1.1 集合的概念及特征（精講）（原卷版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

集合的概念及特征（精講）一．元素與集合的概念1.元素：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，常用小寫(xiě)拉丁字母a，b，c，…表示．2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱(chēng)為集)，常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C，…表示．3.集合中的元素具有如下三個(gè)特性：(1)確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的，不能確定的對(duì)象就不能構(gòu)成集合．(2)互異性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的．(3)無(wú)序性：構(gòu)成集合的元素?zé)o先后順序之分．4.元素與集合的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果a是集合A中的元素，就說(shuō)a屬于Aa∈A“a屬于A”不屬于如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于Aa?A“a不屬于A”5.常用數(shù)集及表示符號(hào)名稱(chēng)自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N＋ZQR6.集合相等只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱(chēng)這兩個(gè)集合是相等的，例如集合{a，b，c}與集合{c，a，b}是相等集合二．集合的表示方法1.列舉法(1)定義：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法，一般可將集合表示為{a，b，c，…}.(2)使用說(shuō)明①用列舉法表示集合時(shí)，一般不考慮元素的順序.②如果一個(gè)集合的元素較多，且能夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不致于發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個(gè)元素作為代表，其他元素用省略號(hào)表示.③無(wú)限集有時(shí)也可用列舉法表示.2.描述法(1)定義：一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法，有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線(xiàn)，寫(xiě)成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.(2)使用說(shuō)明①有些情況下，描述法中豎線(xiàn)“|”及其左邊元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示為{三角形}.②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素組成的集合，可以表示為{x∈I|p(x)}.集合的分類(lèi)有限集：集合的元素有限個(gè)無(wú)限集：集合的元素?zé)o限個(gè)一．集合概念的理解判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，每個(gè)元素是否互異。二．判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法1.直接法：集合中的元素是直接給出的.2.推理法：對(duì)于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿(mǎn)足集合中元素所具有的特征即可.三．元素的互異性求參數(shù)1.根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值2.根據(jù)集合中的元素的互異性對(duì)求得參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn).注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時(shí)，要注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.四．集合的表示方法1.用列舉法表示集合(1)應(yīng)先弄清集合中的元素是什么，是數(shù)還是點(diǎn)，還是其他元素.(2)若集合中的元素是點(diǎn)時(shí)，則應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對(duì)用小括號(hào)括起來(lái)表示一個(gè)元素.（3）使用列舉法表示集合時(shí)的注意事項(xiàng)①元素間用逗號(hào)隔開(kāi)；②元素不能重復(fù)(互異性)；③元素之間不用考慮先后順序(無(wú)序性)；④有些集合的元素較多，元素又呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以列出幾個(gè)元素作為代表，其他元素用省略號(hào)表示，如不大于100的正整數(shù)所構(gòu)成的集合可表示成{1,2,3，…，100}；⑤“{}”含有“所有”“整體”的含義，如所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合可以寫(xiě)為{實(shí)數(shù)}，但如果寫(xiě)成{實(shí)數(shù)集}或{全體實(shí)數(shù)}就是錯(cuò)誤的；⑥對(duì)于含有有限個(gè)元素且元素個(gè)數(shù)較少的集合，宜采用列舉法．2.利用描述法表示集合(1)寫(xiě)清楚該集合代表元素的符號(hào).例如，集合{x|x<1}不能寫(xiě)成{x<1}.(2)所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi).例如，{x|x＝2k}，k∈Z，這種表示方式就不符合要求，需將k∈Z也寫(xiě)進(jìn)大括號(hào)，即{x|x＝2k，k∈Z}.(3)不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母.考點(diǎn)一集合概念的理解【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對(duì)象的全體能構(gòu)成集合的有（

）（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書(shū)中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級(jí)學(xué)生身高在1.7米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線(xiàn)段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【一隅三反】1．（2023·北京）下列各對(duì)象可以組成集合的是（

）A．與非常接近的全體實(shí)數(shù)B．北大附中云南實(shí)驗(yàn)學(xué)校學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)D．高一年級(jí)很有才華的老師2．（2022秋·貴州銅仁·高一?？茧A段練習(xí)）下列各組對(duì)象中，能組成集合的有___________（填序號(hào)）．①所有的好人；②平面上到原點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)；③正三角形；④比較小的正整數(shù)；⑤滿(mǎn)足不等式的的取值．3．（2023·上海）請(qǐng)將下列各組對(duì)象能組成集合的序號(hào)填在后面的橫線(xiàn)上____________.①上海市2022年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)的距離等于1的所有點(diǎn)；③影響力比較大的中國(guó)數(shù)學(xué)家；④不等式的所有正整數(shù)解.考點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系【例2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【一隅三反】1．（2023春·四川內(nèi)江）已知集合,那么（

）A． B． C． D．2．（2023春·福建龍巖）給出下列6個(gè)關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．2 C．3 D．53．（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合A=｛0，1，2｝，則（

）A．0A B．1 C．2=A D．A考點(diǎn)三元素互異性及應(yīng)用【例3-1】（2023·北京朝陽(yáng)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【例3-2】（2023·安徽）已知，若，則實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【例3-3】（2023·河南）已知，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3-4】（2023·云南）已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．0 C．或0 D．無(wú)解【一隅三反】1．（2023·福建）若，則的值為（

）A． B． C．或 D．2．（2023春·河南）若，則a2020+b2020的值為（

）A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣13．（2023春·山東日照）已知集合，且，則的值可能為（

）A． B． C．0 D．14．（2023·廣東）設(shè)集合，若，則的值為（

）．A．，2 B． C．，，2 D．，25．（2023·陜西西安）已知集合，其中為常數(shù)，且.若中至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.考點(diǎn)四集合的表示方法【例4】（2023·陜西安康）表示下列集合：(1)請(qǐng)用列舉法表示方程的解集；(2)請(qǐng)用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(3)請(qǐng)用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；(4)請(qǐng)用描述法表示二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．【一隅三反】1．（2023北京）把下列集合用適當(dāng)方法表示出來(lái)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.2．（2023山東）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）大于2且小于5的有理數(shù)組成的集合．（2）24的正因數(shù)組成的集合．（3）自然數(shù)的平方組成的集合．（4）由0，1，2這三個(gè)數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒(méi)有重復(fù))所組成的自然數(shù)組成的集合．3．（2023湖北）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?（1）被5除余1的正整數(shù)組成的集合；（2）由直線(xiàn)y＝－x＋4上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是自然數(shù)的點(diǎn)組成的集合；（3）方程(x2－9)x＝0的實(shí)數(shù)解組成的集合；（4）三角形的全體組成的集合.考法五集合相等【例5-1】（2023·河北）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【例5-2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知