CAB=90°,∴EF⊥AB.∵OA是半徑,∴EF是☉O的切線,故甲的判斷正確.如圖,作直徑AM,連接CM,則∠ACM=90°,∠B=∠M.∵∠EAC=∠B,∴∠EAC=∠M.∵∠CAM+∠M=90°,∴∠CAM+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切線,故乙的判斷正確.14.26連接OC.∵CD⊥AB,AB為☉O的直徑,CD=10,∴CE=12CD=5.設(shè)OC=OA=x,則OE=x-1.由勾股定理得OE2+CE2=OC2,即(x-1)2+52=x2,解得x=13,∴AB=26寸15.22或816.【參考答案】由題意得AB⊥OM,BO=44,∠AOB=18-1218×360°=120°∴∠BOC=60°,∠OBC=30°,∴OC=12OB=22∵中心O距離地面56m,∴OM=56,∴CM=OM-OC=34,∴BD=34m,故最佳觀賞位置與地面的最小距離為34m.(7分)17.【參考答案】(1)BC∥MD.(1分)理由:∵∠MBC=∠D,∠M=∠D,∴∠M=∠MBC,∴BC∥MD.(4分)(2)∵AB是☉O的直徑,CD⊥AB于點(diǎn)E,∴∠D+∠EOD=90°.(6分)∵M(jìn)D過圓心O,∴∠BOD=2∠M=2∠D,∴∠D+2∠D=90°,∴∠D=30°.(8分)18.【參考答案】(1)證明:如圖,連接OD.∵∠ACD=60°,∴∠AOD=120°,∴∠BOD=60°.∵∠APD=30°,∴∠ODP=90°,即PD⊥OD.∵OD是半徑,∴PD是☉O的切線.(4分)(2)∵在Rt△POD中,OD=2,∠OPD=30°,∴OP=4.由勾股定理得PD=23.∴S陰影部分=S△POD-S扇形ODB=12×2×23-60π·22360=23-2π19.【參考答案】(1)添加條件∠A=30°.(1分)理由:∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵DC是☉O的切線,∴∠DCO=90°,∴∠ACB=∠DCO.(3分)∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=30°,∴∠BOC=60°.∵OC=OB,∴△BOC是等邊三角形,∴BC=OC,∠ABC=∠DOC=60°,∴△BAC≌△ODC(ASA).(6分)或添加條件BC=1.(1分)∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵DC是☉O的切線,∴∠DCO=90°,∴∠ACB=∠DCO.(3分)∵OC=OB=12AB=1=BC,∴△BOC是等邊三角形∴∠ABC=∠DOC=60°,∴△BAC≌△ODC(ASA).(6分)(答案不唯一,正確即可給分)(2)①2+1(8分)解法提示:∵AB=2,∴OA=OC=1.連接OE,DE,若四邊形OCDE是正方形,則△OCD是等腰直角三角形,易得OD=2,∴AD=OD+OA=2+1.②30(10分)解法提示:∵DC是☉O的切線,∴∠DCO=90°,∴∠COD=90°-∠CDB.∵OC=OA,∴∠CAB=12∠COD=90°-∠連接AE,若四邊形ACDE是菱形,則CA=CD,∴∠CAB=∠CDB,即90°-∠CDB2=∠解得∠CDB=30°,∴當(dāng)∠CDB=30°時,四邊形ACDE是菱形.20.【思路導(dǎo)圖】(1)連接ODRt△ODC≌Rt△OBC→∠DOC=∠BOC→∠DAO=∠BOC→AD∥CO【參考答案】(1)如圖,連接OD.(1分)∵BC與☉O相切于點(diǎn)B,CD與☉O相切于點(diǎn)D,∴∠ODC=∠OBC=90°.(2分)在Rt△ODC和Rt△OBC中,OD∴Rt△ODC≌Rt△OBC,∴∠DOC=∠BOC.(4分)∵∠DAO=12∠DOB∴∠DAO=∠BOC,∴AD∥CO.(5分)(2)小聰?shù)恼f法正確.(6分